Контрольная работа.Варианты решения Дифференциальных уравнений (с решением).."

В А Р И А Н Т 1.

1. Решить дифференциальное уравнение .[mnp1] 

2.    Найти частное решение дифференциального уравнения , [mnp2] удовлетворяющее начальному условию  y(0)=2.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2. Выполнить проверку[mnp3] .

4. Найти частное решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальному условию и x=1[mnp4] .

      В А Р И А Н Т 2.

1. Решить дифференциальное уравнение  [mnp5] 
2. Решить дифференциальное уравнение [mnp6] 

3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку[mnp7] .
4. Найти частное решение дифференциального уравнения ,

           удовлетворяющее начальному условию y(0)=1[mnp8] 

     В А Р И А Н Т 3.

1. Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку[mnp9] .
2. Решить дифференциальное уравнение [mnp10] 
3. Решить дифференциальное уравнение .[mnp11] 
4. Найти частное решение дифференциального уравнения ,

            удовлетворяющее начальному условию y(0)=1[mnp12] .

В А Р И А Н Т 4.

1.      Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку[mnp13] .

2.      Найти частное решение дифференциального уравнения ,

           удовлетворяющее начальному условию y(1)=1[mnp14] .

3.     Найти частное решение дифференциального уравнения -3)dt,

удовлетворяющее начальному условию s(0)=0[mnp15] .

4.      Решить дифференциальное уравнение . 

В А Р И А Н Т 1.

1.     Решить дифференциальное уравнение .

Решение

1) перепишем производную в другом виде:
2)

разделим переменные по частям уравнения:

3) произведем интегрирование дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов):

4)

получим решение уравнения в неявном виде:

	ln|y| = ln|x| + C

 

5)попробуем найти общее решение, то есть попытаемся представить функцию в явном виде (представляя константу С тоже под знаком логарифма):

	ln|y| = ln|x| + ln|C|		ln|y| = ln|Сx|

 

                                                                   и тогда     

	y = Сx

 

в результате потенцирования получаем:

2.   Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию  y(0)=2.

Решение

1) перепишем производную в другом виде:
2)

разделим переменные по частям уравнения:

3) произведем интегрирование дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов):

	ln|y| = - 2x + C*

 

4) получаем решение уравнения в неявном виде:

5) общий интеграл преобразуем в общее решение (выражаем «игрек» в явном виде). Вспоминаем, что:   

 

в данном случае:

Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:


Если C*  – это константа, то                      – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву С.
Тогда, общее решение:

6) найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. Необходимо подобрать такое значение константы С , чтобы выполнялось заданное начальное условие y(0) = 2.

7) в найденное общее решение подставляем значения x  и y из начального условия и находим С = 2.

8) в общее решение   подставляем в найденное значение константы:

                                Это и есть нужное нам частное  решение.

4.     Найти частное решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальному условию и x=1.

Решение

1) произведем необходимые преобразования и интегрирование дифференциального уравнения и получим общее решение уравнения: 

2) в найденное общее решение подставляем значения x  и y из начального условия и находим с:

3) получаем частное решение, подставив в общее значение с:

3.     Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(0)=lne. Выполнить проверку.

         Решение

1) найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы  и , а значит, решение упрощается.

2) разделяем переменные:

3) интегрируем уравнение:

   Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

 

 

4) ищем форму удачного общего решения:

Итак, общее решение:

5) Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

  

Подставляем найденное значение константы  в общее решение.

Частное решение: .

Проверка

1) Проверим,  выполнено ли начальное условие y(0)=ln e:

2) Проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение  данному дифференциальному уравнению.

1.      Находим производную:

2.       Находим дифференциал :

3.      Подставим найденное частное решение  и полученный дифференциал  в исходное уравнение  

Используем основное логарифмическое тождество :

Что и требовалось проверить.

В А Р И А Н Т 2.

1.   Решить дифференциальное уравнение

Решение

1) перепишем производную в другом виде:

2)

разделим переменные по частям уравнения:

 

3)

произведем интегрирование дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов):

4) интеграл левой и правой частей легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, причем котангенс предварительно выражается через косинус и синус:

5)

получаем решение уравнения в неявном виде:

6) попробуем упростить общий интеграл, используя при этом свойства логарифмов:

           lna + lnb = ln(ab);      lna – lnb = ln    ;             blna = ln

7) окончательно

                                                                      или 

2. 

2.     Решить дифференциальное уравнение .

Решение

1) перепишем производную в другом виде и разделим переменные по частям уравнения:

2) произведем интегрирование

дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов):

3) получим общий интеграл этого уравнения:

	ln|y| = - ln|x| + C		ln|y| = - ln|x| + ln C

 

                                                           или 

В результате потенцирования получаем:

3.

4.     Найти частное решение дифференциального уравнения ,  удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

Решение

1) произведем необходимые преобразования и интегрирование дифференциального уравнения и получим общее решение уравнения: 

 

2) в найденное общее решение подставляем значения x  и y из начального условия и находим с:

3) получаем частное решение, подставив в общее значение с:

 
 

3.   Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

1) разделяем переменные:

                                            

2) интегрируем:

                                        

3) упрощаем общий интеграл:

Выражаем функцию в явном виде, используя   .
Общее решение: , где С = constant.

4) найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Подставляем найденное значение константы c=1 в общее решение.
Частное решение:

Проверка

1) Проверим,  выполнено ли начальное условие:

2) Проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение

 данному дифференциальному уравнению.

1.   Находим производную:

2.   Подставим найденное частное решение       и полученную производную      в исходное уравнение :

, что и т.д.

В А Р И А Н Т 3.

2.   Решить дифференциальное уравнение

Решение

1) перепишем производную

в другом виде:

2) разделим переменные по частям уравнения:

3) произведем интегрирование дифференциального уравнения:

• в  результате получим следующие значения интегралов:

• 
  левого

 

• •

правого

• 
  подставляем эти значения в 

и получаем общий интеграл уравнения

3.     Решить дифференциальное уравнение .

Решение

1) Решение уравнения представим в виде:

2) Так как                                  ,то исходное уравнение будет равносильно уравнению:

                                                                                                                          (**)

3) Пусть                                                     (т.е. второй член

уравнения в **  равен нулю). Найдем v:
4) Подставив v в (**) находим u:
5) Находим общий интеграл:

4.     Найти частное решение дифференциального уравнения ,

            удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

Решение

1) произведем интегрирование дифференциального уравнения и получаем общее решение уравнения: 

2) в найденное общее решение подставляем значения x  и y из начального условия и находим с = 3.

3) получаем частное решение, подставив в общее значение с:

1. Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

1) Разделяем переменные:

    2) Интегрируем:

Общий интеграл:

Проверка

1.   Дифференцируем ответ (неявную функцию):

2. Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на

Получено исходное уравнение.

В А Р И А Н Т 4.

2.     Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(1)=1.

Решение

1)Разделим уравнение на        :

2) Положим                ,тогда

                                                                                                                     (*)

3) Соответствующее линейное однородное уравнение

 имеет общее  решение :

4) Найдем C(x):

• подставляем t  и      в уравнение (*):

5)Тогда общее решение этого уравнения:

6) Подставив в него значения x=1 и y=1, найдем с=e.

 

7) Частное решение данного уравнения:

3.   Найти частное решение дифференциального уравнения -3)dt,удовлетворяющее начальному условию s(0)=0.

Решение

1) произведем интегрирование дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов) и получаем общее решение уравнения :

2) в найденное общее решение подставляем значения s  и t из начального условия и находим с = 0.

3)получаем частное решение, подставив в общее значение с:

4.     Решить дифференциальное уравнение .

Решение

1) перепишем производную в другом виде и разделим переменные по частям уравнения:

2) произведем интегрирование

дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов):

3) получим общий интеграл этого уравнения:

	ln|y| = - ln|x| + C		ln|y| = - ln|x| + ln C

 

                                                   или

В результате потенцирования получаем:

1.     Решить дифференциальное уравнение (***). Выполнить проверку.

Решение

1)    Уравнение(***) разделим на :

2) произведем интегрирование

дифференциального уравнения (которое сводится к взятию табличных интегралов) и получим общее решение:

                                                                 

Проверка

1. Дифференцируем ответ

2.   Подставим найденное частное решение       (при С=1) и полученную производную      в исходное уравнение :

что и т.д.

---

 [mnp1]С раздел.переменными. Пример1 (презентация" «Решение диф. уравнений с раздел. переменными 09.12»), .

 [mnp2]С раздел.переменными.Пример2 (презентация" «Решение диф. уравнений с раздел. переменными 09.12»), .

 [mnp3] Пример 5. с разд. Переменными, ссылка http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html,  частное решение: .

 [mnp4] Пример 7. С раздел. Переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»),

 [mnp5] С раздел. переменными. Пример3 (презентация" «Решение диф. уравнений с раздел. переменными 09.12»), .

 [mnp6] С раздел. переменными. Пример4 (презентация" «Решение диф. уравнений с раздел. переменными 09.12»),  , .

 [mnp7]Пример 4. с разд. Переменными, ссылка http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html,  частное решение:.

 [mnp8] Пример 8. С раздел. переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»), .

 [mnp9]  Пример 7. с разд. Переменными, ссылка http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html ,общий интеграл:

 [mnp10] Пример 5. С раздел. Переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»), .

 [mnp11] Пример 3.Бернулли (линейное), сводится к 2м с раздел. переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»), 

 [mnp12] Пример 6. С раздел. переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»), .

 [mnp13] Пример 10. С раздел. переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»),

 [mnp14] Пример 1. Бернулли, 2 способа решения, (презентация" «Решение ДУ231012»),

 [mnp15] Пример 2. С разд. переменными, (презентация" «Решение ДУ231012»), .