Билет №1

1.Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого угольника.

2.Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около   треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

3.В треугольнике проведена средняя линия  (. Найдите периметр треугольника , если

4.В ромбе  диагонали равны 5см и 12см. На диагонали  взята точка  так, что   . Найдите площадь треугольника .

Билет № 2

1.Дайте определение подобных треугольников. Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

2.Дайте определение параллелограмма. Сформулируйте свойства параллелограмма. Докажите одно из них.

3.Отрезки   - касательные к окружности с центром  , точки   -точки касания. Найдите углы треугольника  , если   .

4.В трапеции   - основания,  .  Точка  -середина стороны   трапеции. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника     равна   .

Билет №3

1.Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

2.Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

3.Дан  треугольник . Через точку    на стороне   и точку  на стороне  проведена прямая, причем  параллельно . Докажите, что треугольники   и   подобны. Найдите длину , если известно, что

4.Прямая, проходящая через центр прямоугольника перпендикулярно диагонали, пересекает большую сторону прямоугольника под углом . Отрезок этой прямой, заключенный внутри прямоугольника, равен 10см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Билет №4

1.      Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов ?

2.      Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

3.      Одна из сторон прямоугольника на 3см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 18см.

4.   Прямая пересекает стороны  треугольника  в точках  E и F соответственно так, что   а площадь четырехугольника  относится к площади треугольника  как . Докажите, что треугольник  подобен треугольнику  и найдите отношение площадей данных треугольников.

Билет №5

1.      Какой угол называется центральным углом окружности? Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности. Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается?

2.      Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

3.      В прямоугольном треугольнике    гипотенуза   равна   10см. Найдите катет , если косинус угла  равен 0,6.

4.   В паралллелограмме  биссектрисы углов  пересекаются в точке . На прямых    взяты точки  так, что    . Биссектрисы углов   пересекаются в точке  . Найдите

Билет №6

1.      Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой? Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? Какие две точки называются симметричными относительно данной точки? Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

2.      Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

3.      Найдите катет прямоугольного треугольника, если его площадь , а второй катет равен .

4.   Диагональ   трапеции  равна 8см и делит ее на два подобных треугольника. Найдите основание , если

Билет №7

1.      Какая окружность называется описанной около  многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в  окружность? Каким свойством обладают углы  четырехугольника, вписанного в окружность?

2.      Дайте определение параллелограмма. Сформулируйте признаки параллелограмма. Докажите один из них.

3.      Стороны одного треугольника равны 7см, 10см, 8см, а периметр подобного ему треугольника равен 75см. Найдите стороны второго треугольника.

4.      В равнобедренной трапеции   высота     Найдите площадь треугольника  , если  середина отрезка .

Билет №8

1.Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

2.Докажите, что отрезки касательных к окружности к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Сформулируйте теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

3.В треугольнике  высота  делит сторону  на отрезки АК и ВК. Найдите стороны треугольника  если , , .

4.В параллелограмме диагональ   перпендикулярна стороне . Прямая, проходящая через середину отрезка  точку  параллельно   пересекает сторону  в точке    Найдите площадь треугольника

Билет №9

1.      Дайте определение трапеции. Виды трапеции. Свойства трапеции.

2.      Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

3.      Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна сторона больше другой на , а периметр равен.

4.      Диагональ  четырехугольника  является биссектрисой его угла, . Докажите, что ∠∠. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю   если известно, что ?

Билет №10

1.      Сформулируйте свойство медианы треугольника.

2.      Дайте определение прямоугольника. Сформулируйте свойства прямоугольника. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

3.    – отрезки касательных, проведенных к окружнгости радиуса 9см. Найдите длины отрезков  , если

4.      В трапеции    основания,   Площадь треугольникаравна Найдите площадь трапеции.

Билет №11

1.      Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности? Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности?

2.      Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

3.      Смежные стороны параллелограмма равны 52см и 30см, а острый угол равен . Найдите площадь параллелограмма.

4.   На стороне  треугольника  отмечена точка так, что ΔΔ Найдите если известно, что  а периметр треугольника равен

Билет №12

1.      Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

2.      Дайте определение ромба. Сформулируйте свойства ромба. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

3.      Найдите площадь равнобедренной трапеции, если основания равны 37см и 7см, а боковая сторона равна 17см.

4.   Точка лежит на хорде  так, что  Расстояние от центра окружности до точки равно 4см. Найдите радиус окружности.

Билет №13

1.      Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием ее от  центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности? Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?

2.      Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

3.      В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 5см и 15см. Найдите основания трапеции.

4.   В Δ через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная стороне  и пересекающая стороны  в точках соответственно. Найдите  если  Найдите площадь треугольника если площадь треугольника .

Билет №14

1.      Расскажите о четырех замечательных точках треугольника.

2.      Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

3.      Меньшая сторона прямоугольника равна 5см, угол между диагоналями равен . Найдите диагонали прямоугольника.

4.      В параллелограмме диагональ   перпендикулярна стороне . Прямая, проходящая через середину отрезка  точку  параллельно   пересекает сторону  в точке    Найдите площадь треугольника

Билет №15

1.      Сформулируйте  утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

2.      Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

3.      В окружность с радиусом 10см вписан прямоугольный треугольник, один катет которого равен 16см. Найдите второй катет.

4.   В трапеции   с большим основанием   диагональ  перпендикулярна к боковой стороне   Найдите  если периметр трапеции равен 20см, а ∠.

Билет №16

1.      Дайте  определение квадрата. Сформулируйте свойства квадрата.

2.      Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

3.   с радиусом 7,5см проведены диаметр  и  хорда , равная 9см. Найдите длину хорды

4.      В равнобедренной трапеции MNKP диагональ  является биссектрисой угла при нижнем основании Меньшее основание равно 8см.  Найдите площадь трапеции, если один из углов в два раза меньше другого. В каком отношении высота делит основание

Билет №17

1.      Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.

2.      Сформулируйте признаки подобия треугольников и докажите один из них.

3.      Одна из сторон параллелограмма на 12см больше другой. Периметр параллелограмма равен 56см. Найдите стороны параллелограмма.

4.      В прямоугольной трапеции меньшее основание равно меньшей боковой стороне. Диагональ, проведенная из вершины тупого угла, перпендикулярна большей боковой стороне, равной 16см. Найдите периметр и площадь трапеции.

Билет №18

1.      Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников.

2.      Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

3.      В треугольнике   а в треугольнике  Найдите углы треугольника , если ∠∠B=.

4.   Биссектрисы углов параллелограмма  пересекаются в точке лежащей на стороне . Луч  пересекает прямую в точке Найдите периметр параллелограмма  если