Лекционный материал "Погрешности арифметических действий" по дисциплине ОП.10.Численные методы

Лекция 2

1.2. Погрешности арифметических действий

План лекции

1.       Учет погрешности в арифметических действиях

2.       Правила записи приближенных чисел

3.       Формулы приближенных вычислений

1. Учет погрешности в арифметических действиях

1.          Очевидно, что если c=a+b, c^*=a^*+b^* или c=a-b, c^*=a^*-b^*, то

и, следовательно, в качестве  следует взять

Таким образом, при сложении и вычитании двух приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются.

2.          Пусть u=ab, u^*=a^*b^*, v=a/b, v^*=a^*/b^* имеем

то есть, абсолютные погрешности произведения двух приближенных чисел a^* и b^* удовлетворяет неравенству

.

Аналогично, при условии, что  и, следовательно, b0, получаем

или

Относительные погрешности произведения, частного:

, 

.

В качестве предельных абсолютные погрешностей и предельных относительных погрешностей можно взять следующие величины: ,

 , , .

Итак, при сложении и вычитании приближенных чисел складывают предельные абсолютные погрешности, а при умножении и делении приближенных чисел складывают их предельные относительные погрешности.

Пример 1. Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Решение

Сложение даёт 0,649. Абсолютная погрешность каждого слагаемого равна 0,0005, значит, абсолютная погрешность суммы 2 ∙ 0,0005 = 0,001. Следовательно, в найденной сумме возможна ошибка на 1 единицу в третьем знаке после запятой. Вычитание данных чисел даёт: 0,123 – 0,526 = –0,403. Абсолютная погрешность разности также равна 0,001.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Пример 2

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 98 см. Чему равна толщина стенок трубы?

Решение

Если R1 = 100 см, R2 = 98 см, то h = 2 см.

Абсолютные погрешности при определении радиусов одинаковы и равны Δ (R1) = Δ (R2) = 0,5 см (если в условии задачи не уточнено, то абсолютная погрешность измерения принимается равной половине последнего знака величины). Абсолютная погрешность расчёта толщины стенки определяется формулой Δ (h) = Δ (R1) + Δ (R2) = 1 см.

Рассчитаем теперь относительные погрешности всех трёх величин:

Если оба радиуса были измерены с погрешностью порядка 0,5 %, то погрешность при вычислении их разности – толщины стенок трубы – возросла в 100 раз и составила 50 %!

2. Правила записи приближенных чисел

Пусть приближенное число a^* задано в виде конечной позиционной записи:  или a^*=±, где j десятичные цифры.

Первая слева цифра данного числа, отличная от нуля, и все расположенные за ней цифры называются значащими.

Например, числа 25,047 и –0,00259 имеют соответственно 5 и 3 значащих цифры.

Цифра a_j называется верной, если , т.е. абсолютная погрешность числа a^* не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа. (a^*=0,03045 (a^*)=0,000003).

Если приближенное число записывается без указания его абсолютной, точнее говоря, предельной абсолютной погрешности, то выписываются только его верные цифры. При этом верные нули на правом конце не отбрасываются.

Например, числа 0,0344 и 0,034400, как приближенные, различные. Относительно первого числа можно только утвердить, что его абсолютная погрешность не превосходит 0,0001, а из записи второго числа явствует, что его абсолютная погрешность не больше чем 10^-6. В записи a^*=0,390*10⁵ и a^*= 39000 числа  a^* не равны.

Правило. За абсолютную погрешность приближенного числа с известными верными значащими цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.

Часто употребляют запись вида: , означающую, что неизвестная величина a удовлетворяет неравенством a^*-.

При этом величина a^* выписывается с одной или двумя значащими цифрами, а младший разряд в a^* соответствует младшему разряду в (a^*). Например: a=2,730±0,017.

Число, для которого указывают допустимое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда, как и последняя значащая цифра отклонения.

Пример 3.

а)  Правильно:  17,0  +  0,2.   Неправильно: 17  +  0,2  или  17,00  +  0,2.

б)  Правильно:  12,13  +  0,17.    Неправильно:  12,13  +  0,2.

в)  Правильно: 46,40  +  0,15.  Неправильно: 46,4  +  0,15  или 46,402 +  0,15.

При вычислениях часто возникает необходимость округления чисел, т.е. представления их с меньшим числом разрядов.

Правило округления чисел: Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший разряд добавляется единица. Это простое правило применяется и в ЭВМ.

При промежуточных вычислениях целесообразно, чтобы используемые числа содержали на одну значащую цифру больше, чем будет в окончательном результате. Это позволяет уменьшить погрешность от округления.

Пример 4. Округлить соответственно с двумя, тремя, четырьмя, знаками после запятой следующие числа: 3,14159, -0,0025, 84,009974.

Ответ: 3,14, -0,003, 84,0100.

Пример 5. Взвесить деталь, масса которой равна 54,12705г., на весах с ценой деления шкалы 0,1г., получили приближенное значение массы 54,1. Найти абсолютную и относительную погрешности.

а=54,12705

а^*=54,1

(а^*)=|54,12705-54,1|=0,02705

(а^*)=*100%=0,05%

(Составить программу)

program pogr;

uses crt;

var a, a1, abspogr, otnpogr:real;

begin a:=54.12705;

a1:=54.1;

abspogr:=abs(a-a1);

otnpogr:=abspogr/abs(a1)*100;

writeln (abspogr:1:5, otnpogr:1:5); readkey;

end.

Пример 6. Найти приближенное значение числа а с точностью до 0,01,  а=2471,05624, а^*=2471,06.

(а^*)==0,00376<0,01. Значит, а^*=2471,06 – приближенное значение числа.

3. Формулы приближенных вычислений

1. 
2. , при х₀0, где =f’(x₀)
3. (1+x)^k1+kx, где k – целое число
4. (x+x)^kx^л+kx^k-1x
5. f(x)  f(x₀)+ f’(x₀) x

Примеры:

1.      a= а*=1+0,03=1

2.   a= а*=6+1=6

3.      a=1,003100 а*=1+100*0,003=1,3

4.      a=2,998200 а*=3200+200*3199(-0,02)=3200*