18. Теорема Виета (прямая и обратная).

Теорема Виета ( прямая ). Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. если х₁ и х₂ – корни уравнения , то

Теорема Виета ( обратная ). Если числа х₁ и х₂ таковы, что , то эти числа являются корнями уравнения .

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения:

х₁² + х₂² = ( х₁ + х₂)² –2х₁х₂;

х₁³ + х₂³ = ( х₁ + х₂)( х₁² – х₁х₂  + х₂²) =( х₁ + х₂)( ( х₁ + х₂)² - 3х₁х₂) .

Пример 1. Найти значение а такое, чтобы при нём уравнение х² - 3ах + 3а – 1 = 0 имело два корня, один из которых в два раза больше другого?

Решение. По условию задачи корни х₁ и х₂ связаны равенством х₂=2х₁. По теореме Виета имеем:

    2а² = 3а – 1 ,  3а²-5а+2=0, а₁= 1, а₂ = 0,5.

Ответ: 0,5;   1.

Пример 2. Найти такое значение а, чтобы при нём уравнение х²-4ах+5а-2=0 имело два корня, один из которых в 3 раза больше другого.

Решение. По условию задачи корни х₁ и х₂ связаны равенством х₂=3х₁. По теореме Виета имеем

    3а² = 5а - 2,  3а²-5а + 2=0,  а₁ = 1, а₂ = .

Ответ: ;   1.

Пример 3. Найти такое значение а, чтобы при нём уравнение х²-5ах+3а+1=0 имело два корня, один из которых в 4 раза меньше другого.

Решение. По условию задачи корни х₁ и х₂ связаны равенством х₁=4х₂. По теореме Виета имеем

       4а² = 3а + 1,  4а² - 3а - 1=0, а₁=1, а₂=.

Ответ: ,   1.

Пример 4. Найти такое значение а, чтобы при нём уравнение х²- 6ах + 3а +2=0 имело два корня, один из которых в 5 раз меньше другого.

Ответ: ,   1.

Пример 5. Найти сумму всех корней уравнения (х² - 7х + 2)² - 13(х² - 7х) – 26 = 0.

Решение. (х² - 7х + 2)² - 13( х² - 7х) – 26 = 0, пусть х² - 7х = y, тогда (у + 2)² - 13у – 26 = 0,

у² + 4у + 4 - 13у – 26 = 0,

у² - 9у – 22 = 0, у₁ = - 2,  у₂ = 11.

Возвращаясь к переменной х, имеем:

х² - 7х = - 2   или х² - 7х = 11,

х² - 7х + 2 = 0,       х² - 7х – 11 = 0,

х₁ + х₂ = 7,          х₃ + х₄ = 7.

Находим сумму корней х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 7 + 7 = 14.

Ответ: 14.

Пример 6. При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения х² - 3ах + а² = 0 равна 1,75?

Решение. Применяя теорему Виета для заданного уравнения получаем:

По условию х₁² + х₂²=1,75.

Возводя в квадрат равенство х₁ + х₂=3а, получаем: х₁² + 2х₁х₂ + х₂² = 9а²,  

                                                                                       1,75 + 2а² = 9а²,

                                                                                        а² = 0,25, а = ± 0,5.

Ответ: а= ± 0,5.

Пример 7. Не решая уравнения х²  - 2х – 2 = 0 найдите сумму кубов его корней.

Решение. Сначала отметим, что D= 4 + 8 = 12 > 0 и корни существуют. Уравнение приведённое, и по теореме Виета для его корней х₁ и х₂ имеем:

По формуле х₁³ + х₂³ = ( х₁ + х₂)( х₁² + х₁х₂ + х₂² ).

 Из равенства х₁ + х₂ = 2 имеем х₁² + 2х₁х₂ + х₂² = 4.

Учитывая, что х₁х₂ = -2 получим х₁² + х₂² = 4 -2(-2) = 8. Поэтому х₁³+х₂³=2(8+2)=20.

Ответ: 20.

Пример 8. При каких значениях а уравнение 4х² + (7а - 1)х - 3а(1 + 5а) = 0 имеет корни разных знаков?

Решение. Сначала разделим данное уравнение на 4, чтобы получить приведённое квадратное уравнение. Получим:

По теореме Виета произведение корней ( если они существуют) равно свободному члену, т.е.

х₁х₂= . Корни х₁ и х₂ имеют разные знаки тогда, когда х₁х₂<0. А это равносильно условию <0 или а( 1+5а) >0. Последнее неравенство справедливо для а>0 или . Возвращаемся к условию существования корней уравнения . Для этого необходимо, чтобы D ≥ 0, т.е.

D=(7а-1)² + 4∙4∙3а(1 + 5а) = 289а² + 34а + 1 = (17а + 1)².

Значит, дискриминант неотрицателен при всех значениях а.

Ответ:

Пример 9. Найти все значения параметра а, при котором сумма квадратов корней квадратного уравнения х² - (2а + 1)х + а² + 2 = 0 будет наименьшей.

Решение. Итак, нужно найти все значения параметра а, при которых выражение  принимает наименьшее значение( х₁, х₂ – корни исходного уравнения).

Квадратное уравнение имеет корни, когда его дискриминант неотрицателен:

D ≥ 0, (2а + 1)² - 4(а² + 2)  ≥ 0, 4а – 7 ≥ 0,      а  ≥  .

По теореме Виета х₁ + х₂ = 2а + 1, х₁∙х₂ = а² + 2.

, то

Таким образом, сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, когда значение выражения  окажется наименьшим, т.е. при а = -1.

Но при а = -1 уравнение х²-(2а + 1)х + а² + 2 = 0 не имеет действительных корней. Это означает, что следует провести более тщательный анализ поведения функции y(a)= . Парабола, задающая эту функцию, направлена ветвями вверх и имеет вершину в точке с абсциссой а = -1. Значит, при а  функция y(а) возрастает и, следовательно, первое значение, которое ей разрешено принимать, будет минимальным. Поскольку а ≥ , «первым» значением функции y(a) оказывается то, которое достигается при а =. Следовательно, сумма корней этого уравнения принимает наименьшее значение при а =.

Ответ: а =.

Пример 10. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения . Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа  и .

Решение. По теореме Виета имеем      Для составления квадратного уравнения с заданными корнями  и  можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета, для чего необходимо найти их сумму и произведение:

 + =

==;

 ּ =

Искомое уравнение имеет вид , или .

Ответ: .

Пример 11. При каких значениях параметра а уравнение  имеет одно решение?

Решение. Областью определения уравнения является множество действительных чисел, кроме чисел 3 и –1. На указанном множестве данное уравнение равносильно уравнению , полученному умножением обеих частей на (х-3)(х+1): (х+а)(х-3)+(а-3х)(х+1)=2(х+1)(х-3). После раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и сокращения на 2 получим уравнение 2х²+х(1-а)+а-3=0. Замечая, что сумма коэффициентов в уравнении равна 0, находим х₁=1. По теореме Виета х₂=0,5(а-3).

Таким образом, при любом значении параметра а исходное уравнение имеет решение х=1. Для того, чтобы уравнение имело одно решение, необходимо и достаточно, чтобы второй полученный корень х₂ не добавлял бы новых решений. Это возможно в двух случаях: либо х₂ не входит в область определения, т.е. х₂=3 или х₂=-1, либо х₂ совпадает с х₁, т.е. х₂=1. Отсюда находим соответствующие значения параметра а: х₂=3 при а=9, х₂=-1 при а=1, х₂=1 при а=5. Итак, искомые значения параметра равны 1; 5; 9. 

Ответ: 1; 5; 9.

Задания для самостоятельного решения

Решите устно уравнения ( 1 – 5):

1. а)         б)         в)        г)

2. а)       б)       в)       

    г)

3. а)   б)      в)     

    г)

4. а)                                   б)     

    в)                             г)

5. а)               б)  

    в)             г)

Составьте квадратное уравнение с заданными корнями ( 6 – 8 ):

6. а) –7 и –2; б) 8 и –3; в)  и 2; г) –3,4 и 6.

7. а)  и ;  б)   и  ;   в)  и ;   г)  и .

8. а)  и ;   б)  и ;   в)  и ;   г)  и  

9. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен:  а)    б)    в)    г)

10.              Найдите пары чисел (m;n), удовлетворяющие условиям:

а) m+n=4 и mn=4;    б) m+n= -5 и mn= -18;       в) m+n=2 и mn= -48;   г) m+n= -3 и mn=-18. 

11. Не вычисляя корней уравнения  , найдите:

а)        б)         в)        г)

12. Не вычисляя корней уравнения  , найдите:

а)                    б)                     в)                      г)

13.  Не вычисляя корней уравнения  , найдите разность квадратов его корней.

14. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения . Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁-2 и х₂-2;                    б) 2х₁+3 и 2х₁+3;          

         в)                         г)  и  

15. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения . Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) и ;                           б) ;           

        в)   и                      г)  и  

16. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения  равно нулю?

17. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения  равна нулю?

18. В уравнении  сумма квадратов корней равна 16. Найдите а.

19. В уравнении  квадрат разности корней равен 16. Найдите а.

20. При каких значениях а сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

21. При каком значении параметра m сумма квадратов уравнения  наименьшая?

22. При каком значении параметра m сумма квадратов уравнения  наибольшая?

23. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

24. При каких значениях p и q корни уравнения  равны  и ?

26. При каких значениях параметра а один из корней квадратного уравнения  в два раза больше другого?

27. Известно, что корни уравнения  на 1 меньше корней уравнения . Найдите а и корни каждого из уравнений.

28. Известно, что корни уравнения  равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите а и b и корни каждого из уравнений.

29. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения х²+2kх+4=0. Найти все значения k, при которых справедливо неравенство:                 Ответ:

30. Не решая уравнения , найдите: 

 а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д) ; 

 е) ;   ж) ;   з) ;   и) .

31. Составьте квадратное уравнение с корнями:

                   а)                                     г)

                   б)                                       д)

                   в)                       е)

32.              Не решая уравнения , составьте новое уравнение, корни которого:

         а) противоположны корням данного;

         б) обратны корням данного;

         в) в 5 раз больше корней данного.

33.              При каких значениях а разность корней уравнения  равна ?

34.              При каких значениях а частное корней уравнения  равно 27?

35.              Найдите корни уравнения, применив теорему, обратную теореме Виета:

         а)                             б)

         в)                    г)

Ответы: 5. г) –4,2; 2,2.  Указание.  Представив правую часть уравнения как  легко видеть, что х₁=-4,2; кроме того, по теореме Виета х₁+х₂=-2.

9. а) х²-6=0;  в) х²-4х-1=0.  

11.а) . Указание. По теореме Виета х₁+х₂= Воспользуйтесь равенством    

12.г) Указание.

 13. .  

 Решение. По теореме Виета

х₁+х₂=    откуда . 

14.в)  х²+9х-9=0. 

  16.  3;4.   17. 1.    21. 1.   22. –1.   23.14. Решение. Пусть   и   ( по теореме Виета) , D>0, значит, уравнение t²-3t+1=0 имеет два положительных корня, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня. Тогда     24. p=q=0.   26.    27. а=6; 2 и 3 – корни первого уравнения, 3 и 4 – корни второго уравнения.   28. а=-5, b=36, корни первого уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны 4; 9 или а=5, b=36, корни первого уравнения равны –2;-3, корни второго уравнения равны 4; 9.   33. а = - 4,25.  34. а = ±.