Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Другие методич. материалы / Авторская программа "Основы логики"

Авторская программа "Основы логики"

  • Информатика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_55ef122d.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_1905344d.gifhello_html_413ac455.gifhello_html_2c72ed97.gifhello_html_e12cdee.gifhello_html_348a4e3d.gifhello_html_m71e9754d.gifhello_html_725c13e7.gifhello_html_m1c9964af.gifhello_html_5ac92e91.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_m6ce05b73.gifhello_html_m214caad3.gifhello_html_m1d90bf30.gifhello_html_m1d90bf30.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m39954e59.gif

Утверждаю

Директор отдела учебно- методического
обеспечения управления образования

Нижнекамского муниципального района

__________________А.М.Офицерова

«_________»____________2013г.




Элективный курс

«Основы математической логики»

для учащихся 11-х классов

программа рассчитана на полугодие

обучение ведется на русском языке



учителя информатики и ИКТ первой квалификационной
категории МБОУ «
Средняя общеобразовательная школа №33 с углубленным
изучением английского языка
»

Илифановой Полины Егоровны








Рассмотрено на заседании школьного
методического совета
______________ Е.А.Гиждеван

« ____ » _____________ 2013 года
Протокол № ___ от « ___ » _______2013 года



















Элективный курс

«Основы математической логики»

для учащихся 11-х классов

программа рассчитана на полугодие

обучение ведется на русском языке




Автор:

Илифанова Полина Егоровна, учитель информатики и ИКТ первой квалификационной категории муниципального бюджетного образовательного учреждения МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №33 с углубленным изучением английского языка»





Рецензенты:

  1. Старший преподаватель ИРО РТ
    Рябова Анна Анатольевна

  2. Кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и математики МАОУ ВПО «Нижнекамский муниципальный институт»

Сабанаев Илдар Арифович


  1. Учитель информатики и ИКТ высшей квалификационной категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №10 с углублённым изучением отдельных предметов» НМР РТ, руководитель муниципального методического объединения учителей информатики и ИКТ НМР
    Мельникова Светлана Владимировна




Оглавление


  1. Пояснительная записка.........................................................................стр.4

  2. Учебно-тематический план…………………………………………..стр.7

  3. Содержание программы.......................................................................стр.8

  4. Приложение (15 занятий)….................................................................стр.11

  5. Литература.............................................................................................стр.51

  6. Результаты апробации.........................................................................стр.52

  7. Рецензии................................................................................................стр.53





































Программа элективного курса «Основы математической логики»

Пояснительная записка

Данный элективный курс разработан для проведения занятий в универсальном курсе преподавания информатики и ИКТ в профильном филологическом классе. Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений РФ количество учебных часов в году в 11 классе - 34, в неделю 1 час. За счет школьного компонента добавлен 1 час в 11-ом классе, таким образом, для подготовки к ЕГЭ в рамках темы «Представление информации, системы счисления и основы логики» выделяется 19 часов дополнительно на изучение темы «Основы математической логики».

Вопросы, рассматриваемые в данном курсе, тесно примыкают к обязательному содержанию образования по информатике и ИКТ и способствуют совершенствованию и развитию знаний и умений, предусмотренных школьной программой. Курс построен таким образом, чтобы не только вспомнить те или иные законы алгебры логики, изучаемые по программе, но и показать новые аспекты в изучении логики. Дополняя и углубляя знания, полученные учащимися при изучении базового курса основного общего образования, данный курс помогает учащимся оценить свои возможности по решению заданий по математической логике и подготовиться к единому государственному экзамену.

Одна из целей преподавания информатики в курсе средней школы состоит в привитии навыков логического мышления. Логическое мышление – это, прежде всего, умение рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения. Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.

Одним из инструментов развития логического мышления является решение логических задач. Эти задачи способствуют развитию памяти, смекалки, внимания и других качеств, позволяющих нестандартно мыслить. Кроме того, логические задачи позволяют развивать не только логическое, но также математическое, и алгоритмическое мышление. Выполняя различные задания по математической логике, учащиеся научатся не только понимать и анализировать логические задачи, но и излагать свои суждения: доказывать, сравнивать, приводить примеры, делать выводы. Полученные знания и навыки старшеклассники смогут применить как при подготовке к ЕГЭ, так и при обучении на естественно-математических факультетах вузов. В программе дается примерное распределение количества часов, которые учитель может изменить, исходя из конкретных условий работы с профильными классами.




Актуальность программы

Элементы математической логики рассматриваются и в школьном курсе математики, и в курсе информатики. Умение логически грамотно рассуждать, четко формулировать свои мысли и делать правильные выводы требуется на всех предметах, а также и в жизни. К сожалению ни в курсе математики, ни в базовом курсе информатики решению логических задач не уделяется достаточного внимания. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Именно поэтому развитие мышления является одной из основных задач школьного обучения. Перед учителем стоит задача – не просто давать знания, предусмотренные программой, а способствовать формированию высокого уровня логического мышления учащихся. При этом информатика имеет огромные возможности для реализации этой цели. Овладевший приемами логического мышления всегда понятен в разговоре, исключает всякую бессистемность в обработке информации. Он умеет находить рациональное зерно в чужой сбивчивой речи, оценивать доказательную силу высказываний в дискуссии, находить кратчайшие и правильные пути исправления ошибок. При решении логических задач ученикам предоставляется возможность подумать над условием, рассуждать. Обдумывание идеи задачи и попытка рассуждать, сконструировать его логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей учеников.


Цели

- дать учащимся знание законов и логических форм мышления, а также сформировать навыки и умения, необходимые для реализации полученных знаний на практике и в повседневной жизни;

- развивать умение школьников правильно и быстро совершать стандартные логические операции, принимать продуманное, взвешенное решение, правильно говорить о действиях своего и чужого мышления, находить ошибки в рассуждения оппонентов;

- углубление, обобщение и систематизация знаний;

- подготовка учащихся к Единому Государственному Экзамену по информатике.


Задачи

- пробудить и поддержать интерес школьников к изучению логики;

- мотивировать учащихся к самостоятельному изучению законов алгебры логики;

- сформировать логическое мышление учащихся;

- расширить и углубить образовательную область информатики по выделенным темам, входящих в перечень вопросов при сдаче ЕГЭ;

- создать учебное пространство для развития умений рационально и алгоритмически мыслить, продуктивно и самостоятельно решать задачи различного уровня сложности;

- формировать творческий подход к решению разнообразных нестандартных задач.


Формы и методы

- лекция с элементами беседы;

- практические занятия с использованием компьютерных технологий;

- тестирование;

- самостоятельная работа с различными источниками;

- работа в малых группах;

- самоконтроль и взаимоконтроль по вопросам учителя;


Ожидаемые результаты

- повышение мотивации и качества знаний учащихся на более высокий уровень;

- умение учащихся рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения;

- навыки учащихся мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки;

- углубление, обобщение и систематизация знаний;

- отработка навыков решения заданий ЕГЭ по информатике.

















Учебно-тематический план


п/п

Название темы

Количество
часов

Форма
проведения

Образовательный продукт

1

Формы мышления.
Алгебра высказываний.

2

лекция с элементами беседы

конспект, выполненные задания

2

Базовые логические операции

1

лекция с элементами беседы

конспект, выполненные задания, таблицы

3

Логические функции

1

лекция с элементами беседы

конспект, выполненные задания, таблицы

4

Логические выражения и таблицы истинности

1

лекция, индивидуальная работа.

выполненные задания, конспект

5

Логические законы и правила преобразования логических выражений

1

лекция с элементами беседы

выполненные задания, конспект, таблица

6

Решение логических задач средствами алгебры логики.

1

практическое занятие

выполненные задания

7

Решение логических задач табличным способом.

2

практические занятия, самостоятельная работа

выполненные задания

8

Решение логических задач различными способами

1

практическое занятие, самостоятельная работа

выполненные задания

9

Логические основы устройства компьютера. Сумматор двоичных чисел, триггер.

2

лекция, работа в группах

выполненные задания

10

Логические задачи в материалах ЕГЭ по информатике

5

лекция с элементами беседы, индивидуальная работа.

выполненные задания


Зачетное занятие по всему курсу

2

тестирование


тест


всего

19








Содержание курса

1. Тема «Ведение в логику» (4 часа)

Логика, понятие, высказывание, умозаключение, алгебра логики, логическая переменная, логическая функция, базовые логические операции и функции, их запись на языке алгебры логики, логическое выражение.

Задачи:

сформировать у учащихся понятие форм мышления;

сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

Учащиеся должны знать:

  • формы мышления, значение понятий: логическое высказывание, логические величины, логические операции.

Учащиеся должны уметь:

  • приводить примеры основных форм мышления;

  • приводить примеры логических высказываний;

  • называть логические величины, логические операции.

2. Тема «Таблицы истинности. Логические законы и правила преобразования логических выражений» (2 часа)

Таблицы истинности, закон непротиворечия, закон тождества, закон исключающего третьего, закон двойного отрицания, закон Моргана, закон поглощения, правило ассоциативности, правило дистрибутивности, правило идемпотентности, правило коммутативности, их применение к решению задач.

Задачи:

сформировать и закрепить навыки построения таблиц истинности;

познакомить учащихся с законами логики;

сформулировать правила преобразования логических выражений;

научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

  • основные законы алгебры логики;

  • алгоритм составления таблиц истинности логических выражений;

  • правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

  • составлять таблицы истинности логических выражений;

  • приводить логические выражения к нормальной форме.

3. Тема «Решение логических задач» (4 часа)

Решение логических задач средствами алгебры логики, табличным способом, различными способами. Представление условия задачи в виде таблицы, графов, логических выражений, диаграмм Эйлера-Венна.

Задачи:

сформировать и закрепить навыки решения логических задач различными методами.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

  • способы записи условий логических задач;

  • понятие графа, основные элементы графа;

  • различные способы решения содержательных логических задач.

Учащиеся должны уметь:

  • выбирать способ решения содержательной задачи;

  • записывать условие задачи в соответствии с выбранным способом решения;

  • решать задачу в соответствии с выбранным способом;

  • применять основные логические законы для решения задач различными способами;

  • анализировать информацию, сравнивать и сопоставлять ее.

4. Тема: «Логические схемы» (2 часа)

Логические основы устройства компьютера, логические схемы, вентили, построение логических схем, сумматор двоичных чисел, триггер.

Задачи

сформировать учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера

сформировать навыки построения логических схем.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

Учащиеся должны знать:

  • основные базовые элементы логических схем;

  • правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

  • составлять логические схемы.

5. Тема «Логические задачи в материалах ЕГЭ» (5 часов)

Решение логических задач, входящих в ЕГЭ (А3, А10, В12, В15, С3).

Задачи:

сформировать и закрепить навыки решения заданий ЕГЭ на логику.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

  • этапы составления таблиц истинности;

  • правила преобразования логических выражений и законы;

  • различные способы решения логических задач;

  • основные базовые элементы логических схем;

  • правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

  • составлять таблицы истинности;

  • приводить логические выражения к нормальной форме.

  • выбирать способ решения содержательной задачи;

  • записывать условие задачи в соответствии с выбранным способом решения;

  • решать задачу в соответствии с выбранным способом;

  • применять основные логические законы для решения задач различными способами;

  • анализировать информацию, сравнивать и сопоставлять ее.

5. Зачет (2 часа)

Задачи:

контроль знаний и умений, полученных в ходе изучения данного элективного курса;































КОНСПЕКТЫ ЗАНЯТИЙ

ЗАНЯТИЕ №1:Формы мышления. Алгебра высказываний.

Цели урока:

  • познакомить учащихся с основными понятиями форм мышления;

  • способствовать формированию понятий: логическое высказывание, логические величины.

  • формировать ИКТ-компетентность, информационную культуру учащихся

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

формы мышления, значение понятий: логическое высказывание, логические величины.

Учащиеся должны уметь:

приводить примеры логических высказываний;

называть логические величины.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Этап подготовки учащихся к работе на основном этапе.

Познание истины – она из важнейших потребностей человека. Каждый человек и человечество в целом стремятся к истине, добру и красоте. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой информации о мире, в котором они живут. Для чего? Для того, чтобы жить, что в данном случае означает ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения и на их основе совершать правильные действия.

Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления. Существует даже мнение, что всякое движение нашей мысли, постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы.

А что такое логика???

Давайте, используя глобальную сеть Интернет, ответим на следующие вопросы:

  • Что такое логика? (Логика - наука о формах и законах мышления.)

  • Где и кем проблемы логики были разработаны и систематизированы? (В Древней Греции, философ-материалист Демокрит (460 - 370 до н.э.))

  • А чем так знаменит Джордж Буль? (причастен к появлению Алгебры логики)

  • Что такое Алгебра логики? (это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.)

  • Что изучает Математическая логика? (Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера.)

Теперь мы знаем, почему Алгебру логики изучают в курсе «ИНФОРМАТИКА и ИКТ».

III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

Логика- наука, изучающая формы и законы человеческого мышления.

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Привести исторические сведения из истории развития математической логики: рассказать об основоположнике формальной логики Аристотеле, осветить вклад Готфрид-Вильгельма Лейбница (1646-1716) и Дж. Буля (1815-1864) в развитие и математизацию логики.

Формы мышления

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания.

Логика — это наука о формах и способах мышления.

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Понятие. Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множество. Например, понятие “компьютер” объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой. Даже по этому короткому описанию компьютер трудно спутать с другими объектами, например с механизмами, служащими для перемещения по дорогам и хранящимися в гаражах, которые объединяются понятием “автомобиль”. Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.

Например, содержание понятия “персональный компьютер” можно раскрыть следующим образом: “Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя”.

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия “персональный компьютер” выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

Высказывание. Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.

Высказывания могут быть выражены с помощью не только естественных языков, но и формальных. Например, высказывание на естественном языке имеет вид “Два умножить на два равно четырем”, а на формальном, математическом языке оно записывается в виде: “2•2 = 4”.

Об объектах можно судить верно или неверно, то есть высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Примером истинного высказывания может служить следующее: “Процессор является устройством обработки информации”.

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности, например: “Процессор является устройством печати”.

Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна.

Конечно, иногда истинность того или иного высказывания является относительной. Истинность высказываний может зависеть от взглядов людей, от конкретных обстоятельств и так далее. Сегодня высказывание “На моем компьютере установлен самый современный процессор Pentium 4” истинно, но пройдет некоторое время, появится более мощный процессор, и данное высказывание станет ложным.

Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

До сих пор мы рассматривали простые высказывания. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Например, высказывание “Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати” является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединенных союзом “и”.

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.

Приведенное выше составное высказывание истинно, так как истинны входящие в него простые высказывания.

Умозаключение. Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получать заключение, то есть новое знание. Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства.

Например, если мы имеем суждение “Все углы треугольника равны”, то мы можем путем умозаключения доказать, что в этом случае справедливо суждение “Этот треугольник равносторонний”.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:

А = “Два умножить на два равно четырем”. В — “Два умножить на два равно пяти”.

Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно
(В = 0).

III. Этап обобщения и систематизации знаний

А сейчас мы сделаем записи в тетради в виде схем:

Логика


Понятие Суждение (Высказывание) Умозаключение

Содержание

Объем

Общие

Частные

Единичные

Дедукция

Индукция

Аналогия

Высказывания


Общие Частные Единичные

Начинаются со слов: Начинаются со слов: Начинаются со слов:

все, всякий, каждый, некоторые, большинство, например: А – первая
ни один, любой… многие… буква алфавита

Выполним задания 36, 38 из практикума.

IV. Подведение итогов.

V. Домашнее задание.

Выучить основные определения, знать обозначения.


ЗАНЯТИЕ №2: Алгебра высказываний

Цели урока:

  • создать условия для актуализации работы с высказываниями, учить составлять с помощью формального языка логики сложные высказывания текстов;

  • формировать ИКТ-компетентность, информационную культуру учащихся

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

формы мышления, значение понятий: логическое высказывание, логические величины.

Учащиеся должны уметь:

приводить примеры логических высказываний;

называть логические величины.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос «Что такое логика? Основные понятия логики».

Вопросы для повторения:

Что изучает логика? Какими основными понятиями оперирует логика?

Ответ: Логика - это наука о формах и способах мышления. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, суждение (высказывание) и умозаключение.

Что такое «понятие» с точки зрения логики? Приведите примеры.

Ответ: Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Какие две стороны можно выделить в понятии?

Ответ: Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которые оно распространяется.

Что такое высказывание? Какие виды высказываний Вы знаете (Привести примеры общих, частных и единичных высказываний).

Ответ: Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений).

Какого вида умозаключения вы знаете?

III. Этап обобщения и систематизации знаний

-Работа с интерактивной доской, выполнение заданий на повторение (15 минут)

Кто является основателем формальной логики. Даны портреты философов, необходимо с помощью инструменты Ластик открыть нужное имя.

Аристотель, Архимед, Платон, Пифагор.

Ответ: Аристотель

-Соединить фамилии философов и науку, которой они были основателями.

По определению “отца” логики – древнегреческого философа Аристотеля, предметом этой науки был вывод одних умозаключений из других сообразно их логической форме. Великий немецкий философ Иммануил Кант противопоставил формальной логике трансцендентальную. Если Аристотель соотносил суждения по их логической формуле (образно говоря, по структуре и количественным характеристикам), то Кант ввел в оборот понятие “логическое содержание” (качество понятий). Другой великий немецкий философ, Герог Вильгельм Фридрих Гегель, разработал основы диалектической логики, главной задачей которой было исследование развития человеческого мышления и познания.

-Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. Булева алгебра (алгебра логики) - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания.

-Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями, и обоснуйте свой выбор.

Наполеон был французским императором.

Чему равно расстояние от Земли до Марса?

Внимание! Посмотрите направо.

Электрон – элементарная частица.

Не нарушайте правил дорожного движения!

Полярная звезда находится в созвездии малой медведицы.

Не все то золото, что блестит.

-Какие из приведенных примеров являются частными высказываниями, а какие общими?

Не все книги содержат полезную информацию.

Кошка является домашним животным.

Некоторые ученики двоечники.

Все ананасы приятны на вкус.

Многие растения обладают целебными свойствами.

Любой неразумный человек ходит на руках.

А – первая буква в алфавите.

IV. Подведение итогов.

Произнести определения основных новых понятий (логика, формы мышления: понятие и суждение, их характеристики).

Поставить оценки наиболее активным учащимся

Завершите фразу:

Сегодня я узнал…

Я научился…

У меня получилось …

Было трудно…

Запись домашнего задания.

Придумать свои примеры и формализовать. Повторить определения. Найти информацию о Джордже Буле.


ЗАНЯТИЕ №3: Базовые логические операции.

Цели урока:

  • познакомить учащихся с основными логическими операциями, их свойствами и обозначениями;
    выработка умений представления логических выражений с помощью логических операций.

  • формировать ИКТ-компетентность, информационную культуру учащихся

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

значение понятий: логические операции.

Учащиеся должны уметь:

называть логические величины, логические операции.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определить истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание. Для обозначения логических переменных используются буквенные символы. Очень часто алгебру логики (высказываний) называют булева алгебра по имени ее создателя английского математика XIX века Дж. Буля.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истина” (1) и “ложь” (0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок “и”, “или”, “не”.

Рассмотрим основную логическую операцию: Логическое умножение (конъюнкция)

«А и В сидели на трубе» - составное высказывание, состоящее из двух простых соединенных союзом «и».

Обозначим первое высказывание - А, второе высказывание – В.

А- «А сидело на трубе»

В – «В сидело на трубе»

На этом примере рассмотрим одну из основных операций: логическое умножение «И».

Если А и В отсутствовали на трубе(А=0 и В=0), то и сложное высказывание также будет не верно.(A&B=0).

Если только А отсутствовало на трубе (А=0), а В присутствовало (В=1), то составное условие равно 0 (A&B=0).

Если А присутствовало на трубе (А=1), а В отсутствовало (В=0), то составное условие равно 0 (A&B=0).

А если и А сидело на трубе» (А=1), и «В сидело на трубе» (В=1), то все составное условие выполняется (A&B=1).

Перейдем к записи высказываний с точки зрения алгебры логики. Образуем составное высказывание F, которое получиться в результате конъюнкции двух простых высказываний. Это записана формула функции логического умножения: F=A&B, где

логические переменные А и В могут принимать значение «истина» или «ложь» (0). Сама функция F, также может быть только «истина» (1) или «ложь» (0).

Обозначение: and, и, х, hello_html_m7b6aac5d.gif, &, hello_html_2c61610a.gif.

Значение функции определяется с помощью таблицы истинности:

А

В

F=A&B

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1







Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза “и” называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Определение: Составное высказывание, образованное в результате операции логическое умножение (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания.

Пример. Рассмотрим два высказывания А={ Завтра будет мороз}, и В={ Завтра будет идти снег}. Новое высказывание А&В истинно лишь в случае, когда будут истинны оба этих высказывания.

Рассмотрим следующую логическую операцию: Логическое сложение (дизъюнкция)

Рассмотрим пример составного высказывания: «Я пойду в кино или посещу библиотеку».

Это высказывание состоит из двух простых высказываний, соединенных союзом «или»: первое - «Я пойду в кино», (обозначим его А), второе - «Я посещу библиотеку» (обозначим его В). Такая логическая операция, соединенная союзом «или» называется логическим сложением и используется, когда хотят, чтобы выполнялось одно из двух высказываний, неважно какое, или первое или второе. Для заполнения таблицы истинности мы будем пользоваться законом булевой алгебры, отвлекаясь от содержания логических переменных.

Обозначения: or, или, +, v

Таблица истинности для этой операции принимает вид:

А

В

F=A v B

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1







Запишем теперь операцию логического сложения (дизъюнкция) на формальном языке алгебры логике.

Логическая функция: F=AvB

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Определение: Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Пример. Пусть А={Кошка охотится за мышами}, В={Кошка спит на диване}. Новое высказывание АvВ будет истинно в двух случаях, когда кошка охотится за мышами или когда кошка мирно спит. Это высказывание будет ложным, если кошка не делает ни того, ни другого, ровно как и в случае, когда предполагается, что оба события будут происходить одновременно.

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы “не” к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным. Например: «Не день» - «ночь».

Операцию логического отрицания в алгебре логики принято обозначать Ā. Образуем высказывание F, являющее логическим отрицанием А.

Обозначение: не А, ¬А, Ā

Для логической операции «не» существует следующая таблица истинности:

Ā

F

0

1

1

0


Примеры.

1. Отрицанием высказывания (Я не знаю татарского языка) будет высказывание (Неверно, что я не знаю татарского языка) или (Я знаю татарский язык).

2. Отрицанием высказывания {Все юноши 11-х классов — отличники) является высказывание {Неверно, что все юноши 11-х классов — отличники) или {Не все юноши 11-х классов — отличники) или другими словами, {Некоторые юноши 11-х классов — не отличники).

На первый взгляд кажется, что построить отрицание к заданному высказыванию достаточно просто. Однако это не так.

Пример 1. Высказывание {Все юноши 11-х классов — не отличники) не является отрицанием высказывания (Все юноши 11-х классов — отличники). Объясняется это следующим образом. Высказывание {Все юноши 11-х классов — отличники) ложно. Отрицанием к ложному высказыванию должно быть высказывание, являющееся истинным. Но высказывание (Все юноши 11-х классов не отличники) не является истинным, так как среди одиннадцатиклассников есть как отличники, так и не отличники.

Пример 2. Для высказывания (На стоянке стоят красные «Жигули»} следующие предложения отрицаниями являться не будут:

1) (На стоянке стоят не красные «Жигули»);

2) (На стоянке стоит белый «Мерседес»);

З) {Красные «Жигули» стоят не на стоянке).

Разобраться в этом примере предлагается самостоятельно. Класс делится на группы, внутри группы обсуждается этот пример, затем спикеры высказывают свое мнение от имени группы.

Проанализировав приведенные примеры, можно вывести полезное правило.

Правило построения отрицания к простому высказыванию:

При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к сказуемому добавляется частица «не», при этом слово «все» заменяется на «некоторые» и наоборот.

III. Этап закрепления знаний

Задание 1. Приведите примеры конъюнкции.

Задание 2. Приведите примеры дизъюнкции.

Задание 3. Постройте отрицание для высказываний:

  • Все ребята умеют плавать.

  • Невозможно создать вечный двигатель.

  • Каждый человек – художник.

  • Человек все может.

  • Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».

Выполним упражнения 40-41 из практикума.

IV. Подведение итогов.

V. Домашнее задание.

Придумать примеры для каждой логической операции.


ЗАНЯТИЕ №4: Логические функции.

Цели урока:

  • познакомить учащихся с основными логическими функциями, их с обозначениями, с алгоритмом построения таблиц истинности логических функций;

  • выработка умений представления логических выражений с помощью логических функций;

  • формировать ИКТ-компетентность, информационную культуру учащихся

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

значение понятий: логические функции.

Учащиеся должны уметь:

называть логические величины, логические операции и функции.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

Пусть а= «эта ночь звездная», а b = «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке:

  1. а и b;

  2. а и не b ;

  3. не а и не b;

III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

Логической функцией называют функцию F1, х2, …, хn), аргументы которой х1, х2, …, хn –логические переменные и сама функция(логическая переменная) принимает значение 0 или 1.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.

Логические функции могут быть заданы с помощью таблицы или формулы. Существует 16 различных логических функций от двух переменных( таблица 3.1, стр.133, учебник). Если логическая функция представлена с помощью базовых логических операций(инверсия, конъюнкция, дизъюнкция)), тот такая форма представления называется нормальной. Рассмотрим основные две логические функции.

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):

Составное высказывание типа «Если А, то В». Например: «Если идет дождь, то грибы растут»

Мы имеем само составное высказывание и два простых высказывания « Если идет дождь» - называется основание и «грибы растут»- называется следствие. Применим здравый смысл для доказательства таблицы истинности.

Таблица истинности для первого высказывания включает в себе значения всех комбинаций, которые принимают значения «истина » (1) или «ложь» (0).

-Если дождь не идет (0) и грибы не растут (0), следовательно, все высказывание истинным

-Если дождь идет (1) и грибы не растут (0) - все составное высказывание ложно (0).

-Если дождь не идет (0) и грибы растут (1) - все составное высказывание истинно (1).

-Если дождь идет (1) и грибы растут(1), следовательно, все высказывание истинным.

-Если основание ложно, а второе высказывание истинно или ложно (можно ждать что угодно). То все составное высказывание истинно.

Обозначение. А→В, hello_html_m6f682fa1.gif.

Логическая операция импликация задается следующей таблицей истинности:

A

B

A B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Пример 1. Истинным высказыванием {Если на каникулах мы поедем в Петербург, то посетим Исаакиевский собор} мы утверждаем, что в случае приезда на каникулах в Петербург Исаакиевский собор мы посетим обязательно.

Импликация, образованная из высказываний А и В может быть записана на естественном языке при помощи следующих предложений: «Если А, то В», «Из А следует В», «А влечет В».

Может показаться странным, что высказывание «Если А, то В» всегда истинно, если посылка (высказывание А) ложна. Но для математика это вполне естественно. В самом деле, исходя из ложной ПОСЫЛКИ, МОЖНО путем верных рассуждений получить как истинное, так и ложное утверждение.

Большинство математических теорем являются импликациями.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):

Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», в логике называется эквивалентностью. Эквивалентность используется в тех случаях, когда необходимо выразить взаимную обусловленность. Например, сообщая: «Я получу паспорт тогда и только тогда, когда мне исполнится 14 лет», человек утверждает не только то, что после того, как ему исполнится 14 лет, он получит паспорт, но и то, что паспорт он сможет получить только после того, как ему исполнится 14 лет.

Обозначение. А↔В, hello_html_m699c40aa.gif

Логическая операция эквивалентность задается следующей таблицей истинности:

А

В

hello_html_m699c40aa.gif

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Рассмотрим возможные значения сложного высказывания, являющегося эквивалентностью: «Учитель утверждает, что 5 в четверти ученику он поставит тогда и только тогда, когда ученик получит 5 на зачете».

1) Ученик получил 5 на зачете и 5 в четверти, т. Е. учитель выполнил свое обещание, следовательно, высказывание является истинным.

2) Ученик не получил на зачете 5, и учитель не поставил ему 5 в четверти, т. Е. учитель свое обещание сдержал, высказывание является истинным.

З) Ученик не получил на зачете 5, но учитель поставил ему 5 в четверти, т. Е. учитель свое обещание не сдержал, высказывание является ложным.

4) Ученик получил на зачете 5, но учитель не поставил ему 5 в четверти, т. Е. учитель свое обещание не сдержал, высказывание является ложным.

В математических теоремах эквивалентность выражается связкой «необходимо и достаточно».

Интересный факт! В алгебре высказывания все логические функции могут быть путем логических преобразований сведены к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению, логическому отрицанию.

Докажем методом сравнения таблиц истинности, что операция импликации А B, равносильна логическому выражению не А v B

Таблица истинности логического выражения не А v B:

A

B

неА

неА v B

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

Приоритет операций.

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую войдут символы, обозначающие высказывания и их отрицания, соединенные знаками логических операций.

Старшинство операций:

    1. Инверсия

    2. Конъюнкция

    3. Дизъюнкция

    4. Импликация

    5. Эквивалентность

III. Этап закрепления знаний

Задание 1. Приведите примеры теорем, являющихся импликациями.

-Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежат плоскости.

-Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задание 2. Приведите примеры теорем, где используется эквивалентность.

-Внутренние накрест лежащие углы, равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, тогда и только тогда, когда прямые параллельны.

Задание. Расставить порядок действий логического выражения

hello_html_m1ebb609.gif.

Выполним упражнения 43 из практикума.

IV. Подведение итогов.

V. Домашнее задание.

Придумать примеры теорем для каждой логической функции.


ЗАНЯТИЕ №5: Логические выражения и таблицы истинности

Цели урока:

  • изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
    научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц:

  • способствовать практическому освоению навыков построению таблиц истинности по заданному логическому выражению;

  • формировать ИКТ-компетентность, информационную культуру учащихся

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

формы мышления, значение понятий: логическое высказывание, логические величины, логические операции, таблица истинности.

Учащиеся должны уметь:

уметь составлять таблицы истинности логических выражений.

Тип урока: урок изучения и закрепления знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

Устно:

Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические союзы (связки), с помощью которых в естественном языке строятся сложные высказывания. Заполните правую колонку таблицы названиями наиболее подходящих логических операций.

В естественном языке

В логике

И


Или


Неверно, что


Хотя


Только и только в том случае


Но


А


Если, то…


Однако


Тогда и только тогда


Либо…, либо


Необходимо и достаточно



III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

Мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.

Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности, учитывая приоритет операций.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2) определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;

3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;

4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5) заполнить столбцы входных переменных наборами значений;

6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуется перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;

б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц , начиная с группы нулей;

в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

IV. Этап закрепления новых знаний и новых способов действий.

А сейчас мы с вами рассмотрим, как используя базовые таблицы истинности можно строить таблицы более сложных выражений.

Пример 1: F=(A v B)&(неA v неB).

Определите истинность составного высказывания, использую таблицы истинности

Таблица истинности логического выражения:

A

B

AvB

НеА

НеВ

(НеА v неВ)

(AvB)&( НеА v неВ)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

Следующее задание: Составить таблицу истинности составного высказывания:F =A&BvC

-количество столбцов 5: три переменных и плюс два знака

-количество строк равно 8, т.к. одна переменная 23=8

A

B

C

A&B

A&BvC

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1


Задания 44-45 из практикума.

V. Подведение итогов.

Произнести определения основных новых понятий (логика, формы мышления: понятие и суждение, их характеристики).

Поставить оценки наиболее активным учащимся.

VI. Информация о домашнем задании.

Постройте таблицу истинности сложного высказывания:

A (B¬B¬C)


ЗАНЯТИЕ №6: Логические законы и правила преобразования логических выражений

Цели урока:

  • познакомить учащихся с законами логики; сформулировать правила преобразования логических выражений;

  • способствовать умению высказывать суждение в виде алгоритма мыслей, вести дискуссию, стимулировать познавательную деятельность учащихся;

  • способствовать развитию внимания, памяти, речи, мыслительной деятельности учащихся, умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: урок формирования знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания в виде теста ( проверяется знание таблиц истинности логических выражений)

III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности сложно, в таких случаях формулы приводят к нормальной форме, т.е. в формуле отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания. Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила преобразования логических выражений. Законы записаны на слайде, выводятся на экран (распечатываются по одному экземпляру на парту), и по мере записи на доске, ученики пишут в тетрадь

Основные законы формальной логики

  • Закон тождества А = А

  • Закон непротиворечия А&ØA=0

  • Закон исключения третьего АÚØА=1

  • Закон двойного отрицания ØØА=А

Свойства констант

Ø0=1 Ø1=0

АÚ0=А А&0=0

АÚ1=1 А&1 

Законы алгебры логики

  • Идемпотентность АÚА=А А&А=А

  • Коммутативность А Ú В=В Ú А А&В=В&А

  • Ассоциативность А Ú (В Ú С)= (А Ú В) Ú С А &(В & С)= (А & В) &С

  • Дистрибутивность А Ú (В & С)= (А Ú В) &(AÚ С)

А & (В Ú С)= (А & В) Ú(A&С)

  • Поглощение А Ú (А & В)=А А & (А Ú В)=А

  • Законы де Моргана Ø(А ÚВ)= Ø А&ØВ Ø(А &В)= Ø А Ú ØВ

Правила замены операций

  • Импликации АÞ В = ØА Ú B АÞ В = Ø BÞ A

  • Эквивалентности АÛВ = (А&B) Ú (ØA& ØB)

АÛВ = (А Ú Ø B) Ú (ØA Ú B)

АÛВ = (А Þ B) & (B Þ A)

IV. Этап закрепления новых знаний и новых способов действий.

Упрощение сложных высказываний - это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с целью получения высказываний более простой формы.

Основные приемы замены

  • X=XÙ1

  • X=XÚ0

  • 1= А Ú ØА

  • 0= В Ù Ø В

  • Z= Z ÚZ Ú Z

  • C=C ÙC Ù C

  • Е= Ø Ø Е

- По свойствам констант


- По закону исключения третьего

- По закону непротиворечия

- -По закону

идемпотентности

- По закону двойного отрицания


А теперь давайте выполним несколько упражнений из задания 52 (практикум)

Упростите логические выражения:

  • Х&X&1

  • F= не (Х и (не Х и не Y))

  • F= B&(AvA&B)

  • 0&Xv0

  • F= не Х или (не (Х и Yи не Y))

  • F= (AvC)&(AvC)&(BvC)

  • 0vX&1

  • F= не Х и (не(неY или Х))

  • F=A&B v A&Bv A&BvB&C

V. Подведение итогов.

Решение с помощью Законов алгебры логики существенно экономит время, так как в некоторых заданиях не нужно  чертить таблиц истинности.

VI. Информация о домашнем задании (выписывается на доске).


ЗАНЯТИЕ №7: Решение логических задач средствами алгебры логики

Цели урока:

  • познакомить учащихся с методом решения логических задач средствами алгебры логики;

  • закрепить знания законов алгебры логики и умение учащихся решать

логические задачи;

  • работа над повышением знаний основных понятий и законов алгебры логики, достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

законы алгебры логики, способы решения логических задач.

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи различными способами.

Тип урока: урок формирования знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Проверка домашнего задания.

III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

Известны три основных способа решения логических задач:

с помощью рассуждений;

средствами алгебры логики;

с помощью таблиц.

Первым способом мы умеем решать логические задачи с первого класса. Вторым способом– средствами алгебры логики – научимся решать сегодня. А вот третьим способом мы научимся решать задачи на следующем уроке.

Прежде чем как перейти к изучению новой темы нам будет необходимо вспомнить некоторые пройденные темы, а именно, упрощение логических выражений с помощью законов алгебры логики и запись составных высказываний в виде логических выражений.

(Все задачи на повторение пройденной темы решаются учениками на доске с объяснением применяемых правил и законов).

Первое задание. Упростить логическое выражение.

F = (A v B) → (B v C)

Решение (используются законы де Моргана, закон двойного отрицания, распределительный закон):

F = (A v B) → (B v C) = A v B & (B v C) = (A v B) & (B v C) = B v (A & C)

Второе задание. Записать следующее высказывание в виде логического выражения: «Если я хорошо подготовлюсь по русскому языку, математике и физике, то я получу пятерки или четверки».

Решение: выделим в составном высказывании простые и обозначим их логическими переменными:

А – хорошо подготовлюсь по русскому языку;

В – хорошо подготовлюсь по математике;

С – хорошо подготовлюсь по физике;

D – получу пятерки;

Е – получу четверки.

Тогда составное высказывание будет записано следующим образом:

F = (A & B & C) → (D V E)

Представим такую ситуацию: по телевизору синоптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра? (Ответы учеников)

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

A – «Ветра нет»

B – «Пасмурно»

С – «Дождь»

б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:

__

A → B & C

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:

С → B & A

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра

B → C & A

в) Запишем произведение указанных функций:

F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)

г) Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

_ _ _ _

F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) = (A v B & C) & (C v B&A) & (B v C&A) =

_ _ _ _ _

= (A v B & C) & (B v C&A) & (C v B&A) = (A & B v B&C&B v A&C&A v B&C&C&A) &

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(C v B&A)= A & B &(C v B&A) =A&B&C v A&B&B&A = A&B&C

д) Приравняем результат единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:

_ _ _

F = A & B & C = 1

е) Проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

Поэтому:

_ _ _

A = 1; B = 1; C = 1; Значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Ребята, мы с вами познакомились с новым методом решения логических задач.

IV. Этап закрепления новых знаний и новых способов действий.

Запишем условие еще одной интересной задачи из жизни, которую мы начнем решать в классе, а закончим дома самостоятельно.

Задача. Андрею, Саше и Егору предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Андрей показал, что преступники скрылись на синем Мерседесе, Саша сказал, что это был черный Джип, а Егор утверждал, что это был Форд Мустанг и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки была машина? (Учитель помогает детям записать правильно логическое выражение.)

V. Подведение итогов.

Сегодня мы научились решать логические задачи средствами алгебры логики. Попробуйте решить домашнее задание – задачу об ограблении банка.


ЗАНЯТИЕ №8: Решение логических задач табличным способом.

Цели урока:

  • познакомить учащихся с методом решения логических задач табличным способом;

  • закрепить знания законов алгебры логики и умение учащихся решать

логические задачи;

  • способствовать развитию у учащихся логического и математического мышления, умения делать выводы, обобщать и конкретизировать;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

алгоритм решения логических задач табличным способом;

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Актуализация прежних знаний

Устное решение задач (текст задач проецируется на экран)

1. Мама купила 4 шара красного и голубого цветов. Красных шаров было больше, чем голубых. Сколько шаров и какого цвета купила мама? (3 красных и 1 голубой.)

2. У сестер Юли и Тони было три платка; один розовый и два голубых. Увидев на Юле один из этих платков, Тоня поняла, что она может надеть только голубой платок. Какой платок был на Юле? (На Юле был розовый платок)

3. Ответь, правильны ли данные рассуждения (умозаключения)? Если нет, то почему?

а) Пианино — это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино. (Нет, так как музыкальный инструмент понятие более широкое, чем пианино)

б) Классные комнаты надо проветривать. Квартира — это не классная комната. Значит, квартиру не надо проветривать ( Нет, так как надо проветривать не только классные комнаты.).

в) Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше. (Да).

г) 25 см больше, чем 2 дм 5 см. (Нет, так как эти величины равны.)

4. Решите еще одну задачку

Игорь, Петя и Саша ловили рыбу. Каждый из них поймал либо ершей, либо пескарей, либо окуней. Кто из них каких поймал рыб, если известно, что:

1) колючие плавники есть у окуней и ершей, а у пескарей их нет;

2) Игорь не поймал ни одной рыбы с колючими плавниками;

3) Петя поймал на 2 окуня больше, чем поймал рыб Игорь?

Какие ваши предложения по поводу решения задачи?
Как оформить данные задачи для более легкого рассуждения и решения? Тема сегодняшнего урока «Решение логических задач табличным способом», запишите тему урока в тетрадях

III. Изучение нового материала

- Сколько мальчиков ловило рыбу?

3

- Каких рыб поймали мальчики?

Ершей, пескарей, окуней

- Как вы думаете, сколько надо столбцов и строк для оформления таблицы?

(4х4)

Предлагаю в строках записать имена мальчиков, а в столбцах названия рыб.


Пескари

Окуни

Ерши

Игорь

1

0

0

Петя

0

1

0

Саша

0

0

1

- Положительный ответ мы будем обозначать цифрой -1, а отрицательный цифрой – 0.

- С чего начнем?

- Зная 1 и 2 высказывания, можно сделать вывод, что Игорь поймал Пескарей, тогда первый столбец заполнится как 1, 0, 0

- Зная, что Петя поймал на 2 окуня больше, чем поймал рыб Игорь, можно сделать вывод, что Петя поймал окуней, тогда второй столбец заполнится как 0, 1, 0.

- Получаем, что Саша поймал ершей, так как каждый поймал один вид рыб.

Ответ: Игорь поймал пескарей, Петя – окуней, Саша - Ершей

При использовании табличного способа - условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Следующая задача: Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

1) Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

2) парижанка не снимается в кино;

3) та, кто живет в Риме, певица;

4) Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Решение.

Каковы будут размеры таблицы для решения задачи?

Составим таблицу 7х4 и заполним клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:


Париж

Рим

Чикаго

Пение

Балет

Кино

Джуди

 0

 1

0

 1

 0

 0

Айрис

 1

 0

0

 0

 1

 0

Линда

0

 0

1

0

0

 1

1. Из 1 высказывания заполняем нулями соответствующие ячейки

2. Из 4 высказывания ставим нуль в ячейку на пересечении Линда и балет

3. из 3 можно сделать вывод, что Линда не живет в Париже, значит она не певица

4. Т.к. каждая приобрела известность только в одном виде искусства, то Линда стала известной в кино, следовательно последний столбец заполнится как 0, 0, 1

5. из 2 можно сделать вывод, не парижанка снимается в кино, тогда Линда не живет в Париже, а Айрис живет в Париже,

6. и т.к. у Линды отрицания, что она живет в Париже и Риме, тогда она живет в Чикаго Тогда столбец Чикаго заполнится как 0,0,1

7. Получается Что Джуди живет в Риме

8. Возвращаясь к высказыванию 3 получаем, что Джуди певица,

9. Путем исключений приходим к выводу, что Айрис балерина

Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.

IV. Этап закрепления новых знаний и новых способов действий.

Предлагаю решить следующую задачу:

В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Николая, Федора и Платона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

  1. Федор самый высокий.

  2. Играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте.

  3. Играющие на скрипке и флейте и Николай любят пиццу.

  4. Когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Федор мирит их.

  5. Николай не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.


скрипка

флейта

альт

кларнет

гобой

труба

Николай

0

0



0

0

Федор

0

1

0

0

1

0

Платон

1

0

0

0

0

1

- Предлагаю начать с последнего высказывания

5) Николай не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. Значит, на строке Николай в столбцах труба и гобой можно поставить нули.

4) Когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Федор мирит их Можно сделать вывод, что Федор не играет на альте и трубе

3) Играющие на скрипке и флейте и Николай любят пиццу. Т.О. Николай не владеет скрипкой и флейтой

1,2) Федор самый высокий. Играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте. Т.О. Федор не владеет скрипкой

Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

  • Из таблицы видно, что Платон владеет скрипкой и трубой, следовательно в ячейки поставим 1. Тогда оставшиеся ячейки на строке Платон можно заполнить нулями.

  • Рассматривая строку Федор, получается, что он играет на флейте и гобое, и не играет на кларнете.

  • Николай из всего сказанного играет на альте и кларнете

Ответ: Николай играет на альте и кларнете, Федор на флейте и гобое, Платон на скрипке и трубе.

V. Подведение итогов.

Составьте план решения логических задач табличным способом

  1. Определить размеры таблицы и начертить ее

  2. Заполнить названия столбцов и строк

  3. С помощью 0 и 1 отразить условие задачи

  4. Путем умозаключений найти решение

- Какие операции алгебры логики вы встречали в задачах?

- Как вы думаете, нужно ли уметь решать такие задачи?

VI. Информация о домашнем задании.

Решить задачу

Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

1. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье,

2. Заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

3. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.


ЗАНЯТИЕ №9: Табличное решение логических задач

Цели урока:

  • систематизировать и обобщить сведения, полученные учащимися на предыдущем уроке;

  • расширить представления учащихся о табличных информационных моделях;

  • закрепить представление о табличном способе решения логических задач, закрепить навыки создания таблиц;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

алгоритм решения логических задач табличным способом;

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

Здравствуйте, ребята!

На предыдущем уроке мы с вами уже решали логические задачи с помощью построения таблиц. Сегодня мы продолжаем изучение этой темы. Но вначале сверим ответы к задачам из домашнего задания и разберем решение этих задач.

II. Проверка домашнего задания.

III. Закрепление материала. Решение задач.

Задача 1.В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофёр старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.


Вадим

Сергей

Николай

Антон

Шофер

-

-

-

+

Слесарь

-

+

-

-

Токарь

+

-

-

-

Электрик

-

-

+

-

Ответ: Вадим – токарь, Сергей – слесарь, Николай – электрик, Антон - шофёр

Задача 2.В семье четверо детей. Им 5,8,13 и 15 лет. Их зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?


Аня

Боря

Вера

Галя

5

-

-

+

-

8

-

+

-

-

13

+

-

-

-

15

-

-

-

+

Ответ: Аня – 13 лет, Боре – 8 лет, Вере – 5 лет, Гале – 15 лет.

Задача 3.Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: «Ни первое, ни четвёртое»; Борис сказал : «Второе», а Вова заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?


Коля

Боря

Вова

Юра

Первый

-

-

+

-

Второй

-

+

-

-

Третий

+

-

-

-

Последний

-

-

-

+

Ответ: Коля – третий, Борис – второй, Вова – первый, Юра - последний.

Задача 4.Клоуны Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках(все в разных). Их туфли были тех же цветов (у каждого клоуна свой). Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима?

туфли

Бим

Бам

Бом

Красный

+

-

-

Синий

-

-

+

Зелёный

-

+

-

рубашка

Бим

Бам

Бом

Красный

+

-

-

Синий

-

+

-

Зелёный

-

-

+

Ответ: Бом – в синих туфлях и зелёной рубашке, Бим – во всём красном.

Задача 5.На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала с Валентином, Аня – с одноклассником Наташи, Николай – с одноклассницей Владимира, а Владимир – с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится?

пары

Валентин

Николай

Владимир

Алексей

Лена

+

-

-

-

Аня

-

+

-

-

Наташа

-

-

-

+

Оля

-

-

+

-


одноклассники

Валентин

Николай

Владимир

Алексей

Лена

-

-

-

+

Аня

-

-

+

-

Наташа

-

+

-

-

Оля

+

-

-

-

IV. Подведение итогов.

VI. Информация о домашнем задании.

В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофёр старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.



Вадим


Сергей


Николай


Антон

Шофер


-


-


-


+

Слесарь


-


+


-


-

Токарь


+


-


-


-

Электрик


-


-


+


-

Ответ: Вадим – токарь, Сергей – слесарь, Николай – электрик, Антон - шофёр


ЗАНЯТИЕ №10: Решение логических задач различными способами

Цели урока:

  • Закрепить знания законов алгебры логики и умение учащихся решать

логические задачи различных типов.

  • Обеспечить применение знаний и способов действий в разнообразных

ситуациях.

  • Организовать деятельность учащихся по самостоятельному применению

знаний в разнообразных ситуациях.

  • способствовать развитию внимания, памяти, речи, мыслительной деятельности учащихся, умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

— законы алгебры логики, способы решения логических задач.

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи различными способами.

Тип урока: Урок закрепления знаний

Ход урока

I. Организационный этап.
Приветствие; проверка отсутствующих, проверка готовности к уроку

II. Проверка знаний. Тест.

III. Этап закрепления знаний и способов действий.

Решение задач.

Задача 1. (газета №38 Информатика)

В деле об убийстве имеются два подозреваемых: X и Y. Допросили четырёх свидетелей.

Показания первого свидетеля: «X не виноват».

Показания второго свидетеля: «Y не виноват».

Показания третьего свидетеля: «Из двух показаний по крайней мере одно истинное».

Показания четвёртого свидетеля: «Показания третьего свидетеля ложные».

Четвёртый свидетель оказался прав. Кто же совершил убийство?

Решение.

Раз показания 3-го свидетеля ложны, то истинным будет следующее утверждение: «Не верно, что из двух показаний по крайней мере одно истинно». Т.е., ни одно из показаний первых двух свидетелей не является истинным. Следовательно, виновны и Х, и Y.

Задача 2. (газета №38 Информатика)

Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде 4 первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1.Сергей – первый, Роман – второй;

2.Сергей – второй, Виктор – третий;

3.Леонид – второй, Виктор – четвертый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?

Решение.

Рассмотрим простые высказывания:

S1={Сергей занял первое место};

R2={Роман занял второе место};

S2={Сергей занял второе место};

V3={Виктор занял третье место};

L2={Леонид занял второе место};

V4={Виктор занял четвертое место}.

На языке алгебры логики ответы ребят можно записать следующим образом:

S1+ R2=1, S2 + V3=1, L2+ V4=1.

Конъюнкция истинных высказываний истинна. Следовательно, имеет место равенство:

(S1 + R2)&(S2 + V3)&(L2 + V4)=1

Преобразуем левую часть этого равенства:

(S1 & S2 + S1 & V3 + R2 & V3 + R2 & S2)&(L2 + V4)=1

(S1& (S2 + V3) & (L2 + V4) + R2 & (S2 + V3) & (L2 + V4)=1

(S1 & S2) + (S1 & V3) + (L2 & V4) + (R2 & S2) + (R2 & V3) + (L2 & V4)=1

Заметим, что

S1 & S2=0, так как Сергей не может одновременно занимать первое или второе места.

R2 & S2=0, так как второе место принадлежит одному из ребят.

0 + (S1 & V3) & (L2 + V4) + 0 + (R2 & V3) & (L2 + V4)=1

(S1 & V3) & (L2 +V4) + (R2 & V3) & (L2 + V4) = (S1 & V3 +R2 & V3) &

& (L2 + V4)

Значит,

(S1 & V3 + R2 & V3) & (L2 + V4)=1

Раскроем скобки:

S1 & V3 & L2 +S1 & V3 &V4+R2 & V3 & L2 + R2 & V3 & V4=1

Заметим,что

V3 & V4=0 R2 & L2=0

Следовательно,

S1 & V3 & V4=0, R2 & V3 & V4=0, R2 & V3 & L2=0.

Далее получаем:

S1 & V3 & L2 + 0 + 0 + 0 =1 S1 & V3 & L2=1

Другими словами, места на олимпиаде распределились так:

Сергей – 1-е место, Леонид – 2-е место,

Виктор – 3-е место, Роман – 4-е место.

Задача 3 (вместе с учителем).

В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказывали предположения о возможных победителях:

1) первым будет Саша, Виктор будет вторым;

2) вторым будет Саша, Дима будет третьим;

3) Андрей будет вторым, Дима будет четвертым. По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только

Одно из высказываний истинно, другое ложно.

Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли

разные места.

Задача 3.

В школе учатся четыре талантливых подростка Иванов, Петров, Сидоров и Андреев. Один из них будущий музыкант, другой преуспел в бальных танцах, третий - солист хора мальчиков, четвертый подает надежды как художник. О них известно следующее:

1. Иванов и Сидоров присутствовали в зале консерватории, когда там солировал в хоре мальчиков певец.

2. Петров и музыкант вместе позировали художнику.

3. Музыкант раньше дружил с Андреевым, а теперь неразлучен с Ивановым.

4. Иванов незнаком с Сидоровым т. к. они учатся в разных классах и

В разных сменах. Определите, каким талантом, какой мальчик одарен.

Решение:


Музыкант

Танцор

Певец

Художник

Иванов

-

+

-

-

Петров

-

-

+

-

Сидоров

+

-

-

-

Андреев

-

-

-

-

Ответ: Иванов - танцор, Петров - певец, Сидоров - музыкант, Андреев - художник.

Задача 4.(газета №38 Информатика)

Три подразделения А, В, С – торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказывали следующие предположения:

1.А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С.

2.Либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат.

3.Для того, чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершении года оказалось, что одно из трёх предположений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

Решение

Рассмотрим простые высказывания:

А={А получит максимальную прибыль},

В={В получит максимальную прибыль},

С={С получит максимальную прибыль}

Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами:

1) F1= A => B & C;

2) F2= A&C + A&C;

3) F3= C =>B.

A

B

C

F1

F2

F3

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

Теперь составим таблицу истинности для F1, F2, F3.








Теперь вспомним, что ложным оказался один из прогнозов – F1, F2, F3. Эта ситуация соответствует четвертой строке таблицы.

Ответ: В и С получат максимальную прибыль

IV. Подведение итогов урока

Оценивание знаний учащихся

V. Домашнее задание (газета №38 Информатика)

По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено следующее:

1.Если Иванов невиновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.

2.Если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен.

Виновен ли Иванов?

Решение

Рассмотрим простые высказывания:

А={Иванов виновен};

В={Петров виновен};

С={Сидоров виновен}.

Запишем на языке алгебры логики факты, установленные следствием:

(¬А + В) => С и ¬А => ¬С

Пусть F(A,B,C)=((A+ B) =>C) & (¬A=>¬C)

Решить задачу – это значит указать, при каких значениях А это сложное высказывание истинно. И если хотя бы в одном случае ( при разных значениях В и С) F=1 при А=0 (Иванов не виновен), то у следствия не достаточно фактов для того, чтобы обвинить Иванова в преступлении.

Составим таблицу истинности:

А

В

С

F

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

Из таблицы истинности видно, что сложное высказывание истинно только,
когда А – истинно т.е. Иванов виновен в ограблении.


ЗАНЯТИЕ №11: Логические основы устройства компьютера.

Цели урока:

  • ввести понятие: базовые логические элементы, электронные логические схемы;

  • изучить с учащимися  функциональное назначение электронных логических схем, построение с помощью базовых логических элементов схему любой логической функции.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

базовые логические элементы, электронные логические схемы

Учащиеся должны уметь:

строить с помощью базовых логических элементов схему любой логической функции

Тип урока: урок формирования знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

Вступительное слово учителя, объявление темы и целей урока

II. Актуализация опорных знаний.

Беседа.

Как представляется информация в ЭВМ?

Почему двоичная система является необходимой для ЭВМ?

Назовите основные устройства компьютера.

Назначение основных устройств ЭВМ.

Что такое программный принцип управления ЭВМ?

Как работает компьютер?

III. Этап усвоения новых знаний и способов действий.

Итак, мы переходим к изучению темы сегодняшнего урока.

В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная Дж. Булем. Было доказано, что все электронные схемы ЭВМ могут быть реализованы с помощью логических элементов И, ИЛИ, НЕ. Базовые логические элементы реализуют рассмотренные нами основные логические операции:

  • логический элемент «И» - логическое умножение (конъюктор);0006

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда,
когда на всех входах будут единицы.

Когда хотя бы на одном входе будет ноль,

на выходе также будет ноль.

Если на входы х и у поданы сигналы низкого уровня (логические “0”), то оба транзистора закрыты, ток через них не проходит, выходное напряжение на Rн близко к нулю.

Пусть на один из входов подано высокое напряжение (“1”). Тогда соответствующий транзистор откроется, однако другой останется закрытым, и ток через транзисторы и сопротивление проходить не будет. Следовательно, при подаче напряжения высокого уровня лишь на один из транзисторов схема не переключается и на выходе остается напряжение низкого уровня.

И лишь при одновременной подаче на входы сигналов высокого уровня (“1”) на выходе мы также получим сигнал высокого уровня.

  • логический элемент «ИЛИ» - логическое сложение (дизъюнктор);

Когда хотя бы на одном входе схемы  ИЛИ  0007

будет единица, на её выходе также

будет единица.



Здесь транзисторы включены параллельно друг другу. Если оба закрыты, то их общее сопротивление велико и на выходе будет сигнал низкого уровня (логический “0”). Достаточно подать сигнал высокого уровня (“1”) на один из транзисторов, как схема начнет пропускать ток, и на сопротивлении нагрузки установится также сигнал высокого уровня (логическая “1”).

  • логический элемент «НЕ» - инверсию
    Если на входе схемы  0,  то на выходе  1. 
    Когда на входе  1,  на выходе  0.
    0009

При подаче на вход схемы сигнала низкого уровня (0) транзистор будет заперт, т.е. ток через него проходить не будет, и на выходе будет сигнал высокого уровня (1). Если же на вход схемы подать сигнал высокого уровня (1), то транзистор “откроется”, начнет пропускать электрический ток. На выходе за счет падения напряжения установится напряжение низкого уровня. Т.о., схема преобразует сигналы одного уровня в другой, выполняя логическую функцию.

Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из кирпичиков.

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет, электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет…
На рисунках контакты обозначены латинскими буквами А и В. Введем обозначения:
1- контакт замкнут, 0 – контакт разомкнут.

Элементы, реализующие базовые логические операции, назвали базовыми элементами или вентилями и характеризуются они наличием сигналов на входе и выходе. Их названия и условные обозначения являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютера.

IV. Этап закрепления новых знаний и новых способов действий.

А сейчас перейдем к практической части нашего урока.

По заданной логической функции нам нужно построить логическую схему

hello_html_296c73f.gif1)

Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться отдельно. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы падают с двух конъюкторов. На конъюкторы подаются один входной сигнал нормальный и один инвентированный.hello_html_m156ec6bc.png

2) Не менее важной формой описания логических устройств является структурная формула. Покажем на примере как выписывают формулу по заданной функциональной схеме.

hello_html_15c454ab.png






Ясно, что элемент "И" осуществляет логическое умножение значений А и результат отрицания логического сложения отрицания А и В.

hello_html_726c653d.gif

Эта формула и есть структурная формула логического устройства.hello_html_7e7d54c9.gif

(составляем логическую схему самостоятельно в тетрадях, затем проверяем)

3) Дополнительные задания 44-49 из практикума.

V. Подведение итогов.

Объявление отметок за урок и основных ошибок, на которые необходимо обратить внимание

VI. Информация о домашнем задании.

Составить модели электрических схем логических элементов “И”, “ИЛИ”, “НЕ” в свободно распространяемом компьютерном конструкторе “Начала электроники”, который можно скачать в Интернете.


ЗАНЯТИЕ №12: Сумматор двоичных чисел, триггер.

Цели урока:

  • дать учащимся представление о том, как при помощи базовых логических элементов организовано выполнение процессором арифметико-логических действий по обработке информации и хранение информации в оперативной памяти;

  • способствовать формированию интереса к технике, познанию мира, целеустремленности в поиске решения проблем;

Тип урока: урок формирования знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

Приветствие учеников, проверка отсутствующих, готовность к уроку, настрой на работу.

II. Проверка домашнего задания.

Повторим базовые логические элементы

Существует 3 типа логических элементов:

логический элемент “И” - логическое умножение;

логический элемент “ИЛИ” - логическое сложение;

логический элемент “НЕ” - инверсия.

III. Изучение нового материала.

Тема нашего урока “Сумматор двоичных чисел. Триггер”. (Запись в тетради темы урока)

Ребята, сегодня на уроке мы с вами постараемся ответить на следующие вопросы:

Из каких базовых логических элементов состоит процессор и оперативная память.

Как при помощи них данные устройства реализуют свои функции.

Рассмотрим сумматор двоичных чисел.

Всё многообразие математических операции в процессоре сводится к сложению двоичных чисел. Поэтому главной частью процессора являются сумматоры .

Для того чтобы понять, как работает сумматор, давайте вспомним, как происходит сложение двоичных чисел. Для этого выполним сложение одноразрядных двоичных чисел с учетом переноса в старший разряд. Одновременно на экране построчно появляется таблица, показывающая соответствующие слагаемые, сумму и перенос.

С помощью какой логической операции можно реализовать перенос при сложении, то есть столбик переноса идентичен столбику F в какой из логических функций?

Конечно, это логическое умножение.

Далее посмотрим на столбик “сумма” и проанализируем, с итоговым столбиком F какой из функций (за исключением одной строчки) он совпадает.

Да, это логическое сложение.

Для того чтобы совпадение было полным, надо результат логического сложения умножить на инвертированный перенос.

S = (A v B) & ¬ (A & B)

Построим таблицу истинности для данного логического выражения и убедимся в правильности данного предположения (учащиеся постепенно заполняют таблицу истинности, показанную на экране, называя содержимое каждой следующей ячейки таблицы, поле чего учитель щелкает мышью и содержимое ячеек появляется на экране).

Теперь на основе логических выражении, соответствующих переносу и сумме можно построить из базовых логических элементов схему сложения одноразрядных двоичных чисел. Данная схема называется полусумматором, потому что не учитывает перенос из младшего разряда.

А сейчас мы построим таблицу, учитывающую перенос из младшего разряда.

Перенос (логическая переменная P) принимает значение 1 тогда, когда хотя бы две входные переменные одновременно принимают значение 1. Таким образом, перенос реализуется путем логического сложения результатов попарного умножения входных переменных (A, B, P0). Таким образом, формула переноса составляется так: P = (A & B) v (A & P0) v (B & P0).

Значение суммы получается так: S = (A v B v P0) & ¬P.

Данное выражение дает правильное значение суммы во всех случаях, кроме одного, когда все входные переменные равны 1.

Для получения правильной суммы, равной 1, нужно сложить полученное выше выражение для суммы с результатом логического умножения переменных (A, B, P0).

S = (A v B v P0) & ¬ P0 v (A & B & P0).
Многоразрядный сумматор состоит из полных одноразрядных сумматоров, причем выход
(перенос) сумматора младшего разряда подключается ко входу сумматора старшего
разряда.
Важнейшей структурной единицей оперативной памяти компьютера, а также внутренних регистров процессора является триггер. Каждый триггер может хранить 1 бит информации (то есть может хранить либо логическую 1, либо логический 0). В этом он может быть сравним с бытовым выключателем, который может находиться только в двух состояниях: либо включен, либо выключен.

IV. Подведение итогов урока.

Ребята сегодня на уроке мы узнали: о том, что в основе устройств компьютера лежат
3 типа логических элементов: логический элемент “И”, логический элемент “ИЛИ”, логический элемент “НЕ”;

что из этих логических элементов состоит процессор и оперативная память;

как при помощи них реализуются арифметико-логических действия;

и как организован триггер, являющийся важнейшей структурной единицей оперативной памяти.

V. Домашнее задание.

Дома группам учеников (2-4 человека) предлагается составить презентацию, чтобы, опираясь на неё, на следующем уроке сделать пересказ. Домашняя работа будет оцениваться по 2 пунктам: 1) оформление презентации, 2) качество пересказа.


ЗАНЯТИЕ №13: Логические задачи в материалах ЕГЭ по информатике

Цели урока:

  • подготовка учащихся к ЕГЭ по информатике; повторение изученного материала.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: повторение и закрепление знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

Сегодня наш урок ребята, посвящен решению задач ЕГЭ по теме логика. Наша цель сегодня вспомнить и повторить материал по данной теме.

II. Этап закрепления знаний.

А сейчас самое время решать задачи. Задачи на тему логика в ЕГЭ – это задачи А3, А10, В12, В15, С3.

Сегодня рассмотрим задание А3 на построение таблиц истинности логических выражений.

В разных учебниках используют разные обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,,¬), что подчеркивает данную проблему.

Что нужно знать для выполнения задания А3:

  • условные обозначения логических операций

¬ A, hello_html_m7ae5d9c7.gif не A (отрицание, инверсия)

A B, hello_html_4e874fce.gif A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A B, hello_html_m338488d2.gif A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A B импликация (следование)

A B эквивалентность (равносильность)

  • операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

A B = ¬ A B или в других обозначениях A B = hello_html_6205b4bf.gif

  • иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:

¬ (A B) = ¬ A ¬ B hello_html_m48858063.gif

¬ (A B) = ¬ A ¬ B hello_html_m30d29fbc.gif

  • если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»

  • таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных

  • если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);

  • количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно hello_html_1eb8e6a4.gif, где hello_html_22698e33.gif – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)

  • логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)

  • логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)

  • логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда из A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно

  • эквивалентность АB равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1

X

Y

Z

F

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0



Рассмотрим пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z

Решение (основной вариант):

  1. нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных

  2. если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F

  3. перепишем ответы в других обозначениях:
    1)
    hello_html_m39b7e5d5.gif 2) hello_html_m41408720.gif 3) hello_html_m23359023.gif 4) hello_html_m48e27881.gif

  4. первое выражение, hello_html_m39b7e5d5.gif, равно 1 только при hello_html_2b0e9091.gif, поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)

  5. второе выражение, hello_html_m41408720.gif, равно 1 только при hello_html_m59f17b3c.gif, поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)

  6. третье выражение,hello_html_m23359023.gif, равно нулю при hello_html_2b0e9091.gif, поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)

  7. наконец, четвертое выражение, hello_html_m48e27881.gif равно нулю только тогда, когда hello_html_m59f17b3c.gif, а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности

  8. таким образом, правильный ответ – 4; частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:

X

Y

Z

F

hello_html_m39b7e5d5.gif

hello_html_m41408720.gif

hello_html_m23359023.gif

hello_html_m48e27881.gif

1

0

0

1

0 ×

0 ×

1

1

0

0

0

1

   0 ×

1

1

1

1

0

0

(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

Решение (вариант 2):

  1. часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности

  2. в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов

  3. в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации hello_html_m185683c5.gif

  4. выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это hello_html_cf1005c.gif, оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)

  5. таким образом, правильный ответ – 4

X

Y

Z

F

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0



Еще пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X ¬Y ¬Z 4) X ¬Y ¬Z

Решение:

  1. перепишем ответы в других обозначениях:
    1)
    hello_html_m39b7e5d5.gif 2) hello_html_m41408720.gif 3) hello_html_m76ada7d1.gif 4) hello_html_43eb4258.gif

  2. в столбце F есть единственная единица для комбинации hello_html_m2d0ac461.gif, простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид hello_html_m76ada7d1.gif, она есть среди приведенных ответов (ответ 3)

  3. таким образом, правильный ответ – 3.

Следующий пример попробуйте самостоятельно:

X

Y

Z

F

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу

справа). Какое выражение соответствует F?
1) X Y Z 2) ¬X ¬Y ¬Z 3) (X Y) ¬Z 4) (X Y) → Z

V. Подведение итогов.

VI. Информация о домашнем задании.

Аналогичные задания(карточки с заданиями)


ЗАНЯТИЕ №14: Логические задачи в материалах ЕГЭ по информатике

Цели урока:

  • подготовка учащихся к ЕГЭ по информатике; повторение изученного материала.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: повторение и закрепление знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

На прошлом занятии мы с вами разобрали задание А3, сегодня рассмотрим задание А10

II. Этап закрепления знаний.

Пример задания:

Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?

1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ

Решение:

- два условия связаны с помощью операции /\ («И»), поэтому должны выполняться одновременно

- импликация ложна, если ее первая часть («посылка») истинна, а вторая («следствие») – ложна

- первое условие «первая буква согласная → вторая буква согласная» ложно тогда, когда первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов 2 и 4

- второе условие «предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная» ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа 3

-таким образом, для варианта 1 (КРИСТИНА) оба промежуточных условия и исходное условие в целом истинны

ответ:1.

Ещё пример задания:

Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение (вариант 1, прямая подстановка):

-определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках

- выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:

X

X > 2

X > 3

(X > 2)→(X > 3)

¬((X > 2)→(X > 3))

1

0

0



2

0

0



3

1

0



4

1

1



- по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):

X

X > 2

X > 3

(X > 2)(X > 3)

¬((X > 2)(X > 3))

1

0

0

1


2

0

0

1


3

1

0

0


4

1

1

1


-значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):

X

X > 2

X > 3

(X > 2)(X > 3)

¬((X > 2)(X > 3))

1

0

0

1

0

2

0

0

1

0

3

1

0

0

1

4

1

1

1

0

-таким образом, ответ – 3.

Решение (вариант 2, упрощение выражения):

  1. обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

  1. тогда можно записать все выражение в виде

¬(A B) или hello_html_m18b52009.gif

  1. выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):

¬(A B)= ¬(¬A B) или hello_html_4937712.gif

  1. раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем

¬(¬A B)= A ¬B или hello_html_m6d93410e.gif

  1. таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3

  2. из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

  3. таким образом, ответ – 3.


Решение (вариант 3, использование свойств импликации):

  1. обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2, B = X > 3

  1. тогда исходное выражение можно переписать в виде ¬(AB)=1 или AB=0

  2. импликация AB ложна в одном единственном случае, когда A = 1 и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X ≤ 3

  3. из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,

  4. таким образом, ответ – 3.

Выводы:

-в данном случае, наверное, проще третий вариант решения, однако он основан на том, что импликация ложна только для одной комбинации исходных данных; не всегда этот прием применим

-второй и третий варианты позволяют не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.

Задания для тренировки:

  1. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная Четвертая буква имени согласная)?

1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР

  1. Для какого числа X истинно высказывание (X > 2)(X > 5)→(X < 3)

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

  1. Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2)(Z > 4)) →(Z > 3) будет ложным?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

III. Подведение итогов.

VI. Домашнее задание.

Аналогичные задания(карточки с заданиями)


ЗАНЯТИЕ №15: Логические задачи в материалах ЕГЭ по информатике

Цели урока:

  • подготовка учащихся к ЕГЭ по информатике; повторение изученного материала.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: повторение и закрепление знаний.

Ход урока

I. Организационный этап.

На прошлом занятии мы с вами разобрали задание А10, сегодня рассмотрим задание В15, которое считается одним из сложных заданий

II. Этап закрепления знаний и новых способов действий.

Пример задания:

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x1 x2) (x3 x4) = 1

(x3 x4) (x5 x6) = 1

где x1, x2, …, x6 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение (метод замены переменных):

  1. используем замену переменных (заметим, что каждая из новых переменных независима от других, это важно!):

Y1 = x1 x2, Y2 = x3 x4, Y3 = x5 x6

тогда система запишется в виде

Y1 Y2 = 1

Y2 Y3 = 1

  1. можно объединить эти уравнения в одно

(Y1 Y2) (Y2 Y3) = 1

для того, чтобы это равенство было выполнено, ни одно из импликаций не должна быть ложной, то есть в битовой цепочке, составленной из значений переменных Y1, Y2, Y3, не должно быть последовательности «10»; вот все возможные варианты:

Y1

Y2

Y3

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

  1. теперь вернемся к исходным переменным; импликация x1 x2 дает 0 при одном наборе исходных переменных (x1,x2) = (1,0) и 1 при трёх наборах (x1,x2) = {(0,0), (0,1), (1,1)}

  2. учитывая, что каждая из новых переменных Y1, Y2, Y3, независима от других; для каждой строки полученной таблицы просто перемножаем количество вариантов комбинация исходных переменных:

    Y1

    Y2

    Y3

    вариантов

    0

    0

    0

    1*1*1=1

    0

    0

    1

    1*1*3=3

    0

    1

    1

    1*3*3=9

    1

    1

    1

    3*3*3=27

  3. складываем все результаты: 1 + 3 + 9 + 27 = 40

  4. Ответ: 40.

Ещё пример задания:

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x1 x2) (x2 x3) (x3 x4)= 1

1 у2) (у2 у3) (у3 у4) = 1

(y1 x1) (y2 x2) (y3 x3) (y4 x4) = 1

где x1, x2, …, x4 и y1, y2, …, y4 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

  1. видим, что первые два уравнения независимы друг от друга (в первое входят только x1, x2, …, x4, а во второе – только y1, y2, …, y4)

  2. третье уравнение связывает первые два, поэтому можно поступить так:

  • найти решения первого уравнения

  • найти решения второго уравнения

  • найти множество решений первых двух уравнений

  • из множества решений первых двух уравнений выкинуть те, которые не удовлетворяют последнему уравнению

  1. найдем решения первого уравнения; каждая из логических переменных x1, x2, …, x4 может принимать только два значения: «ложь» (0) и «истина» (1), поэтому решение первого уравнения можно записать как битовую цепочку длиной 4 бита: например, 0011 означает, что
    x1 = x2 0 и x3 = x4 1

  2. вспомним, что импликация x1x2 ложна только для x1 = 1 и x2 = 0, поэтому битовая цепочка, представляющая собой решение первого уравнения, не должна содержать сочетания «10»; это дает такие решения (других нет!):

(x1, x2, x3, x4) = 0000 0001 0011 0111 1111

  1. видим, что второе уравнение полностью совпадает по форме с первым, поэтому все его решения:

(y1, y2, y3, y4) = 0000 0001 0011 0111 1111

  1. поскольку первые два уравнения независимы друг от друга, система из первых двух уравнений имеет 5·5=25 решений: каждому решению первого соответствует 5 разных комбинаций переменных y1, y2, …, y4, которые решают второе, и наоборот, каждому решению второго соответствует 5 разных комбинаций переменных x1, x2, …, x4, которые решают первое:

(y1, y2, y3, y4) = 0000 0001 0011 0111 1111

(x1, x2, x3, x4) = 0000 0000 0000 0000 0000

0001 0001 0001 0001 0001

0011 0011 0011 0011 0011

0111 0111 0111 0111 0111

1111 1111 1111 1111 1111

  1. теперь проверим, какие ограничения накладывает третье уравнение; вспомнив формулу, которая представляет импликацию через операции «НЕ» и «ИЛИ» (hello_html_4db7ac7f.gif), можно переписать третье уравнение в виде

(y1 x1) (y2 x2) (y3 x3) (y4 x4) = 1

  1. импликация y1x1 ложна только для y1 = 1 и x1 = 0, следовательно, такая комбинация запрещена, потому что нарушает третье уравнение; таким образом, набору с y1 = 1:

(y1, y2, y3, y4) = 1111

соответствует, с учетом третьего уравнения, только одно решение первого, в котором x1 = 1

(x1, x2, x3, x4) = 1111

поэтому множество решений «редеет»:

(y1, y2, y3, y4) = 0000 0001 0011 0111 1111

(x1, x2, x3, x4) = 0000 0000 0000 0000

0001 0001 0001 0001

0011 0011 0011 0011

0111 0111 0111 0111

1111 1111 1111 1111 1111

  1. аналогично двигаемся дальше по третьему уравнению; второй сомножитель равен 0, если импликация y2x2 ложна, то есть только для y2 = 1 и x2 = 0, это «прореживает» предпоследний столбец:

(y1, y2, y3, y4) = 0000 0001 0011 0111 1111

(x1, x2, x3, x4) = 0000 0000 0000

0001 0001 0001

0011 0011 0011

0111 0111 0111 0111

1111 1111 1111 1111 1111

  1. аналогично проверяем еще два ограничения, отбрасывая все решения, для которых y3 = 1 и x3 = 0, а также все решения, для которых y4 = 1 и x4 = 0:

(y1, y2, y3, y4) = 0000 0001 0011 0111 1111

(x1, x2, x3, x4) = 0000

0001 0001

0011 0011 0011

0111 0111 0111 0111

1111 1111 1111 1111 1111

  1. итак, остается одно решение при (y1, y2, y3, y4)=1111, два решения при (y1, y2, y3, y4)=0111, три решения при(y1, y2, y3, y4)=0011, четыре решения при(y1, y2, y3, y4)=0001 и 5 решений при (y1, y2, y3, y4)=0000

  2. всего решений 1+2+3+4+5=15.

III. Подведение итогов.

IV. Информация о домашнем задании.

Аналогичное задание (карточка с заданием)




Литература

  1. Математические основы информатики. Элективный курс: учебное пособие
    / Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

  2. Информатика. Задачник-практикум в 2т./под ред. Семакина И.Г., Хеннера Е.К. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

  3. Готовимся к ЕГЭ по информатике. Элективный курс: учебное пособие /Н.Н.Самылкина, С.В. Русаков, А.П. Шестаков, С.В. Баданина. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

  4. Лыскова В.Ю. Логика в информатике/В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина; М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004.

  5. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов/Н.Д. Угринович. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.

  6. Тихонова Л.В. Элементы математической логики. Факультативный курс. Газета “Математика” №42 (2002 г.), №4,5, 14,42(2003 г.)

  7. http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm



Литература для учащихся:

  1. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов/Н.Д. Угринович. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 512с.: ил.

  2. Практикум по информатике 8 - 9 и 10 - 11 классов. Авторы: Угринович Н.Д.,
    Босова Л.Л., Михайлова Н.И. - 2004 год

  3. Иванова И.А. Информатика. 10 класс. Практикум.

  4. Информатика. Задачник-практикум в 2т./под ред. Семакина И.Г., Хеннера Е.К. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

  5. Математические основы информатики. Элективный курс: учебное пособие
    / Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

  6. Занимательная логика для школьников. В 2-х частях. А. Д. Гетманова, МГПУ, Гуманитарный издательский центр "ВЛАДОС", 1998.

  7. Готовимся к ЕГЭ по информатике. Элективный курс: учебное пособие /Н.Н.Самылкина, С.В. Русаков, А.П. Шестаков, С.В. Баданина. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.



Результаты итоговой аттестации учащихся

Предмет

Форма аттестации

Год

Количество сдававших

Средний балл/оценка

Информатика и ИКТ

ЕГЭ

2011

2

64,5

Информатика и ИКТ

ЕГЭ

2012

1

78

Информатика и ИКТ

ГИА

2012

1

68/4


Результативность участия в конкурсах, олимпиадах

Название конкурсного мероприятия

Год

Уровень (районный, региональный, республиканский, российский, международный)

Результат / подтверждающий документ

Ф.И. участника/класс

Олимпиада

2012

муниципальный

призер/диплом

Воробъева Ю.Н. 11а

Инфознайка – 2011

2011

всероссийской

победитель/ диплом

Ануфриева К.С 11а,
Воронина Е.М., 11а



Поступаемость в профильные вузы



Вуз

Год

Факультет

Ф. И.

НХТИ

2012

программист системной администрации

Аксёнов Андрей

КАИ

2013

информационная безопасность

Воробьёв Виктор

КАИ

2013

инфокоммуникационные технологии и системы связи

Воробьёва Юлия

ПГУТУ

2013

информационные системы и технологии

Никитин Андрей

СПГМТУ

2013

информационно – сенсорные системы роботов и механотронных систем

Аюпов Арслан

КАИ

2013

инфокоммуникационные технологии и системы связи

Гараев Айгиз


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Данный элективный курс разработан для проведения занятий в универсальном курсе преподавания информатики и ИКТ в профильном филологическом классе.Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений РФ количество учебных часов в году  в 11 классе - 34, в неделю 1 час.  За счет школьного компонента добавлен 1 час в 11-ом классе, таким образом, для подготовки к ЕГЭ в рамках темы «Представление информации, системы счисления и основы логики» выделяется 19 часов дополнительно на изучение темы «Основы математической логики».

 Вопросы, рассматриваемые в данном курсе, тесно примыкают к обязательному содержанию образования по информатике и ИКТ и способствуют совершенствованию и развитию знаний и умений, предусмотренных школьной программой. Курс построен таким образом, чтобы не только вспомнить те или иные законы алгебры логики, изучаемые по программе, но и показать новые аспекты в изучении логики. Дополняя и углубляя знания, полученные учащимися при изучении базового курса основного общего образования, данный курс помогает учащимся оценить свои возможности по решению заданий по математической логике и подготовиться к единому государственному экзамену.

Автор
Дата добавления 29.05.2015
Раздел Информатика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров406
Номер материала 549288
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх