Доклад "Признаки делимости на 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25, 50"

Частное общеобразовательное учреждение общая общеобразовательная школа «Полис-лицей»

 

 

 

Доклад на тему:

 

«Признаки делимости»

 

 

                                        Учитель: Агеева Наталья Сергеевна                                                                                                                                                            Класс: 6

Город Дубна, 2018 г.   

Введение

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник естественный вопрос: существуют ли признаки делимости, например, на 4, на 6, на 7, на 8, на 11 и т. д.? Если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Такие признаки существуют. Признаки делимости чисел – это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка. Признаки делимости изучали ученые разных времен и народов.

Из истории математики о делимости чисел

Огромный вклад в изучение признаков делимости натуральных чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году.

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например,: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Делители и кратные .

Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b, то число а называют кратным числам b, а число b – делителем числа а.

Для любого натурального числа а каждое из чисел а*1, а*2, а*3, а*4, … является кратным числа а.

Простые и составные числа.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Например, число 5 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Например, число 55 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 5; 11; 55.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами :

1.      Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

2.      Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

3.      Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

4.       Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое – делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

5.      Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то произведение их также разделится на это число.

Признаки делимости на 2

Чётное число – это число, которое делится на 2.

Нечётное число – не делится на 2.

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Например:

Число 55 734 делится на 2, так как у него последняя цифра 4 которая является чётной.

Число 559 не делится на 2, так как цифра 9 находящаяся в конце нечетная.

Число 6750 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце 0.

Признаки делимости на 3

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3. Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Например:

2721 = 2+7+2+1 = 12, 12 делится на 3, значит, и само число делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.

Число 52 600 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.

Число 768 001 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 01, которое не делится на 4.

Число 67 144 делится на 4, так как две конечные цифры 4 и 4 дают число 8, которое делится на 4.

Признаки делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5.

Например:

245 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5.

6740 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 0.

657 не делится на 5, так число оканчивается цифрой 7.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, когда его можно разделить одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Число 306 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 7

Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.

Например:

 959 делится на 7, потому что 95-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка).

111 и 345 не делятся на 7, потому что 11-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Признаки делимости на 8

Число делится на 8 только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8.

Например:

56064 – 064 делится на 8, значит, 56064 кратно 8.

Признаки делимости на 9

Если сумма цифр числа делится нацело на 9 то и само число делится нацело на 9. Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Например:

6003 = 6+0+0+3 = 9, 9 делится на 9, значит, и само число делится на 9.

Признаки делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

 Например:

9911860 – делится на 10.

Признаки делимости на 11

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.

Например:

103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не равны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).

Признаки делимости на 12

Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4.

Например:

504 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например:

858 делится на 13, так как 85-9*8 = 13 делится на 13.

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 когда оно делится на 2 и на 7.

Например:

Число 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признаки делимости на 15

Число делится на 15, если оно делится на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось 0 или 5 и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например:

3705 – 3+7+0+5 = 15, значит, число кратно 3.

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Признаки делимости на 25

Число делится на 25 когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Например:

58050 делится на 25, так как 50 делится на 25.

57900 делится на 25.

Признаки делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце числа две последние цифры делились на 25 и представляли четное число. Этому условию удовлетворяют числа 50 и 100, но 100 - трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

Например:

676900, 66532150 .

Заключение

Кроме известных признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. В некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям - с целью подготовки учащихся к решению ОГЭ, ГИА, ЕГЭ, олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам, региональному конкурсу «Кенгуру».

Использованная литература:

1.  И. Я. Депман «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»

2.  Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение»

3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»

4.  «Математика» Москва 1999 «Первое сентября»

5.  «Математика» Москва 2000 «Первое сентября»

6.  «Математика» Москва 2002 «Первое сентября»

7.  «Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс». – М.: Просвещение, 1979.

8.  «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

9.  «Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание 2-е, исправленное и дополнительное – М.: «Просвещение», 1974.

10 . Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

11. Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

· Воробьев КН., Признаки делимости, издательство
«Наука», 1974.

12. Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.

13. Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
издательство «Наука», 1988.

14 .И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.

15. М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней школе» М. Просвещение. 1965 г. стр.37.

16. Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.

17.  Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

18. Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.

19. Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.

20. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.