Авторская программа: Уравнение и неравенства"

 

   Алматинская  область Балхашский район

 с.Бакбакты.

КГУ средняя школа №1 

имени Жамбыла

                                                                                                                  учитель математики  

                                I   категории

                                                                                                                                                                       Фазылова Татьяна Михайловна

Пояснительная записка

            Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Данная авторская программа по математике предназначена  для учащихся 10-11классов и относится к группе факультативов, которые предназначены как для дополнения знаний учащихся, полученных ими на уроках, так и для их углубления

            Структура экзаменационной работы в форме ЕНТ требует от учащихся не только знаний на базовом уровне, но и умений выполнять задания повышенной и высокой сложности. В рамках урока не всегда возможно рассмотреть подобные задания, поэтому программа факультатива позволяет решить эту задачу.

            Курс предусматривает изучение методов решения уравнений и неравенств с модулем, параметрами, расширение и углубление знаний учащихся по решению тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Большое внимание уделяется задачам с параметрами. Задания данного курса не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся.

Цель факультативного курса: обобщение и дополнение школьного материала, связанного с решением уравнений и неравенств  различного вида;

Задачи:

1.      Развить и укрепить имеющиеся навыки, освоить ранее неизвестные учащимся приёмы и методы решения уравнений и неравенств.

2.      Развивать исследовательскую деятельность школьников. систематизация способов решения уравнений.

3.       Подготовить учащихся к ЕНТ и дальнейшему обучению в других учебных заведениях.

4.      Ознакомление  учащихся с нестандартными способами решения;

5.      Вызвать интерес к из развитие логического мышления учащихся;

6.      Выявление наиболее способных и одаренных детей .

7.      Создание условий для развития индивидуальных способностей каждого учащегося

Формы отчета: Блочно-модульная система данного курса позволяет оценивать результаты успешного усвоения каждого блока, используя зачетную систему в виде контрольной или тестовой работы.

Ожидаемые результаты:  В результате изучения курса учащиеся должны:

·         анализировать условие задания и находить оптимальный способ решения;

·         применять различные способы решения заданий;

·         используя полученные знания успешно решать задания повышенной сложности из ЕНТ.

·         применять полученные навыки на практике.

Основные принципы:– опережающая сложность (дома предлагается решить по 5-10 задач на неделю, причем 3-5 доступны всем, 1-3 – небольшой части учащихся и 1-2 – ни одному ученику);

– смена приоритетов (при решении достаточно трудных задач отдается приоритет идее; при решении стандартных, простых задач главное – правильный ответ);

– вариативность (сравнение различных методов и способов решения одного и того же уравнения или неравенства);

– самоконтроль (регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы учащихся).

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности являются лекция, практикум.

Основные модули программы:

Курс рассчитан на 34 часа, делится на три основных модуля, каждый из которых содержит по 11-12 занятий.

1 модуль: Дробно-рациональные уравнения и неравенства.
2 модуль: Иррациональные уравнения и неравенства
3 модуль: Логарифмические и показательные уравнения   и неравенства

Учебно-тематический план (34 часа)

№	Тема	Кол.час.
Модуль № 1
1	Общие сведения об уравнениях, неравенствах и их системах	1 час
Рациональные уравнения и неравенства , приводящиеся с помощью преобразований к линейным и квадратным.
2-3	Основные определения. Область допустимых значений.	2 часа
4-6	О системах и совокупностях уравнений и неравенств.	3 часа
7-9	. Общие методы преобразования уравнений (рациональные корни уравнения, “избавление” от знаменателя, замена переменной в уравнении)	3 часа
10-11	Уравнения и неравенства с модулем	2 часа
12-13	Возвратные уравнения. Метод интервалов для рациональных неравенств.	2 часа
Модуль №2 Иррациональные уравнения и неравенства.
14	Возведение в степень	1 час
15	Область допустимых значений. Метод разложения на множители	1 час
16-17	Некоторые свойства  иррациональных неравенств. Неравенства с переменной.	2 часа
18-19	Метод использования замены переменной. Использование формул сокращенного умножения.	2 часа
20-21	Нестандартные способы. Уравнения с параметрами	2 часа
Модуль №3 Логарифмические и показательные уравнения и неравенства.
22-24	Решение уравнений вида .	3 часа
25-27	Логарифмические неравенства.	3 часа
28-29	Уравнения, составленные из функций, являющихся суперпозициями более простых функций.	2 часа
30-31	Уравнения с параметрами	2 часа
32-33	Уравнения с параметрами.	2 часа
34	Итоговое занятие	1 час

Содержание курса

            В последние годы издано достаточно много пособий и справочников, посвященных задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующими нестандартных методов решения. Однако примеры, приводимые в пособиях и справочниках, сами имеют нетрадиционный вид. Это создает дополнительные психологические трудности при усвоении данных примеров. В то же время имеется класс уравнений, который позволяет естественным образом превратить эти приемы из нестандартных в традиционные.

Модуль № 1 Рациональные уравнения и неравенства , приводящиеся с помощью преобразований к линейным уравнениям и неравенствам.

Введение в теорию уравнений и неравенств.

            На первом уроке необходимо обобщить полученные учащимися знания на уроках математики: напомнить определения уравнения, дробно-рационального уравнения, иррационального уравнения, показательного и логарифмического уравнений, рассмотреть различные уравнения, решаемые стандартными способами.

            Цель данного модуля – на примере решений дробно – рациональных уравнений показать учащимся достаточно простые приемы, за счет которых можно избежать громоздких преобразований и вычислений.

Группировка
            Данный способ заключается  в  объединение алгебраических дробей в пары и выполнению действий сначала внутри пар. Удачная группировка позволяет далее применить способ разложения на множители, что существенно упрощает вычисления.

Выделение целой части в неправильной алгебраической дроби

            Данный прием сложнее.. Для этого следует каждую дробь, входящую в данное уравнение преобразовать, выделяя целую часть. Дальнейшие преобразования сводят уравнение и неравенство  к линейному.

Замена переменной

            Введение новой переменной, относительно которого имеет более простой, легко приводимый к стандартному вид или даже просто упрощающее вид уравнения – важнейший метод решения уравнений  и неравенств любых видов и типов. Необходимо помнить следующее:
–  новое неизвестное следует вводить сразу, при первой возможности;
–  после введения нового неизвестного получившееся уравнение следует полностью решить с этим неизвестным, отбросить, если таковые появились, лишние корни и лишь затем вернуться к первоначальному неизвестному.
            
Возвратные уравнения

Уравнения вида  называются возвратными уравнениями четвертой степени. Решение уравнений данного вида производится по следующей схеме:
–  делим почленно уравнение на 
–  получаем    
–  поскольку  то относительно   получаем уравнение 

Модуль № 2 Решение иррациональных уравнений  и неравенств, возведением в степень обеих частей уравнения и неравенства.

            Одним из наиболее распространённых преобразований при решении иррациональных уравнений  и неравенств является возведение в квадрат обеих частей уравнения, но не единственный. Если таких радикалов несколько, то уравнение приходится возводить в квадрат неоднократно. Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве, то возведение в квадрат обеих частей такого уравнения  не приводит ни к потере, ни к приобретению решений на этом множестве, т.е. является равносильным преобразованием. Поэтому 
При этом способе решения можно обойтись без рассмотрения области допустимых значений. При решении такой смешанной системы достаточно решить уравнение системы и проверить, удовлетворяют ли его корни неравенству системы.
Очень часто, решая иррациональные уравнения возведением обеих частей уравнения в квадрат, получаем выражение, требующее сложных алгебраических преобразований. Поэтому существуют различные способы решения иррациональных уравнений. 

 Неравенства      ------

Решение иррациональных уравнений и неравенств, с использованием анализа области допустимых значений.

В этом случае  решение начиналось с рассмотрения области определения уравнения или области допустимых значений, т.е. множества тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части. Но, во введении понятия ОДЗ особой надобности нет, поскольку как это следует из самого определения, при решении любого уравнения  мы не имеем права рассматривать значения неизвестного, не входящие в ОДЗ. Очень часто встречаются решения, в которых большая часть посвящена нахождению тех значений неизвестного, которые оно не может принять, и откуда очень трудно понять, а чему же оно всё-таки равно. Уравнение может быть правильно решено, если в решении отсутствует даже упоминание об ОДЗ. И наоборот, верно найденная ОДЗ и последующий отбор корней по ней не гарантируют от ошибок. Универсальных «рецептов» здесь нет и быть не может. Более того, любая, даже в принципе полезная рекомендация, которая может быть истолкована как универсальная, превратившись в догму, принесёт лишь вред, о чём, в частности, свидетельствует следующий пример:    №9 

Разберём ещё два примера, показывающие, что в одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнения, в других задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной).
№10       №11 

В последнем уравнение ОДЗ приносит несомненную пользу, т.к. состоит всего лишь из двух значений.

Конечно, данные примеры специально подобраны и отражают две крайние ситуации, а истина, как всегда, находится посередине.

!!!!!!!!!!(при нахождении ОДЗ надо  неравенства и системы неравенств

Решение уравнений методом разложения на множители входящих в него выражений (с учётом ОДЗ)

Решение уравнений вида f(x)g(x)=0 сводится к решению уравнений f(x) = 0, g(x) = 0 и проверке полученных корней.

Решение иррациональных уравнений с использованием замены переменной

 Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится алгебраическим относительно новой переменной.

Решение иррациональных уравнений и неравенств , используя формулы сокращённого умножения

В данном разделе рассматриваются примеры, показывающие, как иногда можно избавляться от радикалов, не возводя уравнение в нужную степень.

Нестандартные способы решения уравнений

Рассмотрим различные способы решений:
–  использование двойной замены (№ 2, 3);
–  приведение уравнения к однородному (№1):
, такое уравнение называется однородным относительно u и v второй степени, поскольку все его члены имеют одну и ту же суммарную степень, равную двум. Делением на  оно приводится к квадратному уравнению относительно ;
–  использование возрастания и убывания функций(№ 5, 6,);
–  метод подбора корней (№8);
–  оценка левой и правой части уравнений (№9, 10)

Модуль №3 Решение уравнений вида 

В данном модуле рассматриваются уравнения вида f (g(x)) = f(h(x)),   (1)
где f(x), g(x) – некоторые функции. Действительно, если функция f(x) либо ,  либо a^x, а g(x), h(x) – квадратные или линейные функции, то уравнения вида (1) являются традиционными для учащихся. Во всех школьных учебниках  разъясняется, что в этих случаях решение уравнения (1) сводится к решению уравнения g(x) = h(x),       (2)
Но не во всех учебниках и учебных пособиях это разъяснение проведено должным образом. Однако равносильность уравнения (1) и (2) на области допустимых значений уравнения (1) легко доказать, используя строгую монотонность функции f(x).

Заметим, что разбираемые в работе уравнения встречаются как среди олимпиадных задач, так и среди заданий, предлагаемых на ЕГЭ.

При решении  уравнений вида (1) справедливы следующие утверждения:

·         Решения уравнения (2), содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются решениями уравнения (1).

·         Если f(x) – строго монотонная функция, то уравнения (1)и (2) равносильны на области допустимых значений уравнения (1).

·         Если f(x), g(x) и h(x) многочлены, то полином f(g(x) – f(h(x)) делится на многочлен g(x) – h(x).

1. Если функция f (x) четная, то решения совокупности уравнений f(x) = h(x), g(x) = – h(x),          (3) содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются корнями уравнения (1).
2 . Если функция  f(x) четная и строго монотонная при х > 0, то на области допустимых значений уравнения (1 ) равносильно совокупности уравнений (3).

Заметим что утверждение 2 справедливо и в случае, если функция f(x) четная и строго монотонная как при положительных значениях функций g(x) и h(x), так и при отрицательных значениях этих функций.

1. Если функция f(x) нечетная, то  решение уравнения вида f ( g (x) ) + f ( h(x) ) = 0         (4) сводится к решению уравнения  f ( g(x) ) = f( – h(x) ).
Если функция f(x) в уравнении (1) периодическая, то справедливы утверждения:

1. Если функция f(x) периодическая с периодом Т, то решения бесконечной совокупности уравнений g(x) = h(x) + kT,      (5), где k – целое число, содержащееся в области допустимых значений уравнения (1). Являются решениями уравнения (1). 
2. Если функция f(x) периодическая с периодом Т и строго монотонная совокупность уравнений (5) и уравнение (1) эквивалентны.

Уравнения, составленные из функций, являющихся суперпозициями более простых функций

f ( f (… (f(x)) …) = x ,   (12)         f ( f … (f(x) …) = f^{– 1} (x),                              (13)

В заключение,  рассмотрим уравнения, составленные из функций, являющихся суперпозициями более простых функций, где f(x) – некоторая функция, f^{– 1} (x)–  функция, обратная к f(x) и левая часть уравнений (12) и (13) есть результат действия n раз f на х (n –  кратная суперпозиция f). Для уравнения (12) справедливы утверждения, аналогичные утверждениям 1 – 3 для уравнения (6)  . Примеры решения уравнения вида (12) встречаются в математической литературе. Ясно, что решение уравнений (13) сводится к решению уравнения вида (12).

Уравнения с параметрами

Наличие параметра заранее предполагает специальную форму записи ответа, такую, чтобы по ней можно было указать, каков будет ответ для любого допустимого значения параметра.

Итоговое занятие

На данном занятии можно провести проверочную работу, составленную из заданий, рассматриваемых в данном курсе.

Основные знания, умения

В результате изучения данного курса учащиеся:

должны знать:

общие сведения об уравнениях, неравенствах и их системах;

методы решения неравенств и систем уравнений;

основные приёмы и методы решения: уравнений и неравенств с модулем и параметрами; линейных, квадратных уравнений и неравенств с параметрами; иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, в том числе с параметрами.

должны уметь:

применять изученные методы и приемы при решении уравнений и неравенств;

проводить исследования при решении уравнений и неравенств с параметрами.

Литература:

1.А.Н Колмогоров,А.М Абрамов,А Казешев,К.Кабдыкаирұлы."Алгебра и начала анализа"издание Алматы: Просвещение Казахстан, 2004год

2. Шарыгин И.В. “Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 кл.”. Москва. “Просвещение” 1990 год.

3.Егерев В.К., Зайцев В.В, и др. “Сборник задач для поступающих в ВУЗы: уч. пособие под ред. Сканави М.И.”. Москва. “Альянс-В”. 2000 г.

4.Горнштейн П.И. и др. “Задачи с параметрами”. Москва-Харьков. “Илекса”, “Гимназия”.2003 г

5. Тасбулатова М.Ш., Текешова Т.У,Смагулова А.З." Учебно-методическое пособие для подготовки к ВОУД СО", Кокшетау,2014г

6.Шыныбеков А., Алгебра,г. .Алматы, 2013.