Аксиоматический метод в геометрии

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                    3

1 Аксиомы геометрии                                                                                    4

1.1 Основные понятия геометрии                                                                 4

1.2 Аксиоматический подход к геометрии                                                  5

1.3 Классификация аксиом геометрии                                                         6

1.3.1 «Начала» Евклида                                                                                 6

1.3.2 Н.И. Лобачевский и его геометрия                                                      7

1.3.3 Система аксиом Гильберта                                                                   9

2 Об аксиомах школьного курса геометрии                                               13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                             16

Список использованной литературы                                                           17

ВВЕДЕНИЕ.

Геометрия имеет длинную историю. Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями Древнего Востока – в Египте, Вавилоне, Китае, Индии – в связи с развитием земледелия. Дошедшие до нас памятники древнейших культур Вавилона и Египта свидетельствуют, что в этих странах геометрия имела эмпирический характер и представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Так, во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь треугольника и объем четырехугольной усеченной пирамиды; вычисляли площадь круга по формуле, которая дает достаточно точное значение π. В Вавилоне же в это время знали так называемую теорему Пифагора. Геометрия в Древней Греции начала развиваться в VII-VI вв. до н.э. По преданию, отцом греческой математики является знаменитый философ Фалес. Ему принадлежит доказательство некоторых простейших предложений геометрии – свойств углов при основании равнобедренного треугольника, свойств вертикальных углов и некоторых других теорем. В дальнейшем геометрами Древней Греции были получены значительные результаты, охватывающие почти все содержание современных школьных курсов геометрии. Но особой заслугой древнегреческих ученых является постановка задачи о построении системы геометрических знаний. Задача эта была поставлена рядом древнегреческих философов, из которых в первую очередь следует указать Платона и особенно Аристотеля. Хотя Аристотель непосредственно и не занимался геометрией, но именно ему принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе одних лишь правил логики. К концу III в. до н.э.  греки имели большой запас геометрических фактов и обладали методами их доказательств. В это время возникла задача собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке. Такую задачу пытались решать многие греческие авторы (Гиппократ, Федий и др.), но их сочинения не дошли до нашего времени и были забыты после появления «Начал» Евклида.

1 Аксиомы геометрии

1.1 Основные понятия геометрии

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти  предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к не доказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них. В соответствии с современными представлениями основные понятия не определяются, их смысл исчерпывается набором утверждений о свойствах и взаимосвязях между понятиями, определяемых в аксиомах. Однако, чтобы утверждения науки могли быть использованы для предсказания поведения и свойств реальных объектов окружающего мира основные понятия должны быть каким – либо способом связаны с этими объектами. Такие связи могут быть представлены в виде неформальных описаний основных понятий теории через объекты окружающего мира или формирования аналогий между понятиями и объектами. Описание не является определением понятия, более того, по мере построения теории может оказаться, что доказанные в рамках теории утверждения о свойствах и взаимосвязях будут противоречить ранее используемым описаниям понятий. С такой ситуацией неоднократно сталкивалась геометрия. В труде «Начала» Евклид наряду с формулировкой аксиом сделал попытку сформулировать основные понятия.  Например, точка в представлении Евклида это объект, не имеющий длины и ширины, линия - объект, имеющий длину, но без ширины и т.д.  По всей видимости, Евклид отчетливо понимал разницу между описаниями понятий и формулировками утверждений, связывающих понятия, т. е. аксиом, поскольку при выводе теорем геометрии он опирался на аксиомы и тщательно избегал использования описаний понятий, приведенных им. В современном представлении любое описание основного понятия не рассматривается как определение понятия, а только как его пояснение.

1.2 Аксиоматический подход к геометрии 
          Идея построения научной теории была сформулирована к началу III века до н.э. в работах Аристотеля. Ну а к геометрии эта идея была применена впервые Евклидом в его работе "Начала". На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX-XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков. 

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем: Перечисляются основные (неопределяемые) понятия. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая - это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, - отношение между ними. Все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Формулируются аксиомы - предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру. Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения. 

К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге "Основания геометрии" в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением - принадлежности, порядка, равенства. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними - это просто какие-то мыслимые "вещи", про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам. 

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А. Н.Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же В. Ф.Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др.

1.3 Классификация аксиом геометрии.

Первая попытка классификации аксиом была сделана еще Евклидом. Он называл утверждения о геометрических объектах (например: «от каждой точки до каждой другой точки можно провести прямую линию») постулатами, а общие утверждения о свойствах (например: «равные одному и тому же равны между собой») аксиомами. Система аксиом, разработанная Евклидом, на протяжении многих веков развивалась и совершенствовалась, большой вклад в развитие системы внесли Архимед, Гаусс, Лобачевский, Кантор, Гильберт. 

1.3.1 «Начала» Евклида.

Евклид, один из крупнейших геометров древности, воспитанник школы Платона, жил в период приблизительно от 330 до 275 г. до н.э. в Египте, в Александрии. Составленные им «Начала» дают систематические изложение начал геометрии, выполненное с таким большим мастерством, что многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Первые 6 книг содержат изложение планиметрии; в книгах I, III, и IV даны известные нам из курса средней школы свойства треугольников, теория параллельных прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей и вписанных и описанных многоугольников. В книге II даны в геометрической форме основные алгебраические тождества. В книге V изложена теория отношений по Евдоксу, а в книге VI – теория подобия фигур. Книги VII, VIII, IX посвящены арифметике в геометрическом изложении. В книге X дана теория несоизмеримых величин. Книги XI-XIII посвящены основам стереометрии, причем вся XIII книга посвящена учению о правильных многогранниках.

Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.

Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:

·       Точка есть то, что не имеет частей.

·       Линия же – длина без ширины.

·       Концы линии – точки.

·       Прямая линия есть та, которая ровно расположена по отношению к

точкам на ней.

·       Параллельные прямые – это прямые которые находятся в одной

плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.

Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.

Постулаты:

I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

II. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

III. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Аксиомы:

I. Равные одному и тому же равны между собой.

II. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.

III. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

IV. Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.

V. Удвоенные одного и того же равны между собой.

VI. Половины одного и того же равны между собой.

VII. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

VIII. Целое больше части.

IX. Две прямые не содержат пространства.

Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.

С точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий.

1.3.2 Н.И. Лобачевский и его геометрия

Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде. Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816г. Н.И. Лобачевский – профессор того же университета, с 1827 по 1846г. – ректор университета. С 1846 по 1855г. – помощник попечителя Казанского учебного округа. В феврале 1856г. Н.И. Лобачевский скончался.

В течении первых лет преподавательской деятельности в Казанском университете Н.И.Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы это доказать, он построил логическую систему, в которой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его противоположным допущением.  Он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой новую геометрию.

7 февраля 1826г. Н.И.Лобачевский представил физико-математическому факультету Казанского университета доклад по теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Это была первая опубликованная работа по новой геометрии. В этих сочинениях он первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Эту новую геометрию он назвал «воображаемой» (впоследствии ее стали называть гиперболической геометрией). 

Таким образом, геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом: В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Аксиома Лобачевского является точным отрицанием аксиомы Евклида (при выполнении всех остальных аксиом), так как случай, когда через точку, не лежащую на данной прямой, не проходят ни одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её, исключается в силу остальных аксиом (аксиомы абсолютной геометрии).

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.

1.3.3 Система аксиом Гильберта

В конце IX и начале XX вв. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии ряда таких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др. Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта. Эти исследования оказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется во всех разделах современной математики.

Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899г., сыграла существенную роль в этой серии исследований. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике.

По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества – прямыми, а элементы третьего множества – плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответственно буквами A, B, C…; a, b, c,…; α, β, γ, … . Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т.е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые перечислены ниже.

Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп.

Группа I. Аксиомы принадлежности.

Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит на», «проходит через»). Группа 1 содержит следующие восемь аксиом.

- Планиметрические:

I₁. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

I₂. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

I₃. Каждой прямой a принадлежат, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не принадлежащие одной прямой.

- Стереометрические:

I₄. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

I₅. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.

I₆. Если две различные точки A и B, принадлежащие прямой a, принадлежат некоторой плоскости α, то каждая точка, принадлежащая прямой a, принадлежит указанной плоскости.

I₇. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует, по крайней мере, ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.

I₈. Существуют, по крайней мере, четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислим некоторые из этих теорем.

1⁰. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2⁰. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3⁰. Через прямую и не лежащую на ней точку, также как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4⁰. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Группа II. Аксиомы порядка.

Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы.

- Линейные:

II₁. Если точка B прямой а лежит между точками A и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

II₂. Каковы бы ни были две различные точки A и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.

II₃. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, существуют не более одной точки, лежащей между двумя другими.

По Гильберту, отрезком AB или BA называется пара точек A и B. Эти точки называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними, - внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка.

II₄. Аксиома Паша: Пусть A, B, C — три не лежащие на одной прямой точки и a прямая в плоскости (ABC), не проходящая ни через одну из точек A, B, C; если при этом прямая a проходит через точку отрезка AB, то она непременно проходит через точку отрезка AC или точку отрезка BC.

С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек. Данные аксиомы позволяют ввести такие важные понятия геометрии, как понятия полуплоскости, луча и полупространства.

Группа III. Аксиомы конгруэнтности.

Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом «конгруэнтен» или «равен» и обозначается символом «=». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом.

- Линейные:

III₁. Если A и B — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.

III₂. Если отрезки A’B’ и A"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.

III₃. Пусть АВ и BC — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку A’C’.

- Планиметрические:

III₄. Если даны угол ∠ABC и луч B’C', лежащий в плоскости данного угла, тогда существует ровно два луча, также лежащие в плоскости данного угла, B’D и B’E, такие, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC. 

Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.

III₅. Если для двух треугольников ABC и A’B'C' имеют место конгруэнции: AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ABC ≅ ∠A’B'C' ∠ACB ≅ ∠A’C'B'.

Укажем некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности.

1⁰. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

2⁰. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3⁰. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников.

4⁰. Отношение конгруэнтности углов является отношение эквивалентности на множестве углов.

Далее даются обычные определения понятий «больше» и «меньше» для отрезков и углов и устанавливаются свойства сравнения отрезков и углов. Вводится понятие смежных углов и дается определение прямого угла: угол называется прямым, если он равен углу, смежному с ним. Доказывается, что все прямые углы равны друг другу.

Затем можно доказать известные теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

5⁰. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, несмежного с ним.

6⁰. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно.

В заключении отметим, что аксиомы групп I-III позволяют дать обычные определения середины отрезка и биссектрисы угла и доказать следующие теоремы.

7⁰. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.

8⁰. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису.

Группа IV. Аксиомы непрерывности.

- Линейные

IV₁. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A₁,…,A_n на AB таких, что: A_jA_j+1 ≅ CD, , и B лежит междуA₁ и A_n.

Группа V. Аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не Евклидову формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла:

- Планиметрические

V₁. Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a.

2 Об аксиомах школьного курса геометрии

В современных учебных пособиях по геометрии для средней школы в основу построения курса положены системы аксиом, отличные от системы Гильберта и системы Вейля. Рассмотрим систему аксиом, предложенную в учебном пособии по геометрии для 6-10 классов средней школы А.В. Погорелова.

Геометрия состоит, как правило, из двух больших разделов «планиметрия» и «стереометрия». Фундаментом для построения геометрии А. В. Погорелова являются основные (неопределяемые) понятия,  в планиметрии - точка, прямая, в стереометрии - плоскость. И отношения между ними: отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать», отношение порядка для точек на прямой, выражаемое словами «лежать между», «длина» для отрезков и «градусная мера» для углов. Эти понятия не определяются и все, что о них предполагается известным, выражается аксиомами.

Используя  основные понятия и аксиомы, формулируются определения новых понятий, теоремы,  доказываются теоремы и таким образом изучаются свойства геометрических фигур.

Заглянем в учебник. Сначала появляются в нем не аксиомы, а основные свойства простейших геометрических фигур, хорошо известные школьникам.

Первыми рассматриваются геометрические фигуры и их свойства на плоскости. Данной теме посвящается первый параграф учебника. Понятие аксиомы появляется в учебном пособии А. В. Погорелова лишь в конце первого параграфа.

По мнению автора, аксиомами называют утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур и не доказывающиеся. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и  означает «утверждение, не вызывающее сомнений».

Такой подход изложения материала удобен для школьников, им проще обобщить свои знания об основных геометрических фигурах и называть уже изученные свойства аксиомами. Главное для учителя при этом не оперировать на первых уроках термином «аксиомы» не сбивая учеников.

Первый параграф подготавливает детей  к освоению большого и ёмкого курса «геометрии». Аксиомы необходимы для определения определяемых понятий (геометрических фигур) и для доказательства теорем. Аксиомы упрощают введение понятий и помогают ученикам решать различные задачи. В связи с делением геометрии на «планиметрию» и «стереометрию» аксиомы в учебном пособии А. В. Погорелова так делятся на две большие группы «аксиомы планиметрии» и «аксиомы стереометрии». Сначала вводятся плоские аксиомы в 7 классе (их обозначения – I). А затем -  группа пространственных аксиом в 10 классе (С).

Плоские аксиомы.

Точки обозначаются буквами А,В,С, ...; прямые - а, b, c; если прямая а проходит через точки A и В, то эта прямая обозначается символом (АВ);  - точка А принадлежит прямой а.

Плоских аксиом у А. В. Погорелова 10 и он разбиты на пять групп в соответствии с основными отношениями между понятиями: принадлежности, порядка и меры.

I группа: Аксиомы принадлежности.

Аксиомы принадлежности определяют свойства взаимного расположения точек и прямых. Группа аксиом принадлежности включает следующие две аксиомы:

Аксиома I₁. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки не принадлежащие ей. 

Аксиома I₂. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

II группа: Аксиомы порядка.

Аксиомы порядка выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости. При этом используется отношение взаимного расположения точек на прямой, выражаемое словами «лежать между».

Аксиома II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома II₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

III группа: Аксиомы меры для отрезков и углов.

Аксиома III₁. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивает любой его точкой.

Аксиома III₂. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180˚. Градусная сера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

IV группа: Аксиомы откладывания отрезков и углов.

Аксиома IV₁. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

Аксиома IV₂. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180˚, и только один.

Аксиома существования треугольника, равного данному.

Аксиома IV₃. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

V группа: Аксиома параллельных.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома V. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельную данной.

Пространственные аксиомы (их 3).

Плоскости обозначаются буквами α, β, γ,…; символ (АВС) обозначает плоскость, проходящую через точки А,В,С;
 - точка А принадлежит плоскости α;
 - прямая а принадлежит плоскости α.

Аксиома C₁. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома C₂. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Аксиома C₃. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

И так, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы трех аксиом стереометрии.

Но есть небольшие замечания, в связи, с чем автору приходиться уточнять аксиомы планиметрии (плоские), так как в планиметрии имелась в виду одна плоскость, на которой располагались все рассматриваемые фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. Таким образом, формулировки некоторых аксиом планиметрии, как аксиом стереометрии, требуют уточнения. Это относится к аксиомам II₂, IV₂, IV₃ и V.

Уточненные формулировки:

Аксиома II₂. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

Аксиома IV₂. От любой полупрямой не содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180˚, и только один.

Аксиома IV₃. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Аксиома V. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельную данной.

Аксиомы необходимы для:

·                   правильного построения чертежа;

·                   введения определяемых понятий;

·                   решения задач;

·                   доказательства теорем.

Система аксиом школьного курса геометрии А. В. Погорелова проста потому, что состоит из небольшого числа аксиом; естественна потому, что формируется постепенно на основе жизненного опыта учащихся; эффективна потому, что позволяет доказывать с самого начала курса геометрии содержательные теоремы. Для учащихся аксиоматический метод выступает как форма предъявления учебного требования: доказывать все предложения, опираясь только на аксиомы и ранее доказанные теоремы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор "удобной" системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т. е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что приведенная в школьных учебниках система аксиом не является полной (то есть приведенных аксиом недостаточно для построения теории). Так, в частности, ниоткуда не следует, что между двумя данными точками прямой лежит еще точка этой прямой. Нам кажется это очевидным, так как прямая, по нашим представлениям, сплошная, непрерывная, без "дыр". Но это представление должно получить точное определение в виде свойства прямой. Аксиома, задающая это свойство, есть, и она называется "аксиомой непрерывности". Но эта аксиома не приводится в школьном курсе, поскольку ее использование затруднит изложение и приходится поступиться строгостью в угоду наглядности и простоте. Не везде обосновывают и утверждения, которые кажутся очевидными, но их строгое обоснование трудоемко и объемно. Таким примером является утверждение: простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две части - ограниченный многоугольник и неограниченную фигуру, дополняющую до всей плоскости.

На основе изучения аксиоматического метода построения геометрии и сравнения нескольких систем аксиом пришла к выводу. Можно построить любую систему аксиом, главное придерживаться сути аксиоматического метода построения геометрии и помнить о требованиях, предъявляемых к системе аксиом. Главное требование – непротиворечивость. Встретить две абсолютно одинаковых системы аксиом невозможно. Одна может дополнять другую или быть в упрощенном виде. Главное, чтобы аксиомы формулировались на неопределяемых понятиях и не являлись следствием друг от друга. Только практика  может  решить  вопрос  о  том,  какая  геометрия вернее излагает свойства  геометрических фигур.

Список использованной литературы:

1. Погорелов А.В. Геометрия  7-11 класс. Изд.  Просвещение 2000.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.  Геометрия. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. Ч.2. – М.: Просвещение, 1987 – 352с.

3. Александров А.Д. Основания геометрии: Учебное пособие для вузов.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

4. Медяник А. И. Учителю о школьном курсе геометрии. Изд. Просвещение, 1984. – 96 с., ил.

5. Ссылки в интернете

http://videouroki.net Материал по математике "Сравнение аксиоматики Гильберта и автора учебника геометрии А. В. Погорелова"

https://ru.wikipedia.org/wiki «Геометрия Лобачевского»