Инфоурок / Математика / Конспекты / Арифметическая и геометрическая прогрессии в сравнении

Арифметическая и геометрическая прогрессии в сравнении

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов



Тема: Арифметическая и Геометрическая прогрессии в сравнении.

Цель уроков: Объяснить новые понятия, отработать новые формулы при решении задач

Обучающая: Объяснить новые понятия, отработка навыков решения задач.

Развивающая: Развивать умение анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать, систематизировать.

Воспитательная: Воспитание сознательного отношения на уроке, дисциплины, аккуратности.

Тип уроков: Урок новых знаний.





I. Актуализация знаний

I. На прошлом уроке вы познакомились с последовательностью?

  • Что такое последовательность? (это пронумерованный ряд чисел);

  • Какими способами задаются последовательности?

(1. Описанием: например, квадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 25…

2. формулой n-ого члена, например, Cn = 2n,

3. Рекуррентной формулой Cn+5, если С1 = -8)

II. Получение новых знаний

Выделяют два вида последовательности:

Арифметическая

a1, a2, a3an

Числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый следующий член последовательности отличается от предыдущих на одно и тоже число d, которое называется разностью.

d = a2 – a1

d = an+1 - an

рекуррентная формула an+1 = an + d

Геометрическая

b1, b2bn

Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего в одно и тоже число q раз, которое называется знаменателем.

q = hello_html_m7471e8f3.gif= hello_html_m8676fc0.gif

рекуррентная формула bn+1=bnq



III Отработка определения на упражнениях.

a) Назвать первый член прогрессии. Установить вид прогрессии. Найти разность или знаменатель!

- 8, 16, 24 … ? = 8

- 8, 10, 12 … d = 2

- 8, 16, 32 … q = 2

b) Записать первые 5 членов А.П и Г.П., если известен первый член прогрессии и рекуррентная формула.

an+1 = a1 – 3, a1 = 7

bn+1 = hello_html_m2eefb58a.gif , b1 = 32

Чему здесь равна разность и знаменатель? (d = -3, q = hello_html_392f856b.gif)

Какие это последовательности (возрастающие или убывающие)?



IV А теперь, пользуясь рекуррентной формулой, выведем формулы n-ого члена.

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a2 = a1 + d + d = a2 = a1 + 2d

a4 = a1 + 3d

.

an = a1 + (n – 1) d

an = a1 + d (n – 1)

b2 = b1hello_html_m5c30bcdd.gifq

b3 = b2hello_html_m5c30bcdd.gifq = b1hello_html_m5c30bcdd.gifqhello_html_m5c30bcdd.gifq = b1hello_html_m5c30bcdd.gifq2

b4 = b1hello_html_m5c30bcdd.gifq3

.

bn = b1hello_html_m5c30bcdd.gifqn-1




V Применим эти формулы в упражнениях.

- Найти a15, если а1 = -2, d = 3

( a15 = -2 + 3 (15 – 1) = -2 + 3hello_html_m5c30bcdd.gif14 = -2 + 42 = 40)

a15 = a1 + d (15 – 1)

- Найти b7, если b1 = 3, q = -2

(b7 = b1hello_html_m5c30bcdd.gifq6 = 3hello_html_m5c30bcdd.gif(-2)6 = 3hello_html_m5c30bcdd.gif64 = 192)

- Чем отличаются формулы n-ого члена от рекуррентных? (Они дают возможность найти сразу а15 и b7 без предыдущих ч.п.)

  1. Итог урока

Выставление оценок, домашнее задание из учебника.





Урок 2 (продолжение темы)

Повторение пройденного материала в новых ситуациях.

  1. Записать формулы А.П. и Г.П.

an = a1 + d (n – 1) bn = b1qn-1

если они заданы – перечислением.



  1. 25, 21, 17, 13 … что для этого надо найти??

a1 = 25

d = a2 – a1 = 21 – 25 = –4

an = 25 – 4(n – 1)

  1. 18, 6, 2, hello_html_mb10c014.gif

??? = 18

q = hello_html_72febaca.gif=hello_html_m7fa8a9a1.gif= hello_html_m5eb8da84.gif



bn = –18hello_html_m5c30bcdd.gif(hello_html_m5eb8da84.gif)n-1



  1. Найти a1 и b1, если:

  1. a11 = 20, d = –3

a11 = a1 + d (n – 1)

20 = a1 – 3 (11 – 1)

20 = a1 – 30

20 + 30 = a1

  1. a6 = 96 q = 2

a6 = a1 hello_html_m5c30bcdd.gifq 6-1

96 = a1hello_html_m5c30bcdd.gif(-2)5

96 = a1 hello_html_m5c30bcdd.gif (-32)

a1 = hello_html_m841a7da.gif

a1 = – 3

  1. Установить является ли число членом А.П. или Г.П.

  1. 44, 38, 32… - 22 …

a1 = 44

d = a2 – a1 = 38 – 44 = -6

an = a1 + d (n – 1)

22 = 44 – 6 (n – 1)

22 = 44 – 6n + 6

22 – 44 – 6 = –6n

6n = 72

n = hello_html_m6c50ade6.gif

n = 12

a12 = –22, является членом А.П.

б) 625, 125, 25 … hello_html_443c6302.gif

b1 = 625

q = hello_html_m7471e8f3.gif= hello_html_15621655.gif= hello_html_113c04ed.gif

bn = b1hello_html_m5c30bcdd.gifqn-1

hello_html_77bd8b0b.gif= 625hello_html_m5c30bcdd.gif(hello_html_m7f15b008.gif)n-1

hello_html_77bd8b0b.gifhello_html_m118cc7b0.gif625 = (hello_html_m7f15b008.gif)n-1

(hello_html_m7f15b008.gif)6 = (hello_html_m7f15b008.gif)n-1

6 = n – 1

n = 7

b7 = hello_html_77bd8b0b.gif

IV. Новые знания:

Среднее арифметическое и среднее геометрическое:

an = hello_html_fe23cb0.gif

Каждый член А.П., начиная со второго равен среднеарифметическому двух соседних с ними членов.

Этим обычно объясняется название А.П.

bn = hello_html_m4cc1f2ba.gif

Если все члены Г.П. положительны, то каждый член Г.П., начиная со 2-го равен среднеогеометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название ?? Г.П.



V.Применение этих формул на практике.

a) Найти а9, если известны a8 = – 64, a10 = – 50

( a9 = hello_html_m7bfbab2a.gif = hello_html_253d3ef.gif = hello_html_2cb46978.gif = – 57)

  1. Найти b5, если b4 = ??, b6 = 2

(b5 = hello_html_m3dbf6cce.gif = ??? = hello_html_m3a0d0f0e.gif = 6

с) Известно, что а7 + a8 = 30

Найти: а5 + a10 = ?

(a7 +a8 = a6 + a9 = a5 + a10 = 30)

Итог урока. Домашнее задание.



Урок 3 (продолжение)

Формулы суммы А.П. и Г.П.

  1. Актуализация знаний через повторение ???

Найти первый член А.П. и Г.П.

  1. Если a11 = 20, a13 = 18

a12 = hello_html_m1523c456.gif= hello_html_7a96832c.gif= hello_html_m4aed836c.gif= 19

d = a12 – a11 = 19 – 20 = –1

an = a1 + d (n – 1)

a11 = a1 – 1 (11 – 1) = 20

a1 – 10 = 20

a1 = 30

  1. Если b5 = 5, b7 = 20

b6 = ??? =hello_html_m62a00377.gifhello_html_mab0fd9a.gif = hello_html_4298fb62.gif= 10

q = hello_html_m30fd7b31.gif= hello_html_70e46942.gif= 2

bn = b1 hello_html_m5c30bcdd.gifqn-1

b5 = b1hello_html_m5c30bcdd.gif25-1

10 = b1hello_html_m5c30bcdd.gif24

10 = b1hello_html_m5c30bcdd.gif16

b1 = hello_html_61515832.gif= hello_html_432baabf.gif= 1, 25

II Выводим формулы Sn

a) Sn = a1 + a2 + a3 … an

Sn = a1 + (a1 + d) + ( a1 + 2n) + … (an + d (n – 1)) *

или Sn = an + an – 1 + … a1

Sn = an + (an – d) + … an – d(n – 1) **

Сложим:

hello_html_m2d78342e.gif= (a1 + an) hello_html_m65bd56d8.gifn раз

Sn = hello_html_552d9149.gifhello_html_m65bd56d8.gifn

S= hello_html_76f01f5d.gifhello_html_m65bd56d8.gifn

b) Sn = b1 + b2 + … bn

Sn = b1 + b1hello_html_m65bd56d8.gifq + b1hello_html_m65bd56d8.gifqn-1 | hello_html_m65bd56d8.gifqhello_html_7eeb9f88.gif0

q Sn = b1 hello_html_m65bd56d8.gifq + b1 hello_html_m65bd56d8.gifq2 + b1 hello_html_m65bd56d8.gifqn

Sn (1 – q) = b1 (1 – qn)

Sn = hello_html_34aa6631.gif

S б.у = hello_html_m53dced50.gif

III. Отработка формулы на ???

a) Найти сумму первых n-членов.

S12, если a1 = -5 d = 0,5

S12 = hello_html_m65bd56d8.gifhello_html_m39bac984.gifhello_html_m65bd56d8.gifhello_html_155a9f9a.gifhello_html_m65bd56d8.gif12 = hello_html_m5b1a7b92.gifhello_html_m65bd56d8.gif12 = - 4,5 hello_html_m65bd56d8.gif6 = - 27

b) S7, если b1 = 5, q = 2

S7 = hello_html_34aa6631.gif = hello_html_4003e860.gif= hello_html_m8418181.gif= 5hello_html_m65bd56d8.gif127 = 635



IV. Обратные задачи (УДЕ).

a) Sn = 189, b1 = 3, q = 2 Найти n?

Sn = hello_html_34aa6631.gif

189 = hello_html_m59c38238.gif

-189 = 3 (1 – 2n)

- 63 – 1 – 2n

2n = 1 + 63

2n = 64

2n = 26

n = 6

b) Найти a1 и d, если S7 = 210, a7 = 21

1) S7 = hello_html_6cf67721.gifhello_html_m65bd56d8.gifn

210 = hello_html_m450e372e.gifhello_html_m65bd56d8.gif 7

420 = (a1 + 21) hello_html_m65bd56d8.gif7

60 = a1 + 21

a1 = 39



V. Подведение итогов. Домашнее задание.

УДЕ применение способствует формированию навыков (см.работы учащихся), развитию познавательного интереса, способности к усвоению знаний и увеличению объемов изучаемого материала.









Общая информация

Номер материала: ДВ-384270

Похожие материалы