Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Алгебра 10 - комбинаторика
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Алгебра 10 - комбинаторика

библиотека
материалов


ПЛАН УРОКА


Раздел программы: Анализ данных. Комбинаторика

Кол-во часов на раздел: 5

Тема урока: Основные понятия комбинаторики. Перестановка. Размещение. Сочетание.

Кол-во часов на тему: 2



Цели урока:


Образовательная: отработка навыков решения задач по формулам перестановки, размещения и сочетания.

Развивающая: развитие коммутативности (посредством работы в группе), навыков представления сделанной работы, развитие математического и творческого мышления.

Воспитательная: воспитание внимательности, толерантности, усидчивости.


Тип урока: комбинированный (командная игра).

Методы урока: объяснительно-иллюстративный, мультимедиа, метод тестового контроля, практический метод, игровой.

Форма работы на уроке: групповая.


Оборудование: интерактивная доска, учебник, флипчарт (с тестовым заданием), электронная презентация, видеоматериал, карточки с заданиями, бумага, карандаши, фломастеры.


Межпредметные связи: информатика (MS Exsel), теория игр, геология (рассеянность полезных ископаемых), биология (подсчет популяции и численности животных, расшифровка кода ДНК), экономика (вероятностный расчет биржевых операций), криптография.


Ход урока


  1. Организационный момент (5 мин) - (проверка наличия тетрадей, ручки). Сообщение темы и целей урока. Разделение на команды.

Интродукция (настрой на урок) – психологический тест на проверку внимательности.


Тест на внимательность.

  1. Прежде, чем приступить к выполнению работы, внимательно прочитайте все задания.

  2. Напишите свое имя в правом верхнем углу бумаги.

  3. Обведите свое имя в правом верхнем углу бумаги.

  4. Нарисуйте 5 маленьких четырехугольников в левом нижнем углу бумаги.

  5. Поставьте подпись под своим именем.

  6. Умножьте 70 на 30 на обратной стороне данного листа.

  7. Если вы внимательно следовали инструкциям, поставьте крестик после этого предложения.

  8. Когда вы внимательно прочитали все задания, сделайте то, что стоит в пунктах 1 и 2.

  9. Когда вы сделали то, что стоит в пункте 8, переверните бумагу – тест окончен.


  1. Актуализация опорных знаний (5 мин).

Вопросы:

  1. Чем занимается статистика?

  2. События – это?

  3. Какие бывают события?

  4. Давайте попробуем привести примеры из жизни случайных событий

  5. Достоверных и невозможных (ответы обучающихся).


Здесь чаще всего возникают проблемы с примерами.

Под невозможным понимается такое событие, которое не может произойти при данных обстоятельствах.


  1. Изучение нового материала (33 мин):


Игра: истоки комбинаторики.

Введение (3 мин)

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях знаний.


Чтобы более подробно рассмотреть истоки комбинаторики предлагаю поиграть.


Условия игры:

на столах лежат листы с распечатками. Команде дается 5 минут, чтобы их прочитать. Затем, с помощью тестового устройства, команды отвечают на представленные вопросы.


Вопросы Брейн-ринга (10 минут):

  1. Что означает термин «комбинаторика» - соединять, вычислять, перебирать?

  2. Кто ввел термин «комбинаторика» - Эйлер, Лейбниц, Ломоносов?

  3. В связи с чем впервые появилась необходимость в комбинаторике? В связи с развитием техники, в связи с появлением азартных игр и шифров, в связи с развитием медицины.

  4. Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов бытового обслуживания, способы пошива комбинезонов, способы решения задач на различные комбинации объектов.

  5. 5! - это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5, произведение натуральных чисел от 1 до 5

  6. Что называется блок-схемой? Графическое представление текстовой информации, схема решения уравнения, комбинаторные конфигурации наиболее общего вида

  7. Из скольких ветвей состоит комбинаторика? 4, 3,5

  8. Формула для расчета числа сочетаний? hello_html_754d8eb4.gif

  9. Перестановка - это…

  10. Факториал числа 3 равен? 3, 6, 9


Итоги игры.


Работа с презентацией (5 мин):

устный счет, область применения комбинаторики

Работа с флипчартом (5 мин).


На карте мире расположите область применения комбинаторики согласно региону (пример – общеизвестно, что наибольших успехов медицина достигла в Европе).

Формулы комбинаторики. Примеры вычислений (10 мин).


  1. Физминутка духовно-нравственной направленности (2 мин).

  2. Закрепление изученного (15 мин).


Презентация – Коперфильд (1 мин).


Теоретический материал.


Теория игр (2 мин).

Одной из областей применения формул комбинаторики является теория игр. Как только были придуманы первые азартные игры – появились люди, желающие обмануть удачу! Начали создаваться схемы для предполагаемой победы.


А насколько это реально? Выиграть?


Давайте для начала выберем игру: покер.

Наиболее выигрышные схемы в покере представлены на флипчарте.

Просчитаем возможность выигрыша при позиции флеш-рояль.


Видео материал (3 мин).

Расчет возможной комбинации флеш-рояля (3 мин).


Видео: Шулера и их приемы (1 мин).


Работа с учебником. Стр 141 №267 (5 мин)

Вывод.


Работа в группах (20 мин)


Я предлагаю вам поработать в группах.


Представьте себе, что вы работаете в отделе рекламы и вам нужно в короткие сроки предоставить информацию работодателю о качественном составе вашей группы по следующим критериям:


1 группа (составить возрастной ряд вашей группы, найти средний возраст в группе, посчитать вероятность того, что среди выбранных 2 учащихся будут 16 и 17-летние). Оформить возрастной ряд и результаты вычислений на бумаге.

Творческое задание – нарисовать рекламу группы.


2 группа (составить ростовой ряд вашей группы, найти средний рост в группе, посчитать вероятность того, что среди выбранных 2 учащихся будут учащиеся выше 165 см). Оформить ростовой ряд и результаты вычислений на бумаге.

Творческое задание – нарисовать рекламу группы.


3 группа (составить статистический ряд вашей группы по размерам обуви, найти средний размер в группе, посчитать вероятность того, что среди выбранных 2 учащихся будут учащиеся с размерами меньше 38). Оформить ряд и результаты вычислений на бумаге.

Творческое задание – нарисовать рекламу группы.


  1. Итоги работы в группе (оценки группе) – (6 мин).

Представление работ. Все листы с работами вывешиваются на доску.


Вопросы от обучающихся.


  1. Постановка домашнего задания (2 мин). § 23 № 272 (в данном номере необходимо расписать по определению факториал, сократить и решая оставшееся уравнение, найти к)


  1. Рефлексия (2 мин). Были ли у вас трудности в решении задания?

Возникали ли у вас проблемы при работе в группе?

Что больше всего вам понравилось на уроке?



Приложение

Задачи для учащихся

1. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в столовой?

3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется.

4. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться.

5. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

6. Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?

7. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя?

8. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?

9. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 4, 3, 6, при условии, что цифры в числе не повторяются?



Задачи на карточках для учащихся

Возможные решения задачи.

Ответы

Комментарии учителя

1. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

Необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков



Ответ: 3

В задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.

Очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов.

Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы.

2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в столовой?

Можно решить задачу, используя таблицу. Можно построить дерево возможных вариантов.



Ответ: 9

3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется.

Можно выписать возможные двузначные числа, расположить их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться.

Ответ на второй вопрос хорошо просматривается по дереву возможных вариантов.

Ответ: 6

4. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться.

Построим для этой задачи дерево возможных вариантов.



Ответ: 6

5. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?


Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. Число 35 и 53 означают одно и то же рукопожатие, и брать будем меньшее из них.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23, 24, 25, 26, 27, 28,

34, 35, 36, 37, 38,

45, 46, 47, 48,

56, 57, 58,

67, 68,

78.

получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий. Ответ: 28

Можно построить дерево возможных вариантов.

Довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться.

Введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить.

Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое – m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n+m способами. В примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.


6. Из класса нужно выделить одного

дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?

Выбрать одну девочку из 22 можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22) способами. Ответ: 40


7. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математи-ческих соревнований и его заместителя?

На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель – любой из 29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30 29 = 870 способов.

Ответ: 870

Правило умножения: пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы можем выполнить п1 способами, после чего второе действие можем выполнить п2 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить пk способами, тогда выполнить все k действия в указанном порядке можно п1 п2 пk способами. Применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий. Правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов.

8. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?


Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет (30 29) : 2.

Ответ: 435


9. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 4, 3, 6, при условии, что цифры в числе не повторяются?

Можно построить дерево возможных вариантов. Необходимо помнить, что нуль не может быть первой цифрой в числе. 4 . 4 . 3 = 48.

Ответ: 48

Всего в покере возможно 1326 различных комбинаций карманных карт. Первая карта может быть одной из 52, вторая – одна из 51, так как последовательность карт нам не важна (К9 то же что и 9К), то делим на два: 52*51/2=1326. Определенная пара (например, пара тузов) может быть сдана 6 способами (4*3/2), то есть пара тузов будет приходить вам каждую 221 сдачу (6/1326=1:221), а какая-нибудь пара – каждую 17 сдачу (всего 13 разных пар, 221/13=17). Две определенных непарных карты (например, АК) могут быть сданы 16 способами – 4 одномастных (АКs) и 12 разномастных (АКо).

Вероятность получить одномастные карты – 12/51=23,5%, а вероятность получить две карты определенной масти, например, две червы, в четыре раза меньше – 5,9%.

Как посчитать вероятность прихода хотя бы одному из оппонентов определенной карты? Например, нас интересует, какова вероятность, что хотя бы одному оппоненту был сдан туз. Неправильно взять вероятность прихода туза одному игроку (примерно 15% - вероятность прихода определенной карты без учета масти) и умножить ее на количество игроков, при 10 игрока получим вероятность 150%, чего быть в принципе не может. Легче всего найти вероятность, что туз не придет никому, она равна (1-0,15)^n (^n – в степени числа игроков). То есть вероятность, что туз будет сдан хотя бы одному из 10 игроков = 1-0,85^10=81%

Самой ценной и желанной комбинацией в покере есть Флеш Рояль. Это комбинация из пяти сильных карт одной масти (все равно какой). Но она, как и самая ценная, так и самая редкая — вероятность Флеш Рояль две десятитысячных доли процента.

Эта комбинация обеспечивает игроку победу и крупный выигрыш, любой игрок в покер будь он новичок или профессионал мечтает увидеть у себя на руках Флеш Рояль. Но, мечтая о Флеш Рояле не стоит забывать, что в основном приходится иметь дело с заурядными комбинациями, вероятность которых намного выше.

Но бывает и такое, в 1994 году в одном из казино Лас-Вегаса американец Алекс Хемстридва раза подряд собрал Флеш

Рояль. Вероятность собрать Флеш Рояль дважды равна вероятности того что, посадив обезьяну за рояль, она сыграет отрывок Лунной сонаты. Еще один случай — казино Флориды установило джек-пот для игрока, который соберет пиковый  Флеш Рояль. Этим счастливчиком оказался постоянный игрок Леонидес Лопес Мартинес который с карманными туз и король пик уже на флопе получил заветную комбинацию. Его выигрыш составил $195,423!



Краткое описание документа:

К уроку прилагаются видеоматериал и презентации. 

Общие замечания к проведению урока.

            Устные упражнения с просмотром презентации позволяют ускорить темп работы, усилить интерес учащихся, способствуют развитию сообразительности, смекалки, внимания и воспитанию дисциплинированности.

            При анализе самостоятельной работы с условием и решением на экране, осуществляется повторение ранее изученного материала:

-        репродуктивный метод поможет проверить умения связно отвечать;

-        частично-поисковый метод позволит проверить осознанность усвоения вычисления, способствует развитию умения сопоставлять, анализировать и обобщать;

-        необходимо поощрять творческую работу учащихся, и рассматривать задачи практической направленности.

            Через использование частично-поискового метода и через индивидуальные и групповые способы организации познавательной деятельности происходит повторение и закрепление правил и формул комбинаторики.

            Создание проблемных ситуаций делает процесс обучения активным, дифференцированным, обеспечивает связь с жизнью.

 

            Работа каждого должна быть оценена, тогда учебно-воспитательный момент положительно повлияет на конечный результат урока. 

Автор
Дата добавления 17.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров478
Номер материала 192164
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх