Решение экономических задач на дифференцированные проценты. ЕГЭ: Задание №17.

 «Дифференцированные проценты»

Что такое «дифференцированные проценты»?

Выплаты долга происходит следующим образом: весь долг делится на время выплаты (количество лет или месяцев) и равными частями  выплачивается ежегодно( ежемесячно), отдельно вычисляется сумма выплаты за %--для этого оставшуюся сумму долга от предыдущего месяца ( года) умножают на оговоренный % кредита.

Например: Кредит  1000000 рублей на 10 лет под 5% годовых. Значит, каждый год выплачиваем по 1000000:10=100000 руб, отдельно вычисляем % следующим образом: первый год % платим со всей суммы кредита  1000000*0,05=5000 руб.; второй год платим % на оставшуюся сумму долга 900000*0,05=4500 рублей и так каждый год до погашения кредита

Рассмотрим  решение и оформление таких задач.

  №1.15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия возврата таковы:1-ого числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ого по 14-е  число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования на 39% больше суммы взятого кредита. Найти r %.

Решение.

Пусть сумма кредита равна А, взята на 25 месяцев под r % в месяц.

В итоге выплатим А+0,39А. Оформим выплаты долга и процентов в виде таблицы:

№	Выплата долга	Выплата процентов
1 месяц	А/25	0,01rА
2 месяц	А/25	0,01rА*24/25
3 месяц	A/25	0,01rА*23/25
…
25 месяц	A/25	0,01rА*1/25
Итого	A	0,39A

Посчитаем выплату процентов

0,01rА(1+24/25+23/25+…+1/25) = 0,39A

Значение выражения, записанного в скобках, найдём по формуле суммы арифметической прогрессии.

0,01rA*13 = 0,39A

r = 3

Ответ: 3.

 №2. 15 - ого января планируется взять кредит   на 18 месяцев. Условия его таковы:  1-ого числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ого по 14 – е число выплачивается часть долга, ее сумма одинаковая в течении всего периода кредитования. Сколько % от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?(119)

№3. 15 –ого января берем кредит на 5 месяцев. Условия его возврата таковы : 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению  с концом предыдущего месяца; в течении  месяца необходимо выплатить часть долга- эта сумма одинакова  каждый месяц. Сколько % от суммы кредита составили выплаты %?(3)

№4. Взят кредит на 9 месяцев под дифференцированные проценты. Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку на 15% больше, чем сумма взятого кредита. Найти % кредитования.(3)

№5. На 24 месяца взят кредит на сумму 2,4 млн. рублей под 2% ежемесячных дифференцированных выплат. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?(1356000)

 №6. На 24 месяца взят кредит в сумме 2,4 млн. рублей под 3% ежемесячных дифференцированных выплат.  Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?(1866000)

№7. На 15 месяцев под 1% дифференцированных отчислений взят кредит. Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей.  Какую сумму нужно вернуть банку за весь срок кредитования?

Решение:

Пусть А-кредит, n= 15 месяцев,  r=1%.

Месяцы		Выплата кредита	Выплата %
1			А*0,01
2			А*0,01*
3			А*0,01*
…
8			А*0,01*
…
15			А*0,01*

Восьмая выплата по условию равна 108.000 рублей

+  *  =  

 = 108.000

 = 1000

 А = 1500000

Ответ:1500000.

№8. В банке на 24 месяца взят кредит под дифференцированные выплаты в 1%. Известно, что за последние 12 месяцев будет выплачено 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму взяли в кредит?(3000000)

№9. В банке на 24 месяца взят кредит под дифференцированные выплаты в 1%.Известно, что за первые 12 месяцев внесено 177,75 тыс. рублей. Какая сумма взята в кредит?(300000)

№10. В банке на 15 месяцев взят кредит под дифференцированные выплаты в 3%. Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму вернут банку за весь срок?(1488000)

№11. На 24 месяца под 1% в месяц (выплаты дифференцированные) взят кредит. Известно, что за второй год необходимо внести 958,5 тыс. рублей. Какую сумму  надо внести за первый год?(1066500)

№12. На 24 месяца под 2% в месяц под дифференцированные выплаты  в банке взят кредит. Известно, что за первый год необходимо внести 2466 тыс. рублей. Какую сумму внесут за второй год кредитования?(2034000)

№13. В банке под дифференцированные выплаты взят кредит 28млн. рублей под 25% годовых. Известно, что наибольшая выплата составила 9 млн. рублей. Найти общую сумму выплат.(80,5)

№14. В банке под 1,2%  в месяц  на 24 месяца взят кредит при условии выплат дифференцированными платежами  ( выплаты кредита все одинаковые, а выплаты % по кредиту уменьшаются ежемесячно после очередного взноса. Какую сумму взяли в кредит, если выплатили 1,035млн. рублей.(900000)

№15. 15 января планируется взять кредит на 39 месяцев. Условия возврата таковы:1-ого числа долг возрастает на r %  по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ое по 14-ое число вносится часть долга ( всегда одинаковая) и т. д. Известно, что общая сумма выплат после погашения кредита  превысила взятый кредит на 20%.Найти r %.(1)

№16. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов  (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.(18)

№17. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. %(1)

№18.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок  9 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же суммы  меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей.

Решение.

Наибольший платёж - это первый платёж и он, по условию, не более 1,4 млн. рублей.

 + 4,5 * 0,01r = 0,5 + 0,045r

0,5 + 0,045r  ≤ 1,4

0,045r ≤ 0,9

r ≤ 20

Наименьший платёж – это последний и он, по условию, не менее 0,6 млн. рублей.

 + 4,5 *  * 0,01r = 0,5 + 0,005r

0,5 + 0,005r  ≥ 0,6

0,005r  ≥ 0,1

r  ≥ 20

Ответ: 20.

Краткое описание документа:

Подборка экономических задач на дифференцированные проценты из типовых экзаменационных вариантов по математике(профильный уровень). Описание решения некоторых из них позволит старшеклассникам самостоятельно освоить метод решения этих задач и закрепить свои навыки. Для удобства задачи приведены с ответами. Решать задачи на эту тему можно начать и в 10 классе.