Арифметический квадратный корень, Свойства квадратного корня.

• 1 слайд

  Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня
  

• 2 слайд

  Арифметический квадратный корень
  
  
  Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
  

• 3 слайд

  Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √ а. Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня; а называется подкоренным выражением. Выражение √ а читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а».
  В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, говорят: «Корень квадратный из а». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.
  Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4.
  

• 4 слайд

  Итак, выражение √ а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так:
  √ а≥ 0, ( √ а ) = а
  Равенство ( √ а ) = а справедливо при а ≥ 0.
  

• 5 слайд

  Квадратный корень из степени
  Вычислим значение выражения √ а при а=3 и а=-3. По определению квадратного корня √3 =3. При а=-3 находим √(-3) = √3 =3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать:
  √(-3) = -(-3) или √ (-3)= |-3|.
  Теорема 1: для любого числа а справедливо равенство √а  = |а| .
  Рассмотрим два случая: а≥0 и a<0.
  1)Если а≥0, то по определению арифметического корня
  √ а =а.
  2)Если а<0, то (-а) >0 и поэтому
  √ а = √ (-а) = -а.
  Таким образом,
  

• 6 слайд

  Вместо того чтобы говорить, что равенство и √а² = |а| выполняется при любых значениях входящих в него букв, говорят, что это равенство выполняется тождественно.
  Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют тождествами.
  

• 7 слайд

  Теорема 2. Если a>b>0, то √a> √b.
  В самом деле, если допустить, что √a ≤√b, то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим a≤b, что противоречит условию a>b.
  

• 8 слайд

  Квадратный корень из произведения
  Теорема. Если a≥0, b≥0, то
  √ab=√a
  √b
  т.е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
  Для того чтобы доказать, что a b есть арифметический квадратный корень из ab, надо доказать, что:
  1)√a∙√b≥0 2)(√a∙√b)=ab.
  по определению квадратного корня √ a≥0, √b≥0,поэтому √a∙√b≥0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня
  (√a∙√ b ) = (√a )∙(√b ) =ab.
  

• 9 слайд

  Квадратный корень из дроби
  Теорема. Если а ≥0, b>0,то
  
  
  т.е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
  
  .
  В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби.
  
  

• 10 слайд

  Требуется доказать, что:
  
  
  1)
  2)
  
  Так как
  По доказанной теореме при делении корней можно
  разделить подкоренные выражения и из результата извлечь корень:
  
  По свойству возведения дроби в степень
  и определению квадратного корня получаем:
  

Краткое описание документа:

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √ а. Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня; а называется подкоренным выражением. Выражение √ а читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а».

В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, говорят: «Корень квадратный из а». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4.

Квадратный корень из степени

Вычислим значение выражения √ а при а=3 и а=-3. По определению квадратного корня √3 =3. При а=-3 находим √(-3) = √3 =3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать:

√(-3) = -(-3) или √ (-3)= |-3|.

Теорема 1: для любого числа а справедливо равенство √а = |а| .

Рассмотрим два случая: а≥0 и a<0.

1)Если а≥0, то по определению арифметического корня

√ а =а.

2)Если а<0, то (-а) >0 и поэтому

√ а = √ (-а) = -а.

Таким образом,