Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 224 курсов со скидкой 40%

Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.

библиотека
материалов



Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» для 10 «Г» класса составлена на основе авторской программы А.Н. Землякова элективного курса «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» М. «Бином. Лаборатория знаний» 2012 год, составитель А.Н. Земляков. При составлении рабочей программы учтены рекомендации инструктивно-методического письма «О преподавании математики в 2014-2015 учебном году в общеобразовательных учреждениях .

Курс «Алгебра плюс» систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.

Основной целью изучения курса является:

  1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

  2. Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.

  3. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.

  4. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.

При изучении курса « Алгебра плюс» перед учащимися ставятся следу­ющие конкретные задачи:

- получение знаний об основных логических и содержатель­ных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональ­ными функциями/выражениями; овладение навыками со­ответствующих алгебраических преобразований выраже­ний и логических преобразований алгебраических задач;

- овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;

освоение методов решения и исследования вычислитель­ных и логических задач с параметрами;

получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, алгебры, математиче­ского анализа) с элементарной алгеброй на основе исполь­зования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.


Место курса в учебном плане

Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры по сборнику Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. Рабочая программа рассчитана на 34 часа, 1 час в неделю. в 10 классе-34 часа, из них 3 часа контрольные работы. В 10 классе изучаются темы «Логика алгебраических задач», «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения» и «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства».


Требования к уровню подготовки учащихся

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существо­вания и всеобщности, кванторы. Логические задачи с парамет­рами. Координатная интерпретация задач с параметрами.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано— Тарталья,

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координат­ная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основ­ные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограни­ченности, оценок и монотонности. Системы с тремя перемен­ными — основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).


Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

- умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.


Общеинтеллектуальные умения:

- умение анализировать различные задачи и ситуации, вы­делять главное, достоверное в той или иной информации;

- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

- умение конструктивно подходить к предлагаемым зада-

- умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.


Общекультурные компетенции:

- понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

- понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;

- восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Учебно-тематический план

п/п

Наименование разделов, тем

Часы учебного времени

Плановые сроки прохождения тем

Примечание

1

Логика алгебраических задач

6часов



2

Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

22часа



3

Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

6 часов





Программа курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

Элементарные алгебраические задача как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.


Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических выражения. Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановка, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенств: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.


Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

Представление о рациональных алгебраических выражениях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

Дробо-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Содержание курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и нера­венства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плос­кости.


Тема 2. Многочлены и полиномиальные

алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических вы­ражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Т.. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Об­щая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение,

теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема зна­ков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х3+Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплекс­ных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представ­ление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.


Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Представление о рациональных алгебраических выраже­ниях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные много­члены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравне­ний.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебра­ических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.









Учебно-методический комплекс:


1.Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-118с.: ил.

2. .Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.-319с. ил.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – М.: «Просвещение», 2012

4.Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.-М.:Илекса,2012,-208с.

5.Шепелева Ю.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10класс. Базовый и профильный уровни. – М.: «Просвещение», 2012







































Календарно-тематическое планирование по элективному курсу

Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи

для 10 «Г» класса уч. Хоружая Н.А.

урока

Тема урока

Дата

Прим.


План

Факт.


Глава 1. Логика алгебраических задач

§ 1. Основные понятия: алгебраические задачи, реше­ния, равносильность





1

Алгебраические задачи как предложения с пе­ременными

Равносильность и следование задач


5.09



2

Равносильность уравнений и систем с одной пе­ременной

Совокупности и системы алгебраических за­дач


12.09



3

Следование уравнений с одной переменной

Неравенства с переменной и числовые неравен­ства

19.09




§2. Задачи с параметрами и логические алгебраические за­дачи


26.09



4

Что такое задача с параметром

Логические задачи с параметрами


3.10



5

Логические и кванторные формулировки за­дач с параметрами

Функционально-графическая интерпретация за­дач с параметрами

10.10



6

Координатная интерпретация задач с парамет­рами

Контрольная работа по теме «Логика алгебраических задач»


17.10




Глава 2. Многочлены и полиномиальные алгебраиче­ские уравнения


§ 2. Корни многочленов. Теорема Везу





7

Числовые кольца и поля. Кольца многочле­нов

Корни многочленов и полиномиальных уравне­ний

24.10



8

Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу


31.10



9

Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффинн—Горнера


14.11



10

Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена


21.11



11

Формулы сокращенного умножения

28.11



12

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа



5.12




§ 3. Разложение многочленов. Теорема Виета и комбина­торика





13

Полностью разложимые многочлены. Первые тео­ремы Виета .Решение систем Виета. Пример


12.12



14

Комбинаторное отступление 1: перестановки ...

Перестановки с повторениями и системы Ви­ета

19.12



15

Комбинаторное отступление 2: сочетания

Комбинаторное отступление 3: размещения.


26.12



16

Общие система и теорема Виета


16.01



17

Формула Ньютона для степени бинома

23.01




§ 4. Уравнения низших степеней





18

Линейная замена переменной в квадратном трехчлене


30.01



19

Линейная замена переменной в многочленах


6.02



20

Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля

13.02



21

Решение кубических уравнений


20.02



22

Графическое исследование кубического уравнения

27.02



23

Уравнения степени 4: схема Феррари

6.03




§5. Уравнения разных степеней. Методы упрощения

Простейшие полиномиальные уравнения

Линейные замены, основанные на симметрии





25

Метод разложения. Поиск рациональных корней

13.03



26

Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений

3.04



27

Применение теоремы о корнях к числовым задачам

10.04



28

Разложение методом неопределенных коэффициентов

Контрольная работа по теме «Многочлены и полиномиальные алгебраиче­ские уравнения»

17.04




Глава 3. Рациональные алгебраические уравнения и нера­венства

§ 6. Рациональные алгебраические уравнения






29

Рациональные алгебраические выражения и задачи

Метод замены

24.04



30

Симметрические и кососимметрические уравнения

30.04




§ 7. Рациональные алгебраические неравенства





31

Зачем бывает нужно решать неравенства?

.Простейшие рациональные неравенства

8.05



32

Методы решения рациональных алгебраических неравенств

15.05



33

Сведение к системам неравенств

Метод интервалов

22.05



34

Метод замены

Контрольная работа по теме «Рациональные алгебраические уравнения и нера­венства»


29.05






.

.





Краткое описание документа:

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса  «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи»  для 10 «Г» класса составлена на основе авторской программы  А.Н. Землякова  элективного курса  «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» М. «Бином. Лаборатория знаний» 2012 год, составитель А.Н. Земляков. При составлении рабочей программы учтены рекомендации инструктивно-методического письма «О преподавании математики в 2014-2015 учебном году в общеобразовательных учреждениях .

Курс «Алгебра плюс» систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.

          Основной целью изучения курса является:

1.     Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

2.     Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.

3.     Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.

4.     Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.

При изучении курса « Алгебра плюс» перед учащимися ставятся следу­ющие конкретные задачи:

- получение знаний об основных логических и содержатель­ных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональ­ными функциями/выражениями; овладение навыками со­ответствующих алгебраических преобразований выраже­ний и логических преобразований алгебраических задач;

- овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;

— освоение методов решения и исследования вычислитель­ных и логических задач с параметрами;

— получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, алгебры, математиче­ского анализа) с элементарной алгеброй на основе исполь­зования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

 

Место курса в учебном плане

Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры по сборнику Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. Рабочая программа рассчитана на 34 часа, 1 час в неделю. в 10 классе-34 часа, из них 3 часа контрольные работы. В 10 классе изучаются темы  «Логика алгебраических задач», «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения» и  «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства».

       

 

Требования к уровню подготовки учащихся

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, нера­венства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существо­вания и всеобщности, кванторы. Логические задачи с парамет­рами. Координатная интерпретация задач с параметрами.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано— Тарталья,

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координат­ная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основ­ные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограни­ченности, оценок и монотонности. Системы с тремя перемен­ными — основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

 

Предметные  умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные  преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

- умение   использовать   основные   методы   при   решении       алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены,  разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

 

Общеинтеллектуальные умения:

- умение анализировать различные задачи и ситуации, вы­делять главное, достоверное в той или иной информации;

- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

- умение конструктивно подходить к предлагаемым зада-

- умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

 

Общекультурные компетенции:

- понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

- понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;

- восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Учебно-тематический план

№ п/п

Наименование разделов, тем

Часы учебного времени

Плановые сроки прохождения тем

Примечание

1

Логика алгебраических задач                                           

6часов

 

 

2

Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

22часа

 

 

3

Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

6 часов

 

 

 

 

Программа курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

   Элементарные алгебраические задача как предложения с переменными. 

   Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

   Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

   Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

   Алгебраические задачи с параметрами.

   Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

   Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

 

Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

   Представление о целых рациональных алгебраических выражения.        Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.

   Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

   Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:  теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

   Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

   Элементы перечислительной комбинаторики: перестановка, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

   Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

   Квадратичные неравенств: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

   Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

   Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

   Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

   Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

   Линейная замена, основанная на симметрии.

   Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

   Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

   Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

 

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

   Представление о рациональных алгебраических выражениях.

   Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

   Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

   Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

   Дробо-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения  к совокупностям систем.

   Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

   Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

  

Содержание курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

Элементарные   алгебраические   задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и нера­венства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плос­кости.

 

Тема 2. Многочлены и полиномиальные

алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических вы­ражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Т.. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Об­щая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение,

теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема зна­ков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

 Графический анализ кубического уравнения х3+Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплекс­ных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представ­ление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

 

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Представление о рациональных алгебраических выраже­ниях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные много­члены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравне­ний.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебра­ических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс:

 

1.Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-118с.: ил.

2. .Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.-319с. ил.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – М.: «Просвещение», 2012

4.Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.-М.:Илекса,2012,-208с.

5.Шепелева Ю.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10класс. Базовый и профильный уровни.  – М.: «Просвещение», 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Календарно-тематическое планирование по  элективному курсу

Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи

для 10 «Г»  класса  уч. Хоружая Н.А.

№ урока

Тема урока

Дата

Прим.

 

План

Факт.

 

Глава 1. Логика алгебраических задач

§ 1. Основные   понятия:   алгебраические   задачи,   реше­ния, равносильность  

 

 

 

 

1

Алгебраические задачи как предложения с пе­ременными

Равносильность и следование задач

 

5.09

 

 

2

Равносильность уравнений и систем с одной пе­ременной

Совокупности   и   системы   алгебраических   за­дач

 

12.09

 

 

3

Следование уравнений с одной переменной

Неравенства с переменной и числовые неравен­ства

19.09

 

 

 

§2. Задачи с параметрами и логические алгебраические за­дачи  

 

26.09

 

 

4

Что такое задача с параметром

Логические задачи с параметрами

 

3.10

 

 

5

Общая информация

Номер материала: 489463

Похожие материалы