Арифметическая и геометрическая прогрессии

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Цели:

1) обобщить информацию по прогрессиям; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов данных прогрессий с помощью формул; решение задач, в которых используются обе последовательности;

2) продолжить формирование практических навыков;

3) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

                                                Умение решать задачи – практическое искусство,

                                              подобное плаванию или катанию на лыжах, или

                                                   игре на фортепиано; научиться этому можно лишь,

                                                           подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

Д.Пойа.

            I. Организационный момент. Объяснение целей урока. ( Слайд 2)

II. Разминка. В мире интересного. (Слайд 3-6)

Французское слово «десерт» означает сладкие блюда, подаваемые в конце обеда. Названия некоторых десертов, пирожных и мороженного, также имеют французское происхождение. Например, мороженое «пломбир»  получило свое название от французского города Пломбьер. Где оно впервые было изготовлено по особой рецептуре.

Используя найденный ответ и данные таблицы, узнайте, как переводится французское слово «безе» (легкое пирожное из взбитых яичных белков и сахара)?

Найдите сумму одиннадцати членов арифметической прогрессии, первый член которой равен – 5, а шестой равен – 3,5.

38,5	-38,5
Молния	Поцелуй

Французское слово «безе» в переводе означает поцелуй. Второе из предложенных слов – «молния», является переводом французского слова «эклер» (пирожное из заварного теста с кремом внутри).

                               III. Прогрессии в жизни и быту. (Слайд 7)

Задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы. 

1.      Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий  - на 2 дм длиннее. Найдите длину семи таких стержней. (Слайд 8)

Ответ: 77дм

2.      В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (Слайд 9)

Ответ: 121

3.      Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней. (Слайд 10)

Ответ: 18 тонн

4.      Тело падает с башни, высотой 6 м. В первую секунду проходит 2м, за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до земли? (Слайд 11)

Ответ: 4 секунды

5.      Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150

метрам. (Слайд 12)

Ответ: 30 дней

6.      Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй автомобиль, который в первый час прошел 20 км, а каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км? (Слайд 13)                                                                                                      Ответ: 2 часа

7.      Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? (Слайд 14)

Ответ: 1900

IV.Немного истории. (Слайд 15-16)

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». На связь между прогрессиями первым, по-видимому, обратил внимание Архимед. В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу (Слайд 17):

-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
				1	2	4	8	16	32	64	128

В верхней строке – арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт.

А теперь представьте, что мы не умеем умножать и делить. Необходимо умножить, например,  на 128.
 В таблице над   написано  -3, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось 4. Под 4 читаем 16. Это есть искомое произведение.

Другой пример.

 Разделим 64 на . Поступаем аналогично:

64 6   -1        6 – (-1) = 7

                                          7  128        64 :  = 128

Нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

2^-4; 2^-3; 2^-2; 2^-1; 2⁰; 2¹; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵; 2⁶; 2⁷.

Нетрудно сообразить:

                                      2^-3∙ 2⁷ = 2⁴,   2⁶: 2^-1 = 2⁷

Можно сказать, что если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. (Слайд 18)

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Работа в группах.

Кросснамбер – один из видов числовых ребусов. В переводе с английского слово «кросснамбер» означает «кресточислица». При составлении кросснамберов применяется тот же принцип, что и при составлении кроссвордов: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий» на горизонталь и на вертикаль.

В каждую клетку кресточислицы вписывается по одной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). А чтобы не было путаницы, номера заданий обозначаются буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, - только целые положительные; запись таких чисел не может начинаться с нуля (т.е. 42 нельзя записывать как 042).

Некоторые задания из кросснамберов могут показаться расплывчатыми и допускающими несколько (а иногда и очень много) ответов. Но таков стиль кросснамберов. Если бы они всегда давали только однозначные ответы, то это не было бы игрой.

а		б		в		г
		д
е				ж

По горизонтали:

а) количество нечетных чисел натурального ряда, начиная с 13, сумма которых равна 3213;

в) сумма пяти первых членов геометрической прогрессии, четвертый член которой равен 3, а седьмой равен ;

д) сумма первых шести положительных членов арифметической прогрессии

      - 127; -119; …;

е) третий член геометрической прогрессии (b_n), у которой первый член равен 5, а знаменатель g равен 10;

ж) сумма -13 + ( -9) + ( -5) + … + 63, если ее слагаемые – последовательные члены арифметической прогрессии.

По вертикали:

А) сумма всех двузначных чисел, кратных девяти;

Б) удвоенный двадцать первый член арифметической прогрессии, у которой первый член равен -5, а разность равна 3;

В) шестой член последовательности, которая задана формулой n-го члена

;

Г) разность арифметической прогрессии, если .

VI. Решение нестандартных задач. (Слайд 21)

1.      Дана геометрическая прогрессия 3; b₂; b₃;…, знаменатель которой - целое число. Найдите  эту прогрессию, если

                                                       (Слайд 22)

Решение.

b₂=3q, b₃=3q², тогда. Решим неравенство.

12q² + 72q +35 =0

D₁= 876

q ₌

 

Значит, q=-5; -4; -3; -2; -1

Искомые последовательности: 3; -15; 75;…

                                                     3; -12; 48;…

                                                     3; -9; 27;…

                                                     3; -6; 12;…

                                                     3; -3; 3;…

2.      Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. (Слайд 23).

Решение.

, в, с – искомые числа. Составим таблицу.

		в	с
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

1.      По условию сумма трёх чисел, образующих  геометрическую прогрессию, равна 26, т.е.  ,   , ,   в=6

2.     Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

                                                          

                                                            

                                           

Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

3.   Уравнение имеет корни , а уравнение  – корни . Определите k и  m, если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии. (Слайд 24-25)

Решение.

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, имеем:

По теореме Виета              

                                              

                     

                               

                                                   

Получаем    , , так как последовательность возрастающая.

Искомые числа: 1; 2; 4; 8.

Ответ: k=2, m=32

.

VII.  Домашнее задание.

Решите задачи.

1.      Найдите геометрическую прогрессию, если сумма первых трех членов  ее равна 7, а их произведение равно 8.

2.      Разделите число 2912 на 6 частей так, чтобы отношение каждой части к последующей было равно 

3.      В арифметической прогрессии    составляет     и . Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 104?

Литература:

1.      Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.

2.      Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 23.Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. Худадатова С.С. Москва. 2003.

3.      Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

4.      Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е. Бондаренко. Воронеж. 2001.