Алгоритм решения дробных-рациональных неравенств

Алгоритм решения дробных - рациональных неравенств

 >(<)

1. Перенести все в одну сторону с противоположным знаком.

2. Разложить знаменатели на линейные множители или их степени.

3. Привести к общему знаменателю:

ü  разложить на множители в знаменатели дробей;

ü  под общей дробной чертой выписать множители первой дроби;

ü  приписать к нему недостающие множители второго, третьего,…знаменателя, одинаковые сомножители записать в виде степеней.

и записать его под общей дробной чертой.

4. Записать под каждой дробью дополнительные множители.

5. В числители общей дроби записать результаты умножения числителя каждой дроби на дополнительные множители, при этом используя:

ü  правила умножения одночлена на одночлен;

ü  правила умножения многочлена на многочлен

ü  правило раскрытия скобок.

6. В числители привести подобные и разложить его на множители.

Получим:

  >(<) 0   

   -дробное - рациональное неравенство вида I-III

I. Линейные неравенства и неравенства сводимые к ним (если осталась одна линейная скобка).

x-b>(<)0, (x-a)²≠0, (x-c)²≠0, (x-d)²≠0,  ≠0, (x-m)²≠0, (x-k)²≠0;

Алгоритм решения

Пусть числа a<b<c<d<e<f<m<n<k…

1. Строгие неравенства:

 >(<)0   <=>

 

<=>

			a                b                c                       d               e               m             n               k                                   x

 

a              b                     c                 d                    e                        m              n                    k              x

­­­­­

Ответ: (b,c)È(c,d)È(d,e)

Ответ: (-∞,a) È(a,b).

2. Нестрогие неравенства:

 ≥(≤)0    <=>

(x-a)²≠0, X ≤ e, X ≠ d, X ≠ k, X ≠ m.

x-b≥(≤) 0, e-x≥(≤)0, (x-a)²≠0, (x-k)²≠0, (x-m)²≠0.

     

или              

			(x-c)²≠0 X ≤ e X ≠ d x≠ k x ≠m

 

или

или         

 

   <=>­­                                                                                                                               

 

­­­­­­­       ­­                                                      x=a, т.к a∈ обл.опред.;x=c, т.к. c∈ обл.опред; x=e, т.к. e∈ обл.опред;

b         d        e       m      k       x

Объединим полученные решения:

 

     a         b       c          d                              e                                                     x

Ответ: [b;d)È(d;e], x=a.

 

                                                                             

         b           d              e                    m              k                                                  x  

  x≤b или x=a или x=c или x=e             

Объединим полученные решения;

 

                                                                                                                       

            a           b           c             d                e                                             x

Ответ: (-∞;b), x=c, x=e.

II. Квадратные неравенства и неравенства сводимые к ним (когда две линейные функции).

1). ax²+bx+c>(<)0   <=> a(x-)(x-) >(<)0 (D>0)

2).  >(<)0 <=> (x-a)(x-b) >(<)0

3).   ≥(≤)0 <=> ,

Неравенства вида 1)-3) решаем с помощью параболы (когда две линейные функции).

Решая неравенства вида 1) -3) изображаем одну из шести парабол.

Т.о. в неравенствах I-II вида проводится пропедевтика решения неравенств методом интервалов.

>(<)0 (x-a)²≠0 (x-c)²≠0                       <=> >0 (x-d)²≠0 (x-m)²≠0 (n-x)²≠0

 >(<)0     <=>  

<=>

 

+                                                            -                                                   +

                                                                                                                   

             a         b        c           d            e           m               n           k             x

Ответ: (-∞;a) È(a;b).

Ответ: (b;с) È(с;d) È(d;e).

 ≥(≤)0     <=>

x=e x≠d x≠m x≠n

X=c x≤e x≠d x≠m x≠n

x≠a x≤e x≠d                       x≠m x≠n

≥(≤)0

<=>

или

или

или

x≤e

x≠m

x≠n

x≠d                                                                                                                                                                        

 

 

+                    _                                                                    +

                                                                                                                             

              b          d         e           m         n            k                                              x

(-∞;b] или x=a или x=c или x=e.

[b;d)È(d;e]  или x=a или x=c или x=e.

Объединим полученные решения:

 

        a      b         c        e                                         x

 

                                                                                        

          a          b         c        d         e                            x

Ответ:   (-∞;b]  , x=c,  x=e.

Ответ: [b;d)È(d;e) ,  x=a.

III. Неравенства высших степеней.

Метод интервалов (если остается линейных скобок больше или равно трем).

 >(<)0     <=>

>(<)0 x≠a x≠c x<e x≠d x≠m

     

 

                                                                                                      

   a     b    c     d   e    m  n        k                                                    x

(x-a)²=0 x≤e        x≠d           или x≠m

≥(≤)0 e-x≥0           или x≠d x≠m

Ответ: (-∞; a)È(a;b).

Ответ: (b;c)È(c;d)È(d;e).

 ≥(≤)0     <=> 

 

(x-c)²=0 x≤e        x≠d           или x≠m

                                           

Ответ: (-∞;b], x=c, x=e.

Ответ: [b;d)È(d;e], x=a.