Билеты к итоговой аттестации по геометрии 7 класс

Билеты к итоговой аттестации по геометрии  за курс 7 класса

Билет 1.

1.     Первый признак равенства треугольников. (п.20, теорема 3.1).

2. Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости. (п.2).
3. а) Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

б) В равнобедренном треугольнике ABC угол В — ту­пой. Высота BD равна 8 см. Найдите периметр треугольни­ка ABC, если периметр треугольника ABD равен 24 см.

в) На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что АВ ││ CD. Точка М принадле­жит отрезку АВ; угол MCA равен  углу MCD, угол MDC равен  углу MDB. Дока­жите, что АВ = АС + BD.

_____________________________________________________________

Билет 2.

1.     Внешние углы треугольника.(п. 34; теоремы 4.5).

2.     Параллельные прямые. Основное свойство параллельных прямых. (п.11).

3.     а) Разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. Най­дите стороны треугольника.

б) В треугольнике ABC угол A = 50°, угол C = 80°. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ.

в) Дана окружность с центром О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М, так что прямые МА и MB пе­ресекают окружность в точках С и D соответственно; АС = CD =BD. Докажите, что АС = ОВ.

______________________________________________________________

Билет 3.

1.     Смежные  углы. (п.14; теорема 2.1 и следствия).

2.      Доказать, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (п. 40, задача 8)

3.     а) Углы ABD и ABC смежные, луч ВО — биссектриса угла ABD. Найдите угол OBD, если угол  ABC = 40°.

б) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника ABC взяты точки М, Р, К соответственно, так что лучи КМ и КР яв­ляются биссектрисами углов АКВ и ВКС. Докажите, что угол MKP = 90°.

в) В треугольнике ABC внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника ABC равен 36 дм, а периметр треугольника ABD равен 24 дм.

_______________________________________________________________

Билет 4.

1.     Вертикальные углы. (п.15; теорема 2.2).

2.     Построение перпендикулярной прямой. (п.47)

3.     а) В окружности с центром О проведены три радиуса ОВ, ОС, OA, угол AOB равен  углу BOC. Докажите, что угол OAB равен углу OCB.

б) Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему ему острому углу.

в) В треугольнике ABC  АВ = ВС. Внутри треугольника отмечена точка D так, что   угол  DAC  равен углу DCA. Докажите, что точка пересечения высот этого треугольника лежит на пря­мой BD.

_____________________________________________________________

Билет 5.

1.     Свойство углов равнобедренного треугольника (п.23, теорема 3.3).

2.     Угол. Измерение углов. (п.7, свойства V,VII).

3.     а) На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точ­ки М и Н соответственно; угол A равен углу BMH = 50°, угол С = 60°. Найдите угол MHC.

б) В окружности с центром О проведены три радиуса OA, ОВ, ОС так, что ОВ перпендикулярно  АС и отрезки ОВ и АС пересека­ются. Докажите, что АВ = ВС.

в) Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Известно, что АВ ││ DC, AD ││ ВС. Докажите, что угол ABC равен углу ADC, АВ = DC, AD = ВС.

_________________________________________________________________

Билет 6.

1.     Свойство медианы равнобедренного треугольника.(п.26, теорема 3.5).

2.     Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.

3.     а) Постройте прямоугольный треугольник с углом, рав­ным 30°, по данной гипотенузе.

б) Дан треугольник ABC. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и Е соответственно; угол DBE = 60°, 3·<  A =<  C. Найдите угол, смежный с углом А.

в) На окружности последовательно отмечены точки А, В, С, D; АВ = CD. Докажите, что АС = BD.

__________________________________________________________________

Билет 7.

1.     Теорема о двух прямых, параллельных третьей (п.29, теорема 4.1)

2.     Высота, биссектриса и медиана треугольника. (п.25).

3.     а) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 162°. Найдите остальные углы.

б) Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь­ник по данной гипотенузе.

в)  В равнобедренном треугольнике ABC   BD — высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч DB — биссектриса угла MDH. Докажите, что AM = НС.

Билет 8.

1.     Второй признак равенства треугольников. (п.22, теорема 3.2).

2.     Построение биссектрисы угла (п.45).

3.     а) В треугольнике ABC  АВ = ВС. Точки М и Н — сере­дины сторон АВ и ВС. MD и НЕ перпендикулярны к пря­мой АС. Докажите, что Δ AMD = Δ ВНЕ.

б) Угол АОВ равен 43°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС.

в) Один из внутренних углов треугольника в 3 раза боль­ше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутрен­ним углом, равен 100°. Най­дите все внутренние углы треугольника.

__________________________________________________________________

Билет 9.

1.     Третий признак равенства треугольников. (п.27, теорема 3.6).

2.     Деление отрезка пополам. (п.46).

3.     а) Угол МРК является частью угла МРН, равного 105°. Найдите угол МРК, если известно, что он в четыре раза меньше угла КРН.

б) Даны равносторонние треугольники ABC и А₁В₁С₁. O и O₁ — соответственно точки пересечения медиан этих тре­угольников, OA =О₁А₁. Докажите, что Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.

в) Треугольник ABC — равно­бедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при ос­новании пересекаются в точ­ке D, угол ADB = 100°. Найдите угол С.

____________________________________________________________________

Билет 10.

1.     Окружность. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника. (п. 38,39; теорема 5.1)

2.     Отрезок. Измерение отрезков (п.3,4, 8; свойства II,III,VI)

3.     а) В треугольнике ABC  угол BAC равен углу ВСА, биссектрисы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что тре­угольник АОС равнобедренный.

б) В треугольнике ABC угол B = 100°, угол A = 40°. Точка D принадлежит стороне АС, причем угол BDC тупой. Дока­жите, что АВ > BD.

в) В треугольнике проведена медиана длиной 8 см. Ме­диана делит данный тре­угольник на два треугольни­ка с периметрами 25 см и 27 см. Найдите периметр данного треугольника.

____________________________________________________________

Билет 11.

1.     Сумма углов треугольника.  (п.33; теоремы 4.4).

2.     Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и основанию.

3.     а) Постройте равнобедренный треугольник по основа­нию и сумме боковых сторон.

б) Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние уг­лы, не смежные с ним, от­носятся как 3:4. Найдите все внутренние углы тре­угольника.

в) В прямоугольном треуголь­нике ABC (угол C = 90°) биссек­трисы CD и BE пересекают­ся в точке О. Угол BOC = 95°. Найдите острые углы тре­угольника ABC.

______________________________________________________________

Билет 12.

1.     Окружность. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник. (п. 38,41, теорема 5.2)

2.     Треугольник и его элементы. Существование треугольника равного данному. (п.9,10)

3.     а) Отрезки АВ и CD — диаметры некоторой окружно­сти. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

б) Найдите углы треугольника ABC, если угол А на 60° меньше угла В и в 2 раза меньше угла С.

в) Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 5 раз больше суммы двух других. Найти все образовавшиеся углы.

______________________________________________________________

Билет 13.

1.     Признак параллельности прямых. (п.31, теорема 4.2)

2.     Построение треугольника с данными  сторонам. (п.43).

3.     а) На высоте АН равнобедренного треугольника ABC с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольни­ки АОВ и АОС равны.

б)  Треугольник ABC — равно­бедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при ос­новании пересекаются в точ­ке D, угол C = 100°. Найдите угол ADB.

Найдите углы треуголь­ника АБС. Найдите  внешние  углы треугольника ABC.

в)  Боковая сторона равнобед­ренного треугольника в 2 ра­за больше основания и на 12 см меньше периметра тре­угольника. Найдите стороны треугольника.

________________________________________________________________

Билет 14.

1.      Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. (п.32, теорема 4.3 и следствие).

2.     Построение угла, равного данному. (п.44).

3.     а) Отрезки АВ, ВС, CD последовательно отложены на одной прямой, АС = BD= 18 см, ВС = 7 см. Найдите AD.

б)   В равнобедренном треуголь­нике с периметром 48 см ос­нование относится к боко­вой стороне как 2:3. Найди­те стороны треугольника.

в) Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найти углы, которые образует биссектриса большего угла со сторонами меньшего.

_______________________________________________________________

Билет 15

1.     Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать признак по гипотенузе и катету. (п.35,задача 29 к §3).

2.     Доказать, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (п.11, задача 41).

3.     а) Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20 см и 10 см.

б) В равнобедренном треуголь­нике ABC с основанием АС на высоте BD отмечена точ­ка К. Докажите, что тре­угольник АКС — равнобед­ренный.

в) В прямоугольном треуголь­нике ABC (угол C = 90°) биссек­трисы CD и BE пересекают­ся в точке О. Угол BOC = 95°. Найдите острые углы тре­угольника ABC.

Билет 16

1.     Существование и единственность перпендикуляра к прямой (п.36, теорема 4.6).

2.     Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании.

3.     а) Постройте равнобедренный треугольник по основа­нию и сумме боковых сторон.

б) Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найти стороны этого треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 5:4.

в) В равнобедренном треуголь­нике ABC точка D — середи­на основания АС. На лучах АВ и СВ вне треугольника ABC отмечены точки М и N соответственно так, что ВМ = BN. Докажите, что ΔBDM = ΔBDN.

____________________________________________________________________

Билет 17

1.     Признак равнобедренного треугольника. (п.24, теорема 3.4)

2.     Окружность. Доказать, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.(п.38, задача 3)

3.     а)  В равнобедренном треуголь­нике с периметром 40 см ос­нование в 2 раза меньше бо­ковой стороны. Найдите сто­роны треугольника.

б) Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 42⁰. Найти все образовавшиеся углы.

в) В равнобедренном треуголь­нике ABC точка D — середи­на основания АС. На лучах АВ и СВ вне треугольника ABC отмечены точки М и N соответственно так, что ВМ = BN. Докажите, что ΔBDM = ΔBDN.

______________________________________________________________________

Билет 18

1.     Свойство катета прямоугольного треугольника, противолежащего углу в 30 градусов.(п.35, задача 43)

2.     Признаки параллельности прямых (доказать один по выбору учащегося).

3.     а) В равнобедренном треуголь­нике ABC точки К и М яв­ляются серединами боковых сторон АВ и ВС соответст­венно. BD — медиана тре­угольника. Докажите, что ΔBKD = ΔBMD.

б) Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 42⁰. Найти все образовавшиеся углы.

в) Треугольник ABC — равно­бедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при ос­новании пересекаются в точ­ке D, угол ADB = 100°. Найдите угол С.

_________________________________________________________________

Билет 19

1.     Доказать, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. (п.36, задача 50).

2.     Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать признак по гипотенузе и катету. (п.35,задача 29 к §3).

3.     а)  В равнобедренном треуголь­нике с периметром 35 см бо­ковая сторона в 2 раза боль­ше основания. Найдите сто­роны треугольника.

б) Дан треугольник ABC. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и Е соответственно; угол DBE = 60°, 3 · <A =<C. Найдите угол, смежный с углом А.

в)  Один из смежных углов в 4 раз меньше другого. Найти углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего.

___________________________________________________________________

Билет 20

1.     Геометрическое место точек. (п. 48, теорема 5.3).

2.     Доказать, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой. ( п.26, задача 28).

3.    

1

а)   В равнобедренном треуголь­нике ABC точки К и М яв­ляются серединами боковых сторон АВ и ВС соответст­венно. BD — медиана тре­угольника. Докажите, что ΔAKD = ΔCMD.

2

 б)                                                     a                         Дано: a││b; c – секущая;  1:  2 =7:2.

                                                                                 b                           Найти все образовавшиеся углы.

                     c

в) Один из смежных углов в 4 раз меньше другого. Найти углы, которые образует биссектриса меньшего угла со сторонами большего.