Арифметическая прогрессия (9 класс)
Предпросмотр материала:
Обобщающий урок в 9-м классе по теме: "Арифметическая прогрессия"
Хайфуллина Г.Д., учитель математики
Цели:
- Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения. Работа в парах, индивидуальная.
Структура урока:
- Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
- Историческая справка.
- Проверка домашнего задания.
- Актуализация опорных знаний.
- Диагностика усвоения системы знаний с последующей взаимопроверкой.
- Решение задач повышенного уровня сложности из вступительных экзаменов в ВУЗы и централизованного тестирования выпускников.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Беседа с учащимися, сообщение темы и цели урока.
Во время беседы учащимся сообщается план урока, тема и цели урока. Обращается внимание на то, что данная тема изучается в 9 классе, а задания встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы страны, на централизованном тестировании выпускников средней школы и на ЕГЭ.
II. Историческая справка
Сообщение ученика по теме “Фигурные числа” (см. Приложение 1, Энциклопедический словарь юного математика. М.,– 1985, с.314–315)
В
данном сообщении раскрываются: понятие фигурных чисел (треугольных, квадратных,
пятиугольных и др.) и применение арифметической прогрессии для вычисления формулы
nго К-угольного числа: Р
= 
III. Проверка домашнего задания
Осуществляется с помощью кодоскопа (см. Приложение 2)
№
684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
№ 694.
Задана последовательность чисел аn = 2,5 n + 2. Найти сумму членов данной последовательности с 11го по 21й
IV. Актуализация опорных знаний
Фронтальный опрос:
1.
Дайте определение арифметической прогрессии.
2. Перечислите свойства арифметической прогрессии.
3. Последовательность задана формулой: 
= 2n + 3.
4. Дана арифметическая прогрессия (): 5; 8; … Найти: d , 
, 
, S
V. Диагностика усвоения системы знаний
Математический
диктант с использованием блокнотов с копировальной бумагой. Учащиеся выполняют
работу под копирку, один экземпляр оставляют себе, а другой сдают учителю.
После проведения диктанта ученики меняются листочками, проверяют и оценивают
работу одноклассников.
Для проведения математического диктанта можно использовать кодоскоп.
|
Вариант 1. 1.
Дано: ( Найти: а)
d 2.
Дано: (
Найти:
3.
Дано: (
В = 10 |
Вариант 2. 1.
Дано: ( Найти: а)
d 2.
Дано: (
Найти
: 3.
Дано: (
В = 14 |
= 15, 
= 25 
= 2.
= 22, 
= 32 Является ли число в членом данной арифм. прогрессии.
VI. Решение задач
Учащимся предлагается решить задачи, встречающиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы, централизованном тестировании выпускников, ЕГЭ.
- 1 группа: 4 ученика работают по карточкам на боковой доске.
- 2 группа учеников со слабой математической подготовкой работают на местах по карточкам (8 человек).
- 3 группа: остальные ученики с высоким уровнем математической подготовки выполняют задания повышенного уровня сложности.
Задания для учащихся первой группы
а)
В арифметической прогрессии () известно, что 
= 2, 
= – 5. Найти разность арифметической прогрессии.
б)
Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (): 6,8; 8; ..?
в) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел, чтобы последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.
г) Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет условию – 313 < К < 385. (Задание из централизованного тестирования)
Задание для учеников второй группы
а)
В арифметической прогрессии () известно, что = 3, 
= 7. Найти разность арифметической прогрессии и
десятый член.
б)
В арифметической прогрессии (): 2; 5; … Найти сумму девяти первых членов.
в)
Является ли число 15 членом арифметической прогрессии, где = 2, = 4.
г)
Докажите, что последовательность = 3n +2 является арифметической прогрессией.
Задание для сильных учеников
а)
В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равно 30, разность шестого
и четвёртого равно – 4, а n-ный член равен –10. Найдите 
. (Задание
из централизованного тестирования)
б) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равно 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа. (Задание из централизованного тестирования)
в) Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно 7 и не превосходит 353. (Задание из централизованного тестирования)
г)
В арифметической прогрессии () известно, что шестой член прогрессии
больше, чем третий в 1,5 раза, а сумма первых шести членов равна 156. Найдите
первый член и разность арифметической прогрессии (№ 696(б) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев
Ю.Н. и др.)
VII. Подведение итогов урока
Обобщается материал урока. Учитель оценивает индивидуальную работу учащихся.
VIII. Задание на дом:
№ 969 (а) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др. Составить вариант зачётной работы по данной теме.
Приложение 1.
Фигурные числа
Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.
Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.
Рассмотрим несколько рядов натуральных чисел
Элемент ряда с номером 
называется линейным фигурным числом,
или фигурным числом первого порядка . Фигурные числа второго порядка получаются
вычислением последовательных сумм фигурных чисел первого порядка
Ряд первого порядка Ряд сумм - ряд второго порядка
123456... 136101521...
Получил название треугольные числа
Вычислим последовательные суммы элементов второго ряда линейных фигурных чисел. Получим ряд 14916 25...,получивший название квадратные числа.
Аналогично можно получить пятиугольные, шестиугольные и т.п. числа. Все эти многоугольные числа называют плоскими числами.
Общий член каждого ряда плоских фигурных чисел - сумма n элементов соответствующего ряда линейных фигурных чисел, которые образуют арифметическую прогрессию, где
, а разность d= 1,2,3, ...
Про числа 25,49, 100 говорят, что они являются квадратными. А почему? Потому , что они получаются, если возвести числа 5,7,10 в квадрат. В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа.
На рисунке показано:
n-е квадратное число равно 
,
а n-е число равно сумме всех целых чисел от одного до n, т.е. 
Пятиугольные числа.
Чтобы сосчитать n-е
пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется
n точек, как показано на рисунке. В результате получаем,
что n-е пятиугольное число равно 
. Подобным образом можно образовывать
любые многоугольные числа.
Формула для n-го k –угольного числа такова:
При k=3 мы получаем треугольные числа, а k=4 – квадратные числа и т.д. Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.). Таким образом прямоугольными числами являются все составные числа, а не прямоугольными – простые числа. К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го.
Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:
В настоящее время происходит интенсивное развитие ряда областей комбинаторного анализа, быстро растёт число приложений этого раздела математики. Методы комбинаторики позволяют решать не только задачи, поставленные ею самой, но и входят как обязательные элементы в аппарат решения многочисленных задач в самые различных областях математики.
Приложение 2
Решение задач.
№694.
Дано:
(
) –последовательность
чисел
аn = 2,5 n + 2.
Найти: S 11-21
Решение.
1)Найдём разность между (n+1) и n –ым членами последовательности.
=2,5,
разность не зависит от n, значит, данная последовательность является арифметической
прогрессией.
2)
Ответ: 407,5
№ 684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
А) Треугольные числа: 1;3;6;10;15
2) Пятиугольные числа: 1;5;12;22;…
Краткое описание материала
Хайфуллина Г.Д., учитель математики
Цели:
- Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения. Работа в парах, индивидуальная.
Структура урока:
- Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
- Историческая справка.
- Проверка домашнего задания.
- Актуализация опорных знаний.
- Диагностика усвоения системы знаний с последующей взаимопроверкой.
- Решение задач повышенного уровня сложности из вступительных экзаменов в ВУЗы и централизованного тестирования выпускников.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Беседа с учащимися, сообщение темы и цели урока.
Во время беседы учащимся сообщается план урока, тема и цели урока. Обращается внимание на то, что данная тема изучается в 9 классе, а задания встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы страны, на централизованном тестировании выпускников средней школы и на ЕГЭ.
II. Историческая справка
Сообщение ученика по теме “Фигурные числа” (см. Приложение 1, Энциклопедический словарь юного математика. М.,– 1985, с.314–315)
В данном сообщении раскрываются: понятие фигурных чисел (треугольных, квадратных, пятиугольных и др.) и применение арифметической прогрессии для вычисления формулы nго К-угольного числа: Р =
III. Проверка домашнего задания
Осуществляется с помощью кодоскопа (см. Приложение 2)
№ 684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
№ 694.
Задана последовательность чисел аn = 2,5 n + 2. Найти сумму членов данной последовательности с 11го по 21й
IV. Актуализация опорных знаний
Фронтальный опрос:
1. Дайте определение арифметической прогрессии.
2. Перечислите свойства арифметической прогрессии.
3. Последовательность задана формулой: = 2n + 3.
4. Дана арифметическая прогрессия (): 5; 8; … Найти: d , , , S
V. Диагностика усвоения системы знаний
Математический диктант с использованием блокнотов с копировальной бумагой. Учащиеся выполняют работу под копирку, один экземпляр оставляют себе, а другой сдают учителю. После проведения диктанта ученики меняются листочками, проверяют и оценивают работу одноклассников.
Для проведения математического диктанта можно использовать кодоскоп.
Вариант 1.
1. Дано: (): 7; 4;…– арифм.прогрессия.
Найти:
а) d
б)
в) S10
2. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 15, = 25
Найти:
3. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 3, = 2.
В = 10
Вариант 2.
1. Дано: () : 6; 4;… – арифм.прогрессия.
Найти:
а) d
б)
в) S10
2. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 22, = 32
Найти :
3. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 5, = 3.
В = 14
Является ли число в членом данной арифм. прогрессии.
VI. Решение задач
Учащимся предлагается решить задачи, встречающиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы, централизованном тестировании выпускников, ЕГЭ.
- 1 группа: 4 ученика работают по карточкам на боковой доске.
- 2 группа учеников со слабой математической подготовкой работают на местах по карточкам (8 человек).
- 3 группа: остальные ученики с высоким уровнем математической подготовки выполняют задания повышенного уровня сложности.
Задания для учащихся первой группы
а) В арифметической прогрессии () известно, что = 2, = – 5. Найти разность арифметической прогрессии.
б) Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (): 6,8; 8; ..?
в) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел, чтобы последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.
г) Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет условию – 313 < К < 385. (Задание из централизованного тестирования)
Задание для учеников второй группы
а) В арифметической прогрессии () известно, что = 3, = 7. Найти разность арифметической прогрессии и десятый член.
б) В арифметической прогрессии (): 2; 5; … Найти сумму девяти первых членов.
в) Является ли число 15 членом арифметической прогрессии, где = 2, = 4.
г) Докажите, что последовательность = 3n +2 является арифметической прогрессией.
Задание для сильных учеников
а) В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равно 30, разность шестого и четвёртого равно – 4, а n-ный член равен –10. Найдите . (Задание из централизованного тестирования)
б) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равно 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа. (Задание из централизованного тестирования)
в) Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно 7 и не превосходит 353. (Задание из централизованного тестирования)
г) В арифметической прогрессии () известно, что шестой член прогрессии больше, чем третий в 1,5 раза, а сумма первых шести членов равна 156. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (№ 696(б) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др.)
VII. Подведение итогов урока
Обобщается материал урока. Учитель оценивает индивидуальную работу учащихся.
VIII. Задание на дом:
№ 969 (а) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др. Составить вариант зачётной работы по данной теме.
Приложение 1.
Фигурные числа
Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.
Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.
Рассмотрим несколько рядов натуральных чисел
Элемент ряда с номером называется линейным фигурным числом, или фигурным числом первого порядка . Фигурные числа второго порядка получаются вычислением последовательных сумм фигурных чисел первого порядка
Ряд первого порядка Ряд сумм - ряд второго порядка
123456... 136101521...
Получил название треугольные числа
Вычислим последовательные суммы элементов второго ряда линейных фигурных чисел. Получим ряд 14916 25...,получивший название квадратные числа.
Аналогично можно получить пятиугольные, шестиугольные и т.п. числа. Все эти многоугольные числа называют плоскими числами.
Общий член каждого ряда плоских фигурных чисел - сумма n элементов соответствующего ряда линейных фигурных чисел, которые образуют арифметическую прогрессию, где
, а разность d= 1,2,3, ...
Про числа 25,49, 100 говорят, что они являются квадратными. А почему? Потому , что они получаются, если возвести числа 5,7,10 в квадрат. В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа.
На рисунке показано:
n-е квадратное число равно , а n-е число равно сумме всех целых чисел от одного до n, т.е.
Пятиугольные числа.
Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно . Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа.
Формула для n-го k –угольного числа такова:
При k=3 мы получаем треугольные числа, а k=4 – квадратные числа и т.д. Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.). Таким образом прямоугольными числами являются все составные числа, а не прямоугольными – простые числа. К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го.
Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:
В настоящее время происходит интенсивное развитие ряда областей комбинаторного анализа, быстро растёт число приложений этого раздела математики. Методы комбинаторики позволяют решать не только задачи, поставленные ею самой, но и входят как обязательные элементы в аппарат решения многочисленных задач в самые различных областях математики.
Приложение 2
Решение задач.
№694.
Дано:
() –последовательность чисел
аn= 2,5 n + 2.
Найти: S11-21
Решение.
1)Найдём разность между (n+1) и n –ым членами последовательности.
=2,5, разность не зависит от n, значит, данная последовательность является арифметической прогрессией.
2)
Ответ: 407,5
№ 684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
А) Треугольные числа: 1;3;6;10;15
2) Пятиугольные числа: 1;5;12;22;…
Арифметическая прогрессия (9 класс)
Краткое описание материала
Хайфуллина Г.Д., учитель математики
Цели:
- Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения. Работа в парах, индивидуальная.
Структура урока:
- Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
- Историческая справка.
- Проверка домашнего задания.
- Актуализация опорных знаний.
- Диагностика усвоения системы знаний с последующей взаимопроверкой.
- Решение задач повышенного уровня сложности из вступительных экзаменов в ВУЗы и централизованного тестирования выпускников.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Беседа с учащимися, сообщение темы и цели урока.
Во время беседы учащимся сообщается план урока, тема и цели урока. Обращается внимание на то, что данная тема изучается в 9 классе, а задания встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы страны, на централизованном тестировании выпускников средней школы и на ЕГЭ.
II. Историческая справка
Сообщение ученика по теме “Фигурные числа” (см. Приложение 1, Энциклопедический словарь юного математика. М.,– 1985, с.314–315)
В данном сообщении раскрываются: понятие фигурных чисел (треугольных, квадратных, пятиугольных и др.) и применение арифметической прогрессии для вычисления формулы nго К-угольного числа: Р =
III. Проверка домашнего задания
Осуществляется с помощью кодоскопа (см. Приложение 2)
№ 684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
№ 694.
Задана последовательность чисел аn = 2,5 n + 2. Найти сумму членов данной последовательности с 11го по 21й
IV. Актуализация опорных знаний
Фронтальный опрос:
1. Дайте определение арифметической прогрессии.
2. Перечислите свойства арифметической прогрессии.
3. Последовательность задана формулой: = 2n + 3.
4. Дана арифметическая прогрессия (): 5; 8; … Найти: d , , , S
V. Диагностика усвоения системы знаний
Математический диктант с использованием блокнотов с копировальной бумагой. Учащиеся выполняют работу под копирку, один экземпляр оставляют себе, а другой сдают учителю. После проведения диктанта ученики меняются листочками, проверяют и оценивают работу одноклассников.
Для проведения математического диктанта можно использовать кодоскоп.
Вариант 1.
1. Дано: (): 7; 4;…– арифм.прогрессия.
Найти:
а) d
б)
в) S10
2. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 15, = 25
Найти:
3. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 3, = 2.
В = 10
Вариант 2.
1. Дано: () : 6; 4;… – арифм.прогрессия.
Найти:
а) d
б)
в) S10
2. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 22, = 32
Найти :
3. Дано: () – арифм.прогрессия.
= 5, = 3.
В = 14
Является ли число в членом данной арифм. прогрессии.
VI. Решение задач
Учащимся предлагается решить задачи, встречающиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы, централизованном тестировании выпускников, ЕГЭ.
- 1 группа: 4 ученика работают по карточкам на боковой доске.
- 2 группа учеников со слабой математической подготовкой работают на местах по карточкам (8 человек).
- 3 группа: остальные ученики с высоким уровнем математической подготовки выполняют задания повышенного уровня сложности.
Задания для учащихся первой группы
а) В арифметической прогрессии () известно, что = 2, = – 5. Найти разность арифметической прогрессии.
б) Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (): 6,8; 8; ..?
в) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел, чтобы последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.
г) Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет условию – 313 < К < 385. (Задание из централизованного тестирования)
Задание для учеников второй группы
а) В арифметической прогрессии () известно, что = 3, = 7. Найти разность арифметической прогрессии и десятый член.
б) В арифметической прогрессии (): 2; 5; … Найти сумму девяти первых членов.
в) Является ли число 15 членом арифметической прогрессии, где = 2, = 4.
г) Докажите, что последовательность = 3n +2 является арифметической прогрессией.
Задание для сильных учеников
а) В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равно 30, разность шестого и четвёртого равно – 4, а n-ный член равен –10. Найдите . (Задание из централизованного тестирования)
б) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равно 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа. (Задание из централизованного тестирования)
в) Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно 7 и не превосходит 353. (Задание из централизованного тестирования)
г) В арифметической прогрессии () известно, что шестой член прогрессии больше, чем третий в 1,5 раза, а сумма первых шести членов равна 156. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (№ 696(б) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др.)
VII. Подведение итогов урока
Обобщается материал урока. Учитель оценивает индивидуальную работу учащихся.
VIII. Задание на дом:
№ 969 (а) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др. Составить вариант зачётной работы по данной теме.
Приложение 1.
Фигурные числа
Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.
Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.
Рассмотрим несколько рядов натуральных чисел
Элемент ряда с номером называется линейным фигурным числом, или фигурным числом первого порядка . Фигурные числа второго порядка получаются вычислением последовательных сумм фигурных чисел первого порядка
Ряд первого порядка Ряд сумм - ряд второго порядка
123456... 136101521...
Получил название треугольные числа
Вычислим последовательные суммы элементов второго ряда линейных фигурных чисел. Получим ряд 14916 25...,получивший название квадратные числа.
Аналогично можно получить пятиугольные, шестиугольные и т.п. числа. Все эти многоугольные числа называют плоскими числами.
Общий член каждого ряда плоских фигурных чисел - сумма n элементов соответствующего ряда линейных фигурных чисел, которые образуют арифметическую прогрессию, где
, а разность d= 1,2,3, ...
Про числа 25,49, 100 говорят, что они являются квадратными. А почему? Потому , что они получаются, если возвести числа 5,7,10 в квадрат. В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа.
На рисунке показано:
n-е квадратное число равно , а n-е число равно сумме всех целых чисел от одного до n, т.е.
Пятиугольные числа.
Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно . Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа.
Формула для n-го k –угольного числа такова:
При k=3 мы получаем треугольные числа, а k=4 – квадратные числа и т.д. Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.). Таким образом прямоугольными числами являются все составные числа, а не прямоугольными – простые числа. К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го.
Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:
В настоящее время происходит интенсивное развитие ряда областей комбинаторного анализа, быстро растёт число приложений этого раздела математики. Методы комбинаторики позволяют решать не только задачи, поставленные ею самой, но и входят как обязательные элементы в аппарат решения многочисленных задач в самые различных областях математики.
Приложение 2
Решение задач.
№694.
Дано:
() –последовательность чисел
аn= 2,5 n + 2.
Найти: S11-21
Решение.
1)Найдём разность между (n+1) и n –ым членами последовательности.
=2,5, разность не зависит от n, значит, данная последовательность является арифметической прогрессией.
2)
Ответ: 407,5
№ 684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.
А) Треугольные числа: 1;3;6;10;15
2) Пятиугольные числа: 1;5;12;22;…
Все ИИ-инструменты
Создать изображение
Получите изображение по своему описанию: иллюстрацию, обложку, визуал для поста, презентации, урока или другой задачи.
Создать презентацию
Получите готовую презентацию по вашей теме: с оформленными слайдами, заголовками, текстом и логикой подачи. Для урока, доклада или выступления.
Сделать рабочий лист
Создавайте готовый к печати учебный лист с заданиями по теме, структурой и местом для ответов, который можно сразу использовать на уроке или выдать ученикам
Составить план урока
Подготовьте готовый план урока по ФГОС: цель, задачи, этапы, задания, материалы, деятельность учителя и учеников.
Оформить школьный кабинет
Создайте материалы для оформления класса: плакаты, стенды, тематические зоны и уголки к празднику, открытому уроку или новому учебному году.
Подготовить тест или контрольную
Составьте готовый тест или контрольную по теме: задания разного уровня, ответы, ключи и критерии оценивания.
Создать раскраску
Получите готовую раскраску по любой теме: животные, сказочные герои, школьные сюжеты или задания для печати и творчества.
Подготовить классный час
Получите готовый классный час: тему, ход занятия, вопросы для обсуждения, активности и итоговую рефлексию для учеников.
Пересказать текст
Сократите или упростите текст, сохранив главный смысл, факты и понятную подачу.
Объяснить сложную тему
Разберите сложную тему простыми словами: с определением, примерами, аналогиями и коротким итогом, что важно запомнить.
Подготовить школьный праздник
Подготовьте сценарий школьного праздника: этапы, реплики ведущих, конкурсы, активности и идеи оформления для класса или школы.
Придумать игру для урока
Сделайте учебную игру по теме урока: правила, задания, этапы и материалы.
Создать студийное фото
Превратите обычное фото в аккуратный студийный снимок с красивым светом и фоном.
Создать открытку
Получите готовую открытку с текстом и оформлением для праздника, поздравления или события.
Изменить возраст на фото
Покажите человека моложе или старше на фото, сохранив узнаваемые черты лица, стиль снимка и естественный результат.
Создать презентацию со сгенерированными ИИ изображениями
Создать презентацию со сгенерированными ИИ изображениями
Составить план обучения
Получите понятный план занятий с темами, этапами и сроками под вашу цель.
Визуализировать данные
Превратите цифры, таблицы или показатели в понятный график, схему или инфографику.
Создать презентацию с настоящими фото
Создать презентацию с настоящими фото
Создать изображение для поста
Получите яркий визуал для соцсетей, рекламы, новости или анонса.
Извлечь текст из файла
Извлеките текст из фото, скана или PDF и приведите его в удобный для работы вид.
Создать карточку товара
Получите изображение товара для маркетплейса, каталога, рекламы или публикации.
Написать поздравление
Подберите теплые слова для коллег, учеников, родителей или близких без шаблонности.
Перевести текст
Переведите текст на нужный язык с сохранением смысла, стиля и понятной формулировки.
Подготовиться к собеседованию
Разберите частые вопросы, подготовьте ответы и потренируйте уверенную подачу.
Составить индивидуальный образовательный маршрут
Подготовьте индивидуальный план обучения с целями, темами, сроками и поддержкой.
Создать персонажа
Получите образ персонажа с внешностью, стилем и деталями под вашу задачу.
Проверить работу ученика
Проверьте работу ученика: найдите ошибки, объясните их простыми словами и дайте рекомендации, как улучшить решение.
Написать объявление для родительского чата
Подготовьте понятное объявление для родительского чата: без лишнего, в нужном тоне и с важными деталями.
Проанализировать данные
Найдите главное в таблице, цифрах или отчете: выводы, закономерности и слабые места.
Составить меню на неделю
Составьте меню на несколько дней с учетом семьи, бюджета и предпочтений.
Подготовиться к педсовету
Соберите тезисы, доклад, аргументы и ответы на вопросы для методического совещания.
Написать характеристику ученика
Подготовьте характеристику ученика: учеба, поведение, сильные стороны и рекомендации.
Стилизовать изображение
Измените стиль фото или картинки: мультфильм, акварель, комикс, реализм или другой вариант.
Добавить человека на фото
Загрузите фото и добавьте на него нужного человека. Поможет сделать групповое фото, семейный кадр, поздравление или визуал для поста.
Подобрать дизайн интерьера
Получите идеи оформления комнаты с мебелью, цветами, светом и стилем под ваш запрос.
Улучшить качество изображения
Сделайте фото или картинку четче, ярче и аккуратнее без сложной обработки.
Написать официальное письмо
Сформулируйте обращение, запрос или ответ в корректном деловом стиле.
Сделать обложку для видео
Получите заметную обложку для видео, урока, вебинара или публикации.
Подготовить материалы к экзамену
Составьте варианты, задания и тренировочные материалы для подготовки учеников к ЕГЭ, ОГЭ или проверочной.
Разобрать ситуацию с учеником
Проанализируйте сложную педагогическую ситуацию и получите варианты действий.
Составить план тренировок
Получите понятный план занятий под цель, уровень подготовки, график и доступный инвентарь.
Подготовиться к проверке
Соберите документы, план действий и чек-лист для школьной или методической проверки.
Адаптировать материал под уровень учеников
Упростите, усложните или переработайте материал под возраст, класс и уровень учеников.
Создать презентацию без изображений
Создать презентацию без изображений
Спланировать поездку
Соберите маршрут, план по дням, места, кафе и советы под ваш формат отдыха.
Проанализировать успеваемость
Разберите оценки класса, найдите проблемы, динамику и учеников в зоне риска.
Заменить объект на изображении
Быстро замените предмет, деталь или фон на изображении без сложного монтажа.
Сделать мокап
Покажите, как дизайн будет выглядеть на экране, упаковке, одежде или другом носителе.
Заменить фон
Поменяйте фон на фото или картинке и сохраните главный объект без сложного монтажа.
Удалить фон
Уберите фон с фото или картинки и получите аккуратное изображение для вставки в материалы.
Адаптировать изображение под формат
Подгоните картинку под нужный размер: для поста, сторис, презентации, сайта или печати.
Распланировать бюджет на месяц
Разложите доходы и расходы по категориям, найдите лишние траты и резерв.
Подготовить резюме
Составьте сильное резюме под вакансию: опыт, навыки, достижения и структуру.
Составить список покупок
Подготовьте удобный список продуктов по меню, рецептам или нуждам семьи.
Раскрасить черно-белое изображение
Добавьте цвет на черно-белое фото, рисунок или иллюстрацию без ручной обработки.
Разобрать анализы
Получите понятное объяснение показателей, отклонений и возможных вопросов к врачу.
Подготовить отчет по успеваемости класса
Составьте понятный отчет по успеваемости: оценки, динамика, проблемы и выводы для учителя или администрации.
Оформить упаковку
Получите дизайн упаковки с идеей, стилем и визуальной подачей для вашего продукта.
Ничего не найдено
Все нейросети
ИИнфоурок
Универсальная модель для повседневных задач: тексты, идеи, объяснения, письма, учебные материалы и быстрые ответы.
Создать презентацию
Получите готовую презентацию по вашей теме: с оформленными слайдами, заголовками, текстом и логикой подачи. Для урока, доклада или выступления.
ChatGPT 5.5
Флагманская модель для самых сложных задач и подробных объяснений. Подойдёт для объяснения сложной темы, подготовки доклада или разработки сценария урока.
GPT Image 2
Флагманская модель для создания и редактирования изображений. Подходит для качественных иллюстраций, открыток, обложек, постов и учебных материалов.
Nano Banana 2
Универсальная быстрая модель для создания и редактирования изображений. Подойдет для постов, обложек, открыток, иллюстраций и замены деталей на фото.
Nano Banana Pro
Продвинутая премиум модель для создания и редактирования качественных изображений. Лучше выбирать для более требовательных задач: карточек товаров, рекламных визуалов, презентаций и точной доработки деталей.
ChatGPT 5.1
Универсальная модель на каждый день. Подойдет для текстов, планов уроков, тестов, писем и подготовки материалов.
Claude Opus 4.8
Флагман Claude для сложных и объемных задач. Подойдёт для разработки образовательных программ или глубокого анализа.
ChatGPT 5.6 Sol
Флагманская модель OpenAI для самых сложных задач. Максимальное качество ответов, программирования, аналитики и работы с длинными документами.
GPT Image 1.5
Модель для создания и редактирования изображений. Подойдет для иллюстраций, открыток, обложек, постов и учебных материалов.
DeepSeek v3.2
Модель для логики, расчетов и анализа. Подойдет для работы с данными, задачами, таблицами и сложными заданиями.
Gemini 3.1 Pro
Модель для анализа, логики и работы с материалами. Подойдет для данных, успеваемости класса, таблиц и сложных разборов.
Claude Opus 4.5
Мощная модель для сложных и объемных задач. Подойдет для программ обучения, больших документов и глубокого анализа.
Perplexity Sonar Pro
Модель для поиска и проверки актуальной информации. Подойдет для докладов, справок, фактов и подготовки материалов по теме.
ChatGPT 5.6 Luna
Быстрая и экономичная модель для простых запросов, генерации текстов и массового использования.
Qwen 3.5 Plus
Универсальная модель для текстов и учебных задач. Подойдет для планов уроков, объяснений, писем и материалов.
Grok 4.3 Fast
Быстрая версия для коротких и простых задач. Подойдет для быстрых ответов, формулировок и небольших текстов.
Claude Sonnet 4.5
Сильная универсальная модель для текстов и учебных материалов. Подойдет для классных часов, сценариев праздников и презентаций.
Claude Haiku 4.5
Быстрая модель для понятных задач с четкой структурой. Подойдет для планов уроков, тестов, чек-листов и кратких материалов.
ChatGPT 5.4
Флагманская модель для сложных задач, подробных объяснений и сильных текстов. Подойдет для докладов, сценариев уроков и разбора сложных тем.
Claude Sonnet 4.6
Основная модель линейки Claude. Подойдёт для подготовки материалов: сценарий праздника, классный час, презентация.
ChatGPT 5.6 Terra
Универсальная модель для большинства повседневных задач. Хороший баланс качества, скорости и стоимости.
Grok 4.3
Модель для идей, актуальных тем и живых формулировок. Подойдет для уроков, мероприятий, постов и обсуждений.
DeepSeek v4 Flash
Модель для задач с логикой и расчетами. Подойдёт для анализа данных или сложных заданий.
ChatGPT 5.4 mini
Быстрая универсальная модель для простых задач и черновиков. Подойдет для сообщений родителям, коротких текстов и быстрых ответов.
Gemini 3.1 Flash-Lite
Самая быстрая версия в линейке Gemini. Подойдёт для коротких ответов и простых запросов.
Gemini 3.5 Flash
Самая быстрая версия в линейке Gemini. Подойдёт для коротких ответов и простых запросов.
Ничего не найдено
Курсы по теме
Перейти в каталог курсов- Курс уже прошли 1417 человек
- Сейчас обучается 229 человек из 42 регионов
- Курс уже прошли 1172 человека
- Сейчас обучается 192 человека из 52 регионов
- Курс уже прошли 792 человека
- Сейчас обучается 154 человека из 45 регионов
- Курс уже прошли 526 человек
- Сейчас обучается 216 человек из 62 регионов
- Курс уже прошли 922 человека
- Сейчас обучается 162 человека из 48 регионов
Курс повышения квалификации «Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО»
Курс повышения квалификации «Формирование умений и навыков самостоятельной работы у обучающихся 5-9 классов на уроках математики в соответствии с требованиями ФГОС»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Мини-курсы по теме
Перейти в каталог мини-курсов- Курс уже прошли 14 человек
- Курс уже прошли 3307 человек
- Сейчас обучается 1087 человек из 73 регионов
Современные подходы к преподаванию и внеурочной деятельности по предмету «Основы безопасности и защиты Родины»
Развитие речи: звукоподражение и сказки на логопедических занятиях
Непрерывное образование: предметные и метапредметные компетенции
Прекрасное своими руками
Особенности педагогического взаимодействия с детьми с различными поведенческими особенностями
Актуальные подходы в семейной психотерапии
Найдите подходящий для Вас курс
В каталоге 7 585 курсов по разным направлениям
Другие материалы
-
Поурочный конспект по математике 6 класс.
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Тема: 9. Сокращение дробей
-
Рабочая программа по УМК Никольского 5-6 класс
Учебник: «Математика», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
-
Презентация по математике "Число 0. Цифра 0"
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.
Тема: Числа от 1 до 10
-
Презентация по математике "Понятия увеличить на, уменьшить на"
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.
Тема: Сложение и вычитание
-
Презентация по математике "Сантиметр - единица измерения длины"
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.
Тема: Сантиметр
Вам будут интересны эти курсы:
- Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
- Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
- Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
- Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
- Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
- Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС»
- Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
- Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
- Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
- Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
- Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»