Анализ учебников по программе Н.Б. Истоминой. Задачи на нахождение четвертого пропорционального.

Анализ учебников по программе Н.Б. Истоминой. Задачи на нахождение четвертого пропорционального

В задачах этого вида даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Использую любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составит шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

1)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р		2 шт.	?
Т		4 шт.	4 р.

2)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р		2 шт.	2 р.
Т		?	4 р.

3)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.		?
Т	2 р.		10 р.

4)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.		5 р.
Т	?		10 р.

5)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	10 шт.
Т	?	5 шт.

6)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	?
Т	2 р.	5 шт.

Рассмотрев учебники 3-4 класса, замечаем, что в 3 классе второй части учебника первый раз встречается задача на нахождение четвертого пропорционального 3 вида.  С ним же и начинается знакомство детей с задачами тройками.

3 вид:

М3И, часть 2, стр. 21

Масса 1 банки	Количество банок	Общая масса
3 кг		27 кг
5 кг		?

В работе с 3 видом задачи по программе Истоминой предлагается интересное задание, где детям нужно выбрать таблицу, подходящую к тесту задачи.

5 вид:

Следом, буквально на следующем уроке появляется задача 5 вида.

 М3И, часть 2, стр. 22

	Кол-во на 1 костюме пуговиц	Количество костюмов	Всего пуговиц
Б	6 шт.	3 к.
М	?	2 к.

Работая с задачей 5 вида, по Истоминой ученикам предлагают основу таблицы, куда необходимо внести данные задачи.

1 вид:

И только на 32 странице 2 части учебника 3 класса, ученики знакомятся с задачей 1 вида. Специального урока для ввода такого вида задачи нет, учитель планирует его самостоятельно.

 М3И, часть 2, стр. 32

Количество рейсов за 1 день	Количество дней	Общее кол-во рейсов
	5 д.	30 р.
	3 д.	?

2 вид:

Далее, в этом же учебнике, мы встречаем задачу, которая относится ко второму виду. Как и говорилось выше, отдельного урока знакомства с такими задачами программа не предусматривает. Никак не выделяется, находится в списке других разных заданий.

 

М3И, часть 2, стр. 43

Покупатели	Цена	Количество марок	Стоимость всех марок
Нина		9 шт.	81 р.
Марина		?	36 р.

6 вид:

М3И, часть 2, стр. 55

В 3 классе 2 части учебника уже во второй раз встречается задача на обратнопропорциональную зависимость (В первый раз это была задача 5 вида).

	Масса пшена в день	Количество дней	Общая масса
2	5 кг	18
3	9 кг	?

В данных задачах мы видим иную зависимость, в отличие от предыдущих видов задач. Здесь, чем больше расход на 1, тем меньше количество при постоянном общем расходе. На данный вид задачи не отводится в учебнике отдельного урока или части на объяснение. А значит учитель должен сам подготовить материал и провести с классом работу по ознакомлению с таким видом задач.

4 вида задачи в учебниках так и не было обнаружено. А значит учитель должен сам его ввести и объяснить классу.

Анализ учебников по программе Н.Б.Истоминой показывает, что специального урока на изучение не выделяется ни для какого вида задачи на четвертое пропорциональное. А это значит, что работу составляет и проводит учитель сам для класса. На 1 вид должно выделяться примерно 1-2 недели, не забывая о формировании общих умений решать задачи.

Задачи на пропорциональное деление или на нахождение неизвестного по двум суммам     

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Их тоже 6.

1)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р		2 шт.	? ?
Т		4 шт.

2)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р		? ?	2 р.
Т			4 р.

3)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.		12 р. ?
Т	2 р.

4)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	? ?		4 р.
Т			8 р.

5)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	? ?	3 шт.
Т		4 шт.

6)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	4 р.	? ?
Т	3 р.

Анализ учебников по программе Н.Б. Истоминой

Данные задачи вводятся также в 3 классе, вперемешку с задачами на четвертое пропорциональное.

1 вид:

М3И, часть 2, стр. 44

	Цена	Количество	Стоимость
Коля		9 т.	?             ?
Вася		5 т.

На 1 вид задачи на пропорциональное деление в учебнике не выделяется специального урока, задача появляется вместе с другими заданиями, без каких-либо подсказок-таблиц для детей. А это значит, что учителю необходимо наглядно продемонстрировать, как будет выглядеть таблица и решаться задача такого вида.

3 вид:

М4И, часть 1, стр. 103

	Количество в 1 пачке	Количество пачек	Всего
Н.ШК.	16 к.		1040к. ?
СТ.КЛ.	24 к.

2 вид:

Изучение видов задач на пропорциональное деление не последовательно. 2 вид мы встречаем после изучения 1 и 3, в 4 классе второй части учебника.

М4И, часть 2, стр. 47

	Скорость	Время	Расстояние
1 день		? ?	18 км
2 день			27 км

4-6 виды в учебнике по программе Истоминой не рассматриваются. Если класс сильный, то можно рассмотреть с ними все 6 видов, если недостаточно, то только первые 4. Учитель сам продумывает тематический план их введения.

Таким образом, задачи на пропорциональное деление - задачи, включающие в себя две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

Включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух видов задач.

1)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р		2 шт.	? на 2 р. меньше
Т		?	?

2)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р		? на 2 шт. меньше	2 р.
Т		?	4 р.

3)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.		? на 4 р. меньше
Т	2 р.		?

4)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	?		2 р.
Т	? на 1 р. больше		4 р.

5)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	? на 1 р. больше	2 шт.
Т	?	4 шт.

6)     

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	?
Т	2 р.	? на 2 шт. больше

Анализ учебников по программе Н.Б. Истоминой

1 вид:

М4И, часть 1, стр.34

Для 1 вида по программе не выделяется специальный урок. А значит учитель находит и планирует работу по ознакомление самостоятельно.

	Цена	Количество	Стоимость
1 кусок ткани		15 м	? на 900р. м.
2 кусок ткани		9 м	?

2 вид:

М4И, часть 1, стр. 85

	Цена 1 билета	Количество Ящ.	Общая масса
1		?ч.	700 р.
2		? на 4ч. больше	980 р.

По программе Н.Б. Истоминой нет специальных уроков для введения задач на нахождение неизвестного по двум разностям, но задачи 1 и 2 видов вводят, введение 3-6 не предусмотрено. Но учитель может предусмотреть это сам. Для сильного класса возможно введение 6 видов, а для слабого достаточно 2х.

Итак, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

5. Какие зависимости лежат в основе различных способов решения задач на нахождение 4-го пропорционального? Приведите примеры таких задач, которые можно решить разными способами. Покажите, как подвести учащихся к их отысканию, используя необходимые методические приемы.

Зависимости, которые лежат в основе различных способов решения задач на нахождение 4-го пропорционального

1. Приведение к единице – прямое.

Смысл в том, что что сначала узнают значение единицы одной из величин, а затем отвечают на главный вопрос задачи.

Пример: В 6 банок вмещается 24кг варенья. Сколько варенья вместится в 4 такие банки?

1) 24:6=4(кг) – варенья в 1 банке

2) 4*4=16(кг) – общая масса варенья в 4 банках.

2. Приведение к единице - обратное.

Пример: В 6 банок вмещается 24кг варенья. Сколько таких банок потребуется, чтоб вместить 16кг варенья?

1) 24:6=4(кг) – варенья в 1 банке

2) 16:4=4(б) – количество банок.

3. Способ приведения отношений.

Пример: Завод изготовил за день 64 детали, израсходовав 200кг кварца. Сколько нужно кварца, чтоб изготовить 320 такие детали?

1) 320:64=5(раз) – 320 в пять раз больше 64.

2) 200*5=1000(кг) – всего кг на 320 деталей.

4. Составление уравнения

Пример: Расстояние между двумя поселками велосипедист проходит за 4 ч со скоростью 20км/ч. С какой скоростью должна ехать мотоциклист, чтоб проехать это расстояние за 2 ч?

2х=4*20

2х=80

Х=40

Ответ: 40 (км/ч)

6. Какую подготовительную работу целесообразно провести перед введением типовых задач на пропорциональное деление и нахождение неизвестного по двум разностям? Приведите примеры подобных упражнений и покажите методику работы с ними. Какие приемы может использовать учитель при ознакомлении учащихся с новыми типами задач? Опишите работу с использованием при этом следующих приемов:

· преобразование задачи известного типа в задачу неизвестного нового типа;

· составление задачи нового типа из нескольких знакомых по типу задач;

· деление задачи «нового» типа на несколько задач известных типов и их последовательное решение;

· предварительное решение задач «нового» типа практическим методом.

Задачи на пропорциональное деление вводятся  в 3 классе. Эти задачи включают две переменные величины. связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью. В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин.

В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.                                                                 

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление надо считать твердое умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление лучше предлагать их не в готовом виде, а составить вместе с детьми из задач на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения. Учащимся предлагается составить задачу по ее краткой записи:

После решения задачи, составленной по данному условию, учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 коп.). Затем он предлагает найти сумму чисел, которые показывают стоимость тетрадей (30 коп.), и составить задачу по новому условию:

Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй покупатель?»

Учитель поясняет, что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?»

В окончательном виде задача формулируется примерно так: «Два мальчика купили тетради по одинаковой цене. Первый купил 6 тетрадей, а второй—4. Всего они уплатили 30 коп. Сколько денег уплатил каждый мальчик?».

- Что требуется узнать в задаче? Что значит «каждый»? Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать цену тетради? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 коп.? Почему можно? Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?

Решение задачи записывается в форме отдельных действий с пояснениями.

Далее включается решение готовых задач. В этом случае надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; затем выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему; далее перейти к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным. Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.

Возможны и другие подходы к введению задач на пропорциональное деление. Можно, например, начать с решения готовых задач, а позднее выполнить работу по преобразованию задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление, сравнив как сами задачи, так и их решения. Для обобщения способа решения в дальнейшем включаются задачи на пропорциональное деление I вида с другими группами величин, после чего вводятся задачи II вида, а несколько позднее III и IV видов. При этом наряду с решением готовых задач следует включать упражнения творческого характера на составление и преобразование задач.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям также вводятся в III классе. Они включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух следующих видов задач.

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II вида. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины. В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а браг 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3- тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 коп. больше, чем сестра. Сколько стоила 1 тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 3 тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и еще 9коп. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 9 коп., значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь. Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала можно предлагать задачи не в готовом виде, а составлять их из задач на нахождение четвертого пропорционального, затем включать готовые задачи, а можно начать с готовых задач.

Рассмотрим это на конкретном примере. Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:

После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе — 20 руб. Учитель предлагает найти разность чисел, показывающих стоимость (10 руб.). Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет на доске новую краткую запись:

Дети составляют по краткой записи такую задачу: -«Два покупателя купили материю по одинаковой цене: первый—6 м, второй — 4 м. Первый покупатель уплатил на 10 руб. больше. Сколько денег уплатил каждый покупатель?»

На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию. Выясняется, почему первый покупатель уплатил больше денег, чем второй; за сколько метров материи первый покупатель уплатил столько же денег, сколько второй; за какую материю уплатил он 10 руб. На чертеже появляется запись:

Теперь легко составить план решения и выполнить его. Решение записывается в форме отдельных действий сначала с записью пояснений, а позже пояснения формулируются устно.

1)    6 — 4 = 2(м) — материи можно купить на 10 руб.;

2)10:2 = 5 (руб.)—цена материи;

3)5-6=30(руб.) — уплатил первый покупатель;

4)5-4 = 20 (руб.) — уплатил второй покупатель.

Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли первый покупатель уплатит на 10 руб. больше, чем второй: 30 — 20=10; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи предлагаются готовые задачи на нахождение неизвестных по двум разностям I вида с различными группами пропорциональных величин и проводятся различные упражнения творческого характера.

 Затем по такой же методике вводятся задачи на нахождение неизвестных по двум разностям II вида. В целях обобщения способа решения задач всех рассмотренных видов полезно предлагать упражнения на преобразование задач. Например, можно по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения; можно составить по задаче на нахождение четвертого пропорционального задачу на пропорциональное деление и задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения. Такие упражнения помогут детям увидеть сходное в способах решения.