Инфоурок Алгебра Другие методич. материалы25. Подготовка к экзамену по математике. Неравенство с одной переменной. Решение линейных неравенств

25. Подготовка к экзамену по математике. Неравенство с одной переменной. Решение линейных неравенств вида ах > b; ах < b; ах b; ах b; b

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 25.Неравенство с одной переменной. Решение линейных неравенств.doc

25.Неравенство с одной переменной.

Решение линейных неравенств вида  ах > b; ах < b; ах ³ b; ах £ bb<ах<c.

 

 

 

Два действительных числа или алгебраических выражения, соединенные знаком >            ( больше), < ( меньше), (≤ или ≥ ) образуют неравенство: А>B, A<B, AB, AB.

 

Линейным называется неравенство вида ах > b; ах < b; ах ³ b; ах £ b.

 

Решением неравенства называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

 

Решить неравенство – это значит найти все значения неизвестного, при которых данное неравенство является верным ( или установить, что таких значенй неизвестного нет).

 

 

Решая неравенство, заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному. При этом используются основные свойства неравенств:

 

 

1.                        Любой член неравенства можно перенести из обной части неравенства в другую с противоположным знаком; при этом знак неравенства не меняется.

 

2.                        Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

 

 

 

Пример 1. Решить неравенство 2(х-3)-1>3(х-2)-4( х + 1).

 

Решение. Упростим обе части неравенства: раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

 

2х-6-1>3х-6-4х-4,

2х-7>-х-10,

3х>-3,

 т.е. х>-1 – решение линейного неравенства. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенству  х>-1, на числовой оси изображается лучом (-1; +∞).

Ответ: (-1; +∞).

 

 

Пример 2. Решить неравенство 2(х-1)+1≥3-(1-2х).

 

Решение. 2(х-1)+1 ≥ 3-(1-2х), 2х-2+1 ≥ 3-1+2х, 2х-2х ≥ 2+1, 0∙х ≥ 3. А это неравенство решений не имеет, так как его левая часть 0∙х равна нулю при любом х, а неравенство 0≥3 неверно.

Ответ: решений нет.

 

 

 

Пример 3. Решить неравенство 2(х-1)+1<3-(1-2х).

 

Решение. 2(х-1)+1<3-(1-2х), 2х-2+1 < 3-1+2х, 2х-2х < 2+1, 0∙х < 3. Следовательно, любое значение х является решением неравенства.

Ответ: (-∞; +∞).

 

 

 

Пример 4. Решить неравенство ах>а.

Решение. Данное неравенство содержит параметр а.

Если a>0, то ax>a, x>1;   

если a<0, то ax>a, x<1;

если а=0, то решений нет.

                   Ответ: если a>0, то х є (0; +∞),   если а<0, то х є (-∞; 1), если а=0, то решений нет.

 

 

Пример 5. Решите неравенство

 

Решение. ,

                  ,

                 ,

                ,

                  13х-26 ≤ 0, х ≤ 2.

Ответ: х є (-∞; 2].

 

Пример 6. При каких значениях х  верно двойное неравенство ?

 

Решение.       

                      

                      

                     

Ответ:

 

 

Пример 7. Найдите наибольшее целое значение а, при котором разность дробей  и  положительна.

Решение. ->0, , 43-21а>0,  21a<43,   а=2.

Ответ: а = 2.

 

 

Пример 8. Найдите решения неравенства

 принадлежащие промежутку [-5; 0 ].

 

 

Решение.

20-30х ≤ 30 – 25х + 8, 18 + 5х ≥ 0, 5х ≥ -18, .

 

 

 

 


                                                               х 

           -5                      0             

 

Ответ: .

 

 

 

Пример 9. При каких целых отрицательных значениях х верно неравенство

 

Решение. 

                  15х + 6х – 3 - 5х + 10 > 13х-1,

                 3х>-8,

                ,   .

Так как искомое значение х – целое и отрицательное число, то из промежутка  этим условиям удовлетворяют только х=-2 и х=-1.

Ответ: -2; -1.

 

 

 

 

Пример 10. Найдите решения двойного неравенства 0,1 ≤ 0,1х - 0,8 ≤ 0,5, принадлежащие промежутку [2; 10].

 

Решение.

 

 

9 ≤  х ≤ 13.

 

 

 

 

 


         2               9       10        13        х                  

        

Ответ: .

 

 

 

Пример 11. При каких значениях параметра а неравенству 7 < 2x – 4 < a не удовлетворяет ни одно из целых чисел?

 

Решение.    7 < 2x – 4 < a,    11<2x<a+4,     5,5 < x <0,5a+2.  

 

Параметр а может принимать такие значения, при которых верно неравенство

0,5а + 2 < 6.

Отсюда 0,5а < 4а < 8.

 

Ответ: при а < 8.

 

 

Пример 12. При каких значениях b неравенству 2b-1< 5x+4 < 27  не удовлетворяет ни одно из отрицательных чисел?

 

Решение. 2b-1< 5x+4 < 27, 2b-5 < 5x <23,  0,4b-1 < x <4,6. 

 

 Параметр b может принимать такие значения, при которых  0,4b-1 ≥ 0.

 

 Отсюда 0,4b ≥ 1, b ≥ 2,5.

 

Ответ: при b ≥ 2,5.

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

1. Решите неравенство    

2.      При каких значениях х верно двойное неравенство   

3.      Найдите наименьшее целое а, при котором сумма дробей   и  отрицательна.        

4.      Найдите решение неравенства         принадлежащие промежутку [-10; 0].            

5.      При каких целых положительных значениях х верно неравенство     

6.      Найдите решения двойного неравенства 0,3 ≤ 0,5 + 0,1х ≤ 0,6 ,         принадлежащие промежутку [-5; -1].   

 

Решите неравенства ( 7 – 10 ):

7. а) –3х + 21 >0;   б) 18 – 6х ≤ 0;   в) х – ( 5 – 2х ) ≥ 0;   г) 2 ( х – 2) –5 ( 1 – 3х ) < 2.

8. а) ;                            б) ;  

   в) ;   г) .

9.    а) ;  

       б) ;

       в) ;

       г) .

10.   а) ;                                         б) ;  

        в) ;                                     г) .

 

11.  Решите неравенство ( а – параметр):

а) 5х – а > ах – 3;   б) а( 2х – 1) < ах + 5;   в) а( 3 – х ) ≥ 3х + а;   г) 3( 2а + х) < 1 – ах.

 

12.  Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

а) ;                                                        б)

 в) ;                     г) ( х + 4)2 – ( х – 10)2 ≤ 140.

13.  Найти наименьшее целое х , удовлетворяющее неравенству :

 а) ;   б)

 в) ( 3х – 5)(2х – 5) – ( 2х – 3 )(х – 3 ) + 6x > (2х – 5)2 + 6;

 г) .

 

14.  При каких значениях а уравнение 2х + 3 = 2а + 3х имеет положительное решение?

15. При каких значениях а  уравнение 1 + 3х – ах = 2 + х имеет отрицательное решение?

16. При каких значениях а уравнение а( 3х – а) = 6х – 4 имеет одно положительное значение?

17. При каких значениях а уравнение    а( х – 1) = х – 2 имеет решение,  удовлетворяющее условию   х >1?

 

 

 

Ответы: 1.    2.    3. 3.   4.    5. 1.   6. [-2; -1].  

 9. а) ;   б) х ≤ 4;   в) х < 6;   г) x > 8.    10. а) x > -1, 5;   б) х > ;   в) х < ;   г) .

        11. а) , если а > 5;   х > , если а < 5;   нет решений, если а = 5.

        12. а) –6;   б) –2;   в) –5;   г) 8.       13. а) 2;   б) 1;   в) 2;   г) 3.   14. а < 1,5.   15. а >2. 

        16. а >-2, а ≠2.

        17. а < 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Рабочие листы к Вашему уроку:

Краткое описание документа:

Материал содержит теоретические сведения, примеры с образцами оформления и задания для самостоятельной подготовки с ответами

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 368 789 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

    «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

    Тема

    § 11. Неравенсва с одной переменной и их системы

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Тех карта урока по теме:"Решение тригонометрических уравнений"
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.
  • Тема: § 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
  • 08.02.2023
  • 181
  • 4
«Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях),  изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.
Конспект урока по алгебре на тему "Арифметический корень натуральной степени"(10 класс)
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 4. Арифметический корень натуральной степени
  • 07.02.2023
  • 185
  • 4
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 08.02.2023 234
    • RAR 41 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зезетко Людмила Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зезетко Людмила Евгеньевна
    Зезетко Людмила Евгеньевна
    • На сайте: 5 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 2
    • Всего просмотров: 47921
    • Всего материалов: 77

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 86 человек из 37 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 40 человек из 24 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 106 человек из 38 регионов