Инфоурок Математика Научные работыКурсовая "Ряды Фурье и их применение"

Курсовая "Ряды Фурье и их применение"

Скачать материал

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный педагогический университет»

 

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

 

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

 

Направление подготовки: 050.100.62 педагогическое образование

Профиль подготовки: математика

Форма обучения: очная

 

 

 

Выполнила студентка

Ишматова Айгерим Кайрбековна,

3 курс, 304-М группа

 (оценка)                       (подпись)

«      »                             2015 г.

 

 

Оглавление

Введение. 3

1. Ряды Фурье в действительной области.. 5

1.1. Понятие периодической функции. 5

1.2. Тригонометрический полином. 8

1.3. Ортогональность тригонометрической системы функций. 13

1.4. Тригонометрический ряд Фурье. 17

1.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье. 20

1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. 22

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. 25

1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на 25

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на 28

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на 30

2. Практическое применение рядов Фурье. 31

2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение. 31

2.2. Примеры рядов Фурье в различных областях деятельности человека. 39

Заключение. 40

Список литературы.. 41

 

 

 


 

Введение

Ряд Фурье – это представление произвольной функции с периодом в виде ряда. В общем виде рядом Фурье называется разложение элемента по ортогональному базису. Разложение функции в ряд Фурье – хороший инструмент при решении разных задач, потому что обладает свойствами преобразования при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций. Данное преобразование имеет большое значение, поскольку с помощью него можно решать много практических задач. Рядами Фурье пользуются не только математики, но и специалисты других наук.

Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.

Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.

Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.

Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают  под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии [8].

Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид.  Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса [2].

Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;

2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;

3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;

4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;

5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.

Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.

Предмет исследования: ряды Фурье.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.


 

1. Ряды Фурье в действительной области

1.1. Понятие периодической функции

В природе и технике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями времени. Процессы, связанные с работой любой машины, любого механизма, процессы и явления, изучаемые в курсе физики, электротехнике дают нам примеры такого рода величин. В настоящее время периодические функции хорошо изучены и широко используются в различных областях техники.

Определение. Число  называется периодом функции  если для любого   из области определения функции числа  также принадлежат области определения и

(1)

Из этого определения следует, что если период функции, то ее периодом будет также , где - любое целое число. Действительно,

Поэтому, обычно говоря о периоде функции, имеют ввиду наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).

Например, так как

      

то функции  и  – периодические функции с периодом 2 Аналогично, в силу равенств

,              

функции  – периодические функции периода .

Отметим некоторые свойства периодических функций.

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т является периодической функцией того же периода Т.

Так, например, функция  – периодическая функция периода

2) Если функция  имеет период Т, то функция  имеет период .

Действительно, для любого

(2)

 

Например, для функции  имеем:

Следовательно, эта функция имеет период   и, по предыдущему свойству, такой же период будет иметь функция

С геометрической точки зрения, умножение аргумента функции на число  означает сжатие при  и растяжение при  графика этой функции вдоль оси .

1) Если  - периодическая функция периода Т, то любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т, равны между собой (предполагается, что эти интегралы существуют):

(3)

Действительно,

Преобразуем последний интеграл:

Тогда

Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (3).  Построим график периодической функции. Для этого достаточно знать ее аналитическое выражение на отрезке [0; ], построить график функции на этом отрезке и затем продолжить его вправо и влево по периодическому закону. При этом, площадь криволинейной трапеции с основанием [0; ] будет равна площади криволинейной трапеции с основанием , изображенной на рисунке 1.

Рис.1

В частности, если   и из (3) следует

(4)

 

 


 

1.2. Тригонометрический полином

 Простейшей тригонометрической функцией является функция . Рассмотрим функцию, которая получится, если умножить эту функцию на постоянный множитель, а аргумент заменить на линейную функцию от т.е. функцию

(5)

 

Это периодическая функция с периодом  Имеем:

Обозначим   Тогда

(6)

Определение. Отдельные функции вида (5) или (6) называются членами ряда Фурье функции (или гармониками). При этом постоянная  называется амплитудой, выражение  – фазой,  - начальной фазой (фаза при x=0),  – частотой ( - целое положительное число, связанное с периодом соотношением

График синусоидальной функции  получается из графика синусоиды  следующим образом:

1) растяжением по оси  с коэффициентом растяжения ;

2) сжатием графика  с коэффициентом сжатия ;

3) смещением полученного графика по оси  на величину -  (т.е. вправо при   влево при ).

Пример. Построим график функции  . Здесь ,  

1) Построим график функции .

2) Растянем этот график по оси  в 2 раза и получим график функции

, изображенный на рисунке 2.

Рис.2

3) Сжатием по оси  в 4 раза получим график функции , изображенный на рисунке 3.

Рис.3

4) Сместим полученный график влево на  и получим искомый график,  изображенный на рисунке 4.

Рис.4

Сложение гармоник одной частоты (одного периода) дает гармонику той

же частоты. Действительно,

1=11)=1+1,

2=22)=2+2,

 1+ 2=1+2)+1+2).

Сложение гармоник с частотами, кратными , т.е. с частотами

 дает более сложную периодическую функцию, чем синусоидальная функция.

Определение. Функция вида

11) +22)+…+nn)

(7)

называется тригонометрическим полиномом n-го порядка.

В (7) первая гармоника 11)=1+1 имеет период  . Вторая гармоника 22)=2+2

имеет период ,… , n-я гармоника

 имеет период . Период тригонометрического полинома (7) равен периоду первой гармоники. Действительно,

+

Таким образом, подбирая различные амплитуды   и начальные фазы различных гармоник и увеличивая , можно получить разнообразные периодические функции с периодом, равным периоду первой гармоники.

Определение. Совокупность величин  называется амплитудным спектром, а совокупность начальных фаз  – фазовым спектром.

Прибавим к сумме (7) постоянное слагаемое  означающее сдвиг начала отсчета. Получим

Эта функция дает закон сложного периодического колебания с периодом . Рассмотрим следующие случаи:

1) если , т.е. , то

2) если , т.е. , то

Рассмотрим задачу обратную данной. Пусть   периодическая функция (, описывающая некоторое колебательное движение. Возникает вопрос о представлении этой функции в виде суммы простейших колебаний (гармоник). При этом заранее известно, что период функции должен быть целым кратным периоду любой гармоники, входящей в эту сумму. Тогда гармоники, сумма которых должна быть равна , имеют вид n),

(8)

Но оказалось, что если брать конечное число гармоник, то не всегда удается представить  в виде суммы (8). В общем случае такое представление возможно, только если число слагаемых бесконечно, т.е.

(9)

Определение.    Функциональный   ряд
называется тригонометрическим рядом,  – коэффициентами тригонометрического ряда.

 Отметим несколько фактов, касающихся сходимости ряда (9).

 Имеем: , . Поэтому, сели ряд
сходится, то и ряд (9) сходится на всей числовой оси, притом равномерно.

 Кроме того, если ряд (9) равномерно сходится на , то в силу периодичности слагаемых, он будет равномерно сходиться на всей числовой прямой, а его сумма  будет функцией периодической (период 2) и непрерывной (так как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция).

 В дальнейшем будем решать задачу разложения сложного колебания на сумму простых гармоник.

Определение. Представление периодических функций в виде суммы гармоник, называется гармоническим анализом.


 

1.3. Ортогональность тригонометрической системы функций

Определение. Функция  заданная на  называется кусочно-непрерывной на , если она имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода.

Определение. Скалярным произведением двух функций  и  , определенных и кусочно-непрерывных на  называется число, обозначаемое ( , и равное определенному интегралу от произведения этих функций по отрезку , т.е.

Определение. Функции  и   называются ортогональными на отрезке , если их скалярное произведение равно нулю, т.е. если

Определение. Нормой функции  на отрезке  называется число


Определение. Функция  называется нормированной на отрезке ,   

Пусть имеется последовательность функций  определенных и кусочно-непрерывных на , причем  среди них нет функций, тождественно равных нулю.

Определение. Последовательность функций  называется ортогональной на , если любые две различные функции этой системы ортогональны на , т.е.

Определение. Последовательность функций  называется нормированной на , если нормирована каждая функция этой последовательности, т.е.

Определение. Последовательность функций  называется ортонормированной на , если она является ортогональной и нормированной, т.е.

Пример. Рассмотрим систему тригонометрических функций

1,

(10)

общего периода  Покажем, что эта система функций ортогональна на . Имеем:

Таким образом, система (10) тригонометрических функций действительно является ортогональной на отрезке .

Ортонормированный система (1.10) не будет, так как

Учитывая последние равенства, получаем, что ортонормированной будет система функций

Заметим, что функции системы (10) ( а также системы (11)) линейно независимы.

Аналогично можно показать, что на  система функций

(12)

является ортогональной, а система функций

(13)

является ортонормированной.

 Ортогональную (ортонормированную) систему функций можно считать аналогом ортогонального (ортонормированного) базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Как мы позднее убедимся, имеется класс функций, которые являются линейными комбинациями функций ортогональной (ортонормированной) системы, причем слагаемых в линейной комбинации может быть бесконечное число. Линейная комбинация с бесконечным числом слагаемых представляет собой ряд. Использование ряда как функции связано с вопросами сходимости этого ряда.

Рассмотрим разложение функции  по тригонометрической системе функций (10).


 

1.4. Тригонометрический ряд Фурье

Определение. Тригонометрическим рядом Фурье функции  на отрезке  называется разложение этой функции по тригонометрической системе функций (10), т.е. ряд

Членами ряда (14) являются кратные друг другу гармоники, расположенные в порядке возрастания их частот (нулевая гармоника берется с множителем  ) .

Определение. Числа   называются коэффициентами тригонометрического ряда Фурье [2].

Пусть ряд (14) равномерно сходится на и его сумма равна . Равномерная сходимость допускает почленное интегрирование ряда. Воспользуемся этим, чтобы найти коэффициенты ряда.

1) Интегрируя почленно ряд (14) будем иметь:

(равенство нулю интегралов показано ранее, при доказательстве ортогональности системы (10)). Отсюда находим

Замечание! Свободный член ряда (14) представляет собой среднее значение функции  на .

2) Умножим ряд (14) на . При этом его равномерная сходимость не нарушается, так как  – непрерывна на  и, следовательно, ограничена на этом отрезке. Почленно интегрируя полученный ряд, будем иметь:

Следовательно,

3) Аналогично, умножая ряд (14) на  и почленно интегрируя, получим:

Следовательно,

Таким образом, получили:

(15)

Найти ряд Фурье для функции  – значит найти коэффициенты по формулам (15) и записать тригонометрический ряд (14) с этими коэффициентами [2].


 

1.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье

Определение. Функция  называется кусочно-монотонной на отрезке  , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция монотонна, т.е. либо возрастает, либо убывает, либо является постоянной.

Если непрерывная (или кусочно-непрерывная) функция  на   монотонна или кусочно-монотонна, то в любой внутренней точке  она имеет левый и правый предел, т.е. существуют

Теорема (Дирихле). Пусть функция  определена на  и удовлетворяет на этом отрезке условиям:

1)         непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода (т.е. кусочно-непрерывна);

2)         монотонна или имеет конечное число точек экстремумов (т.е. кусочно-монотонна).

Тогда  разлагается на отрезке  в тригонометрический ряд Фурье. То есть тригонометрический ряд Фурье  функции сходится на всем отрезке и его суммой является функция , определенная на этом отрезке следующим образом:

1)        во всех точках , в которых функция  непрерывна;

2)           , если  и  – точка разрыва первого рода функции  . То есть в точках разрыва функции  функция  равна среднему арифметическому односторонних пределов в этой точке;

3)           . То есть на границах отрезка  функция  равна среднему арифметическому левого предела функции  в точке  и правого предела функции  в точке  [9].

Причем, на любом отрезке , не содержащем точек разрыва функции  тригонометрический ряд Фурье сходится к  равномерно.

Условия 1) и 2) теоремы Дирихле называются условиями Дирихле.

 Теорема Дирихле дает достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке . Существуют и другие достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье. Но для решения практических задач обычно достаточно теоремы Дирихле, так как условия Дирихле удовлетворяет большой класс функций.

 Пусть функция  – периодическая, с периодом , разлагающаяся в тригонометрический ряд Фурье на отрезке . Тогда это разложение имеет место для всех . Это очевидным образом вытекает из следующих утверждений:

1)  определены для всех  и, следовательно, тригонометрический ряд Фурье определен для всех ;

2) сумма  тригонометрического ряда (14) является функцией периодической с периодом ;

3)  во всех точках непрерывности функции  на отрезке  и, следовательно, и в остальных точках непрерывности функции  (т.к. обе функции периодические с периодом ).

                                           


 

1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл

где непрерывная или кусочно-непрерывная на . Сделаем замену в первом интеграле. Полагаем . Тогда

Следовательно, если  четная функция, то  (т.е. график четной функции симметричен относительно оси  и

Если  -  нечетная функция, то  (т.е. график нечетной функции симметричен относительно начала координат) и

Т.е. симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования, а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Отметим следующие два свойства четных и нечетных функций:

1) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная;

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.

Пусть  -  четная функция, заданная на и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Используя полученные выше результаты, получим, что коэффициенты этого ряда будут иметь вид:

Если  - нечетная функция, заданная на отрезке  и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье, то коэффициенты этого ряда будут иметь вид:

Следовательно, тригонометрический ряд Фурье на отрезке  будет иметь вид

а)   для четной функции:

(16)

б)  для нечетной функции:

Ряд (16) не содержит синусов кратных углов, то есть в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член. Ряд (17) не содержит косинусов кратных углов, то есть в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции [8].

Определение. Ряды
 являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье.

Если функция   разлагается в неполный тригонометрический ряд (16) (или (17)), то говорят, что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам).


 

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция  задана на отрезке  и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Выполним замену переменной. Пусть , где  подберем так, чтобы получившаяся функция  аргумента  была определена на . Следовательно, считаем, что

Получившуюся в результате замены функцию  можно разложить на  в ряд Фурье:

где

Сделаем обратную замену    Получим

где

(19)

 

Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций

Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) [8].

Тригонометрический ряд Фурье для четной функции , заданной на , будет иметь вид

где

для нечетной функции

 

где

Замечание! В некоторых задачах требуется разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по системе функций (20) не на отрезке  , а на отрезке . В этом случае необходимо просто изменить пределы интегрирования в формулах (19) ((15), если , то есть в этом случае

(23)

или, если

(24)

Сумма тригонометрического ряда Фурье периодическая функция с периодом , являющаяся периодическим продолжением заданной функции . А для периодической функции справедливо равенство (4).

 

 


 

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция  задана на  и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого функцию нужно доопределить на промежуток  и полученную функцию разложить в ряд Фурье на отрезке  . При этом полученный ряд следует рассматривать только на отрезке , на котором функция задана. Для удобства вычислений доопределим функцию четным и нечетным образом.

1) Продолжим функцию  на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию , совпадающую на отрезке  с функцией . Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси  и на отрезке  совпадает с графиком . По формулам (21) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции  и запишем сам ряд Фурье. Сумма  ряда Фурье для  – периодическая функция, с периодом . Она будет совпадать с функцией  на  во всех точках непрерывности.

2) Доопределим функцию  на промежуток  нечетным образом, то есть построим новую нечетную функцию , совпадающую на  с функцией . График такой функции симметричен относительно начала координат и на отрезке  совпадает с графиком . По формулам (22) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции  и запишем сам ряд Фурье. Сумма  ряда Фурье для  – периодическая функция с периодом . Она будет совпадать с функцией  на во всех точках непрерывности.

Замечания!   

1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке

2) Так как разложение функции  на отрезке  предполагает ее продолжение на отрезок  произвольным образом, то и ряд Фурье для функции  не будет единственным [3].

 

 

 


 

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция  задана на произвольном отрезке  длины  и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.

Тогда эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Для этого функцию нужно периодически ( с периодом ) продолжить на всю числовую прямую и полученную функцию разложить в ряд Фурье, который следует рассматривать только на отрезке . В силу свойства (3) периодических функций имеем

Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции  можно найти по формулам

(25)

 

 

 


 

2. Практическое применение рядов Фурье

2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение

В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.

Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:

1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;

2) Установить период заданной функции;

3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;

4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;

5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;

6) Вычислить коэффициенты Фурье;

7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).

Пример 1. Функцию  разложить в ряд Фурье на промежутке .

Решение:

1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.

2) Период разложения функции .

3) Функция  - нечетная.

4) Функция  - непрерывная и монотонна на , т.е. функция  удовлетворяет условиям Дирихле.

5) Вычислим коэффициенты ряда Фурье.

 

6) Запишем ряд Фурье, подставив коэффициенты Фурье в формулу

Ответ:

Пример 2. Разложим функцию  с произвольным периодом в ряд Фурье.

Решение: функция  определена на полуинтервале (-3;3]. Период разложения функции , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье

В начале координат функция разрывная, поэтому каждый коэффициент Фурье будем представлять в виде суммы двух интегралов.

 

Запишем ряд Фурье, подставив найденные коэффициенты ряда Фурье в формулу.

Пример 3. Разложить функцию  на промежутке  в ряд Фурье по косинусам.  Построить график суммы ряда.

Решение: продолжим функцию  на промежуток  четным образом, то есть построим новую четную функцию , совпадающую на отрезке  с функцией . Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции  и запишем ряд Фурье. Сумма  ряда Фурье для  - периодическая функция, с периодом . Она будет совпадать с функцией  на   во всех точках непрерывности.

Тригонометрический ряд Фурье для функции будет иметь вид

Найдем коэффициенты ряда Фурье

Таким образом, когда найдены коэффициенты, можно записать ряд Фурье

Построим график суммы ряда
http://kontrolnye.com/images/ma_ryadiFurye/image059.png

Пример 4. Дана функция , определенная на отрезке [0;2]. Выяснить, можно ли разложить функцию в ряд Фурье. Записать разложение функции в ряд Фурье [6].

Решение:

1) построим график функции на [0;2].

2) функция  непрерывна и монотонна на [0;2], то есть по теореме Дирихле  разлагается в тригонометрический ряд Фурье.

3) вычислим коэффициенты Фурье по формулам (1.19).

4) запишем ряд Фурье, используя найденные коэффициенты.


 

2.2. Примеры применения рядов Фурье в различных областях деятельности человека

Математика – одна из наук, которая имеет широкое применение на практике. Любой производственно-технологический процесс основан на математических закономерностях. Применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции, сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий, сооружений.

Ряды Фурье применяются математиками в геометрии при решении задач в сферической геометрии; в математической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. Но кроме математики ряды Фурье нашли свое применение и в других областях наук.

Ежедневно люди пользуются различными устройствами. И зачастую эти устройства работают неисправно. Например, звук плохо различим из-за больших шумов или изображение, полученное по факсу, нечеткое. Причину неисправности человек может определить по звуку. Компьютер также может провести диагностику повреждения устройства. Лишние шумы можно убрать с помощью компьютерной обработки сигналов. Сигнал представляют в виде последовательности цифровых значений, которые затем вводят в компьютер. Выполнив определенные вычисления, получают коэффициенты ряда Фурье.

Изменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов, акцентировать внимание слушателей на отдельных партиях. 

В цифровой обработке изображений применение рядов Фурье позволяет проводить следующие эффекты: размытие, подчеркивание границ, восстановление изображений, художественные эффекты (тиснение)

Разложение в ряд Фурье применяется в архитектуре при исследовании колебательных процессов. Например, при создании проекта различного вида конструкций рассчитывают прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.

В медицине для проведения медицинского обследования с помощью кардиограмм, аппарата УЗИ пользуются математическим аппаратом, в основе которого лежит теория рядов Фурье.

Объемные вычислительные задачи оценки статистических характеристик  сигналов, фильтрации шумов возникают при регистрации и  обработке данных морского непрерывного дна. При постановке измерений, их регистрации перспективны голографические методы, использующие ряды Фурье. То есть ряды Фурье применяются и в такой науке как океанология.

Элементы  математики  встречаются  на  производстве  практически  на  каждом  шагу,  поэтому специалистам  важно  знать  и  блестяще  ориентироваться  в  области  применения  тех  или  иных  инструментов  анализа  и  расчета [7].

 

 

 


 

Заключение

Тема курсовой работы посвящена изучению ряда Фурье. Произвольную функцию можно разложить на более простые, то есть можно разложить в ряд Фурье. Объем курсовой работы не позволяет подробно раскрыть все аспекты разложения функции в ряд. Однако, из поставленных задач, представилось возможным раскрыть основную теорию о рядах Фурье.

В курсовой работе раскрыто понятие тригонометрического ряда Фурье. Определены условия разложимости функции в ряд Фурье. Рассмотрены разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций; непериодических функций.

Во второй главе приведены лишь некоторые примеры разложения функций, заданных на различных промежутках, в ряд Фурье. Описаны те области наук, где используется данное преобразование.

Существует также комплексная форма представления ряда Фурье, которую не удалось рассмотреть, так как не позволяет объем курсовой работы. Комплексная форма ряда алгебраически проста. Поэтому часто используется в физике и прикладных расчетах.

Важность темы курсовой работы обусловлена тем, что находит широкое применение не только в математике, но в других науках: физике, механике, медицине, химии и многих других.

 


Список литературы

1. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды. [текст]/ Н.К. Бари.Москва, 1961. — 936 с.

2. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов [текст]/ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 11-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 736 с.

3. Бугров, Я. С. Высшая математика: Учебник для вузов: В 3 т. [текст]/ Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —512 с.

4. Виноградова, И. А.  Задачи и упражнения по математическому анализу: пособие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. [текст]/ И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В.А. Садовничий; под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 712 с.

5. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2. Учебник для студентов вузов. [текст]/ А. А. Гусак. – 5-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для вузов: 2 ч. [текст]/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.­ Москва: ОНИКС: Мир и образование, 2003.306 с.

7. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов( математические основы) [текст]/ А. Лукин. — М., 2007. — 54 с.

8. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учебное пособие для втузов. [текст]/ Н. С. Пискунов. — 13-е изд.— М.: Наука, 1985. — 432 с.

9. Рудин, У. Основы математического анализа. [текст]/ У. Рудин. — 2-е изд., Пер. с англ. .— М.: Мир, 1976 .— 206 с.

10. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. [текст]/ Г. М. Фихтенгольц. — 6-е изд., стер.СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 464 с.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Курсовая "Ряды Фурье и их применение""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 6 месяцев

Ректор

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 292 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 12.05.2017 15155
    • DOCX 810.7 кбайт
    • 263 скачивания
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Ишматова Айгерим Кайрбековна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Ишматова Айгерим Кайрбековна
    Ишматова Айгерим Кайрбековна
    • На сайте: 7 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 23793
    • Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Няня

Няня

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Формирование умений и навыков самостоятельной работы у обучающихся 5-9 классов на уроках математики в соответствии с требованиями ФГОС

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 92 человека из 38 регионов

Курс повышения квалификации

Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 141 человек из 53 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 321 человек из 69 регионов

Мини-курс

Основы классической механики

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Личностное развитие и отношения

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

От Зейгарника до Личко: путь к пониманию человеческой психологии

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 15 регионов