Пояснительная
записка
Настоящая
программа предназначена для изучения элективного курса "Задачи с
процентами решаем с лёгкостью" в 9 классах средних общеобразовательных
школ в рамках предпрофильной подготовки и рассчитана на 17 часов.
Актуальность
курса
Разработка программы данного курса
обусловлена непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе
основной школы (5-6 классы), когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще
не могут получить полноценное представление о процентах, об использовании
полученных знаний в повседневной жизни. На последующих этапах обучения математике
(7-9 классы) повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих
школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует
компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи
включены в материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школы.
Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у
учащихся. Большинство школьников не имеет прочных навыков использования
знаний о процентах в повседневной жизни. Понимание процентов и умение
производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку:
прикладное значение этой темы очень велико. Оно затрагивает финансовую,
демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение
математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого
человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства:
ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому
профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке
умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию
устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию предмета, а также
познавательной и социальной активности.
Цель курса
-сформировать понимание
необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач,
показав широту применения процентных расчётов в реальной жизни;
-способствовать
интеллектуальному развитию учащихся, формированию
качеств мышления, характерных для математической
деятельности и необходимых человеку для
жизни в современном обществе, для общей
социальной ориентации и решения практических
проблем.
Задачи
курса:
Образовательные:
ü
сформировать
умения производить процентные вычисления, необходимые
для применения в практической деятельности;
ü
научить
решать основные задачи на проценты, применять формулу простого
и сложного процентного роста;
ü
привить
учащимся основы экономической грамотности;
ü
помочь
ученику оценить свой потенциал с точки
зрения образовательной перспективы.
ü
учить
ребёнка соединять воображение с логикой;
Развивающие:
ü развивать
умение отстаивать свою точку зрения, видеть главное в рассуждениях
одноклассников и учителя;
ü развивать
умение анализа и самоанализа, оценки и самооценки.
ü развивать
интеллектуальные умения и мыслительные операции − анализ и синтез, сравнение,
обобщение
Воспитательные:
ü воспитывать
культуру ведения дискуссии при групповой работе, при беседах и других формах
работ.
Методический
инструментарий.
Формы организации занятий:
ü самостоятельная работа по
добыванию информации с помощью ИКТ;
ü выполнение практических
работ;
ü оформление и защита работ
учащихся;
Методы:
Эмпирические
методы:
ü изучение литературы;
ü наблюдение;
ü анализ;
ü опросы, анкетирование;
ü тестирование;
Теоретические
методы:
ü сравнение;
ü обобщение;
ü анализ;
ü классификация.
Средства
обучения:
компьютеры, проектор, этикетки пищевых продуктов, таблицы, литература и
печатные издания.
Ожидаемые
результаты обучения:
В
результате изучения курса ученик должен
ü
понимать содержательный смысл термина «процент» как специального
способа выражения доли величины.
ü
уметь соотносить процент с соответствующей дробью (особенно в
некоторых специальных случаях)
ü
производить прикидку и оценку результатов вычислений
ü
повышение интереса к предмету математика.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:
ü определение
процента, основные способы решения стандартных задач на проценты
(арифметический способ, алгебраический способ, с помощью пропорций);
ü схему расчета
банка с вкладчиками и заемщиками;
ü основные понятия
в задачах на смеси, растворы и сплавы;
ü основные этапы
решения задачи на смеси, растворы и сплавы.
Уметь:
· решать
стандартные задачи на проценты «Нахождение процентов от числа», «Нахождение
числа по его процентам», «Изменение величины в процентах»;
· решать задачи на
начисление простых и сложных процентов; решать с помощью уравнений, систем
уравнений задачи на «смеси», «сплавы», «концентрации».
Содержание
Проценты.
Основные задачи на проценты (5 часов)
История появления процентов, устранение пробелов в знаниях по
решению основных задач на проценты (нахождение процента от числа и нахождение
числа по его проценту, нахождение процента одного числа от другого). Решение
задач на проценты различными способами: арифметический способ, с помощью
составления уравнений, с помощью пропорций.
Актуализируются
знания об арифметических приемах решения задач.
Методы:
лекция, беседа, объяснение.
Формы
контроля: тест
Процентные
вычисления в жизненных ситуациях (4часа)
Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Введение
базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата,
бюджетный дефицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач связанных с
банковскими расчетами: вычисление ставок, процентов в банке, процентный
прирост, определение начальных вкладов. Целесообразно решение одной и той же
задачи рассмотреть различными способами и вырабатывать навык отбора
рационального способа решения. При решении задач на проценты необходимо
развивать вычислительные навыки учащихся, формировать у учащихся умение
выполнять прикидку или оценку результата вычислений, для этого учащимися
предлагаются задачи из повседневной практики.
Выполнение
тренировочных упражнений.
Форма
занятий: объяснение, практическая работа.
Методы
обучения: выполнение тренировочных задач
Задачи
на сплавы, смеси, растворы (5часов)
Основные понятия в задачах на смеси, растворы, сплавы. Термины
«смесь», «чистое вещество». Понятие доли чистого вещества в смеси, понятие
процентного содержания чистого вещества в смеси. Основные этапы решения задач
на «смеси»: выбор неизвестных, выбор чистого вещества, переход к долям,
отслеживание состояния смеси, составление уравнения, решение уравнения (или
системы уравнений) запись ответа. Примеры решения задач на смеси. Примеры
усложненных задач на смеси. Формирование умения работать с законом сохранения
массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Формы
занятий: комбинированные.
Методы
обучения: лекция, выполнение практических заданий
Решение
задач по всему курсу (3 часа)
Решение
разнообразных задач.
Форма
занятий: практическая работа
Методы
обучения: беседа, творческие задания
Календарно-тематическое
планирование
№п/п
|
Тема
|
Цель
урока
|
Виды контроля
|
1
|
Что такое «процент»
|
Знать понятие процента
Уметь применять его при решении задач
|
|
2
|
Нахождение процента
от числа
|
Знать правило нахождения процента от числа
Уметь применять его при решении задач
|
|
3
|
Нахождение числа по
его проценту
|
Знать правило нахождения числа по его проценту
Уметь применять правило нахождения числа по его проценту
при решении задач
|
тест
|
4
|
Нахождение
процентного отношения двух чисел
|
Знать правило нахождения процентного отношения двух
чисел
Уметь применять понятие процентного отношения двух
чисел при решении задач
|
|
5
|
Разные задачи
|
Научить решать задачи
|
проверочная работа
|
6
|
Простой процентный
рост
|
Знать
формулу простого процентного роста
Уметь
применять формулу простого процентного роста при решении задач
|
|
7
|
Решение задач
|
Уметь применять
формулу простого процентного роста при решении задач
|
тест
|
8
|
Сложный процентный
рост
|
Знать
формулу сложного процентного роста
Уметь применять
формулу сложного процентного роста при решении задач
|
|
9
|
Решение задач
|
Уметь применять
формулу простого и сложного процентного роста при решении задач
|
|
10
|
Задачи на смеси
|
Знать понятие концентрации
вещества в смеси, массовая концентрация, процентное содержание вещества
Уметь применять
понятия концентрации вещества в смеси, массовая концентрация, процентное
содержание вещества при решении задач
|
тест
|
11
|
Задачи на сплавы
|
Знать понятие концентрации
вещества в сплаве, массовая концентрация, процентное содержание вещества
Уметь применять
понятия концентрации вещества в сплаве, массовая концентрация, процентное
содержание вещества при решении задач
|
|
12
|
Задачи на растворы
|
Знать понятие концентрации
вещества в растворе, массовая концентрация, процентное содержание вещества
Уметь применять
понятия концентрации вещества в растворе, массовая концентрация, процентное
содержание вещества при решении задач
|
|
13
|
Решение задач на сплавы, смеси, растворы
|
Знать:
теоретический материал по теме
Уметь: решать
задачи
|
проверочная работа
|
14
|
Решение задач на сплавы, смеси,
растворы
|
Знать:
теоретический материал по теме
Уметь: решать
задачи
|
|
15
|
Решение задач
|
Знать:
теоретический материал по теме
Уметь: решать
задачи
|
тест
|
16
|
Решение задач
|
Знать:
теоретический материал по теме
Уметь:
решать задачи
|
|
17
|
Решение задач
|
Знать:
теоретический материал по теме
Уметь: решать
задачи
|
|
Занятие №5
Решение разных задач
1)Первого октября цена на ягоды
выросла на 20%,а первого ноября на 10%. На сколько процентов
поднялась цена на ягоды?
Решение:
Утверждать, что цена выросла на 30% нельзя, поскольку «первые» 20%
подсчитываются от цены в конце сентября, а «вторые»
10% - от другой величины, цены на конец октября.
Пусть х -
первоначальная цена; 20%=0,2
х+0,2х=(1+0,2)х=1,2х
- цена в октябре (120% от х)
10%=0,1
1,2х+0,1(1,2х)=1,2х(1+0,1)=1,1·1,2х=1,32х- цена в ноябре
1,32
= 132%; 132% -100% = 32%
Ответ: цена выросла на 32%
2)Число промысловых рыб в заливе в первый год сократилось на 30% , а
затем 3 года подряд возрастало соответственно на 25%, 35%,40%. В итоге число
промысловых рыб достигло 132300.Сколько промысловых рыб в заливе было
первоначально30%?
Решение:
Пусть х рыб было в заливе, х N. Согласно
условию задачи в первый
год их число составило х-0,3 х = (1-0,3)х =
0,7х.
Затем
3 года подряд число рыб возрастало соответственно на 25%, 35%, 40%, то есть
получим
а) 0,7х
+ 0,25(0,7х) = 1,25 ∙0,7х = 0.875х = ;
б) +0,35∙ =1,35 ∙
в) 1,35
∙ +0,4∙(1,35 ∙ =1,4∙1,35∙ =
В итоге количество рыб достигло
Получим уравнение =132300
х=80000
Ответ: 80000 рыб было первоначально
3)
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо
теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального уровня?
Решение:
Пусть х продукции
выпускало предприятие, х>0
х
- 0,2х = 0,8х продукции стало выпускать после того, как уменьшило на 20%.
Пусть
на р% (р>0) нужно увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального
уровня, тогда получим уравнение:
0.8Х+ ∙(0,8х) = х;
(1+)∙0,8х=х
(1+)=
р=25
Ответ: на 25%
4) Ежемесячный доход семьи складывается из
заработной платы отца и матери. Заработная
плата отца увеличилась на 35%, матери на 5%. В результате семейный доход
увеличился на 30%.Во сколько раз заработная
плата отца до повышения была больше заработной платы матери?
Решение:
Пусть х условных единиц заработная плата отца до повышения,
у условных единиц - зарплата матери, х>0, у>0.
Согласно условию задачи зарплата отца стала равной х + 0.35х =
1.35х, а матери: у + 0,05у = 1,05у. Семейный доход составил (1,35х + 1,05у)
условных единиц с одной стороны и (х + у) + 0,3(х + у) = 1,3(х + у) условных
единиц с другой стороны. Получим уравнение с двумя неизвестными:
1.35х + 1,05у = 1,3(х + у)
Нужно узнать, во
сколько раз зарплата отца до повышения была больше зарплаты мамы, то есть
необходимо найти
1,35х
+ 1,05у=1,Зх + 1,Зу;
0,05х
= 0,25у;
Ответ: в 5 раз зарплата отца была
больше зарплаты матери.
7) Во втором круге футбольного чемпионата команда «Зубило»
увеличила по сравнению с первым кругом количество забитых голов на 65%, а
команда «Метеор» - на 40%. В итоге общее число голов, забитых обеими командами,
возросло в 1,5 раза. Сколько процентов от общего числа голов, забитых обеими
командами в первом круге составляли голы, забитые командой «Метеор»?
Решение:
Пусть в первом круге х, у - количество забитых голов командой
«Зубило» и «Метеор» соответственно, х € N, у €
N. Общее число голов в первом круге составит х+у. По условию задачи во втором круге команда «Зубило» забила х+0.65х
= 1,65х голов, а «Метеор» - у + 0,4у = 1,4у голов. Общее число голов во
втором круге составило 1,65х+1,4у, а, с другой стороны возросло в 1,5 раза по сравнению с первым кругом, то есть
составило 1,5(х+у).
Получим
уравнение:
1,65+1,4у=1,5(х+у);
0,15х = 0,1у;
1,5х
= у;
Отвечая на вопрос
задачи, найдем
Ответ: 60% от общего числа голов, забитых обеими командами
в первом круге составляли голы, забитые командой «Метеор».
Занятие №13
Задачи на сплавы, смеси,
растворы
В задачах на смеси (сплавы, растворы) можно выделить несколько приемов,
удобных для их решения:
1) В некоторых задачах со смесями
рассматриваются смесь двух веществ. При этом количество одного из веществ смеси
изменяется, а другого остается постоянным. Обычно в условии сообщается доля,
которую составляет в смеси меняющееся вещество. В таких задачах удобно
пересчитывать сначала долю неизменного вещества и при составлении уравнения
использовать неизменность количества этого вещества в процессе преобразования
смеси. Часто такой метод называют методом «сухого остатка».
2) Если в задаче идет речь о
смешивании нескольких различных смесей, каждая из которых включает одни и те же
вещества, то бывает удобно разделить исходные смеси на составляющие их вещества
- компоненты и учитывать, что в итоговой смеси количества этих компонентов вкладываются
из их количеств в исходных смесях.
3) Если со смесью двух веществ
последовательно производят несколько действий, то бывает удобно отслеживать количество
одного из веществ в смеси после каждого из совершаемых действий.
Для такого отслеживания часто используют понятие концентрации вещества
в смеси, то есть вычисляют какую массовую или объемную долю составляет данное
вещество.
Пусть даны
два различных вещества А и В соответственно с массами . и .Масса смеси, составленной из этих
веществ,
равна =т. Массовой концентрацией вещества А в смеси называется
величина =m вещества
В величина =m При этом выполняется
равенство
/77 т
Процентными содержаниями веществ А и В в данной смеси
называются величины соответственно.
Задача №1
1)Соляной
раствор до выпаривания содержал 99% воды, после выпаривания 98% воды. Масса
раствора до выпаривания равна 1 тонне. Чему равна масса раствора после
выпаривания?
Решение:
Соляной раствор содержит 99% воды, значит 1% составляет соль.
1 т
=1000 кг
Найдем
1% от 1000 кг.: 0,01-1000=10 кг соли содержится в первоначальном соляном
растворе. После выпаривания количество соли в растворе не меняется, то есть 10
кг соли соответствует 100%-98%=2%. Найдем массу раствора после выпаривания:
2%=0,02; 10:0,02=500 кг
Ответ: 500 кг масса
раствора после выпаривания.
Задача №2
В
12 %-й раствор уксусной кислоты добавили 3 л чистой воды, после чего получили
3%-й раствор уксусной кислоты. Определите
первоначальный объем раствора в литрах.
Решение:
Пусть х (л)
- первоначальный объем раствора (х>0).
В
первоначальном растворе уксусной кислоты содержится -0,12х( л)- «чистого» уксуса. В новом растворе количество «чистого»
уксуса не изменится и равно 0,03(х+3) л. Получим уравнение:
0,12х=0,03(х+3);
0,09х=0,09;
х=1.
Ответ:
первоначальный объем раствора 1 литр.
Задача №3
Из сосуда, доверху наполненного 97%-м
раствором кислоты, отлили 2 л жидкости и долили 2 л 45%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получили 81%-й
раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
Решение:
Пусть х(л) (х>0) вмещает сосуд.
Количество "чистой" кислоты в сосуде составляло -0,97х( л). После
того, как отлили 2 л раствора, в сосуде "чистой" кислоты осталось
0,97(х-2) л. После этого долили 2 л 45%-го раствора этой же кислоты, в которой
"чистой" кислоты содержится: 0,45∙2=0,9 л. В новом растворе объем "чистой" кислоты равен-
0,81х( л)
Получим
уравнение:
0,97(х-2)+0,9=0,81х;
0,16х=1,04;
х=6,5
Ответ: 6,5 литра вмещает сосуд.
Задача №4
Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит
230 г золота и 20 г меди. Второй слиток 240 г золота
и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили и их и получили
300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите
массу (в граммах) куска, взятого из первого слитка.
Решение:
230+20=250 г 240+60=300 г
Пусть от первого
куска взяли х г, от второго - у г, 0<х<250; 0<у<300 Найдем процентное содержание, например, золота, в
каждом куске.
В
первом:во втором:
После того, как от каждого слитка взяли по куску (х г и у г),
сплавили их и получили 300 г сплава, то в нем оказалось 84% золота, значит
0,92х+0,8у=0,84 -300,
где у=300-х
0,92х+0,8(300-х)=252;
0,12х=12;
х=100.
Ответ: 100 г
куска взяли из первого слитка.
Литература
Литература для учителя.
1.Никольский С.Н., Потапов
М.К., Решетников Н.Н. Алгебра в 8 классе: методические материалы. –М:
Просвещение, 2010
2.Галицкий М.Л. и др.Сборник задач па
алгебре для 8-9 классов, М: Просвещение,1999
3.Вигдорчик Е, Нежданова Т.
Элементарная математика в экономике и
бизнесе.
4.Водинчар М.И., Лайкова Г.А.,
Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы
методом уравнений. // Математика в школе.
5.Дорофеев Г.В., Седова Е.А.
Процентные вычисления.// Методическое пособие.
6.Гильмиева Г.Г., Хамитов Р.Г.Задачи
с процентами решаем с лёгкостью. Учебно- методическое пособие. Казань:
РИЦ «Школа»,2008
7. Мордкович А.Г.Алгебра-8,
Методическое пособие для учителя. М:Мнемозина,2011
Литература для
учащихся.
1.Виленкин Н.Л. За страницами
учебника математики. – М: Просвещение.
2.Виленкин Н.Л., Жохов В.И.,
Чесноков А.С. Математика 6. – М: Дрофа.
3.Семёнов А.Л., Ященко И.В.Типовые
экзаменационные варианты. М:Национальное образование,2014
4.Шевкин А.В. Текстовые
задачи. – М: Просвещение.
5 .Никольский С.Н., Потапов
М.К., Решетников Н.Н, Шевкин А.В., Математика ,6 ,М: Просвещение, 2011
6.Мордкович
А.Г.Алгебра-8,М:Мнемозина,2011
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.