Автор Л.П. Бойченко Методические указания для выполнения заданий по теме "Арифметические основы работы компьютеров" в рамках изучения дисциплины "Информатика"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

ПИЩЕВОЙ КОЛЛЕДЖ № 33

Методические указания

для выполнения заданий по теме

 «Арифметические основы работы компьютеров»

в рамках изучения дисциплины «Информатика»

Москва, 2016

Автор-составитель - Л. П. Бойченко

Данные методические указания подготовлены для выполнения заданий по теме «Арифметические основы работы компьютеров» в рамках изучения дисциплины «Информатика».

Они могут быть использованы также при изучении курсов «Информатика и ИКТ»,  «Компьютерные сети», «Компьютерные технологии», «Системы управления базами данных», «Информационные технологии в профессиональной деятельности», «Электроника».

Полезно использовать для студентов СПО, обучающихся в колледжах.

В данных методических указаниях изложена информация, представляющая собой специально подобранный и сгруппированный материал по арифметическим основам работы компьютеров.

Оглавление

Введение........................................................................................................................................................................................... 5

Арифметические основы работы компьютеров.................................................................................................................... 6

1. Что такое система счисления?.................................................................................................................................... 6

2. Как порождаются целые числа в позиционных системах
счисления?................................................................................................................................................................. 7

3. Какие системы счисления используют специалисты
для общения с компьютером?.............................................................................................................................. 7

4. Почему люди пользуются десятичной системой,
а компьютеры – двоичной?................................................................................................................................... 8

5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная
и шестнадцатеричная системы счисления?...................................................................................................... 9

6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую
другую позиционную систему счисления?.................................................................................................... 10

7. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую
позиционную систему счисления?................................................................................................................... 10

8. Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную систему?        11

9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы
счисления в другую.............................................................................................................................................. 11

10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?............................. 13

11. Как представляются в компьютере целые числа?............................................................................................. 19

12. Как компьютер выполняет арифметические действия
над целыми числами?.......................................................................................................................................... 21

13. Как представляются в компьютере вещественные числа?............................................................................. 25

14. Как компьютер выполняет арифметические действия
над нормализованными числами?.................................................................................................................... 27

Введение

В данных методических указаниях  рассматривается материал по теме «Арифметические основы работы компьютеров». Учебный материал включает в себя 14 пунктов по изучаемой  теме.

В теме «Арифметические основы работы компьютеров» представлены ответы на вопросы о том, какие системы счислений используют специалисты для общения с компьютером, почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры – двоичной, почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Здесь же показан перевод целых и дробных чисел из десятичной системы счисления в р-ичную и наоборот. В этой же главе показано, как представляются целые и вещественные числа в компьютере, а также выполнение арифметических операций над целыми и вещественными числами, представленными в позиционных системах счисления. Кроме этого, показано, как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами.

 Арифметические основы компьютеров

1. Что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от её позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращённую запись выражения

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращённую запись выражения

,

где – цифры системы счисления;   и  – число целых и дробных разрядов соответственно.

Например:

2. Как порождаются целые числа в позиционных системах
счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1, значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2, значит заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счёта:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

·         в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

·         в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

·         в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

·               восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

3. Какие системы счисления используют специалисты для общения
с компьютером?

Кроме десятичной, широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

·               двоичная (используются цифры 0, 1);

·               восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

·               шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел (табл. 1.1).

Таблица 1.1

10-я	2-я	8-я	16-я
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

4. Почему люди пользуются десятичной системой,
а компьютеры – двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

·               для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, как в десятичной;

·               представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

·               возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

·               двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная
и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за её громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют, соответственно, в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвёртая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четвёркой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например:

6. Как перевести целое число из десятичной системы
в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

7. Как перевести правильную десятичную дробь
в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ:

8. Как пеpевести число из двоичной

(восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

 

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеpы:

9. Сводная таблица переводов целых чисел
из одной системы счисления в другую

 

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах – десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Для определённости возьмём произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Сводная таблица переводов целых чисел

Порядок переводов определим в соответствии с рисунком (рис. 1.1):

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

·               в кружках записаны основания систем счисления;

·               стрелки указывают направление перевода;

·               номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 1.2.

Например:  означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Рисунок 1

10. Как производятся арифметические операции
в позиционных системах счисления?

 

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны – это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило счёта.

Таблица 1.3

Сложение в двоичной системе

Таблица 1.4

Сложение в восьмеричной системе

Таблица 1.5

Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15 + 6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16 + 4 + 1 =21; 258 = 2 × 81 + 5 × 80 = 16 + 5 = 21; 1516 = 1 × 161 + 5 × 160 = 16 + 5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16 + 716 + 316

Ответ: 5 + 7 + 3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16 + 8 + 1 = 25; 318 = 3 × 81 + 1 × 80 = 24 + 1 = 25; 1916 = 1 × 161 + 9 × 160 = 16 + 9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: .

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25;

311,2₈ = 3 × 8² + 1 × 8¹ + 1 × 8⁰ + 2 × 8^-1 = 201,25;

C9,4₁₆ = 12 × 16¹ + 9 × 16⁰ + 4 × 16^-1 = 201,25.

 

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆.

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 141,5;
215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Таблица 1.6 Умножение в двоичной системе

Таблица 1.7 Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5 × 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3 × 8¹ + 6 × 8⁰ = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115 × 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1 × 8⁴ + 3 × 8³ + 3 × 8² + 5 × 8¹ + 1 × 8⁰ = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулём или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈ :163₈

Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51;    63₈ = 6 × 8¹ + 3 × 8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈ : 16₈

Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;

2,4₈ = 2 × 8⁰ + 4 × 8^-1 = 2,5.

11. Как представляются в компьютере целые числа?

 

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000₂ до 11111111₂, а в двубайтовом формате – от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Таблица 1.8

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах	Диапазон
	запись с порядком	обычная запись
1	0 ... 28–1	0 ... 255
2	0 ... 216–1	0 ... 65535

Примеры:

а) число 72₁₀ = 1001000₂ в однобайтовом формате:

б) это же число в двубайтовом формате:

в) число 65535 в двубайтовом формате:

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулём, а “минус” – единицей.

Таблица 1.9

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах	Диапазон
	запись с порядком	обычная запись
1	-27 ... 27–1	-128 ... 127
2	-215 ... 215–1	-32768 ... 32767
4	-231... 231–1	-2147483648 ... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путём замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа – двоичный код его абсолютной величины. Например:

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями. Например:

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

 

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

12. Как компьютер выполняет арифметические действия
над целыми числами?

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо неё производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1.       А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 10000111 = – 7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11₁₀ вместо обратного кода числа –10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведённой для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше либо равна 2^n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n = 8, 2^n–1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше либо равна 2^n–1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

·               на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов – образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

·               время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нём поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции – окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нём число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011₂ на 101101₂.

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путём многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

13. Как представляются в компьютере вещественные числа?

 

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

При их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 – целое, а числа 5,1 и 5,0 – вещественные.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1,25 можно в этой форме представить так:

1,25 × 10⁰ = 0,125 × 10¹ = 0,0125 × 10² = ... ,

или так:

12,5 × 10^–1 = 125,0 × 10^–2 = 1250,0 × 10^–3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M × q^p, где M называется мантиссой числа, а p – порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует: мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M из [0.1, 1).

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание – в десятичной системе.

Примеры нормализованного представления:

Десятичная система                 Двоичная система

753,15 = 0,75315 × 10³;          -101,01 = -0,10101 × 2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀);

-0,000034 = -0,34 × 10^-4;         -0,000011 = 0,11 × 2^-100 (порядок -100₂ = -410).

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи – с использованием четырёх, шести, восьми или десяти байтов.

В качестве примера приведём характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами (табл. 1.10):

Таблица 1.10

Форматы вещественных чисел	Размер в байтах	Примерный диапазон абсолютных значений	Количество значащих десятичных цифр
Одинарный	4	10-45... 1038	7 или 8
Вещественный	6	10-39... 1038	11 или 12
Двойной	8	10-324... 10308	15 или 16
Расширенный	10	10-4932... 104932	19 или 20

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

Рисунок 2

·         чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа;

·         чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырёхбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

1. Число 6,25₁₀ = 110,01₂ = 0,11001 × 2¹¹:

Рис. 1.3

2. Число –0,125₁₀ = –0,0012 = –0,1 × 2^–10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):

Рисунок 4

14. Как компьютер выполняет арифметические действия
над нормализованными числами?

 

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своём регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноимённые разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

В случае необходимости полученный результат нормализуется путём сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0,10111 × 2^–1 и 0,11011 × 2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трём, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0,10101 × 2¹⁰ и 0,11101 × 2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0,1101 × 2⁰.

Умножение

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
(0,11101 × 2¹⁰¹) × (0,1001 × 2¹¹) = (0,11101 × 0,1001) × 2^(101+11) = 0,100000101 × 2¹⁰⁰⁰.

Деление

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
0,1111 × 2¹⁰⁰ :  0,101 × 2¹¹ = (0,1111 : 0,101) × 2^(100–11) = 1,1 × 2¹ = 0,11 × 2¹⁰.

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.