Арифметическая и геометрическая прогрессии в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

Арифметическая и геометрическая прогрессии в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы изучается обособленно, лишь в девятом классе, мало перекликаясь с другими разделами школьной программы. Но несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы n-го члена и суммы первых п членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Свойства арифметической прогрессии.

 Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при  верной является формула

 (3)

Действительно, при  имеем  и . Складывая почленно эти равенства, получим , откуда следует (3).

У конечной арифметической прогрессии  сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для  верной является формула

 (4)

Действительно, в конечной арифметической прогрессии  члены  и  равноотстоят от концов. По формуле (2)  и  Сумма этих членов равна  и равна сумме крайних членов .

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если , то

 (5)

Действительно, если , то

.

Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем , откуда следует формула (5).

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность  - геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

 и , (1), где q - некоторое число. Обозначим, например, через  последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство ; здесь .

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство:

Свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, то есть при  верной является формула

. (3)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. .

Действительно, при  имеем  и . Перемножая почленно эти равенства, получим . А это и есть равенство (3).

У конечной геометрической прогрессии  произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е.

 (4)

Действительно, в конечной геометрической прогрессии  члены  и  равноотстоят от концов. По формуле (2)  и . Произведение этих членов  и равно произведению крайних членов . Значит, . А это и есть равенство (4).

Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :

 (5)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что  получим:

 (6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

 

Пусть , тогда  (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .

Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение  . Получим:

 если .