Алгоритмы решения задач по теории вероятностей и математической статистике

ГАПОУ ПО ПЕНЗЕНСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ

ОТДЕЛЕНИЕ ТРАНСПОРТА И ДОРОЖНОГО ХОЗЯЙСТВА

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

по математике

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Преподаватель: Полянская А.И.

2015г.

1.Решения задач, когда все элементарные события равновероятны: .

Умения	Алгоритм действий
Решения задач, когда все элементарные события равновероятны: .	1. Подсчитывается количество всех элементарных событий . 2. Подсчитывается количество всех благоприятных элементарных событий . 3. делится на .

Задание 1.Какова вероятность, что первый вынутый билет из урны окажется выигрышным, если в урне 50 билетов и из них 10 выигрышных?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Подсчитать количество  всех возможных вариантов вынуть билет.	Количество всех возможных вариантов вынуть билет =10
2	Подсчитать количество  всех возможных вариантов вынуть выигрышный билет.	Количество всех возможных вариантов вынуть выигрышный билет =10.
3	Разделить на .	.

2. Подсчет геометрических вероятностей:   

Умения	Алгоритм действий
Подсчет геометрических вероятностей:	1. Вычисляется вся площадь . 2. Вычисляется вся благоприятная площадь . 3.  делится на .

Задание 2. Биатлонист, стреляет в круг радиуса R=2 см. В этот круг биатлонист попадает с вероятностью 1. Попадание в любую точку круга равновероятно. Внутри круга радиуса R=2 см находится круг радиуса R=1 см. Если биатлонист не попадает в меньший круг, он будет обязан бежать штрафной круг. Какова вероятность. Что биатлонист не побежит штрафной круг.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычислить площадь  большого круга.	Площадь большого круга равна .
2	Вычислить площадь малого круга	Площадь малого круга равна
3	Разделить  на .	.

3. Вероятности, связанные с подсчетом числа перестановок:   

Умения	Алгоритм действий
Вероятности, связанные с подсчетом числа перестановок:	1. Подсчитывается количество всех перестановок 2. Подсчитывается количество всех благоприятных подстановок  . 3.  делится на

Задание 3. Имеется собрание сочинений из 6 томов некого автора. Все 6 томов расставляются на книжной полке случайным образом. Какова вероятность того, что тома распложаться в порядке 1,2,3,4,5,6 или 6,5,4,3,2,1?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычислить количество всех возможных перестановок.	Количество всех перестановок равно :
2	Вычислить количество всех благоприятных перестановок .	Количество всех благоприятных перестановок =2
3	Разделить на !	.

4. Вероятности, связанные с подсчетом числа размещений:   

Умения	Алгоритм действий
Вероятности, связанные с подсчетом числа размещений:	1. Подсчитывается количество всех размещений . 2. Подсчитывается количество всех благоприятных размещений. 3.  делится на .

Задание 4. Имеется собрание сочинений из 6 томов некоего автора. На верхней полке умещаются только 4 тома. Эти 4 тома берут из 6 томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова  вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2,3,4 или 4,3,2,1?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычислить количество всех возможных размещений.	Количество всех возможных размещений равно
2	Вычислить количество всех благоприятных размещений .	Количество всех благоприятных размещений .
3	Разделить на .	.

5. Вероятности, связанные с подсчетом числа сочетаний:

Умения	Алгоритм действий
Вероятности, связанные с подсчетом числа сочетаний:	1. Подсчитывается количество всех сочетаний . 2. Подсчитывается количество всех благоприятных сочетаний. 3.  делится на .

Задание 5. Имеется собрание сочинений из 6 томов некоего автора. На верхней полке умещаются только 4 тома. Эти 4 тома берут из 6 томов случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность того, что для размещения на верхней полке будут выбраны тома 1,2,3,4?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычислить количество всех возможных сочетаний.	Количество всех возможных сочетаний равно
2	Вычислить количество всех благоприятных сочетаний .	Количество всех благоприятных сочетаний равно .
3	Разделить на .	.

6. Независимые события   .

Умения	Алгоритм действий
Независимые события .	1. Оцениваются вероятности  событий    и их отрицаний, ,. 2.Пишутся, какие сочетания  ; , ,.    соответствуют оцениваемому событию. 3.Используется формула  для независимых событий.

Задание 6. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания стрелков в мишень равны:  Какова вероятностьтого, что:

а) все три выстрела окажутся успешными?

б) хотя бы один из трёх выстрелов окажется успешным?

в) один выстрел окажется успешным, два не успешными выстрелами?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Дать определения событиям -событие-все три выстрела оказались успешными	- событие- первый стрелок попал в мишень: - событие – второй стрелок попал в мишень: -событие – третий стрелок попал в мишень:
2	- событие – хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным.
3	- событие - один выстрел окажется успешным, а два не успешными выстрелами.

7. Формула полной вероятности:

Умения	Алгоритм действий
Формула полной вероятности: .	1.Выделяется полная группа событий . Подсчитываются вероятности  ; 2.Подсчитываются условные вероятности  3. Значения  и  подставляются в формулу полной вероятности:

Задание 7. Идет охота на волка. В охоте учувствуют 4 охотника.

-событие – волк вышел на 1-го охотника.- событие – волк вышел на 2-го охотника.

- событие – волк вышел на 3-го охотника.- событие – волк вышел на 4-го охотника.

Вероятность выхода волка на 1- го охотника равна .

Вероятность выхода волка на 2- го охотника равна .

Вероятность выхода волка на 3- го охотника равна .

Вероятность выхода волка на 4- го охотника равна .

Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел не него, равна .

Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел не него, равна .

Вероятность убийства волка третьим хотником, если волк вышел не него, равна .

Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел не него, равна .

Какова вероятность убийства волка?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Выделяется полная группа событий         ,  для
2	Вычисляются условные вероятности
3	Значения и подставляются в формулу полной вероятности

8. Формула Байеса:         

Умения	Алгоритм действий
Формула Байеса:	1.Выделяется  полная группа событий . Подсчитываются вероятности 2. Подсчитываются условные вероятности  3. Значения  (и , подставляются в формулу Байеса.

Задание 8. 15% всех мужчин и 5% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин считается одинаковым.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Выделяется полная группа событий - событие – выбранное лицо- дальтоник.	- событие – наугад выбранное лицо- мужчина. - событие – наугад выбранное лицо-женщина.
2	Вычисляются условные вероятности .
3	Значения  и подставляются в формулу Байеса

9. Математическое ожидание , дисперсия , стандартное отклонение  дискретной случайной величины.

Умения	Алгоритм действий
Математическое ожидание , дисперсия , стандартное отклонение дискретной случайной величины.	1. Составляется таблица распределения дискретной случайной величины. 2. Подсчитываются математическое ожидание 3. Подсчитывается дисперсия 4. Подсчитывается стандартное отклонение

Задание 9. Случайная величина задана рядом распределения:

	-3	0	1	4
	0,1	0,3	0,4	0,2
	9	0	1	16

Найти математическое ожидание , дисперсию ,, вероятности  . Найти математическое ожидание , дисперсию ,.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычисляется математическое ожидание
2	Вычисляется дисперсия  и  .
3	Вычисляются
4	Вычисляются , дисперсию ,.

10. Биномиальное распределение:   

Умения	Алгоритм действий
Биномиальное распределение:	1.Подсчитываются нужные биномиальные коэффициенты . 2.Значения   ,,  подставляются в формулу Бернулли.

Задание 10. Футболист бьёт 5 раз пенальти. Вероятность,  забить при одном ударе – 0,8. какова вероятность того, что будет забито ровно 3 мяча? Более 2?Найти математическое ожидание , дисперсию .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записываются значения
2	Вычисляются
3	Вычисляется математическое ожидание
4	Вычисляется дисперсия

11. Распределение Пуассона:        

Умения	Алгоритм действий
Распределение Пуассона:	1. Определяется значение параметра   распределения Пуассона. 2.Вероятности  или берутся из таблицы или подсчитываются самостоятельно.

Задание 11. Количество принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков =5. какова вероятность того, что будет принято за час точно 3 звонка? Более 2?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записывают значения .	.
2	Вычисляется или берется из табл. 1
3	Вычисляется или определяется с помощью табл. 2

12. Математическое ожидание   , дисперсия , стандартное отклонение , вероятности  непрерывной случайной величины.

Умения	Алгоритм действий
Математическое ожидание  , дисперсия,стандартное отклонение ,вероятности непрерывной случайной величины.	1. Выписывается функция распределения  и плотность распределения непрерывной величины 2. Подсчитывается математическое ожидание 3. Подсчитывается дисперсия  . 4. Подсчитывается стандартное отклонение 5. Подсчитывается

Задание 12. Функция плотности случайной величины имеет вид:

Найти математическое ожидание , дисперсию ,

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записывается функция плотности . Затем вычисляется математическое ожидание.
2	Вычисляется .
3	Вычисляется .

13. Математическое ожидание  , дисперсия,стандартное отклонение , вероятности   равномерного распределения.

Умения	Алгоритм действий
Математическое ожидание,дисперсия ,стандартное отклонение ,вероятности равномерного распределения.	1. Выписывается функция распределения равномерного распределения (определяется интервал , где случайная величина равномерно распределена). 2. Подсчитывается математическое ожидание 3. Подсчитывается дисперсия 4. Подсчитывается стандартное отклонение 5. Подсчитывается

Задание 13. Случайная величина – время ожидания дождя в сутках - имеет равномерное распределение на отрезке . Найти математическое ожидание , дисперсию , вероятности

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записывается функция плотности .
2	Вычисляется математическое ожидание
3	Вычисляется .
4	Вычисляется

14. Расчет наработки на отказ  и вероятности .

Умения	Алгоритм действий
Расчет наработки на отказ  и вероятности .	1. Определяется значение параметра  экспоненциального распределения 2. Определяется наработка на отказ  и вероятность .

Задание 14. Вероятность безотказной работы прибора в течение  часов равна  .- момент отказа прибора. Найти математическое ожидание  - среднюю наработку на отказ  и вероятность безотказной работы прибора в течение 500 ч.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записывается функция плотности .
2	Записывается функция распределения .
3	Вычисляется математическое ожидание.
4	Вычисляется

15. Нормальное распределение. Правило трех сигм

Правило двух сигм  Правило одной сигмы 

Умения	Алгоритм действий
Нормальное распределение. Правило трех сигм Правило двух сигм Правило одной сигмы	1. Определяются значение параметров  и нормального распределения. 2.Значения и  подставляют в формулу     3.Значения и берутся из таблицы нормального распределения. 4.Подсчитывается вероятности с помощью правил трех сигм , двух сигм и одной сигмы.

Задание 15. Случайная величина имеет нормальное распределение ;- среднеквадратическое отклонение  . Найти

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записывается .
2	Вычисляется
3	Вычисляется
4	Вычисляется с помощью правила одной «сигмы».
5	Вычисляется с помощью правила двух «сигм».
6	Вычисляется    с помощью правила трех «сигм».

16. Неравенство Чебышева       

Умения	Алгоритм действий
Неравенство Чебышева	1.Определяются ,,. 2.Значения., , а подставляются в неравенство Чебышева.

Задание 16. Все мужчины – случайная величина со средним 80 кг и дисперсией 50 кг².

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что вес случайно встреченного мужчины отличается от среднего на величину большую 10 кг.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Записываются
2	Подставляются значения в неравенство Чебышева	Из неравенства Чебышева следует

17. Предельная формула Пуассона для последовательности независимых испытаний Бернулли.

Умения	Алгоритм действий
Предельная формула Пуассона для последовательности независимых испытаний Бернулли.	1. Подсчитывается значение  =пр.  Придействует формула Пуассона:

Задание 17. Вероятность детали быть бракованной равна 0, 01. Произведено 300 деталей. Какова вероятность того, что в этой партии точно 4 бракованные детали? Более 4?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычисляется произведение
2	Подставляется значение в формулу Пуассона и подсчитывается

18. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа для последовательности независимых испытаний Бернулли.

Умения	Алгоритм действий
Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа для последовательности независимых испытаний Бернулли.	1.Подсчитывается значение =пр.  При действует формула Муавра-Лапласа 2.Значения и находятся из таблиц нормального распределения.

Задание 18. Игральную кость бросают 600 раз. Какова вероятность того, что число выпадений шестерки будет между 90 и 105?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Вычисляется произведение	.
2	Вычисляется значение	.
3	Вычисляются значения   .
4	Значения  берутся из таблицы  нормального распределения.

Краткое описание документа:

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

по математике

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1.Решения задач, когда все элементарные события равновероятны.

2. Подсчет геометрических вероятностей.

3. Вероятности, связанные с подсчетом числа перестановок.

4. Вероятности, связанные с подсчетом числа размещений.

5. Вероятности, связанные с подсчетом числа сочетаний.

6. Независимые события.

7. Формула полной вероятности.

8. Формула Байеса.

9. Математическое ожидание , дисперсия , стандартное отклонение  дискретной случайной величины.

10. Биномиальное распределение.

11. Распределение Пуассона.