Конспект урока по математике для 8 класса «Пифагорейская школа»

Урок по геометрии «Пифагорейская школа»

Составила и провела учитель математики Спицына Т.Д.

Форма проведения урока: деловая игра

 Оборудование: плакаты, портрет  Пифагора, ПК, мультимедийное оборудование.

Стена представляет двор знатного богатого гражданина Древней Греции. Видны здания с колоннами. Слева висят красочно оформленные плакаты с карикатурами к теореме Пифагора, справа - плакат «Пифагорейская школа».В центре сиены над «зданием с колоннами» - экран, справа от него портрет Пифагора.

Выступают геометры всех времен и стран, облаченные в костюмы своей эпохи. Выход мудрецов сопровождается звуками музыки.

1. Представление ученых

Древнеегипетский ученый. Мы, египтяне, а одновременно и вавилоняне, - основатели науки, которая теперь называется геометрией. Геометрия возникла при измерении земли, которое было необходимо в древности из-за разлива рек - Нила, Тигра и Евфрата. Строя пирамиды, воздвигая храмы, усыпальницы и дворцы с куполообразными архитектурными украшениями, мы должны были точено вычислять площади прямоугольников, треугольников, многоугольников. Нам удалось вычислить отношение длины окружности к длине диаметра.

Китайский ученый. Мы, китайцы, изложили свои математические познания в девяти книгах, которые были написаны приблизительно в начале нашей эры; 2000 лет тому назад мы уже знали отрицательные числа. Наша геометрия развивалась в направлении измерения площадей треугольников, круга и его частей. Мы умели вычислять объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, объем усеченного конуса, знали практически, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины большей стороны равен сумме квадратов длин меньших сторон.

Фалес. О, мудрая братия! Я объездил Вавилон и Египет. Египетская и вавилонская геометрия давно «стоят зданиями мертвыми». Мало все познать - доказать надо! Посмотрим, что потомки наши сделали. Как украсили они вечное здание математики?

Евклид. Главная моя работа - «Начала». В ней я подвел итог предшествующему развитию греческой математики, возвел фундамент для ее дальнейшего развития. Дал основы элементарной стереометрии.

Фалес. О, Пифагор, скажи же, что ты оставил человечеству?

Пифагор. Мною была основана пифагорейская школа, где мы решали различные проблемы. Еще до меня было известно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Я завершил доказательство истинности этого предложения.

(Геометры древности раскланиваются и под звуки музыки уходят со сцены.)

Учитель: Площадь  квадрата ,  построенного  на  гипотенузе  прямоугольного  треугольника ,  равна  сумме  площадей  квадратов ,  построенных  на  его  катетах …

Эта  одна  из  самых  известных   геометрических  теорем  древности ,  называемая  теоремой  Пифагора  .  Она  была  известна  задолго  до  него . В  вавилонских  текстах  эта  теорема  встречается  за  1200  лет  до  Пифагора . Именно  ему  первому  удалось  доказать  эту  теорему  опираясь  не  на  рисунок,  а  на  рассуждения .

         Почему  это  утверждение  очень  важно ?

 В  древности  ещё  не  знали  её  доказательства , а  соотношение  между  гипотенузой  и  катетами  было  установлено  опытным  путём  на  основе  измерений .  Это  позволило  египтянам  строить  прямые  углы  ( при  строительстве  пирамид  и  разметке  полей ),  а  треугольник  со  сторонами  3 ,4 ,5  называют  египетским .  С    помощью  этого  утверждения   можно  вычислять  длины  наклонных  линий .  Чтобы  найти  расстояние  от  вершины  шеста  до  конца  его  тени ,  не  надо  натягивать  верёвку  (  так  делали  египтяне ) .  Достаточно  измерить  длину  шеста  и  длину  тени .  Так  известен  исторический  факт  о  том ,  что  Фалес  посетил  Египет  и  поразил  жрецов  тем ,  что  измерил  высоту  пирамиды  по  её  тени .

    Теорема  Пифагора  была  первым  утверждением ,  связавшим  длины  сторон  треугольников .  Потом  узнали ,  как  находить  длины  сторон  и  углы  остроугольных 

и  тупоугольных  треугольников .  Возникла  целая  наука  тригонометрия  ( « тригон » − по-гречески  означает  « треугольник » ). С  её  помощью  можно  было ,  измерив  одну  сторону  и  два  угла  треугольника ,  найти  длины  всех  его  сторон . Эта  наука  нашла  применение  в  землемерии .  Но  ещё  ранее  с  её  помощью  научились  измерять  воображаемые  треугольники  на  небе ,  вершинами  которых  были  звёзды .  Сейчас  тригонометрию  применяют  даже  для  измерения  расстояния  между  космическими  кораблями .

Сколько же существует доказательств теоремы Пифагора?

2.             История доказательства теоремы Пифагора

Китайский ученый. Дело  в  том ,  что  в  213  г.  до  н.э.  китайский  император 

Ши  Хуан – ди ,   стремясь  ликвидировать  прежние  традиции ,  приказал  сжечь  все  древние  книги .  Во  II в.  до н.э.  в  Китае  была  изобретена  бумага  и  одновременно  начинается  воссоздание  древних  книг .      Так  возникла  « Математика  в  девяти  книгах » −  главное  из  сохранившихся  математико-астрономических  сочинений  в  книге  «Математики»  помещён  чертёж  ( рис. 2а ) ,  доказывающий   теорему  Пифагора .

                                                                                                   рис. 2б

  рис. 2в                                                    рис. 2г

Ключ  к  этому  доказательству  подобрать  нетрудно .

        В  самом  деле,  на  древнекитайском  чертеже  4  равных  прямоугольных  треугольника  с  катетами  а  ,  b   и   гипотенузой  с   уложены  так ,  что  их 

внешний  контур  образует  квадрат  со  стороной  а + b ,  а  внутренний  − квадрат  со  стороной  с ,  построенный  на  гипотенузе . ( рис. 2б ) .    

       Если  квадрат  со  стороной  с  вырезать  и  оставшиеся  4  затушеванных  треугольника  уложить  в  2  прямоугольника  (рис. 2в ) ,  то  ясно ,  что  образовавшаяся  пустота , с  одной  стороны  равна  с² ,  а  с  другой −   а² +  b² ,  

т. е.   с ² = а² +  b² . 

Теорема  доказана .

Фалес. А я предложу Вам свое доказательство.

На  гипотенузе  и  катетах  прямоугольного  треугольника  АВС   строятся  соответствующие  квадраты  ( рис. 4 )  и  доказывается ,  что  прямоугольник  BJLD   равновелик  квадрату  ABFH , а  прямоугольник  JCEL   равновелик  квадрату   AGKC .  Тогда  сумма  квадратов  на  катетах  будет  равна  квадрату  на  гипотенузе .          

              В  самом  деле ,  заштрихованные  на  рисунке  Δ ABD  =  ΔBFC   (  по  двум  сторонам  и  углу  между  ними )   FB = AB  ,  BC = BD  ,   FBC = d + ABC = ABD .

Но  S_ABD = ½ S_BJLD  ,  т. к.  у   Δ ABD   и  прямоугольника  BJLD  общее  основание  BD                               и  общая  высота  LD .

Аналогично :  S_FBC = ½ S_ABFH  ,  т. к.  у   Δ FBC   и  прямоугольника  ABFH  общее  основание  BF  и  общая  высота  AB . Отсюда ,  учитывая ,  что  S_ABD = S_FBC , имеем   S_BJLD = S_ABFH  .  

Аналогично  ,  используя  равенство  треугольников  BCK   и  ACE  ,  доказывается ,                      что   S_JCEL = S_ACKG  . Итак ,  S_ABFH + S_ACKG = S_BJLD  + S_JCEL  = S_BCED .   

Что  требовалось  доказать .

Ученик1  Пифагора.  Предлагаю вам, о мудрейшие учителя и любознательные ученики самое простейшее доказательство. «Квадрат,  построенный  на  гипотенузе  прямоугольного  треугольника ,  равновелик  сумме  квадратов ,  построенных  на  его  катетах ».

 рис.1

Простейшее  доказательство  теоремы  получается  в  простейшем  случае  равнобедренного  прямоугольного  треугольника .  Вероятно ,  с  него  и  начиналась  теорема .  В  самом  деле ,  достаточно  просто  посмотреть  на  мозаику 

равнобедренных  прямоугольных  треугольников  ( рис.1 ) ,  чтобы  убедиться  в  справедливости  теоремы.

Например :  для  Δ АВС  :  квадрат,  построенный  на  гипотенузе  АС ,  содержит  4  исходных  треугольника ,  а  квадраты ,  построенные  на  катетах ,  −  по  два . 

Теорема  доказана .

Ученик2  Пифагора.  Предлагаю Вам еще одно оригинальное доказательство теоремы Пифагора, предложенное Гофманом.

Здесь    треугольник  АВС  с  прямым  углом  С. Построим  отрезок   BF  CB   и    BF = CB  ,                                  BЕ  АB     и    BЕ = АB ,   AD  AC    и    AD =  AC .

Точки  F, C , D  принадлежат  одной  прямой. Четырёхугольники    ADFВ  и   АСВЕ  −  равновелики ,  т.к.   Δ АBF = Δ ЕСB .Треугольники    ADF  и  АСЕ  −  равновелики   .

Отнимем  от  обоих  равновеликих  четырёхугольников  общий  для  них  треугольник   АВС ,  получим :       ,  отсюда :  .   с ² = а² +  b² . Что  требовалось  доказать .

Учитель. Существуют и алгебраические доказательства, основанных на признаках равенства и подобия треугольников.

     Теорема  Пифагора,  а  также  теорема,  обратная  к  ней, широко  используются  при  доказательстве  других  теорем  и  решении  задач. Поэтому на следующем этапе мы будем решать задачи.

3.              Решение задач

Три команды по пять человек, один из них - старший. Каждая команда получает карточку с тремя задачами, которые нужно решить за 20-25 мин. «Лучший пифагореец» каждой команды готовит защиту.Кроме того, надо составить карточки с тремя задачами.

КАРТОЧКА 1

1. Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

2. Между двумя площадками лестничной клетки требуется уложить на металлических балках бетонные ступени. Под каким углом к горизонту следует закрепить балки, если подъем ступени равен 15,5 см, а ее ширина 32,5 см?

3. Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого на 3 см, а отношение гипотенузы к большему катету равно 5 : 4. Найдите стороны треугольника.

КАРТОЧКА 2

1. В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда?

2. Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите: а) длину лестницы; б) угол ее наклона; в) глубину станции по вертикали.

3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1:8. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

КАРТОЧКА 3

l. Haд озером тихим,

с полфута размером,

высился лотоса цветок.

Он рос одиноко.

И ветер порывом отнес его в сторону.

Нет более цветка над водой.

 Нашел же рыбак его ранней весной.

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос: «Как озера вода здесь глубока?»

2. Параллельно прямой дороге на расстоянии 500 м от нее расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полета пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

3. Диагональ прямоугольника равна 52 мм, а стороны относятся как 5 : 12. Найдите его периметр.

Учитель. Пришло время защите своих решений. Команды готовы? Приступаем.

4. Защита работ

«Ученики-пифагорейцы» рассказывают решение всех задач, сопровождая рассказ записью на доске. В случае неправильного ответа рассказ прерывается, а жюри ставит соответствующую оценку. После защиты заданий группы обмениваются вопросами, которые они ставили. Старший первой группы задает вопрос второй группе. Вторая группа, ответив, задает вопрос первой и т. д. Все ответы учитываются членами жюри.

5. Сообщение о жизни и деятельности Пифагора

Учитель. Пока члены жюри подводят итоги  и оценивают ответы учеников-пифагорейцев, вам предлагается  рассказ «Пароль Пифагора».

Ученик. Темная южная ночь. Разрозненные путники осторожно пробираются по лесу к одной известной им пещере.

-  Стой! Кто идет?

-  Математик.

-   Шесть.

-   Двадцать восемь.

-   Проходи!

В пещере, освещенной тусклым масляным светильником, старик-наставник преподает самым доверенным своим ученикам полный курс мировой мудрости:

- Чтобы впитывать знания, нужно отрешиться от сиюминутных забот, отвлечься от материального мира, сосредоточиться на идеальных образах. Следует мыслью преодолеть границу между телесным и бестелесным...

Об учителе ходят слухи: якобы Мнесарх - его отец -лишь формальный родитель, на самом деле его настоящим отцом является бог Аполлон. Учитель - старик только по возрасту: на самом деле он крепок телом, не болеет, на его лице нет морщин. Это Пифагор Самосский, легендарный ученый, который был знаменит еще при жизни, после смерти ему ставили памятники и даже чеканили монету с его изображением - случай уникальный в истории.

Пифагор проявил себя в столь разных областях науки, что историк философии Диоген Лаэрций решительно утверждает: «Пифагоров было четыре или даже пять — философ, скульптор, кулачный боец и т. д.»

Отец Пифагора — Мнесарх, был сирийцем. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства.

Матерью Пифагора была Пифаида, славившаяся исключительной красотой.

Мальчик рано проявил способности к наукам, и отец отвез его в Сирию, в Тир, чтобы там его учили халдейские мудрецы. Он узнает о таинствах египетских жрецов. Загоревшись желанием войти в их круг и стать посвященным, Пифагор начинает готовиться к путешествию в Египет. Год он проводит в Финикии, в школе жрецов. Затем прибывает в Египет, в Гелиополис. Но местные жрецы были неприветливы.

Проявив настойчивость и выдержав исключительно трудные вступительные испытания, Пифагор добивается своего - его принимают в касту. 21 год пробыл он в Египте, в совершенстве изучил все виды египетского письма, прочитал множество папирусов. Факты, известные египтянам в математике, наталкивают его на собственные математические открытия. Пифагор возвращается в Самос и пытается найти себе учеников, но это ему не удается. Разочарованный мудрец переезжает в Кротон. Он обращается с речью к старейшинам и знатнейшим жителям, рассказывает об основах своего учения. Те радуются: их молодежь обретает хорошего педагога. Послушать блестящего оратора приходят не только мужчины и юноши, но и женщины, и дети. По вечерам Пифагор устраивал популярные беседы, собирающие до шестисот слушателей. Участников таких вечерних лекций называли акусматиками, а близких, наиболее доверенных учеников - математиками. С ними учитель говорил наедине, во время прогулок или собирал их за городом, в пещере.

Ученица. Мудрец говорил: «В мире есть три вещи, к которым нужно стремиться. Это, во-первых, прекрасное и славное, во-вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслаждение. Однако наслаждение бывает двоякого рода: одно, утоляющее роскошеством наше чревоугодие, гибельно; другое - праведное и необходимое для жизни».

Центральное место в философии воспитанников и приверженцев Пифагора занимали числа:

«Где нет числа и меры — там хаос и химеры», «Самое мудрое — это число», «Числа управляют миром». Поэтому многие считают Пифагора отцом нумерации — сложной, окутанной тайной науки, описывающей с помощью чисел весь мир, происходящие в нем события, раскрывающей прошлое и будущее, предсказывающей судьбы людей. Для учеников Пифагора «4» было священным числом. Символом дружбы у них были числа 220 и 284. Числа 6 и 28 считались совершенными, они и были паролем пифагорейцев. Другим паролем была пентаграмма — правильная пятиконечная звезда. Одним из великих открытий Пифагора была теорема о том, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Пифагор и его ученики широко пропагандировали свои идеи, но у них было строгое правило - не разглашать открытия, подрывающего авторитет учения. Гиспас - один из учеников - за недостойное поведение был исключен из школы. Обиженный, Гиспас сколотил свою партию и начал политическую борьбу против своих бывших товарищей. Школа Пифагора в Кротоне была разрушена, многие из его учеников были убиты, да и сам он едва не погиб.

Ученик. Утверждают, что умер великий ученый в древнегреческом городе Метапонте в возрасте 90 лет. Бытует несколько версий смерти Пифагора. По одной из них, он скончался в храме после 40-дневного голодания. Подругой, был убитзлоумышленниками в окрестностях города. Вот та история:

Сонную тишину ночного Метапонта прорезал острый крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло.

Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него - мальчика лет 12 с лицом, перекошенным от ужаса.

-   Кто это? - спросил начальник караула у мальчика.

-   Это Пифагор, - ответил тот.

-    Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.

-  Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.

-    Сколько их было?

-    Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него.

Начальник караула стал на колени и приложил ухо к груди старца.

-  Конец, — сказал начальник.

Согласие третьей, его дом подожгли, и он сгорел вместе с учениками. И наконец, четвертая версия утверждает: когда начался пожар, 40 верных учеников легли на огонь живым мостом, и Пифагор прошел сквозь пламя по их телам.

Однако и последний вариант заканчивается печально: Пифагор спасся, но, лишившись верных товарищей, которые пожертвовали ради него жизнью, умер от тоски...

Учитель. Вот  так и сложилась жизнь великого математика, философа. А значение  теоремы  Пифагора  очень  велико , и  примеры убедительно  свидетельствуют  об  огромном  интересе  ,  проявляемом  по  отношению  к  ней:  .

Строительство:

        Окна  в  зданиях  готического  и  романтического  стиля  ( верхние  части  окон  расчленяются  каменными  ребрами ,  которые  не  только  играют  роль  орнамента ,  но  и  способствуют  прочности  окон ) .

        Крыша  двускатная   при  строительстве  домов .

        Молниеотвод  (  защищает  от  молнии  все  предметы ,  расстояние  до  которых  от  его  основания  не  превышает  его  удвоенной  высоты ) .

Астрономия:

        Вычисление  пути  светового  луча  (  вычисление  траектории  движения  космических  кораблей ) .

Мобильная  связь :

        В  настоящее  время  на  рынке  мобильной  связи  идёт  большая  конкуренция  среди  операторов . Чем  надёжнее  связь ,  тем  больше  зона  покрытия ,  тем  больше  потребителей  у  оператора .  При  строительстве  вышки  ( антенны )  часто  приходится  решать  задачу :  какую  наибольшую  высоту  должна  иметь  антенна ,  чтобы  передачу  можно  было  принимать  в  определённом  радиусе  .

И,  если  мы  хотим  дать  знать  внеземным  цивилизациям  о  существовании  разумной  жизни  на  Земле ,  то  следует  посылать  в  космос  изображение  Пифагоровой  фигуры .  Думаю ,  что  если  эту  информацию  смогут  принять  мыслящие  существа ,  то  они  без  сложной  дешифровки  сигнала  поймут ,  что  на  Земле  существует  достаточно  развитая  цивилизация.   .

6. Подведение итогов урока

Жюри объявляет оценки.

Учитель и ученица. В конце нашего урока хотелось бы процетировать некоторые афоризмы и высказывания Пифагора.

o   Сделай начертание жизни твоей и следуй оному неизменно до последней минуты твоего бытия

o   Избери себе друга; ты не можешь быть счастлив один: счастье есть дело двоих

o   Истинное отечество там, где есть благие нравы

o   Не почитай знания за одно с мудростью

o   Если тебя спросят: в чем состоит благополучие?   ответствуй: быть в согласии с самим собой

o   Совесть твоя да будет единственным твоим божеством

o   Начало есть половина всего

Урок завершает песня на стихи немецкого писателя-романиста А. Шамиссо «Пребудет вечной истина...», которую исполняет группа учащихся в сопровождении гитары.

Литература

1.      Петрова Ф.Г. Математические вечера.

2.      Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII(8-9) классы / Пособие для учителей. - М., Просвещение, 1982.

3.      Бабанин В. « Код  жизни » , издательство « Сова »  Санкт – Петербург

4.      Погорелов В.П. «Геометрия, 7-11»

5.      Чем был знаменит Пифагор, кроме своей теоремы' Юный техник, № 1/1994

Приложение

Образцы карточек (составленные командами)

Карточка 1

1. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 14 см, а один острый угол равен 30°.

2.  В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 12 см. Найдите длину гипотенузы.

3.  Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна

Карточка 2

1. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 3 √2 и один острый угол равен 45°.

2. Найдите высоту равностороннего треугольника, сторона которого равна 8 см.

3.  Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите сторону ромба.

Карточка 3

1.  Найдите катеты равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

2.           Из точки А на прямую т проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС. Найдите АС, если АВ = 6 см и ВС = 8 см.

3.               Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 3 см и 9 см, а угол при основании 60°

Карточка 4

1.                       В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 34 см, отношение катетов 8 : 15. Найдите катеты.

2.                       В равнобедренном треугольнике угол равен 120°,

сумма боковых сторон равна 12Ö3. Найдите длину основания.

Карточка 5

1.                    Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника ABC, если /. С = 90°, а катеты АС и ВС равны соответственно 5 см и 12 см.

2.                    В треугольнике KPR  угол R = 90°, /L К = 30°, КР = = 10 см. Найдите катет PR.

3.                 Вставьте вместо звездочки пропущенное число или знак: >, <, =:

a) sin 70° * 1;                                                                                                                                                                                                                                             б) cos 10° = sin *;

в) sin 23° * sin 27°;                                                                                                                                        г) 1 * tg 45°.