Занятие спец. курса по математике "Построение фигур одним росчерком пера" (5 класс)

 Построение фигур одним росчерком пера

1. Постановка проблемной ситуации.  Начертите одним росчерком фигуры изображенные на доске.  

- какие из фигур вам удалось вычертить почти сразу, решение других пришло через время, а третьи вообще не рисуются. Почему так происходит? Давайте разберемся вместе.

Для решения задач, подобных этой, существуют признаки, по которым заранее несложно установить, можно ли данную фигуру начертить одним росчерком или нет. Если можно, то с какой точки следует начи­нать вычерчивание? Изучением этих признаков и их обоснованием занимается наука топология.

         Топология - раздел математики, изучающий та­кие свойства фигур, которые не меняются при лю­бых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.

           С точки зрения топологии, например, полноторий, круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свой­ствами и являются по сути одной и той же фигурой.

       - Начертите в тетрадке сеть кривых (показываю начерченные на другом крыле доски фигуры).

Сеть таких кривых называют графом. Условимся точки, в которых соединяются кривые, называть узлами. На первом графе, пять узлов, причем три из них четные (первый, второй и третий- в них соединяются четное число линий), а два из них нечетные. Эту фигуру можно начертить одним росчерком. Попробуйте. Условимся называть точки, в которых сходится чет­ное количество линий, четными, а точки, в которых схо­дится нечетное число линий, - нечетными. Например, у «открытого конверта» две нижние вершины являются нечетными, а остальные - четные.

      А другая фигура- домик с дверью, содержит 9 узлов, пять из которых четные, а четыре- нечетные. Вывод: Если в фигуре( на графе) больше двух нечетных узлов, то ее нельзя нарисовать одним росчерком!

 Получаем следую­щие

признаки вычерчивания фигур одним росчерком:

а)  если нечетных точек в фигуре нет, то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любого места;

б)  если в фигуре две нечетные точки (если фигура имеет нечетную точку, то она всегда имеет и вторую нечетную точку), то ее можно начертить од­ним росчерком, начав вычерчивание в одной из нечетных точек и закончив в другой;

в)  если в фигуре более двух нечетных точек, то ее нельзя вычертить одним росчерком.

Например, «открытый конверт» можно начертить непрерывной линией, т. е. не отрывая карандаша от бумаги, так как у него две нечетных вершины; начи­нать вычерчивание необходимо в одной из нечетных вершин.

3. Упражнения на закрепление         а) Вычерчивание фигур

1). Определите, какие из фигур, изображенных на рис. 2 можно начертить, не отрывая карандаш, от бумаги (и не проводя по одной линии дважды).

Ответ: а) можно, б) нельзя, в) можно, г) можно, д) можно, е) можно, ж) можно.

г)

б)

а)

                               

е)

ж)

в)

                         

	д)

 

Рис. 2

2). Нарисуйте те фигуры (см. рис. 2), которые мож­но начертить одним росчерком.

б) Решение задач

3). Только что приобретенные вами знания имеют порой любопытное применение. Великий математик Л. Эйлер в 1736 г. занимался решением такой своеоб­разной задачи:

 В Кенигсберге река, омывающая два острова, де­лится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов (рис. 3). Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?

  

Покажем это на примере одной известной задачи-задачи о кенигсбергских мостах, которая положила начало ЗАДАЧАМ НА ВЫЧЕРЧИВАНИЕ ФИГУР ОДНИМ РОСЧЕРКОМ.

  Город Кенигсберг был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Различные части города были соеденены семью мостами.9показываю ребятам на большой таблице рисунок)Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку? Долго бы спорили жители города, если бы через Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он и разрешил спор.

Учитель: И так, что вы сегодня узнали? ( ученики отвечают о каких топологических объектах они получили представление: лист Мебиуса, задачи одного росчерка).

Решение.

Составим схему к решению задачи (рис.4). Из рисунка видно, что у полученной фигуры четыре нечетные вершины, следовательно, ее нельзя построить, не пройдя по одной линии дважды, а значит, нельзя пройти по мостам так, чтобы не пройти по одному и тому же два раза.

 

Рис. 4

Возможно рассуждал так.(показываю на таблице)

      К восточному острову(рис.2) ведут три моста. Если прогулка начинается вне восточного острова, то, поскольку по каждому из трёх мостов можно пройти один раз, кончаться она должна на этом же острове.(это можно сравнить с выключением настольной лампы. Если поначалу вилка была вынута то после трех операций (вставить, вынуть и опять вставить вилку) вилка окажется в розетке и свет будет включен. К западному острову (рис.3) ведут 5 мостов, а 5 как и 3- число нечетное. Значит, поскольку прогулка начинается вне западного острова, оканчивается она на западном острове.

     Но и на южный, и на северный берег также ведут по три моста, и к ним применимо то же рассуждение. И так, на каком бы из четырех участков суши не начиналась прогулка, заканчивается она обязана на каждом из трех других участков. Но это значит, что «кенигсбергская прогулка» невозможна, так как ее нельзя закончить в нескольких местах сразу.

      План города для решения этой задачи можно изобразить графом (показываю на черченный на доске граф).На этом графе четыре узла( они соответствуют берегам C и В и островам А и Д) и семь кривых, которые обозначают мосты a, b, c, d, e, f, g. Если бы существовал искомый маршрут , то эту сеть кривых можно было бы вычертить одним росчерком. А решение задачи о мостах доказывает приведенное нами условие  « одного росчерка».

4). Решите задачу с девятью мостами, аналогичную предыдущей по условию и требованию (рис 5).

Рис. 5

                                             Решение.

 Составим схему, аналогичную предыдущей задаче (рис. 6). Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить, не отрывая карандаша от бумаги, а значит, можно пройти по мостам, не пройдя по одному и тому же два раза, начиная, например, с одного из мостов островка Е.

А

E

В

С

D

Рис.6

2). Через реку, омывающую шесть островов, переки­нуто семнадцать мостов (рис. 8). Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более одного раза?

 

Решение.

Составим схему (рис. 9). Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить одним росчерком  карандаша, а значит, можно пройти по всем мостам, побывав на каждом из них не более одного раза, начиная, например, с моста на острове В.

 

4. Домашняя работа

1). Начертить фигуры, изображенные на рис. 7, одним росчерком карандаша (там, где это возможно), предварительно оп­ределив, возможно ли это.

 

в)

б)

                                                                    

	а)

 

Рис. 7

Ответ: а) Можно; б) можно; в) можно.