Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла,

интегрируемость функции

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Отрезок [а, b] принято называть основанием криволинейной трапеции.

Поставим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции при условии, что f(x)³0. Для решения этой задачи разобьем отрезок [а, b] на n частей точками а= х₀< х₁< х₂< ...< х_n=n.                                                                 (1)

Обозначим длину частичного отрезка [х_к-1, х_к] через Dх_к, а Dх_к=l. Будем называть  l мелкостью разбиения Т = отрезка [а, b].

y                                                    O        a  x1     x2         xk-1x xk  b       x  Выберем на каждом частичном отрезке [хк-1, хк] (к=1, 2, ..., n) произвольную

точку xк Î [хк-1, хк]. Вычислим в этих точках значения функции f(xк) и составим сумму  s =f(xк) D хк           (2) С геометрической точки зрения сумма (2) представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки  [хк-1, хк], а длины высот

равны значениям функции f(x_к). Определим теперь площадь криволинейной трапеции как предел суммы s при стремлении l к нулю, если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка (1) на части, ни от выбора точек (x_к) на каждом частичном отрезке.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции

 S = f(x_к)Dх_к                                                                (3)

Следовательно, задача об отыскании площади криволинейной трапеции сводится к отысканию предела (3).

2. Задача о вычислении работы переменной силы.

Пусть материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью Ох. Если это движение совершается под действием постоянной силы F направленной вдоль той же прямой, то работа, совершаемая силой F по перемещению материальной точки на расстояние s, вычисляется по формуле W=F×s. Пусть теперь движение материальной точки совершается под действием переменной силы

F=f(x) направленной вдоль той же прямой, где f(x) есть непрерывная функция х – абсциссы движущейся точки. Рассмотрим работу силы F при передвижении точки от а до b.

Разобьем отрезок [а, b] точками (1) на n частей. Выберем на каждом частичном отрезке  [х_к-1, х_к] (к=1, 2, ..., n) по произвольной точке (x_к)Î[х_к-1, х_к]. Вычислим в этих точках значения функции f(x_к). Обозначим . Считая силу F постоянной на отрезке [х_к-1, х_к] и равной f(x_к), мы найдем работу, совершенную на отрезке [х_к-1, х_к], по формуле DW_k=f(x_к)Dх_к. Тогда суммарная работа на отрезке [а, b]  W_n = f(x_к)Dх_к

В силу непрерывности функции f(x) произведение f(x_к)Dх_к близко к истинной работе на отрезке  [х_к-1, х_к], если Dх_к достаточно мало. Поэтому работа силы F=f(x) при передвижении точки от а до b может быть определена равенством  W=f(x_к)Dх_к   

Таким образом, задача о вычислении работы переменной силы F=f(x) также сводится к отысканию предела (3). Рассмотренные две задачи приводят к необходимости изучения конструкции, в которой требуется находить предел суммы произведений значений функции на длины некоторых отрезков при условии, что максимальные длины отрезков стремятся к нулю.

Интегрируемость функции и определенный интеграл.

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b], а< b. Разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезов точками а = х₀< х₁< х₂< ... < х_n= b                   (4)

Длину k-го частичного отрезка  [х_к-1, х_к] (k = 1, 2, ..., n) обозначим Dх_к=х_к-х_к-1. В каждом k-том частичном отрезке выберем произвольную точку x_кÎ[х_к-1, х_к].

Определение 1. Число s = f(x_к)Dх_к                                                   (5)

называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению отрезка (1) и данному выбору точек x_к на частичных отрезках. Обозначим  и назовем мелкостью разбиения отрезка [а, b].

Определение 2. Число J называется пределом интегральных сумм  s  при l® 0, если "e  > 0 $ d > 0 "x_кÎ[х_к-1, х_к], (l < d Þ½d - J½ < e).

Принято обозначение J=f(x_к)Dх_к                                           (6)

Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [а, b], если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при l®0. Этот предел J называют определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b] и обозначают J=dx                                                       (7)

Возвращаясь к задаче  о площади криволинейной трапеции, можем сказать, что с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции f(x) представляет собой площадь криволинейно трапеции, основанием которой является отрезок [а,  b].

Аналогично, задача о работе переменной силы F=f(x) позволяет утверждать, что с точки зрения механики определенный интеграл (7) представляет собой работу, совершенную переменной силой f(x) по перемещению материальной точки от а до b.

Простым примером интегрируемой на любом конечном отрезке [а, b] функции является функция f(x) = c = const. Действительно, при любом разбиении отрезка [а, b] на части интегральная сумма для этой функции

s =с×Dх_к = сDх_к = с(b-а) и, следовательно, J = s = с(b-а)

Легко показать, что неограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) не интегрируема по Риману на этом отрезке. В самом деле, если функция f(x) не ограничена на [а, b], то она не ограничена на некотором k-ом отрезке  [х_к-1, х_к] данного разбиения (4). Поэтому слагаемое в интегральной сумме f(x_к)Dх_к, соответствующей разбиению (4), может быть сделано как угодно большим по модулю за счет выбора точки x _к . Отсюда вытекает, что интегральные суммы (5), соответствующие разбиению (4), не ограничены и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм.

Но не всякая ограниченная функция интегрируема по Риману. Соответствующим примером может служить известная функция Дирихле.

D(х) =

Для этой функции при любом разбиении отрезка [а, b] на части, выбирая точки x_к рациональными, получим s =D(x_к)Dх_к =1×Dх_к = b - а, а выбирая точки x_к иррациональными, получим  s  =D(x_к)Dх_к =0×Dх_к = 0.

Поэтому для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, и, следовательно, она не интегрируема по Риману.