Алфавитный подход к измерению информации

Тема: Алфавитный подход к измерению информации

Цель: сформировать у учащихся понимание алфавитного подхода к измерению информации.

Вокруг нас везде и всюду происходят информационные обмены. Информацией обмениваются между собой люди, животные, технические устройства, органы человека или животного и т.д. во всех этих случаях передача информации происходит в виде последовательностей различных сигналов. В вычислительной технике такие сигналы кодируют последовательности знаков, букв, цифр, кодов цвета точек и т.д. С этой точки зрения рассматривается другой подход к измерению информации – алфавитный.

Рассмотрим пример

У нас  есть небольшой текст, написанный на русском языке.  Он состоит  из букв русского алфавита, цифр, знаков препинания. Для простоты будем считать, что символы в тексте присутствуют с одинаковой вероятностью. Множество  используемых в тексте символов называется алфавитом. В информатике под алфавитом понимают не только буквы, но и цифры, и знаки препинания, и другие специальные знаки.  У алфавита есть размер (полное количество его символов), которое называется  мощностью алфавита.

Обозначим мощность алфавита через N.  Тогда воспользуемся формулой  для нахождения количества информации их вероятностного подхода: I=log₂N.

Пример 1.

Найти объем  информации, содержащейся в тексте из 3000 символов, написанном русским буквами.

Решение:

1)        Найдем мощность алфавита: N = 33 русских прописных буквы + 33 русских строчных буквы + 21 специальный знак = 87 символов.

2)        Подставим в формулу  и рассчитаем количество информации: I = log₂87 = 6,4 бита.

3)        Такое количество информации – информационный объем – несет один символ в русском тексте. Теперь, чтобы найти количество информации во всем тексте, нужно найти общее количество символов в нем  и умножить на информационный объем одного символа. Пусть в тексте 3000 символов. Значит: 6,4 * 3000 = 19140 бит.

Ответ: 19140 бит.

Пример 2.

Найти количество  информации, содержащейся в тексте из 3000 символов, написанном на немецком языке.

Решение:

1)        Найдем мощность алфавита: N = 26 немецких  прописных буквы + 26 немецких  строчных буквы + 21 специальный знак = 73 символов.

2)        Подставим в формулу  и рассчитаем информационный объем: I = log₂73 =6,1 бита.

3)        Найдем информационный объем всего текста: 6,1 * 3000 = 18300 бит.

Ответ: 18300 бит.

Сравнивая  объемы информации русского текста  и немецкого, мы видим, что на немецком языке информации меньше, чем на русском. Но ведь содержание не изменилось! Следовательно, при алфавитном подходе к изменению информации ее количества не зависит от ее содержания, а зависит от мощности алфавита и количества символов  в тексте.

Правило для измерения информации с точки зрения алфавитного подхода.

1.        Найти мощность алфавита – N.

2.        Найти информационный объем одного символа – I = log₂N.

3.        Найти количество символов в сообщении – K.

4.        Найти информационный объем всего сообщения - K * I.

Пример 3.

Найти объем текста, записанного на языке, алфавит которого содержит 128 символов и 2000 символов в сообщении.

Дано: K = 2000, N = 128.

Найти: I_т - ?

Решение:

1)        I = log₂N = log₂128 = 7 бит – объем одного символа

2)        I_т = I * K = 7 * 2000 = 14000 бит – объем сообщения.

Ответ: 14000 бит.

2. Другие единицы измерения информации.

В  компьютере также используется свой алфавит, который можно назвать компьютерным. Количество символов, которое в него входит, равно 256 символов. Это мощность компьютерного алфавита. Также мы выяснили, что закодировать 256 разных символом можно с помощью 8 бит. 8 бит является настолько характерной величиной, что ей присвоили свое название - байт. Итак, следующая по величине единица измерения информации - байт.

1 байт = 8 битам.

Используя этот факт можно быстро подсчитать количество информации, содержащееся в компьютерном тексте, т.е. тексте, набранном с помощью компьютера.  А учитывая, что большинство статей, книг, публикаций и т.д. написаны с помощью текстовых редакторов, то таким способом можно найти информационный объем любого сообщения, созданного подобным образом.

Пример 4

Найти информационный объем страницы компьютерного текста.

Пояснение: возьмите в качестве примера реальный текст из какого-нибудь учебника без картинок. Расчеты производить приблизительно.

Решение:

1)  Найдем информационный объем одного символа: I = log₂N, N = 256, I = log₂256 = 8 бит = 1 байт.

2) Найдем количество символов на странице. Примерно.

— Как можно это сделать быстро? (Найти количество символов в строке и умножить на количество строк.)

Пояснение: пусть дети выберут произвольную строку и подсчитают количес­тво символов в ней, учитывая все знаки препинания и пробелы. Упростите до целого значения. 40 символов * 50 строк = 2000 символов.

3) Найдем информационный объем всей страницы: 2000 • 1 = 2000 байт.
Ответ: 2000 байт.

Вывод: дело в том, что информационный объем одного символа несет как раз 1 байт информации. Поэтому достаточно подсчитать количество симво­лов в тексте, которое и даст объем текста в байтах.

Например, если в тексте 3000 символов, то его информационный объем равен 3000 байтам.

Согласитесь, что байт - маленькая единица измерения информации.

Пример 5

Найти информационный объем небольшой книги в 130 страниц.

Пояснение: страницы взять из предыдущей задачи.

Решение:

2000 байт • 130 = 260000 байт.

Ответ: 260000 байт.

И это информационный объем только одной книги! А если взять объем целой библиотеки? Получится очень большое число.

Для измерения больших объемов информации используют следующие единицы:

1 килобайт = 1 Кб = 2¹⁰ байт = 1024 байта;

1 мегабайт = 1 Мб = 2¹⁰ Кб = 1024 Кб;

1 гигабайт = 1 Гб = 2¹⁰ Мб = 1024 Мб.

Примеры объемов информации.

Страница книги	2,5 Кбайт
Учебник	0,5 Мбайт
БСЭ	120 Мбайт
Газета	150 Кбайт
Черно-белый телевизионный кадр	300 Кбайт
Цветной кадр из трех цветов	1 Мбайт
1,5-часовой цветной художественный фильм	135 Гбайт

В 100 Мб можно уместить:
Страниц текста	50 000
1 Цветных слайдов высочайшего качества	150 \                                  j
Аудиозапись	1,5 часа
Музыкальный фрагмент качества CD	10 минут
Фильм высокого качества записи	15 секунд
Протоколы операций по банковским счетам	За 1000 лет

Обмен информацией происходит с разной скоростью. Если говорить о людях, то темп речи очень важен для взаимопонимания. Некоторые люди раз­говаривают очень медленно, другие - наоборот быстро (тараторят). И с теми и с другими иногда слушателю бывает некомфортно. Скорость чтения также у людей разная. Конечно, хорошо обладать высокой скоростью чтения, больше книг можно прочитать. Существуют даже специальные приемы развития высокой скорости чтения. Скорость передачи  информации называется скоростью информационного потока и выражается в битах в секунду  (бит/с), байтов в секунду (байт/с), Кбайтов в секунду (Кб/с) и т.д.

Скорость чтения и скорость речи можно вычислить.

Скорость информационного потока в случае, когда он происходит между техническими устройствами, намного выше, чем между людьми. Прием и передачи информации в этом случае происходит по каналам связи. К ос­новным характеристикам каналов связи относятся:

1.  максимальная скорость передачи информации по каналу связи назы­вается пропускной способностью канала;

2.  надежность;

3.  стоимость;

4.  резервы развития.
 

В следующей таблице приведены характеристики некоторых каналов связи.

Тип связи	Скорость передачи данных (Мбит/с)	Помехоус­тойчивость	Наращиваемость
Электрический кабель:  - витая пара -      коаксиальный кабель	10-100 до 10	Низкая Высокая	Простая Проблематичная
Телефонная линия	1-2	Низкая	Без проблем
Оптические светодиоды (сверхтонкие силиконо­вые волокна)	10-200	Абсолютная	Без проблем

Анализируя эту таблицу, можно сказать, что сегодня предпочтение отдает­ся высокоскоростному оптоволокну. Информация по таким каналам связи передается в виде светового сигнала, посылаемого лазерным излучателем. Например, при скорости 50 Мбайт/с в течение 1 минуты передается объем информации, равный содержанию 10 школьных учебников.

Закрепление изученного

Решите задачи:

№1.

Перевести объем книги из примера 5 в другие единицы измерения.

Решение:

260000/1024 = 253,90625 Кб.

253,90625/1024 = 0, 247955 Мб.

№2.

Найти х из соотношения: 16^х байт = 256 Мбайт.

Решение:

2^4х байт = 2⁸  * 2²⁰ байт;

2^4х = 2⁸ * 2²⁰

2^4х = 2²⁸

4х = 28;

х = 7.

Ответ: х = 7.

№ 2.

Выразите:

-    3 Кбайта в байтах и битах;

-    81920 бит в байтах и Кбайтах;

-    3072 Мбайта в Гбайтах и Кбайтах.

3)       Мощность некоторого алфавита равна 64 символам. Каким будет
объем информации в тексте, состоящем из 100 символов.

Тема: Решение задач

Цель: сформировать у учащихся навыки и умения находить количество информации.

1. Сообщение, записанное буквами из 128-символьного алфавита, со­держит 30 символов. Какой объем информации оно несет?

2.  Для записи текста использовался 256-символьный алфавит. Каждая страница содержит 30 строк по 70 символов в строке. Какой объем информации содержат 5 страниц текста?

3. Ученик 9 класса читает текст со скоростью 250 символов в минуту. При за­писи текста использовался алфавит, содержащий 64 символа. Какой объем информации получит ученик, если будет непрерывно читать 20 минут?

1) Пока на доске готовятся задачи, решите кроссворд по основным по­нятиям

Ответы:

По  горизонтали:1. гигабайт, 2. байт, 3. информация, 4. мегабайт, 5. сообщение, 6. символ, килобайт.

По вертикали: 7. количество, 8. объем, 9. бит, 10. мощность, 11. алфавит, 12. текст.

Работа с формулами на выражение одной величины через другую. Пояснение: напишите формулу и попросите детей выразить из нее все возможные величины, спросив их название. Записывать в тетради.

№1

Сообщение записано с помощью алфавита, содержащего 8 символов. Ка­кое количество информации несет одна буква этого алфавита?

Решение: I = log₂8 = 3 бита.

Ответ: 3 бита.

№2

Информационный объем одного символа некоторого сообщения равен 6 битам. Сколько символов входит в алфавит, с помощью которого было составлено это сообщение?

Решение: N = 2' = 2⁶ = 64 символа.

Ответ: 64 символа,

№3

Информационный объем одного символа некоторого сообщения равен 5 битам. Каковы пределы (максимальное и минимальное значение) мощнос­ти алфавита, с помощью которого составлено это сообщение?

Решение: N = 2¹ = 2⁵ = 32 - максимальное значение мощности алфавита. Если символов будет больше хотя бы на один, то для кодирования понадо­бится 6 бит.

Минимальное значение - 17 символов, т.к. для меньшего количества символов будет достаточно 4 бит.

Ответ: 4 бита.

№4

Сообщение, записанное буквами из 128-символьного алфавита, содержит 30 символов. Какой объем информации оно несет?

Дано: N = 128, К = 30.

Найти: I_т - ?

Решение:

1)   I_т = K * I, неизвестно I;

2)  I = log₂N = log₂128 = 7 бит— объем одного символа;

3)  I_т = 30 * 7 = 210 бит - объем всего сообщения.

4)  Ответ: 210 бит объем всего сообщения.

№5

Сообщение, составленное с помощью 32-символьного алфавита, содер­жит 80 символов. Другое сообщение составлено с использованием 64-сим-вольного алфавита и содержит 70 символов. Сравните  объемы информации, содержащейся в сообщениях.

Дано: N₁ = 32, К₁= 80,  N₂ = 64, K₂ = 70.

Найти: I_т1, I_т2.

Решение:

1)       I1 = log2N1 = log232 = 5 бит – объем одного символа первого сообщения

2)       I2 = log2N2 = log264 = 6 бит – объем одного символа второго сообщения

3)       I_т1 = K1 * I,1 = 80 * 5 = 400 бит – объем первого сообщения

4)       I_т2 = K2 * I2 = 70 * 6 = 420 бит – объем второго сообщения

Ответ: во втором  сообщении информации больше, чем в первом.

№ 6

Информационное сообщение объемом 4 Кбайта содержит 4096 символов. Сколько символов содержит алфавит, при помощи которого было записано это  сообщение?

Дано: К = 4096,  I_т = 4Кб.

Найти: N -?

Решение:

1) N = 2¹, неизвестно I;

 2) Iт = К * I,   I = Iт/К = 4 * 1024 * 8/4096 = 8 бит - объем одного символа;

3) N = 2⁸ = 256 символов - мощность алфавита.

Ответ: алфавит содержит 256 символов.

№7

Сколько килобайтов составляет сообщение из 512 символов 16-символьного алфавита?

Дано: N = 16, K = 500.

 Найти: I_т — ?

  Решение:

1) Iт = I * К, неизвестно I;

2)  I  = log2N = log216 =  4 бита - объем одного символа;

3)  Iт = 4 * 512 = 2048 бит-объем всего сообщения;

4)   2048 * 8/1024 = 16 Кбайт.

Ответ: 16 Кбайт объем всего сообщения.

№ 8

Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 256-символьного алфавита, если объем его составил 1/32 часть Мбайта?
Дано: N = 256,   It=1/32M6.
Найти: К - ?

Решение:

1) Выразим Iт = 1/32 Мб в битах: 1/25 Мб = 1/25 * 220 * 23 = 218 бит;

2) Iт = I *К,  К= Iт/I, неизвестно I;

3)  I = log2N = log2256 = 8 бит - объем одного символа;

4) К = 218/8 = 218/23 = 215 = 32768 символов.

Ответ: в сообщении 32768 символов.

№9

Объем сообщения, содержащего 2048 символов, составил 1/512 часть Мбайта. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение?

Дано: K – 2048,  I_т = 1/512 Мбайта.

Найти: N - ?

Решение:

1)  Выразим  Iт = 1/512 Мбайта в битах: 1/29М6 = 1/29-220-23 = 214 бит;

2) N = 21, неизвестно I;

3) Iт = K * I, I = Iт /К = 214/2048 = 214/211 = 23 = 8 бит - объем одного символа;

4)  N = 2⁸ = 256 символов - мощность алфавита.
Ответ: размер алфавита равен 256 символов.
№10

Для записи текста использовался 256-символьный алфавит. Каждая стра­ница содержит 30 строк по 70 символов в строке. Какой объем информации содержат 5 страниц текста?

Дано: N = 256, х = 30 - количество строк, у = 70 - количество символов в строке, М = 5 — количество страниц.

Найти:   Iт — ?

Решение: 1)1 = log2N = log2256 = 8 бит = 1 байт - объем одного символа;

2) К = х *у* М = 30*70*5 = 10500 символов - в тексте;

3)  Iт = I * K = 1*10500 = 10500 байт ~ 10 Кбайт - объем всего текста.

Ответ: объем всего текста 10 Кбайт.

№11

Сообщение занимает 3 страницы по 25 строк. В каждой строке записано по 60 символов. Сколько символов в использованном алфавите, если все сообщение содержит 1125 байтов?

Дано: 1т = 1125 байтов, х = 25 - количество строк, у = 60 — количество символов в строке, М = 3 - количество страниц.

Найти: N — ?

Решение: 1) N = 21 — неизвестно I;

2) Iт = I * К, I = Iт/К;

3)   К = х*у*М = 25*60*3 = 4500 символов - в тексте;

4)  I = Iт /К = 1125*8/4500 = 2 бита - объем одного символа;

5)  N = 2²  = 4 символа - в алфавите.

 Ответ: в алфавите 4 символа.

 № 12

Для записи сообщения использовался 64-символьный алфавит. Каждая страница содержит 30 строк. Все сообщение содержит 8775 байтов инфор­мации и занимает 6 страниц. Сколько символов в строке?

Дано: N = 64, М = 6, х = 30,  Iт = 8775 байтов.

Найти: у  - ?

Решение:

1)   К = х*у*М, у = К/(х*М) - неизвестно К;

2)  К = Iт /I - неизвестно I;

3)  I = log2N = log264 = 6 бит - объем одного символа;

4)  К = 8775*8/6 = 11700 символов в тексте;

5)  у = 11700/(30*6) = 65 символов в строке.

Ответ: в строке 65 символов.

№ 13

Сообщение занимает 2 страницы и содержит 1/16 Кбайта информации. На каждой странице записано 256 символов. Какова мощность используемого алфавита?

Дано: М = 2,  I = 1/16 Кбайта, K = 256.

Найти:  N - ?

Решение:

1)       выразим 1/16 Кбайта в битах: 1/2⁴*2¹⁹*2³=2⁹

2)       N = 2ⁱ – неизвестно I

3)       Iт = I * K, I = Iт/K=(I/2)/K=(2⁹/2)/2⁸=1 бит – объем одного символа

4)       N = 2ⁱ= 2 символов в алфавите.

Ответ: в алфавите 2 символа.

№ 14

Пользователь вводит текст с клавиатуры со скоростью 90 знаков в минуту.  Какое количество информации будет содержать текст, который он набирал  5 минут (используется компьютерный алфавит)?

Дано: V = 90 зн/мин, t = 15 мин, N = 256.

Найти: Пользователь вводит текст с клавиатуры со скоростью 90 знаков в минуту, кое количество информации будет содержать текст, который он набирал минут (используется компьютерный алфавит)?

Дано: V = 90 зн/мин, t = 15 мин, N = 256.

Найти: Пользователь вводит текст с клавиатуры со скоростью 90 знаков в минуту, кое количество информации будет содержать текст, который он набирал минут (используется компьютерный алфавит)?

Дано: V = 90 зн/мин, t = 15 мин, N = 256.

Найти:   I_т— ?

Решение:

1)  I_т = I*К;

2) К = V*t = 90*15 = 1350 символов содержит текст;

3) I = log₂N = log₂256 = 8 бит ~ 1 байт - объем одного символа;

4)  I = 1350*1 = 1350 байт -1,3 Кбайт - объем всего текста.

5)  Ответ: текст содержит 1,3 Кбайта информации.

№15

Пользователь вводил текст с клавиатуры 10 минут. Какова его скорость ввода информации, если информационный объем полученного текста равен 1 Кбайт?
Дано: t = 10 мин, I_т = 1 Кбайт.
Найти: V -?
Решение:    

1)  V = K/t, неизвестно К;

2) К = I_т /1, т.к. мощность компьютерного алфавита равна 256, то I = 1 байт;

Поэтому К = 1*1024/1 = 1024 символов в тексте.

3)           V = 1024/10    ~ 102 сим/мин.

Ответ: скорость ввода текста 102 символов в  минуту.

№16

Ученик 9 класса читает текст со скоростью 250 символов в минуту. При записи текста использовался алфавит, содержащий 64 символа. Какой объем формации получит ученик, если будет непрерывно читать 20 минут?

Дано: V = 250 сим/мин, N = 64, t = 20 мин.

Найти:   I_т — ?

Решение:

1)             I_т =I*К;

2)             I - log₂N = log₂64 = 6 бит - объем одного символа;

3)             К = V*t = 250*20 = 5000 символов в тексте;

4)                          I = 5000*6 = 30000 бит = 3750 байт ~ 3,7 Кбайт - объем текста.

Ответ: ученик получил 3,7 Кбайт информации.