Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Авторская разработка на тему:" Замечательные точки треугольника"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Авторская разработка на тему:" Замечательные точки треугольника"

библиотека
материалов

hello_html_758d6813.gif
















Авторская работа

по геометрии

на тему: «Замечательные точки треугольника».





Дубинина В.А.
















Содержание. стр.


1. Введение. 3

2. Точка пересечения медиан треугольника. 4

3. Точка пресечения биссектрис треугольника. 6

4. Точка пересечения серединных перпендикуляров. 7

5. Точка пересечения высот треугольника. 9

6. Точки Жергона и Нагеля. 10

7. Точки Эйлера. 12

9. Конциклические точки. 14

10. Гармонические точки. 17

11. Изогональные точки треугольника. 19

12. Симметрично – обратные точки. 21

13. Изоциклические точки. 23

14. Изотомические точки треугольника. 24

15. Изотомически сопряженные или взаимные точки тр-ка. 25

16. Точки Енжабека. 26

17. Точка Лемуана. 27

18. Дополнительные и антидополнительные точки. 30

19. Постоянные точки. 32

20. Направляющая и добавочные точки. 34

21. Точки Брокара. 38

22. Точка Штейнера. 40

23. Точка Тарри. 42

24. Циклотомические точки. 43

25. Точка Торричелли. 45
















Введение.



Согласно новым стандартам школьного математического образования, обучение в старших классах может осуществляться на двух уровнях — базовом и профильном. Профильный уровень предусматривает более глубокое изучение геометрии, включение в содержание некоторых новых тем, относящихся не только к стереометрии, но и к планиметрии и имеющих важное значение для математического образования учащихся старших классов, предполагающих связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой.


В моей работе рассматриваются замечательные точки тр-ка. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся: точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности); точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности); точка пересечения высот (ортоцентр); точка пересечения медиан (центроид). Я добавила к ним и другие замечательные точки тр-ка: точки Эйлера, конциклические точки, гармонические точки, изоциклические точки и др.


В данной работе я предлагаю материал для профильного уровня обучения геометрии, дополняющий традиционное содержание курса. Его можно также использовать при разработке элективных курсов по геометрии, проведении кружков и факультативов, для полготовки учащихся к олимпиадам, конкурсам, турнирам по математике.












3

Точка пересечения медиан треугольника.


Для начала ведем понятие средней линии треугольника.


Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажем теорему о средней линии треугольника.


Теорема: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине стороны.



Пhello_html_69d0596f.pngусть МN — средняя линия треугольника АВС (рис. 1).

Докажем, что МN hello_html_4262cf6.gifАС и МN =hello_html_m3d4efe4.gif АС.


рис. 1


Треугольники ВМN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольника, поэтому

hello_html_7707454f.gif1 =hello_html_7707454f.gif2 и hello_html_24ed00e3.gif =hello_html_m3d4efe4.gif.

Из равенстваhello_html_7707454f.gif1 =hello_html_7707454f.gif2 следует, что МN hello_html_4262cf6.gifАС, а из второго равенства, — что

МN =hello_html_m3d4efe4.gif АС. Теорема доказана.



Пользуясь этой теоремой, докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести треугольника (центроид), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.


Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан ААhello_html_m34745add.gif и ВВhello_html_m34745add.gif и проведем среднюю линию Аhello_html_m34745add.gifВhello_html_m34745add.gif этого треугольника (рис. 2). Отрезок Аhello_html_m34745add.gifВhello_html_m34745add.gif параллелен стороне АВ, поэтому углы hello_html_7707454f.gif1 и hello_html_7707454f.gif2, а также углы hello_html_7707454f.gifЗ иhello_html_7707454f.gif 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении

4

параллельных прямых АВ и Аhello_html_m34745add.gifВhello_html_m34745add.gif секущими ААhello_html_m34745add.gif и ВВhello_html_m34745add.gif

Следовательно, треугольники

hello_html_3c6f4a73.pngАОВ и Аhello_html_m34745add.gifОВhello_html_m34745add.gif подобны по двум

углам, и, значит, их стороны

пропорциональны:

hello_html_m172a2d53.gif.

рис.2



Но АВ = 2Аhello_html_m34745add.gifВhello_html_m34745add.gif поэтому АО = 2Аhello_html_m34745add.gifО и ВО= 2Вhello_html_m34745add.gifО Таким образом, точка О пересечения медиан ААhello_html_m34745add.gif и ВВhello_html_m34745add.gif делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.


Аналогично доказывается, что все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.




















5


Точка пресечения биссектрис треугольника.


Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

Теорема

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

hello_html_m789111f8.png


Дhello_html_4108a035.gifоказательство:

1hello_html_m73a19f0.gif) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС и докажем, что МК=МL (рис. 3).

рис.3 Рассмотрим прямоугольные треугольники

АМК и АМL.Они равны по гипотенузе и

острому углу. Следовательно, МК = МL.


2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ — биссектриса угла ВАС (см. рис. 3). Проведем перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и АМL равны по гипотенузе и катету. Следовательно,hello_html_7707454f.gif1 =hello_html_7707454f.gif2.Но это и означает, что луч АМ — биссектриса угла ВАС. Теорема доказана.


Иhello_html_695c778b.pngз этой теоремы следует, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности.

Вhello_html_m63a932b5.gif самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис ААhello_html_m34745add.gif и ВВhello_html_m34745add.gif треугольника АВС и проведем из этой точки перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно

рис.4 к прямым АВ, ВС и СА (рис. 4). По доказан-

ной теореме ОК= ОМ и ОК= ОL.

Поэтому ОМ= ОL т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе ССhello_html_m34745add.gif этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

6


Точка пересечения серединных перпендикуляров.


Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Нhello_html_767a3f9.pngа рисунке 5 прямая а-серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

рис.5

Теорема.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.


Доказательство:

Пусть прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — средина этого отрезка (рис. 6, а).

1hello_html_m1bafdb68.png) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть М и О — различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам (ОА=ОВ, ОМ — общий катет), поэтому АМ=ВМ.

hello_html_m6b768998.png

2) Рассмотрим произвольную точку Н, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка Н лежит на прямой m.

Если Н — точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m. Если же точка Н не лежит на прямой АВ, то треугольник АВN равнобедренный, так

как АNN (рис. 6, 6). Отрезок NО — медиана

рис.6 этого треугольника, а значит, и высота. Таким

образом, NОhello_html_m3369453f.gifАВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т. е. N — точка прямой m. Теорема доказана.


7



Из этой теоремы следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.


Дhello_html_m1216aa3b.gifhello_html_m46132ada.pngля доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС (рис. 7). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что m hello_html_4262cf6.gifn, то

прямая ВА, будучи перпендикулярной к

рис.7 прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n , а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n , что невозможно.


По доказанной теореме ОВ=ОА и ОВ=ОС. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра n, m и р к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

















8


Точка пересечения высот треугольника.


Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам

треугольника пересекаются в одной точке и медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, аналогичным свойством обладают и высоты треугольника.


Теорема

Высоты треугольника перёсекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Дhello_html_2e9d912.pngоказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые ААhello_html_m34745add.gif, ВВhello_html_m34745add.gif и ССhello_html_m34745add.gif содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 8).Проведем через каждую вершину треугольника АВС

рис. 8 прямую, параллельную противоположной

стороне. Получим треугольник Аhello_html_m4bcd60e4.gifВhello_html_m4bcd60e4.gifСhello_html_m4bcd60e4.gif. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=Аhello_html_m4bcd60e4.gifС и АВ= СВhello_html_m4bcd60e4.gif как противоположные стороны параллелограммов АВАhello_html_m4bcd60e4.gifС и АВСВhello_html_m4bcd60e4.gif, поэтому

Аhello_html_m4bcd60e4.gifС = СВhello_html_m4bcd60e4.gif.

Аналогично Сhello_html_m4bcd60e4.gifА=АВhello_html_m4bcd60e4.gif и Сhello_html_m4bcd60e4.gifВ=ВАhello_html_m4bcd60e4.gif. Кроме того, как следует из построения, ССhello_html_m34745add.gifhello_html_m3369453f.gif Аhello_html_m4bcd60e4.gifВhello_html_m4bcd60e4.gif , а ААhello_html_m34745add.gifhello_html_m3369453f.gif Вhello_html_m4bcd60e4.gifСhello_html_m4bcd60e4.gif и ВВhello_html_m34745add.gifhello_html_m3369453f.gif Аhello_html_m4bcd60e4.gifСhello_html_m4bcd60e4.gif.Таким образом, прямые ААhello_html_m34745add.gif ВВhello_html_m34745add.gif и ССhello_html_m34745add.gif являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника Аhello_html_m4bcd60e4.gifВhello_html_m4bcd60e4.gifСhello_html_m4bcd60e4.gif. Следовательно, они пересекаются водной точке.

Теорема доказана.










9


Точки Жергона и Нагеля.


Прямые соединяющие вершины тр-ка с точками касания описанного или не вписанного круга, пересекаются в одной точке.


Пусть стороны тр-ка ВС, СА, АВ касаются вписанного круга (I) в точках hello_html_2e28ff68.gif,hello_html_m154a5599.gif,hello_html_368a497d.gifи не вписанных кругов


(Ihello_html_m34745add.gif)в точках hello_html_2e28ff68.gifhello_html_m34745add.gif,hello_html_m154a5599.gifhello_html_m34745add.gif,hello_html_368a497d.gifhello_html_m34745add.gif,

(Ihello_html_m4bcd60e4.gif) в точках hello_html_2e28ff68.gifhello_html_m4bcd60e4.gif,hello_html_m154a5599.gifhello_html_m4bcd60e4.gif,hello_html_368a497d.gifhello_html_m4bcd60e4.gif,

(Ihello_html_m27f31a3a.gif) в точках hello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gif,hello_html_m154a5599.gifhello_html_m27f31a3a.gif,hello_html_368a497d.gifhello_html_m27f31a3a.gif.(рис.9)


Известно, что

Аhello_html_m154a5599.gif=Аhello_html_368a497d.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_368a497d.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m4bcd60e4.gif= р-а,

Вhello_html_368a497d.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m34745add.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m34745add.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_368a497d.gifhello_html_m27f31a3a.gif=р-b

Сhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_368a497d.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_368a497d.gifhello_html_m34745add.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m34745add.gif=р-с

Аhello_html_m154a5599.gifhello_html_m34745add.gifhello_html_368a497d.gifhello_html_m34745add.gifhello_html_368a497d.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m27f31a3a.gif=р,



где а=ВС, b=СА, с=АВ

и р=1/2(а+b+с).



Следовательно по теореме Чевы, прямые


Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m154a5599.gif,Сhello_html_368a497d.gifпересекаются в одной точке Т,

Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_4ab98f23.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m34745add.gif,Сhello_html_368a497d.gifhello_html_m34745add.gif пересекаются в одной точке Тhello_html_4ab98f23.gif,

Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m4bcd60e4.gif,Сhello_html_368a497d.gifhello_html_m4bcd60e4.gif пересекаются в одной точке Тhello_html_m4bcd60e4.gif,

Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m27f31a3a.gif,Сhello_html_368a497d.gifhello_html_m27f31a3a.gif пересекаются в одной точке Тhello_html_m27f31a3a.gif.



Точка Т наз. точкой Жергона, а точки Тhello_html_4ab98f23.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m27f31a3a.gif наз. добавочными точками Жергона.




10


Из предыдущих равенств следуют такое, что прямая, соединяющая вершины тр-ка с точками касания противоположных сторон и не вписанных окружностей или вписанной и двух не вписанных окружностей, пересекаются в одной точке.

hello_html_m71486290.jpg












рис.9




Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_4ab98f23.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m4bcd60e4.gif,Сhello_html_368a497d.gifhello_html_m27f31a3a.gif пересекаются в одной точке N,

Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_m27f31a3a.gif,Сhello_html_368a497d.gifhello_html_m4bcd60e4.gif пересекаются в одной точке Nhello_html_4ab98f23.gif,

Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_m154a5599.gif,Сhello_html_368a497d.gifhello_html_4ab98f23.gif пересекаются в одной точке Nhello_html_m4bcd60e4.gif,

Аhello_html_2e28ff68.gifhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m154a5599.gifhello_html_4ab98f23.gif,Сhello_html_368a497d.gif пересекаются в одной точке Nhello_html_m27f31a3a.gif.



Точка N наз. точкой Нагеля, а точки Nhello_html_4ab98f23.gif ,Nhello_html_m4bcd60e4.gif ,Nhello_html_m27f31a3a.gif-добавочными точками Нагеля.









11


Точки Эйлера.

Середины отрезков высот тр-ка от вершин его до ортоцентра называются точками Эйлера.


Теорема Эйлера. Основания высот треугольника (Нhello_html_m34745add.gif, Нhello_html_m4bcd60e4.gif, Нhello_html_593ecfc6.gif), середины сторон (Аhello_html_m2c66b5ba.gif, Вhello_html_52ab6046.gif, Сhello_html_52ab6046.gif) и точки Эйлера лежат на одной окружности.

Соединим ортоцентр тр-ка Н с центром описанного круга. О и обозначим через Оhello_html_m34745add.gif середину НО И через R радиус описанного круга.

hello_html_m351dc90a.jpg














рис..10



Продолжив высоту АН до пересечения в D с описанной окружностью, увидим, что

hello_html_686675da.gif;

поэтому ННhello_html_m34745add.gifhello_html_m34745add.gifD и Оhello_html_m34745add.gifНhello_html_m34745add.gifhello_html_m34745add.gifАhello_html_52ab6046.gif=hello_html_m3d4efe4.gifОD=hello_html_5302b1f.gif. (рис.10)

Таким образом точки Нhello_html_m34745add.gifhello_html_52ab6046.gif и Еhello_html_m34745add.gif лежат на окружности, описанной около через Оhello_html_m34745add.gif радиусом hello_html_5302b1f.gif; то же справедливо и для точек Нhello_html_m4bcd60e4.gif, Вhello_html_52ab6046.gif, Сhello_html_52ab6046.gifЕhello_html_m4bcd60e4.gif, Еhello_html_593ecfc6.gif, Нhello_html_593ecfc6.gif.


12


Точка Микеля.

Теорема Микеля. Окружности, описанные около четырех треугольников, составленных сторонами полного четырехугольника, пересекаются в одной точке.


Опишем окружности около тр-ков ABF и ADE и точку пересечения их P соединим с вершинами полного четырехугольника (рис. 11).

Так как

hello_html_7707454f.gifCDP или hello_html_7707454f.gifEDP=hello_html_7707454f.gifEAP

и hello_html_7707454f.gifCFP hello_html_7707454f.gifBFP=hello_html_7707454f.gifBAP hello_html_7707454f.gifEAP,

то hello_html_7707454f.gifCDP = hello_html_7707454f.gifEAP:


следовательно, окружность CDF проходит через точку P. Тоже справедливо и для окружности BCE.


hello_html_m618c1fd6.jpg

Общая точка четырех окружностей, описанных около тр-ков, составленных сторонами полного четырехугольника, называется точкой Микеля.



рис.11

Очевидно, что все тр-ки, составленные сторонами полного четырехугольника, имеют общую прямую Симсона, соответствующую точке Микеля. Это значит, что проекции точки Микеля на стороны полного четырехугольника расположены на одной прямой.


13


Конциклические точки.

Четыре точки (или более), находящиеся на одной окружности, называются конциклическими или гомоциклическими.

Если четыре конциклические точки A, B, C, D соединить с точками. О и. Оhello_html_52ab6046.gif той же окружности, то


(О, ABCD) =(Оhello_html_52ab6046.gif, ABCD),


т.е. анагармоническое отношение четырех лучей пучка О, ABCD не зависит от положения точки О на окружности, а зависит только от относительного положения точек A, B, C, D.


Анагармоническое отношение четырех лучей пучка с вершиной на окружности называется анагармоническим отношением четырех конциклических точек, через которые проходят лучи этого пучка.


Если в точках А и В окружности , имеющей центр в О , провести касательные и обозначить точки их пересечения с произвольной третей касательной к ой же окружности через а и b, то

hello_html_7707454f.gifаОb=hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_7707454f.gifАОВ.

Поэтому, если касательные в четырех данных точках окружности(А, В, С, D) пересекаются с произвольной пятой касательной L к той же окружности в точках а,b, с, d, то ангармоническое отношение этих четырех точек не зависит от положения касательной L, а зависит только от относительного положения точек А, В, С, D или касательных в этих точках.


Ангармоническое отношение точек пересечения четырех касательных к окружности с пятой касательной наз. ангармоническим отношением четырех касательных.


Ангармоническое отношение четырех касательных к окружности равно ангармоническому отношению четырех точек касания.


14

Предположим, что основания двух рядов А, В, С,…..и Аhello_html_52ab6046.gif Вhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif…..совпадают, так, что оба ряда расположены на одной прямой L.


Если для одного ряда заданы четыре точки А, В, С, D, а для другого ряда можно найти такую четвертую точку Dhello_html_52ab6046.gif, что ряды будут проективны, т. е. (А, В, С, D)= (Аhello_html_52ab6046.gif, Вhello_html_52ab6046.gif, Сhello_html_52ab6046.gif, Dhello_html_52ab6046.gif).


Соединим какую-нибудь точку S произвольно взятой окружности с данными точками ряда и обозначим точки пересечения этой окружности этой окружности с лучами пучков S, АВСD и

S, Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif , через a, b, c, d и ahello_html_52ab6046.gif, bhello_html_52ab6046.gif, chello_html_52ab6046.gif (рис.12)

hello_html_18c2134c.jpg











рис.12


Соединив ahello_html_52ab6046.gif с a,b,c,d и a с ahello_html_52ab6046.gif,bhello_html_52ab6046.gif,chello_html_52ab6046.gif, через пересечение прямых abhello_html_52ab6046.gif и ahello_html_52ab6046.gifb, achello_html_52ab6046.gifи ahello_html_52ab6046.gifпроведем прямую l .


Точку пересечения l с ahello_html_52ab6046.gifd соединим с а и пересечение полученной прямой с окружностью обозначим через dhello_html_52ab6046.gif.

Прямая Sdhello_html_52ab6046.gif пересечет основания рядов в искомой точке Dhello_html_52ab6046.gif.


Так как


(АВСD)=(S, abcd)= ( аhello_html_52ab6046.gif,abcd)=( аhello_html_52ab6046.gif,ahello_html_52ab6046.gifbhello_html_52ab6046.gifchello_html_52ab6046.gifdhello_html_52ab6046.gif)=

=(S, ahello_html_52ab6046.gifbhello_html_52ab6046.gifchello_html_52ab6046.gifdhello_html_52ab6046.gif)=( Аhello_html_52ab6046.gif Вhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gifD).




15

Если точки а и аhello_html_52ab6046.gif соединить с какой нибудь точкой прямой l и обозначить точки пересечения окружности с полученными прямыми через e и ehello_html_52ab6046.gif , то прямые S e и S ehello_html_52ab6046.gif пересекут общее основание рядов в соответственных точках Е и Е,




удовлетворяющих условию проективности, так что


(АВСD)=( Аhello_html_52ab6046.gif Вhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gifD).


Если прямая l пересекается с окружностью в аhello_html_m34745add.gif и аhello_html_m4bcd60e4.gif, то пересечение прямых auhello_html_m34745add.gif и auhello_html_m4bcd60e4.gifс окружностью совпадут с точкой uhello_html_m34745add.gif , а поэтому прямая S uhello_html_m34745add.gif , пересечет основание рядов в их общей точке Uhello_html_m34745add.gif , так что

(ABCUhello_html_m34745add.gif)= (Ahello_html_52ab6046.gifBhello_html_52ab6046.gifChello_html_52ab6046.gifUhello_html_m34745add.gif).


Пересечение прямой S uhello_html_m4bcd60e4.gif с основанием рядов дает вторую их общую точку Uhello_html_m4bcd60e4.gif.


Таким образом, проективные ряды с общим основанием могут иметь две общие точки.


Свойствами проективных рядов и пучков удобно пользоваться в таких случаях , когда требуется доказать, что несколько точек находится на одной прямой или что несколько прямых пересекаются в одной точке













16

Гармонические точки.


Четыре точки, ангармоническое отношение которых равно -1, наз. гармоническими точками.


Так если

(АВСD)= -1,


то А, В, С, D суть гармонических точек.


Из четырех точек , две точки, обозначенные в символе (АВСD) первыми двумя(А и В)= буквами или последними(С и D), наз. гармонически сопряженными.


Из четырех точек составляются всегда только две пары гармонически сопряженных.


Отрезки АВ и СD, ограниченные каждый двумя гармонически сопряженными точками, наз. также гармонически - сопряженными.


Из предыдущего следует, что четыре гармонические точки образуют на прямой только два отрезка гармонически сопряженных.

Из условия

(АВСD)=hello_html_71532e7a.gif

следует, что

hello_html_2add74ab.gifилиhello_html_ca924ff.gif,


Т. е. что отрезок АВ делится в точках C и D в одном и том же отношении. Таким образом концы одного из двух гармонически сопряженных отрезков образуют на другом внутреннее и внешнее деление в одном и том же отношении. Такое деление наз. гармоническим.



17


Рассматривая только абсолютную величину отрезков, из пропорции

hello_html_2add74ab.gif

находим, что при СА>СB и DA>DB,следовательно две точки (С и D), делящие гармонически данный отрезок (АВ), находятся по одну сторону от середины этого отрезка.


Если одна из этих точек (С и D), делящие гармонически данный отрезок (АВ), находится в середине его, то другая бесконечно удалена.

Так как, если С совпадает с серединой АВ , то hello_html_m1f1b0b5e.gif, поэтому


hello_html_m5176b440.gif; ноhello_html_m1b76e3e9.gif

следовательно, равенство hello_html_m5176b440.gif возможно только при DB=hello_html_m74e6612e.gif.


Если точка О служит началом ряда Аhello_html_4ab98f23.gif, Аhello_html_m4bcd60e4.gif, Аhello_html_m27f31a3a.gif……Аhello_html_772f9caf.gif и точка М того- же ряда удовлетворяет равенству

hello_html_m3d881601.gif,

где n число точек Аhello_html_4ab98f23.gif, Аhello_html_m4bcd60e4.gif, Аhello_html_m27f31a3a.gif……Аhello_html_772f9caf.gif, то отрезок ОМ наз. средним гармоническим отрезков ОАhello_html_4ab98f23.gif, ОАhello_html_m4bcd60e4.gif,…., ОАhello_html_772f9caf.gif.


Точка М в этом случае наз. центром средних гармонических точек Аhello_html_4ab98f23.gif, Аhello_html_m4bcd60e4.gif, Аhello_html_m27f31a3a.gif……Аhello_html_772f9caf.gif .

Таким образом, из равенства

hello_html_4adfa5b6.gif

следует, что:

Расстояние от одной гармонической точки до другой есть среднее гармоническое расстояние той- же точки от двух других гармонически сопряженных точек.


Каждая из четырех сопряженных точек, относительно сопряженной с ней точкой, есть центр средних гармонических остальных двух точек.

18

Изогональные точки треугольника.


Две точки наз. изогональными или изогонально-сопряженными точками треугольника, если прямые, соединяющие их с каждой вершиной этого треугольника, являются изогональными прямых.


(Две прямые, проходящие через вершину угла и составляющие равные углы с его биссектрисой наз. изогональными относительно этого угла или относительно его сторон.).


Изогональные точки треугольника иногда наз. обратными.


Из свойств изогональных прямых следует, что:


Произведения расстояния изогональных точек треугольника до каждой из его сторон равны.(рис. 13)


PPhello_html_4ab98f23.gif* QQhello_html_4ab98f23.gif= PPhello_html_3500b51c.gif* QQhello_html_3500b51c.gif= PPhello_html_m27f31a3a.gif* QQhello_html_m27f31a3a.gif.


Проекция изогональных точек треугольника на его стороны расположены на одной окружности, центр которой находится в середине расстояния между этими точками.

Например, точки Phello_html_4ab98f23.gif,Qhello_html_4ab98f23.gif,Phello_html_3500b51c.gif,Qhello_html_3500b51c.gif.Phello_html_m27f31a3a.gif,Qhello_html_m27f31a3a.gif расположены на одной окружности , центр которой находится в середине О прямой РQ

(рис. 12), так что OPhello_html_4ab98f23.gif=OQhello_html_4ab98f23.gif=OPhello_html_3500b51c.gif…..

hello_html_m1c86422e.jpg












рис.13


19

Прямые, соединяющие одну из изогональных точек тр-ка с его вершинами, перпендикулярны к прямым, соединяющим проекции другой точки на стороны треугольника.


Так (рис.12) : АРhello_html_m3369453f.gifQhello_html_3500b51c.gifQhello_html_m27f31a3a.gif, ВРhello_html_m3369453f.gifQhello_html_m27f31a3a.gifQhello_html_4ab98f23.gif, СРhello_html_m3369453f.gifQhello_html_4ab98f23.gifQhello_html_3500b51c.gif,

и АQhello_html_m3369453f.gifPhello_html_3500b51c.gifPhello_html_m27f31a3a.gif, BQhello_html_m3369453f.gifPhello_html_m27f31a3a.gifPhello_html_4ab98f23.gif, CQhello_html_m3369453f.gifPhello_html_4ab98f23.gifPhello_html_3500b51c.gif.


Прямые, соединяющие проекции изогональных точек на две стороны тр-ка , антипараллельны относительно этих сторон.


Например, Phello_html_3500b51c.gifPhello_html_m27f31a3a.gif и Qhello_html_3500b51c.gifQhello_html_m27f31a3a.gif антипараллельны относительно АВ и АС (рис. 12).


Точка, симметричная с одной из изогональных точек относительно сторон тр-ка, равно отстаёт от другой изогональной точки.


Например, если точка Phello_html_4ab98f23.gifhello_html_52ab6046.gifсимметрична с Р относительно ВС

(рис. 12), то Phello_html_4ab98f23.gifhello_html_52ab6046.gifQ =2 Phello_html_4ab98f23.gifО.


Так как высоты тр-ка и диаметры описанного круга , проходящие через вершины его , являются изогональными прямых, то ортоцентр и центр описанного круга являются изогональными точки тр-ка.

Поэтому основания высот и медиан тр-ка находятся на одной окружности ; центр этой окружности делит пополам расстояние между ортоцентром и центром описанного круга, а радиус равен половине описанного круга.


Из свойств изогональных точек следует также, что радиусы круга, описанного около тр-ка , проведенный через его вершины, перпендикулярны к сторонам ортоцентрического тр-ка.


Точки, симметричные с ортоцентром тр-ка относительно его сторон, находятся на окружности, описанной около тр-ка.

Точки симметричные с центром описанного круга относительно сторон тр-ка, находятся на окружности , описанной из ортоцентра радиусом равным радиусу описанного круга.


20

Симметрично – обратные точки.


Если точки М и Мhello_html_52ab6046.gif обратные относительно вершины А тр-ка АВС и степень инверсии равна произведению АВ*АС=bс, то точка Мhello_html_4ab98f23.gif, симметричная с Мhello_html_52ab6046.gifотносительно биссектрисы угла А, наз. симметрично – обратной точки М относительно

вершины А тр-ка АВС. Точка Мhello_html_4ab98f23.gifhello_html_52ab6046.gif, симметричная с М относительно той же биссектрисы и точка Мhello_html_52ab6046.gif, обратная с М, тоже симметрично обратная.


Из определения следует, что симметрично – обратной точки относительно вершины тр-ка А находятся на прямых изогональных относительно угла А.

Так как

АМ * АМhello_html_52ab6046.gif= bс,


то АМ *АМhello_html_4ab98f23.gif =АМhello_html_52ab6046.gif *АМhello_html_4ab98f23.gifhello_html_52ab6046.gif=bс,


так как АМhello_html_52ab6046.gif= АМhello_html_4ab98f23.gif и АМ= АМhello_html_4ab98f23.gifhello_html_52ab6046.gif.(рис.14)

hello_html_67c25f9d.jpg


Теорема. Если из двух изогональных прямых относительно угла А тр-ка АВС одна пересекает сторону ВС в Dhello_html_4ab98f23.gif, то

D и Dhello_html_4ab98f23.gif симметрично обратные точки относительно вершины А тр-ка АВС.



рис.14


Так как из подобия тр-в АВD и. А Dhello_html_4ab98f23.gifС следует, что

hello_html_m62aecb8c.gif;

поэтому

AD*AD-AC*AB=b*c.





21

Следствие. Так как высота тр-ка АНhello_html_4ab98f23.gif и диаметр АЕ описанного круга изогональны относительно угла А, то Нhello_html_4ab98f23.gif и Е точки симметрично обратные относительно вершины А тр-ка АВС.


Теорема. Если Мhello_html_4ab98f23.gif и Nhello_html_4ab98f23.gif точки симметрично обратные с точками М и N, находящиеся на прямых, изогональных относительно угла А, то прямая MN и Mhello_html_4ab98f23.gifNhello_html_4ab98f23.gif параллельны.


Последние две теоремы дают следующий простой способ построения точки Мhello_html_4ab98f23.gif , симметрично обратной с данной точкой М относительно вершины А тр-ка АВС.(рис. 15)


Обозначив через Dhello_html_4ab98f23.gif точку пересечения окружности АВС с прямой АМ, проведем через Dhello_html_4ab98f23.gif прямую, параллельную ВС; пересечение этой прямой с окружностью АВС обозначим через Е.

Если прямая АЕ пересекается с ВС в точке D , то прямая, параллельная М D и проходящая через Dhello_html_4ab98f23.gif, пересекается с АЕ в

искомой точке Мhello_html_4ab98f23.gif.

hello_html_m68fc5041.jpg

Действительно, так как дуги

то прямая В Dhello_html_4ab98f23.gif и СЕ равны, то

прямая А Dhello_html_4ab98f23.gif и АЕ изогональны

относительно угла А; поэтому

А D* Dhello_html_4ab98f23.gif= b*c.


Из подобия тр-ков АМ D и А Dhello_html_4ab98f23.gifМhello_html_4ab98f23.gif следует, что


hello_html_131f687.gif;AD


рис. 15 отсюда


АМ*АМhello_html_4ab98f23.gif- AD* А Dhello_html_4ab98f23.gif=bc.





22

Изоциклические точки.

Точки пересечения прямой, проходящей через вершин. А тр-ка АВС, с окружностью, проходящей через вершины его В и С, наз. изоциклическими относительно ВС.


Теорема. Если М и N изогональные точки тр-ка АВС, а точки Мhello_html_4ab98f23.gif и Nhello_html_4ab98f23.gif,являются сочками симметрично – обратными относительно вершины А того-же тр-ка.


Так как , из равенства углов

hello_html_7707454f.gifВАNhello_html_4ab98f23.gif= hello_html_7707454f.gifCAN

и

hello_html_7707454f.gifANhello_html_4ab98f23.gifB=hello_html_7707454f.gifBCM=hello_html_7707454f.gifACN


следует, что тр-ки АВ Nhello_html_4ab98f23.gif и А NС подобны, а поэтому


hello_html_m2b6bb633.gif,

Обратно, точка Мhello_html_4ab98f23.gif, симметрично- обратная с М, изоциклична с точкой N.


Следствие. Так как


hello_html_7707454f.gifABNhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_7707454f.gifANC,


то(рис.15) hello_html_7707454f.gifABBhello_html_52ab6046.gif=hello_html_7707454f.gifCNMhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_7707454f.gifCBMhello_html_4ab98f23.gif;


следовательно, суть изогональные точки тр-ка АВС.

Таким образом, точки симметрично- обратные с изогональными точками тр-ка, тоже изогональные точки этого тр-ка.


Точки(Мhello_html_4ab98f23.gif и N) симметрично-обратные с изоциклическими точками(М и Nhello_html_4ab98f23.gif), тоже являются изоциклическими.






23

Изотомические точки треугольника.


Две точки на стороне тр-ка равноотстоящие от середины этой стороны, наз.изотомическими точками


Изотомические точки какой-либо стороны тр-ка, находятся на равном расстоянии от концов этой стороны.

Например, если Аhello_html_52ab6046.gif и Аhello_html_52ab6046.gifhello_html_52ab6046.gif Изотомические точки стороны ВС тр-ка АВС, обозначив через Аhello_html_4ab98f23.gif середину ВС по определению получим (рис.16):

Аhello_html_4ab98f23.gifАhello_html_52ab6046.gifhello_html_4ab98f23.gifАhello_html_52ab6046.gifhello_html_52ab6046.gif;

следовательно


ВАhello_html_52ab6046.gif=САhello_html_52ab6046.gifhello_html_52ab6046.gif или САhello_html_52ab6046.gif=ВАhello_html_52ab6046.gifhello_html_52ab6046.gif.



Две секущие тр-ка, пересекающие его стороны в изотомических точках наз. взаимно секущими.


Теорема. Если стороны тр-ка АВС пересекаются с какой нибудь прямой в точках А, В, С , то точки А, В, С Изотомические с А, В, С, находятся на одной прямой.(рис15)


hello_html_2ac7a125.jpg









рис.16


Теорема Шлемильха. Прямая соединяющая середины сторон треугольника с серединами соответственных высот тр-ка, пересекаются в одной точке.


24

Изотомически сопряженные или взаимные точки тр-ка.


Если три прямые, проходящие через вершины тр-ка, пересекаются в точке Х, а прямые изотомические с ними в

точке У, Х и У наз. изотомически сопряженными или взаимными точками тр-ка. (рис.17)


Прямые, соединяющие вершину тр-ка с его изотомически сопряженными точками, наз. также изотомически сопряженными.


Точка Жергона и точка Нагеля по сути изотомически сопряженные точки тр-ка. Добавочные точки Жергона с соответственными добавочными точками Нагеля образуют также три пары изотомически сопряженных точек тр-ка.

hello_html_m4f68c5d9.jpg









рис. 17



Центр окружности, описанной около тр-ка и точки пересечения прямых, соединяющих середины его сторон с серединами соответствующих высот, являются изотомически сопряженными точками дополнительного тр-ка.( по теореме Шлемильха)










25

Точки Енжабека.


Если прямая, поведенная от точки А параллельна сторонам тр-ка ( АВ, ВС, СА) до пересечения с другими сторонами( ВС, СА, АВ), равны то точка J наз. точкой Енжабека тр-ка АВС.(рис.18)

hello_html_fde20a8.jpg










рис.18



Для построения точки Енжабека проводим через вершины тр-ка АВС прямые, параллельные противоположным его сторонам, и откладываем на них равные отрезки AL , BM, CN. Проведя затем через точки L,M, N прямые LLhello_html_52ab6046.gif , MM hello_html_52ab6046.gif, NNhello_html_52ab6046.gif , параллельные АС, АВ и ВС, получим тр-к Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif, гомотетичный с АВС; центр гомотетии этих тр-ков, т. е общая точка прямых ААhello_html_52ab6046.gif, ВВhello_html_52ab6046.gif, ССhello_html_52ab6046.gif, есть искомая точка J .Тка кА поведя прямые JD, JE , JF параллельно АВ, ВС, СА, получим:


hello_html_68387d2b.gif



и hello_html_m18d845c2.gif;


Следовательно, JD=JE=JF, т.е. J есть точка Енжабека.


Очевидно, что для тр-ка можно построить две точки Енжабека.



26

Точка Лемуана.


Точка пересечения симедиан тр-ка (К), наз. точкой Лемуана этого тр-ка.


Прямые симметричные с медианами тр-ка относительно его внутренних биссектрис, наз.. симедианами.


Из предыдущего видно, что точка Лемуана данного тр-ка есть точка, изогонально-сопряженная с барицентром этого тр-ка(центр медиан) .


Симедиан тр-ка являются прямыми, соединяющими вершины тангенциального тр-ка Кhello_html_4ab98f23.gifКhello_html_3500b51c.gifКhello_html_m27f31a3a.gif (тр-к стороны, которого касаются круга, описанного около данного тр-ка в его вершинах , наз. тангенциальным тр-м)с точками касания его сторон и вписанной окружности ; поэтому точка Лемуана данного тр-ка служит точкой Жергона для тр-ка тангенциального.


Теорема Лемуана. Точка Лемуана К тр-ка АВС совпадает с барицентром тр-ка , вершины которого являются проекциями точки К на стороны АВ, ВС, СА.

hello_html_38b4fb9f.jpg


Обозначим через D, E, F проекции точки Лемуана К тр-ка АВС на его стороны (рис.19)и обозначим

KD=x , KE=y, KF= z.


рис.19


Так как hello_html_7707454f.gifВАС+hello_html_7707454f.gifEKF=180hello_html_m54b4f681.gif, то площади тр-ков АВС и KEF относятся, как произведения сторон, составляющих эти углы,т.е

hello_html_m28454f5c.gif;


по аналогии hello_html_4c832f1c.gif, hello_html_73d4046b.gif;


27


но

поэтому hello_html_5f638ea3.gif


следовательно, тр-ки KEF , KDF и KDE равновелики, а потому барицентр тр-ка DEF совпадает с точкой К.

Следствие. Перпендикуляры KD, KE и KF из точки Лемуана К тр-ка АВС на его стороны являются медианами тр-ка DEF.


Точка Лемуана тр-ка (АВС), стороны которого проходят через вершины другого тр-ка(DEF)и перпендикулярны к его медианам, совпадает с барицентром этого второго тр-ка.


Антипараллели тр-ка, проходящие через точку Лемуана, равны и делятся в этой точке пополам.


Прямые, соединяющие середины сторон тр-ка с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.


Доказательство теоремы Шлемильха обнаруживает ,что точка Лемуана К данного тр-ка и центр О, описанного около него круга, являются изотомически сопряженными точками дополнительного тр-ка.


Теорема. Если симедианы тр-ка АВС пресекаются с описанной окружностью в Аhello_html_52ab6046.gif, Вhello_html_52ab6046.gif, Сhello_html_52ab6046.gif, то тр-ки АВС и Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif имеют общую точку Лемуана.


Из точки Лемуана К тр-ка АВС опустимна его стороны перпендикуляры KD, KE, KF.(рис.20). Так как чет-к BDKF вписывается в круг, то

hello_html_7707454f.gifKDF=hello_html_7707454f.gifKBF=hello_html_7707454f.gifBhello_html_52ab6046.gifBA=hello_html_7707454f.gifAAhello_html_52ab6046.gifBhello_html_52ab6046.gif.



28

Чет-к CDKE также вписывается в круг; поэтому:

hello_html_7707454f.gifKDF=hello_html_7707454f.gifKCE=hello_html_7707454f.gifChello_html_52ab6046.gifCA=hello_html_7707454f.gifAAhello_html_52ab6046.gifChello_html_52ab6046.gif


следовательно

hello_html_7707454f.gifEDF=hello_html_7707454f.gifВhello_html_52ab6046.gifАhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif


и по аналогии hello_html_7707454f.gifDEF=hello_html_7707454f.gifAhello_html_52ab6046.gifBhello_html_52ab6046.gifChello_html_52ab6046.gif=hello_html_7707454f.gifDEF=hello_html_7707454f.gifAhello_html_52ab6046.gifChello_html_52ab6046.gifBhello_html_52ab6046.gif


hello_html_c6ef143.jpg













рис.20



Таким образом тр-ки DEF и Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gifподобны.

Равенства углов hello_html_7707454f.gifKDF=hello_html_7707454f.gifAAhello_html_52ab6046.gifBhello_html_52ab6046.gif hello_html_7707454f.gifKDE=hello_html_7707454f.gifAAhello_html_52ab6046.gifChello_html_52ab6046.gif,

и аналогичные им показывают, что точка К , отнесенная к тр-ку Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif , соответствует точке, изогонально-сопряженной с этой точкой относительно тр-ка DEF точка К служит

барицентром , а точка изогонально- сопряженная с К точкой Лемуана; следовательно ,К есть точка Лемуана тр-ка Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif.










29


Дополнительные и антидополнительные точки.


Пусть Аhello_html_52ab6046.gifВhello_html_52ab6046.gifСhello_html_52ab6046.gif и А’’В’’С’’, являются дополнительным и антидополнительным тр-ми для тр-ка АВС.

Эти тр-ки гомотетичны относительно их общего барицентра G.(рис.21)

hello_html_6fca9673.jpg











рис.21


Если М, Мhello_html_52ab6046.gif и М’’ соответственные точки тр-ка АВС , АВС и А’’В’’С’’ , то точка М ,наз. дополнительной , М’’ антидополнительной точке М.

Такие три точки , как соответственные гомотетичных тр-в АВС, АВС и А’’В’’С’’, находятся на одной прямой, проходящей через их центр гомотетии G, при чем


GM’=1/2 GM и GM’’=2GM.



Отсюда следует, что отрезок ММ’’ делится пополам в точке М; отрезок ММ делится гармонически в точках G и M’’ в отношении 2:1.


Вершины тр-в АВС и А’’В’’С’’ являются дополнительными и антидополнительными точками вершин тр-каАВС.




30


Центры I ,I, I’’ кругов, вписанных в тр-ки АВС, АВС, А’’В’’С’’ являются соответственными точками тр-в; поэтому I и I’’ являются дополнительными и антидополнительными точками для точки I., следовательно, эти три точки находятся на одной прямой, походящей через барицентр G тр-ка АВС.


Центр круга О, описанного около тр-ка АВС, есть ортоцентр дополнительного тр-ка АВС ; поэтому О есть дополнительная точка ортоцентра Н тр-ка АВС; следовательно , прямая Эйлера НО тр-ка проходит через его его барицентр G.


Центр О окружности, описанной около тр-ка АВС , т.е. центр окружности Эйлера, есть точка дополнительная центру круга О, находится на прямой Элера НО и отрезок GH делится гармонически в О и О.























31

Постоянные точки.



Теорема. На окружности подобия трех прямо подобных фигур есть три постоянные точки, через которые проходят соответственные прямые этих фигур, пересекающиеся на окружности подобия.


Через центр гомологии К тр-в Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifShello_html_m27f31a3a.gif и Dhello_html_4ab98f23.gifDhello_html_3500b51c.gifDhello_html_m27f31a3a.gifпроведем прямую, параллельную сторонам последнего тр-ка и обозначим точки пересечения этих прямых с окружностью подобия через Рhello_html_4ab98f23.gif, Рhello_html_3500b51c.gif, Рhello_html_m27f31a3a.gif.(рис.22).

hello_html_m7cb4cc9c.jpg














рис. 22


Так как

hello_html_m1c53013a.gif


и

hello_html_a9cfa23.gif,


то КРhello_html_4ab98f23.gif, КРhello_html_3500b51c.gif, КРhello_html_m27f31a3a.gif соответственные прямые прямо подобных фигур

Fhello_html_4ab98f23.gif,Fhello_html_3500b51c.gif,Fhello_html_m27f31a3a.gif.

hello_html_m53d4ecad.gif

32

Для различных тр-в Dhello_html_4ab98f23.gifDhello_html_3500b51c.gifDhello_html_m27f31a3a.gif точка К имеет различные положения на окружности Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifShello_html_m27f31a3a.gif ; но точки Рhello_html_4ab98f23.gif, Рhello_html_3500b51c.gif, Рhello_html_m27f31a3a.gif остаются одни и те же; так как ,например, угол Shello_html_4ab98f23.gifKPhello_html_4ab98f23.gif равен углу, который образует прямая Dhello_html_4ab98f23.gifK и Dhello_html_3500b51c.gifDhello_html_m27f31a3a.gif и поэтому сохраняет постоянную величину.


Три точки Рhello_html_4ab98f23.gif, Рhello_html_3500b51c.gif, Рhello_html_m27f31a3a.gif на окружности подобия трех прямо подобных фигур, через которые проходят соответственные прямые этих фигур, пересекаются на окружности подобия, наз. постоянными точками.


Постоянные точки прямо подобных фигур являются соответственными точками этих фигур.


Прямые соединяющие постоянные точки трех прямо подобных фигур с какой-нибудь точкой окружности подобия, являются соответственными прямыми этих фигур.























33

Направляющая и добавочные точки.


Центр гомологии Е постоянного тр-ка и тр-ка подобия трех прямо подобных фигур, наз. направляющей точкой этих фигур.

Расстояния направляющей точки Е трех прямо подобных фигур от сторон постоянного тр-ка Рhello_html_4ab98f23.gifРhello_html_3500b51c.gifРhello_html_m27f31a3a.gif обратно пропорциональны соответствующим отрезкам аhello_html_4ab98f23.gif, аhello_html_3500b51c.gif, аhello_html_m27f31a3a.gif этих фигур.


Три прямо подобные фигуры Fhello_html_4ab98f23.gifFhello_html_3500b51c.gifFhello_html_m27f31a3a.gif определяются их направляющей точкой Е и тр-м подобия Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifShello_html_m27f31a3a.gif или постоянным тр-м Рhello_html_4ab98f23.gifРhello_html_3500b51c.gifРhello_html_m27f31a3a.gif.


Если точка Shello_html_4ab98f23.gif фигуры Fhello_html_4ab98f23.gif, есть соответственная общей точке Shello_html_4ab98f23.gif фигур Fhello_html_3500b51c.gif и Fhello_html_m27f31a3a.gif и подобные же значения имеют точки Shello_html_3500b51c.gif и Shello_html_m27f31a3a.gif относительно точек Shello_html_3500b51c.gif и Shello_html_m27f31a3a.gif , то Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gif Shello_html_m27f31a3a.gif наз. добавочными точками трех прямо подобных фигур Fhello_html_4ab98f23.gif,Fhello_html_3500b51c.gif,Fhello_html_m27f31a3a.gif .


Теорема. Постоянный тр-к Рhello_html_4ab98f23.gifРhello_html_3500b51c.gifРhello_html_m27f31a3a.gif , тр-к подобия Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifShello_html_m27f31a3a.gif и тр-к Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifShello_html_m27f31a3a.gif имеющий вершинами добавочные точки трех прямо подобных фигур, гомологичны и имеют общий центр гомологии в направляющей точке Е этих фигур.


Так как Shello_html_4ab98f23.gif Shello_html_4ab98f23.gif и Shello_html_4ab98f23.gifсоответственные точки подобных фигур Fhello_html_4ab98f23.gif,Fhello_html_3500b51c.gif,Fhello_html_m27f31a3a.gif , то S Рhello_html_4ab98f23.gif, Shello_html_4ab98f23.gif Рhello_html_3500b51c.gifи Shello_html_4ab98f23.gif Рhello_html_m27f31a3a.gif соответственные прямые этих фигур, пересекающиеся в одной точке , значит, прямая Shello_html_4ab98f23.gif Рhello_html_4ab98f23.gif проходит через Shello_html_4ab98f23.gif; подобным же образом, прямые Shello_html_3500b51c.gif Рhello_html_3500b51c.gif и Shello_html_m27f31a3a.gif Рhello_html_m27f31a3a.gif проходят через Shello_html_3500b51c.gif и Shello_html_m27f31a3a.gif, следовательно, тр-ки Рhello_html_4ab98f23.gifРhello_html_3500b51c.gifРhello_html_m27f31a3a.gif, Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifShello_html_m27f31a3a.gif и

Shello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gif Shello_html_m27f31a3a.gif гомологичны и имеют общий центр гомологии в

точке Е.



Теорема Нейберга. Если три соответственные точки прямо подобных фигур находятся на одной прямой, то эта прямая проходит через направляющую точку этих фигур.


34

Пусть Сhello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gifhello_html_m27f31a3a.gifсоответственные точки прямо подобных фигур Fhello_html_4ab98f23.gif,Fhello_html_3500b51c.gif,Fhello_html_m27f31a3a.gif , расположенные на одной прямой (рис.22).


Так как Shello_html_3500b51c.gifесть центр подобия фигур Fhello_html_4ab98f23.gif и Fhello_html_m27f31a3a.gif, то тр-ки Сhello_html_4ab98f23.gif Shello_html_3500b51c.gif Сhello_html_m27f31a3a.gif и

Рhello_html_4ab98f23.gif Shello_html_3500b51c.gifРhello_html_m27f31a3a.gif подобны, а потому


hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Сhello_html_m27f31a3a.gif Сhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Рhello_html_m27f31a3a.gif Рhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Shello_html_4ab98f23.gif Е;


подобным образом убедимся, что


hello_html_7707454f.gifShello_html_4ab98f23.gif Сhello_html_m27f31a3a.gif Сhello_html_3500b51c.gif=hello_html_7707454f.gifShello_html_4ab98f23.gifShello_html_3500b51c.gifЕ,


следовательно,


hello_html_7707454f.gifShello_html_4ab98f23.gif Сhello_html_m27f31a3a.gif Shello_html_3500b51c.gif=hello_html_7707454f.gifShello_html_4ab98f23.gifЕShello_html_3500b51c.gif,


т.е. Сhello_html_m27f31a3a.gifнаходится на окружности Shello_html_4ab98f23.gifЕShello_html_3500b51c.gif, а поэтому



hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Сhello_html_m27f31a3a.gifЕ +hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Сhello_html_m27f31a3a.gif Сhello_html_4ab98f23.gif= hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Сhello_html_m27f31a3a.gifЕ +hello_html_7707454f.gifShello_html_3500b51c.gif Shello_html_4ab98f23.gif Е=180hello_html_m54b4f681.gif,


значит, прямая Сhello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gifhello_html_m27f31a3a.gif проходит через точку Е.


Следствие. Соответственные точки Сhello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gifhello_html_m27f31a3a.gif прямо подобных фигур расположенные на одной прямой, находятся соответственно на окружностях Shello_html_3500b51c.gifЕShello_html_m27f31a3a.gif , Shello_html_m27f31a3a.gifЕ Shello_html_4ab98f23.gifи Shello_html_4ab98f23.gifЕShello_html_3500b51c.gif.


Так как Shello_html_4ab98f23.gif Shello_html_4ab98f23.gif и Shello_html_4ab98f23.gif соответственные точки фигур Fhello_html_4ab98f23.gif,Fhello_html_3500b51c.gif,Fhello_html_m27f31a3a.gif,то окружность Shello_html_3500b51c.gifЕShello_html_m27f31a3a.gif, проходит через добавочную точку Shello_html_4ab98f23.gif.


Прямые Рhello_html_4ab98f23.gifС, Рhello_html_3500b51c.gifСhello_html_3500b51c.gif, Рhello_html_m27f31a3a.gifСhello_html_m27f31a3a.gif пересекаются в одной точке на окружности подобия






35

Обозначим через Н ортоцентр тр-ка АВС, через Нhello_html_4907d38f.gif, Нhello_html_3500b51c.gif, Н основания его высот и через Еhello_html_4907d38f.gif, Еhello_html_3500b51c.gif, Е точки Эйлера, т.е. середины отрезков АН, ВН, СН. Так как стороны ортоцентрического тр-ка Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif антипараллельны сторонам тр-ка АВС, так что


hello_html_7707454f.gifА=hello_html_7707454f.gifВНhello_html_4907d38f.gifНhello_html_m27f31a3a.gif=hello_html_7707454f.gifС Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gif,

hello_html_7707454f.gifВ=hello_html_7707454f.gifА Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif=hello_html_7707454f.gifС Нhello_html_3500b51c.gif Нhello_html_4907d38f.gif,

hello_html_7707454f.gifА Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_3500b51c.gif=hello_html_7707454f.gifА Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_3500b51c.gif=hello_html_7707454f.gifВ Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_4907d38f.gif,


то тр-ки А Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif, В Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_4907d38f.gif и С Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gif подобны и сходственно расположены.


Отрезки А Нhello_html_3500b51c.gif, Нhello_html_4907d38f.gifВ и Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gifсоответственные прямые этих тр-в; но


А Нhello_html_3500b51c.gif=АВ* cos А,

Нhello_html_4907d38f.gifВ = АВ * cosВ,

Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gif= АВ * cosС;


поэтому, если аhello_html_4907d38f.gif, аhello_html_3500b51c.gif, аhello_html_m27f31a3a.gif соответственные отрезки прямых этих тр-в, то


hello_html_24fa6892.gif.


Обозначив через hello_html_2e28ff68.gifhello_html_4907d38f.gif, hello_html_2e28ff68.gifhello_html_3500b51c.gif, hello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gif углы, составляемые соответственными прямыми тр-в ВНhello_html_3500b51c.gifНhello_html_4907d38f.gif и С Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gifи А Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif,

А Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif и В Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_4907d38f.gifполучим:




hello_html_2e28ff68.gifhello_html_4907d38f.gif=hello_html_7707454f.gifВНhello_html_4907d38f.gifНhello_html_m27f31a3a.gif= 180=hello_html_7707454f.gifА,


hello_html_2e28ff68.gifhello_html_3500b51c.gif=hello_html_7707454f.gifА Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif=180= hello_html_7707454f.gifВ,


hello_html_2e28ff68.gifhello_html_m27f31a3a.gif =hello_html_7707454f.gifА Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_4907d38f.gif=180=hello_html_7707454f.gifС.


36

Точки Нhello_html_4907d38f.gif, Нhello_html_3500b51c.gif, Нhello_html_m27f31a3a.gif и Еhello_html_4907d38f.gif, Еhello_html_3500b51c.gif, Еhello_html_m27f31a3a.gif -центры подобия и постоянные точки рассматриваемых тр-в ; поэтому окружность Эйлера Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif есть окружность их подобия; ортоцентр Н- направляющая точка, а вершины тр-ка АВС добавочные точки. Из этого следует, что прямые, ,проходящая через точки Еhello_html_4907d38f.gif, Еhello_html_3500b51c.gif, Еhello_html_m27f31a3a.gif и пересекающиеся на окружности Эйлера, являются соответственными прямыми тр-в А Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif, В Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_4907d38f.gif и С Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gif. Точки пересечения всякой прямой, проходящей через ортоцентр Н, с окружностями Н Нhello_html_3500b51c.gifНhello_html_m27f31a3a.gif, Н Нhello_html_4907d38f.gifНhello_html_3500b51c.gif и Н Нhello_html_m27f31a3a.gif Нhello_html_4907d38f.gif этих же тр-в.































37

Точки Брокара.


Центры гомологий hello_html_354ab466.gif и hello_html_1345cb22.gif треугольника АВС и первого треугольника Брокара hello_html_m51f6b08c.gif (рис.23) называются точками Брокара треугольника АВС. Из предыдущего видно, что:


Каждая из точек Брокара, есть общая точка трех непарных сопряженных окружностей треугольника.


Точки Брокара находятся на окружности Брокара.


Точки Брокара суть изогонально-сопряженной точки треугольника.


Прямые, соединяющая вершины треугольника с точками Брокара образуют со сторонами треугольника углы равные углу Брокара.


Точки Брокара hello_html_354ab466.gif и hello_html_1345cb22.gif иногда обозначаются через hello_html_m4b63a0a8.gif и hello_html_3cd32022.gif называются первой и второй точкой Брокара.

hello_html_78f14adc.png

рис. 23

Первая точка Брокара hello_html_m4b63a0a8.gif называется также положительной или возвратной, вторая точка Брокара hello_html_3cd32022.gif в таком случае называется отрицательной или прямой.

38

Прямая Брокара.

Прямая hello_html_354ab466.gifhello_html_1345cb22.gif, соединяющая точки Брокара треугольника, называется прямою Брокара.


Так как прямая hello_html_md24309c.gif параллельна hello_html_37ba8be6.gif, то

hello_html_31f9b94c.gif

и hello_html_m6599dde3.gif;

следовательно hello_html_23f902cb.gif


а поэтому прямая Брокара hello_html_354ab466.gifhello_html_1345cb22.gif перпендикулярна к прямой Тукера КО.


Из этого следует, что hello_html_m36193374.gif и hello_html_m2d7c84e1.gif, где hello_html_m40407ad2.gif- угол Брокара.


Теорема. Прямые, проходящие через вершины треугольника АВС и параллельные противоположным сторонам первого треугольника Брокара hello_html_m51f6b08c.gif пересекаются в одной точке на окружности АВС.


Предположим, что прямая, проходящая через А и параллельная hello_html_47fb357b.gif, пересекается в одной точке на окружности АВС.


Прямые ВС и hello_html_47fb357b.gif как соответственные прямые подобных треугольников АВС и hello_html_m143413d8.gif, составляющих равные углы с осью Штейнера хх’, поэтому hello_html_m4ca28951.gif и AR параллельны ВС и hello_html_47fb357b.gif, образуют также равные углы с хх’, а так как эти прямые проходят через соответственные точки hello_html_7e1f78bd.gif и А треугольников hello_html_m143413d8.gif и АВС, то они также суть соответственных прямых этих треугольников.


Таким образом прямые, проходящие через А, В, С и параллельные hello_html_47fb357b.gif, hello_html_m1a0de527.gif, hello_html_7bbfe7bc.gif суть соответственных прямых hello_html_359e4aff.gif, hello_html_11bbe914.gif, hello_html_m75c7f7e1.gif пересекающимися в одной точке К на окружности hello_html_m143413d8.gif, следовательно, они пересекаются в одной точке R на окружности АВС.


39

Точка Штейнера.


Точка пересечения R прямых ,походящих через вершины тр-ка АВС и параллельных противоположным сторонам первого тр-ка Брокара Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif ,наз. точкой Штейнера тр-ка АВС.


hello_html_m6d2a75c4.jpg













hello_html_m4443a491.gifhello_html_3b5fd287.gifhello_html_75413e01.gif

hello_html_m57d5b1ca.gifhello_html_17e2faa4.gif



рис.24





Из доказательств последней теоремы следует, что точка Штейнера R и точка Лемуана К тр-ка АВС являются соответственными точками тр-в АВС и Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif.


Теорема. Перпендикуляры из вершин тр-ка АВС на противоположные стороны первого тр-ка Брокара Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif пресекаются в одной точке на окружности АВС.





40

Положим, что перпендикуляр из а на Вhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif пересекается с окружностью АВС в точкеN (рис .24 ).


Так как ВС и Вhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif как соответственные прямые подобных тр-в АВС и Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif составляют равные углы с осью Штейнера ххhello_html_m2c66b5ba.gif,то перпендикуляры Аhello_html_4ab98f23.gifА hello_html_m2c66b5ba.gif и AN к этим прчмым , проходящие через соответственные точки А и Аhello_html_4ab98f23.gif тр-в АВС и Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif ,являются также соответственными прямыми этих тр-в.


Таким образом, перпендикуляры А, В, С на Вhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif, Сhello_html_4ab98f23.gifАhello_html_4ab98f23.gif, Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gif, являются прямыми соответственными прямым Аhello_html_4ab98f23.gifАhello_html_m2c66b5ba.gifhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_m2c66b5ba.gif, Сhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_m2c66b5ba.gif, пересекающимися в одной точке О на окружности Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif; следовательно, они пересекаются на одной точке N на окружности АВС.


























41

Точка Тарри.


Точка пересечения N перпендикуляров из вершин тр-ка АВС на противоположные стороны первого тр-ка Брокара Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif , наз. точкой Тарри тр-ка АВС.


Примечание. Треугольник АВС (рис. 25), вершины которого являются точками пересечения окружности Брокара с параллелями Лемуана тр-ка АВС, наз. первым тр-ком Брокара.

hello_html_m51d3d720.jpg












рис.25




Из доказательства предыдущей теоремы видно, что точка Тарри N и центр круга О , описанного около тр-ка АВС , являются соответственными точками тр-ка АВС и Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif.


Так как точка Лемуана К и центр О круга АВС являются диаметрально противоположными точками окружности Аhello_html_4ab98f23.gifВhello_html_4ab98f23.gifСhello_html_4ab98f23.gif, то соответственные им точка Штейнера В и точка Тарри N являются диаметрально противоположными точками окружности АВС.







42


Циклотомические точки.


Если три окружности ВМС, СМА, АМВ, являются хордами стороны треугольника АВС, пересекаются в одной точке М, а окружность симметрична с ними относительно сторон треугольника в точке N, то точки N и M называются циклотомическими точками треугольника АВС.


Если одна из циклотомических точек находится внутри треугольника или в одном из его вертикальных углов, то другая находится в одном из внешних углов того же треугольника. Обратно, если одна из этих точек лежит во внешнем углу треугольника, то другая находится или внутри треугольника, или в одном из его вертикальных углов.


Теорема. Если внешняя дуга трех окружностей, имеющих хордами стороны данного треугольника, вмещают углы , равные углам другого тр-ка, то такие три окружности пересекаются в одной точке.


Пусть даны два треугольника АВС и ABC’. Положим, что ровная дуга окружности АВ, АС и ВС, имеющих хордами стороны треугольника АВС, вмещают углы C’, B’, A’ и обозначим через D точку пересечения окружностей АВ и АС.


Если D находится внутри треугольника АВС

то hello_html_m8d4cf78.gif

и hello_html_m16f57726.gif

следовательно, внутренняя дуга окружности ВС, вмещающая угол

hello_html_7f530a4a.gifтакже проходит через точку D.


Если D получится в одном из вертикальных углов треугольника АВС, например в вертикальном угле А , то

hello_html_m52dad6b9.gif

и hello_html_1a6a5b36.gif

значит и в этом случае внутренняя дуга окружности ВС проходит через точку D.

43

Заметим, что рассматриваемые три окружности не могут иметь общую точку D в части плоскости ограниченной одной стороной треугольника, например ВС, в продолжении двух других сторон его ибо, в этом случае должно–бы быть

hello_html_436db672.gif

что невозможно, так как через D проходили бы внутренние дуги окружностей АВ и АС, вмещающие углы

hello_html_m5c430e4c.gifи hello_html_m2f29c47c.gif внешняя дуга окружности ВС, имеющая

угол А’.


Следствие. Три окружности, описанные на сторонах треугольника АВС так, что внутренние дуги их вмещают углы равные углам треугольника ABC’, пересекаются в одной точке Е, циклотомической с точкой D.


Ибо эти окружности симметричны с окружностями ADB, BDC,CDA относительно сторон треугольника ABC.


Точка Е как циклотомическая с D не может быть внутри треугольника АВС не в одну из вертикальных углов его, а всегда находится в одном из внутренних углов треугольника.




















44

Точка Торричелли.


Изогонические центры.

Точки из которых стороны данного треугольника АВС видимы под углами в hello_html_m40c1d725.gifили hello_html_m4aa7002e.gif называются изогоническими центрами этого треугольника.


По этому определению, Изогонические центры какого-либо треугольника АВС суть его метаполюсы относительно правильного треугольника; следовательно, изогонические центры треугольника U и U’ суть точки, изогонально сопряженной с его изодинамическими центрами W и W’.


Очевидно, что общие точки U и U’ трех внешних и трех внутренних окружностей Торричелли тр-ка АВС являются изогоническими точками тр-ка.


Изогонические центры U и U’ тр-ка АВС, как метаполюсы этого тр-ка, являются циклотомическими точками, поэтому один из них U’, наз. первым , всегда находится или внутри тр-ка или в одном из вертикальных его углов второй изогонический центр U’ лежит всегда в одном из внешних углов тр-ка.


Если каждый из углов тр-ка АВС не превышает 120hello_html_6538c4a.gif, то первый изогонический центрhello_html_m53d4ecad.gifU находится внутри тр-ка и поэтому наз. внутренними.


Внутренний изогонический центр U тр-ка АВС наз. также точкой Торричелли этого треугольника.


Теорема. Сумма расстояний точек Торричелли треугольника от его вершин есть min.

Будем считать, что точка Z плоскости треугольника АВС

(рис. 26 ) удовлетворяет условию:

Z+BZ+CZ=minim.

Описав около точки А окружность радиусом AZ и проведя к этой окружности касательную в точку Z, заметим, что при данном расстоянии AZ и при условии:

BZ+CZ=minim;

45

касательная должна составлять равные углы и с AZ.Рассуждая также относительно вершины В прейдем к заключению, что прямая AZ и CZ должны составлять равные углы с BZ. Следовательно, точка Z должна удовлетворять условию:

hello_html_de35714.gif,

которая выполняется, когда Z совпадает с точкой Торричелли треугольника U

hello_html_m68946dee.jpg


Теорема. Прямая соединяющая вершины треугольника АВС с противолежащими вершинами внешних или правильных внутренних треугольников, построенных на его сторонах, равны и пересекаются в изогоническом центре треугольника.

рис. 26


Действительно, треугольники FAC и EAB (рис.27) равны, так как

hello_html_22b554f3.gif


и AF=AB, AC=A; значит, BE=CF и по аналогии,

AD=BE=CF.

Так как hello_html_2c0f91af.gif,

то hello_html_m1d4bae36.gif;


следовательно, прямая FC проходит через U, что и требовалось доказать.


Аналогичным способом можно убедиться, что

AD’=BE’=CF


и что эти прямые проходят через U штрих.


46

Правильные антиподарные треугольники.

Обозначим через ABC’(рис. 27) антиподарный треугольник точки U относительно треугольника АВС. Так как стороны этого треугольника BC’, CA’, AB’ соответственно перпендикулярны к прямым UA,UB,UC и потому параллельны сторонам правильного треугольника abc, то этот треугольник (ABC’) правильный.


Антиподарный треугольник точки U’ относительно треугольника АВС также правильный. Итак:


Антиподарные треугольники изогонических центров U и U’ треугольника АВС относительно этого треугольника является правильными треугольниками.


Очевидно, что вершины правильных антиподарных треугольников треугольника АВС находятся на окружностях Торричелли этого треугольника

hello_html_m1da8349f.jpg











hello_html_343b6f43.gif




hello_html_m346a3d12.gif


hello_html_m6bf60b23.gif

hello_html_1c55e35a.gif

hello_html_17597b9e.gif

рис.27 рис.27


47

Прямые UA’, UB’, UC’, соединяющие изоганический центр U с вершинами правильного антиподарного треугольника, являющиеся диаметрами окружностей Торричелли; поэтому углы UDA’, UEB’, UFC’ – прямые и прямые AD, BE, CF параллельны BC’, CA’,AB’; значит, прямые AD, BE, CF равны высотам правильного треугольника ABC’. Таким образом:


Прямые, соединяющие вершины треугольника АВС с противолежащими вершинами правильных внешних и внутренних треугольников, построенных на его сторонах, равны высотам правильных антиподарных треугольников.


Если изогонический центр U находится внутри треугольника АВС, то, обозначив через H’ высоту правильного антиподарного треугольника HBC’ и через a’- его сторону, получим:

a’* (UA+UB+UC) = a’*H’,


отсюда UA+UB+UC=H’=AD=BE=CF

Таким образом сумма расстояний точек Торричелли треугольника от его вершин равна высоте правильного антиподарного треугольника.


Если же U находится в одном из вертикальных углов треугольника АВС, например в вертикальном углу А, то

a’*(UB+UC-UA)=a’*H’,


то есть UB+UC-UA=H’=AD=…


для изогонического центра U’, находящегося в части плоскости, ограниченной стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС (рис. 27), имеет место равенство:

UB+UC-UA=H”=AD’=BE’=CF’,


где H”-высота правильного антиподарного треугольника (ABC”) точки U’ относительно треугольника АВС.

hello_html_m2fe9513d.gif

















48

hello_html_31ca4d1.gif

Литература

1. 1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. I: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1936.


2. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902.


3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. — М.:

Учпедгиз, 1962.


4. КоксетерГ.С.М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966.


5. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые

встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978.


б Перепелкин ДИ. Курс элементарной геометрии. ч. 1:

Геометрия на плоскости. — М.: Учпедгиз, 1949.


7. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т. 1. — М.:

МЦНМО,2004.







Краткое описание документа:

               Согласно новым стандартам школьного математического образования, обучение в старших классах может осуществляться на двух уровнях — базовом и профильном. Профильный уровень предусматривает более глубокое изучение геометрии, включение в содержание некоторых новых тем, относящихся не только к стереометрии, но и к планиметрии и имеющих важное значение для математического образования учащихся старших классов, предполагающих связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой.

 

                    В моей работе рассматриваются замечательные точки тр-ка. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся: точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности); точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности); точка пересечения высот (ортоцентр); точка пересечения медиан (центроид). Я добавила к ним и другие замечательные точки тр-ка: точки Эйлера, конциклические точки, гармонические точки, изоциклические точки и др.

 

             В данной  работе я предлагаю  материал для профильного уровня обучения геометрии, дополняющий традиционное содержание курса. Его можно также использовать при разработке элективных курсов по геометрии, проведении кружков и факультативов, для полготовки учащихся к олимпиадам, конкурсам, турнирам по математике.

Автор
Дата добавления 24.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров707
Номер материала 408719
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх