Мёбиус Август Фердинанд

Биография

А. Мёбиус родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда Августу было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. Сначала  учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии.

В 23 года Август Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Карала Фридриха Гаусса по астрономии. Затем он слушал курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знание по обеим наукам.

В 25 лет Мёбиус работал над докторской диссертацией и  успешно получил докторское звание.

В 26 лет 1816 года Август Мёбиус работал сначала астрономом-наблюдателем, затем в 58 лет становится  директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории.

У него родились два сына и дочь.

Август Мёбиус скончался  в возрасте 78 лет в Лейпциге.

Википедия — свободная энциклопедия

Лист Мёбиуса, лента Мёбиуса  - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.

(Википедия)

ТОПОЛОГИЯ

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание, при которых не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний. Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры.

Энциклопедия «Кругосвет»". 

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади, ни положение в пространстве.

Эксперименты

Лист Мебиуса

Наталия Юрьевна Иванова

1.

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом

Мёбиус Август Фердинанд

Научная деятельность Августа Мёбиуса

Мёбиус (Möbius) Август Фердинанд (17.11.1790, Шульпфорта, — 26.9.1868, Лейпциг), немецкий геометр. Профессор Лейпцигского университета (с 1816). М. впервые ввёл в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Установил (1858) существование односторонних поверхностей (см. Мёбиуса лист).

Большая Советская энциклопедия

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус – в 1862г.

 В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

В 1858 г. Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Мёбиуса лист

* поверхность, получающаяся при склеивании двух противоположных сторон AB и А‘В’ прямоугольника ABB’ A’ (см. рис. 1, а) так. что точки А и В совмещаются соответственно с точками B’ и A’ (рис. 1, б).

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Получим такое перекрученное кольцо.

*Лист Мёбиуса – односторонняя поверхность, представляющая cобой перекрученное кольцо.
Если взять прямоугольную бумажную ленту и склеить ее
концы, предварительно повернув один из них на 180°, то получим ленту или лист Мёбиуса.

Энциклопедия «Кругосвет»

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно.

ТОПОЛОГИЯ

В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология — один из новейших разделов математики.

А что же в топологии интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности». Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму. А то, что при этом прямые линии, например,стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Тополог всегда готов внять подобному призыву – во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества.

 «Большая советская энциклопедия»

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

Эксперименты

Лист Мебиуса

 Наталия Юрьевна Иванова

2.
В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

МЕБИУС Август Фердинанд

Открытия, достижения, заслуги

МЕБИУС (Mobius) Август Фердинанд (1790-1868) - немецкий математик. Труды по геометрии. Установил существование односторонних поверхностей (лист Мебиуса). Большой Энциклопедический словарь

В 1858 году Август установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса. В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества первоклассных работ по геометрии, особенно проективной геометрии, анализу и теории чисел. установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем.

В теории чисел именем Мёбиуса названы функция и формула обращения.

В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях.

Математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире.

Статья о знаменитой ленте Мёбиуса была опубликована посмертно.

В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента высотой более чем в два метра, закрученная на полвитка.

В 1967 году в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

Ленту Мебиуса считают символом современной математики и  изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического  факультета Московского университета.

Мёбиус дал толчок новым обширным математическим исследованиям.

ТОПОЛОГИЯ

Топология

(от греч. tоpos — место и Логия (от греч. lógos — слово, учение), часть сложных слов, означающая: учение, знание, наука— часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности.

Топология изучает не только односторонние поверхности. К топологи­ческим задачам относятся задачи на вычерчивание фигур одним рос­черком. Сеть таких кривых называют графами ( от греческого слова графо - пишу ), головоломки со шнурами и бечёвками. Свойства топологии не исчезают у поверхности, если ее гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать.
Свойства геометрических объектов, которые не меняются при таких преобразованиях, изучает математическая наука – топология.

Любопытно, что это название дал ей Иоганн Листинг.

Эксперименты

Лист Мебиуса

Наталия Юрьевна Иванова

3.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары! 

«Ах, эта удивительная поверхность»   СЛАЙД 1

Девиз урока: “Просто, как все гениально. Гениально, как все простое”.

                                 Цели: ознакомление с листом  Мебиуса как объектом топологии.

Задачи:

 -Показать, что лист Мебиуса-объект топологии, доказать, что лист - объект топологии;

-Сформулировать  свойства листа Мебиуса;

-Рассмотреть применение листа Мебиуса на практике;

                                 Дидактические:

-развивать у учащихся самостоятельную познавательную деятельность;

-развивать навыки самостоятельной работы с информацией и умения по поиску нужной информации;

-формировать навыки работы в группе;

-прививать навыки самостоятельного поиска новых закономерностей;

-формировать научно-исследовательские навыки;

-расширять кругозор в познании окружающего мира;

-формировать мировоззренческие взгляды учащихся;

-осуществлять межпредметные связи.

                                 Методические:

-учащиеся будут знать понятие топологии, как раздел математики, и объект ее изучения;

-учащиеся будут знать: кто такой Мебиус, что такое «лента Мебиуса», как ее можно сделать самому, какими свойствами она обладает;

-учащиеся будут уметь: делать из полоски бумаги ленту Мебиуса и демонстрировать ее простейшие свойства и опыты с ней.

                                 Компетентности:

-формировать компетентности в сфере самостоятельной деятельности,

основанные на усвоении способов приобретения знаний из различных источников информации и

в сфере культурно - досуговой деятельности.

Проблемные вопросы:

-Мебиус-это кто или что?

-Как получить лист Мебиуса? Какими свойствами он обладает?

-Кому и почему интересен лист Мебиуса?

Ключевые слова:

Лист,  лента,  Август Мебиус, поверхность, плоскость, топология, сторона, край, Карл Гаусс, Иоганн Листинг, опыт, эксперимент.

Ход урока

1.Организационный момент. Постановка цели.

Сегодня у нас необычный урок, надеюсь, что он будет полон удивлений, восхищений и открытий. Пусть ваши группы будут мини-лабораториями по проведению этих открытий. Я предлагаю вам выбрать название каждой лаборатории. (Экспериментаторы, испытатели, исследователи, первооткрыватели…)

А поможет  сделать наш урок увлекательным МЕБИУС.

Вопрос: Мебиус- это кто или что? (ответы)

2.Работа со справочной информацией по группам:    СЛАЙД 2 (портрет)

1)биография

2)научная деятельность СЛАЙД 3 (портреты Гаусса и Листинга)

3)достижения, заслуги.

Выступления учащихся.

3.Вводная беседа.

Давайте  мы попробуем совершить маленькое  путешествие  в удивительное открытие Мебиуса - познакомимся с его знаменитой лентой и попытаемся определить ее некоторые свойства, поучимся в обычном находить неожиданное и даже таинственное.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии?  Так вот пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Давайте поучимся делать из полоски бумаги ленту Мебиуса. Слайд 4 (рис. Ленты)

4.Практическая работа по склеиванию ЛИСТА.

Берем  2 полоски  разлинованной бумаги    и склеиваем.  Получилось  кольцо.

А вот теперь попытаемся познакомиться со свойствами этого листа.

Все  результаты экспериментов будем записывать в таблицу – на доске и в своих информационных листах. (см. приложение)

4.Эксперименты.

ОПЫТ 1.

Берем полоску прямоугольной формы и склеиваем кольцо.

 Простое кольцо - что получим, если разрежем полоску посередине? (предполагаемые ответы)

 (2 кольца той же длины, но вдвое уже). Запись результата.

ОПЫТ 2.

А что получим из ленты Мебиуса? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)

Показ на застежке молнии. (1 кольцо, вдвое длиннее и уже).

ОПЫТ 3.

Отметьте точку на листе, фломастером или карандашом проведите линию посередине листа.

Что получили?

Так сколько же сторон у такого листа? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)

 До Мебиуса считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны, а оказалось, что существуют объекты с 1 стороной! У   ленты, из  которой  сделан   лист  Мёбиуса,  имеются  две  стороны.  А   у  него  самого,  оказывается  только  одна  сторона! 

5. Выявление свойств листа.

Попробуем  закрасить  лист  Мёбиуса-  кусок  за  куском,  не  переходя  через  край  ленты.  И  что  же? Вы  закрасите  весь  лист Мёбиуса!

  «  Если   кто- нибудь  вздумает  раскрасить  «только  одну » строну  поверхности  мёбиусовой ленты,  пусть  лучше  сразу  погрузит  ее  в  ведро  с  краской»,- пишут  Рихард  Курант  и Герберт  Роббинс  в  превосходной  книге  « Что  такое  математика».

ОПЫТ 4. Солдатик  - перевертыш.

   Я  вырезала  бумажного  солдатика  и  отправила  его  вдоль  пунктира,  идущего  посередине  листа  Мёбиуса.  И  вот  он  вернулся к  месту  старта.  Но  в  каком  виде! В  перевернутом!  А   чтобы  он  вернулся  к  старту  в нормальном  положении,  ему    нужно  совершить  ещё  одно « круголистное »    путешествие.

 А сколько краев у такого листа? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)

А если настроить вдоль  такой улицы домов и пронумеровать их слева четные, справа нечетные, то, что увидим в результате такого движения? (продолжая движение, увидим слева четные, справа нечетные).

Что произошло? Изменились понятия левое - правое или четное  -нечетное!

Вывод: свойство - односторонность. Лист ограничен всего лишь одной замкнутой линией.

Физики, кстати, утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника.

Вывод: лист имеет свойство – неориентированность.

ОПЫТ 5.

Интереснее другое свойство – связность. Если квадрат разрезать  от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части.

А сколько нужно сделать разрезов, чтобы располовинить  наше кольцо? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)

Нужно уже два разреза.

 И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей.

 Поэтому любой ученый скажет вам, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – друсвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а наш лист Мёбиуса?

Вывод: Конечно двусвязен,

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мебиуса.
6. Изучение листа как объекта топологии.

     В 1865 году, семидесятипятилетний Мебиус впервые описал свойства односторонней поверхности.

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием «топология». Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

  А что же такое топология?

Работа со справочной информацией по группам. Продолжите : Топология – это…

Выступления учащихся.

СЛАЙД 6 (тополог.тела)

С  точки зрения  топологии  баранка и кружка одно и то  же. Сжимая  и  растягивая  кусок  резины,  можно  перейти  от  одного   из  этих  тел  ко  второму.  А  вот  баранка  и  шар -  разные  объекты:  чтобы  сделать  отверстие,  надо  разорвать  резину.

7.Эксперименты. Выводы.

Давайте попробуем еще поэкспериментировать с такой лентой!

ОПЫТ 6. по группам.

А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты. Если разрезать ленту на расстояние 1/3, 1/4,1/5 ее ширины от края, то получится …

(предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы).

Вывод: (два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое).

Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма “затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

ОПЫТ 7.

Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)

Такая поверхность будет уже двусторонней. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой.

Учитель сам демонстрирует опыт. Комментирует свои действия.

Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Возьмем  ленту,  разделим  каждую  ее  сторону  на  три  одинаковые  полоски  и  склеим,  перекрутив  один  раз  лист  Мёбиуса. Будем резать  по  пунктирной   линии.  Если  бы  лента  не  была  перекручена,  то  сначала  мы  бы  отрезали одно  кольцо,  а  потом еще  два  остальных.  Все  три  кольца,  каждое  той  же  длины,  что  и  первоначальное,  но  втрое  меньше  ширины. Но  у  нас  лист  Мёбиуса. И,  «не  отрывая»  ножниц  от  бумаги,  разрежем  по  всем  пунктирным  линиям  сразу  и  получим  два  сцепленных  кольца.  Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе-  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного.

Анализ данных заполненной таблицы. К каждому опыту в таблице прикрепляется  полученная модель.

8.Рассмортим примеры более сложных экспериментов с лентой Мебиуса. СЛАЙД 8.

9. Применение листа Мебиуса: комментирование материалов  СЛАЙДОВ 9,10.

Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям (очень полезным). Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.

 На уроке в 6 классе вы изучали рациональные числа и выясняли , что их бесконечно много. Тогда мы заговорили о символе бесконечности в математике. Всем стало интересно откуда взялся этот символ , интересовала история его появления и что самое интересное какая же геометрическая фигура может ему соответствовать!

Вот теперь мы можем  смело сказать, что символом бесконечности служит лист Мебиуса, что это одновременно простая и загадочная фигура!

Свойства листа Мебиуса не смогли оставить равнодушными знаменитого художника М. Эшера. Он посвятил ему серию картин (демонстрация репродукций художника).
Также свойства листа Мебиуса используют в матричном принтере в картридже - красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности (демонстрация картриджа).     Проект «Мёбиусиана» посвящен исследованию свойств листа Мёбиуса.                                                                                                                                                     В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше  потому,  что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах.

10.ИТОГ УРОКА.

РЕФЛЕКСИЯ. Какими бы вы пословицами оценили свой труд и труд членов своей группы? СЛАЙД 11.

Какие открытия вы сделали для себя  по теме нашего урока? СЛАЙД 12.

Прочтение учениками  стихов, посвященных Мебиусу. (СМ. на информационных карточках  групп).

 – Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитыми топологами и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.

Награждение всех учащихся медалями с портретом Мебиуса за стремление к познанию, смелость, усердие и трудолюбие.                              

Домашние задание. Некоторые из вас уже  задумывались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить. Проведите опыт самостоятельно:

1.       Взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани.

2.      Повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов.

3.      Сшить оба конца.

4.      Теперь возьмите ножницы и аккуратно разрежьте полоску посередине. Посмотрите, что получается.                                                                                                                                       

Интернет- ресурсы

•         http://websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html

•         http://canegor.urc.ac.ru/training/2/vozp.htm

•         http://host.km.ru/sashka/ho7/lenta.htm

•         http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm.htm

•         http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

•         http://www.univer.omsk.ru/omsk/Edu/Math/mmebius.htm

•         http://yut2000.nm.ru/chap9001.htm

•         http://sapr.mgsu.ru/biblio/ex-syst/P/Index11.htm

•         http://n-t.ru/ri/sh/pn01.htm

•         http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/007/117/117819.htm

•         http://www.krugosvet.ru/articles/57/1005790/1005790a1.htm

•         http://www.diptih.com.ua/K_exp/kex13.html

•         http://beluch.boom.ru/topo2.htm

•         http://schools.keldysh.ru/sch1905/4

•         http://abursh.sytes.net/rusart/sculpture/etkalo/defaultr.htm

•         http://www.chinara.ru/ex_5.htm

http://www.sola.narod.ru/top.htm