Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Брошюра-методичка "Методы решения тригонометрических уравнений". В помощь выпускнику

Брошюра-методичка "Методы решения тригонометрических уравнений". В помощь выпускнику

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №90»

р.п. Чунский





В помощь выпускнику



«Методы решения тригонометрических уравнений»


hello_html_m2f2c3be7.jpg

Составитель:

учащаяся 10б класса

Приведа Елена

Руководитель:

Грибовская В.А.





2016г.


Введение

Дорогие ребята!

В 10 классе мы знакомимся с тригонометрическими уравнениями, изучаем основные способы их решения.

На ЕГЭ тригонометрические уравнения представлены во второй части, то есть в заданиях с развернутым ответом.

В 2010 – 2014 годах тригонометрические уравнения или их системы составляли задание С1, с 2015 года это - задание №13 профильного уровня. Значит для успешной сдачи экзамена, необходимо владеть способами решения тригонометрических уравнений.

В этой работе можно познакомиться с методами решения тригонометрических уравнений, которые не представлены в нашем школьном учебнике, такие как метод введения вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка, метод оценки левой и правой частей уравнения.

Кроме этого, приведены примеры объединения серий корней и решения уравнений из реальных КИМов с отбором корней.

Моя методичка адресована, прежде всего, выпускникам, готовящимся успешно сдать экзамен, но она будет полезна всем, кто изучает математику.

С уважением, автор-составитель.



Основная часть


I. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Уравнения вида sin x = a и cos x = a, где |а| ≤ 1, а также

tg x = a и ctg x = a, где аϵR называются простейшими тригонометрическими уравнениями.


Формулы, с помощью которых находят решение этих тригонометрических уравнений:

sin x = a, x = (-1)k ∙arcsin a + πk = hello_html_4c9b1eae.gif


cos x = a, x = ± arccos a + 2πn, n є Z


tg x = a, x = arctg a + πn, n є Z


ctg x = a, x = arcctg a + πn, n є Z.


Частные случаи.


Частные случаи полезно запомнить, так как они дают более простые формулы, и это удобно в отборе корней уравнения.

В частных случаях при а = 0, а = ± 1, получаем формулы:


sin x = 0, x = πn, n є Z

sin x = 1,hello_html_m39809761.gif

sin x = -1,hello_html_m70e59062.gif

cos x = 0, hello_html_294de221.gif

cos x = 1, x = 2πn, n є Z


cos x = -1, x = π + 2πn, n є Z.


Формулы корней уравнений sin2 x = a2, cos2 x = a2, где 0 ≤ а ≤ 1, можно объединить в серии x = ± arcsin a + πn, n є Z и

x = ± arccos a + πn, n є Z соответственно.

II. Методы решения тригонометрических уравнений.

Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.


1. Метод введения вспомогательного угла (вспомогательного аргумента)


Иногда при решении тригонометрических уравнений бывает полезным заменить выражение hello_html_3841cedd.gifна hello_html_m3bb4b577.gif, где

hello_html_m5e820220.gif

Тогда уравнение принимает вид: hello_html_m382e0ed8.gifгде φ называют вспомогательным аргументом.


Пример. (МПГУ) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения hello_html_63017af3.gif


Решение:

hello_html_60acbf80.gif

hello_html_3a42f4ca.gif

hello_html_6ba9404.gif

hello_html_196396f8.gif

hello_html_17b3db23.gif


Если n = 0, то х = π/12 > 0.


Если n = - 1, то х = π/12 – 2/3 π = -7/12 π < 0.

Ответ: hello_html_102938e7.gif


2. Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка)


Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка) заключается в выражении

sin x, cos x, tg х через hello_html_55d30d2e.gif

hello_html_2246f8eb.gif(*)

! Надо помнить, что при использовании такой подстановки в отдельной проверке нуждаются значения

х = π +2πn, n є Z.

Это обусловлено тем фактом, что функция у = tg x не существует для аргумента х = π/2 + πn, n ϵ Z.

Пример. Решим уравнение hello_html_m578fcb3c.gif

Способ I.

Решение:

Перейдем к sin x и cos x, заменив hello_html_mbef9f79.gif


Вывод формулы, если не помним: hello_html_md50afe7.gif

При этом необходимо проверить х = π +2πn, n є Z.

0 – 1 – 1 = 0∙(-2), - 2 = 0 - ложно, поэтому потери корней не произойдет.

hello_html_m371048a7.gif

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_5d529ac2.gif

Решим первое уравнение системы:

hello_html_m28dcae5d.gif

Получаем решение системы, а значит исходного уравнения:

hello_html_m7b31b0ae.gif

Ответ: hello_html_m4ca9e0aa.gif.

Способ II.

Пример. Решим уравнение hello_html_m578fcb3c.gif

Решение:


Теперь решим это же уравнение, используя рациональную подстановку (*).

Убеждаемся, чтоhello_html_633de46d.gif не являются решением данного уравнения:

0 + (-1) – 1 = 0 ∙ (-1 – 1); -2 = 0 – ложно.

hello_html_6483e054.gif

hello_html_m3e4ff1ab.gif

Ответ: hello_html_mc6bc428.gif.


Подстановка (*) hello_html_m6e1a8630.gif называется рациональной потому, что она приводит тригонометрическое уравнение к рациональному уравнению, тем самым упрощая решение.


Рассмотрим еще один вид подстановки.

Подстановка t = sin x + cos x (t = sin x - cos x) позволяет решить уравнения вида

f (sin x + cos x; sin x ∙ cos x) = 0.

Если t = sin x + cos x, то sin 2x = t2 – 1 или sin x ∙ cos x = hello_html_m80a4c73.gif

Пример. (МФТИ) Решим уравнение sin x + cos x - hello_html_57e26130.gifsin 2x = 0.

Решение:


Заметим, что (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x, поэтому

если sin x + cos x = t, то sin 2x = t2 - 1,

и данное уравнение запишется в виде


t -hello_html_57e26130.gif(t2 - 1) = 0, или hello_html_57e26130.gift2 thello_html_57e26130.gif = 0, откуда

t1 =hello_html_57e26130.gif, t2 = hello_html_3fc39a9d.gif

Исходное уравнение сводится к двум уравнениям:

1) sin x + cos x =hello_html_57e26130.gif.

Поделим обе части уравнения на hello_html_57e26130.gif и воспользуемся методом введения вспомогательного угла:

hello_html_m1cbb578b.gifsin x +hello_html_m1cbb578b.gifcos x = 1;

sin x coshello_html_3b50f2bc.gif + cos x sinhello_html_3b50f2bc.gif = 1;

sin (x + hello_html_3b50f2bc.gif) = 1 – частный случай;

x = hello_html_3b50f2bc.gif+2πn, n є Z.

2) sin x + cos x = hello_html_3fc39a9d.gif

Аналогично: hello_html_m1cbb578b.gifsin x +hello_html_m1cbb578b.gifcos x = hello_html_m67dd0f40.gif;

sin x coshello_html_3b50f2bc.gif + cos x sinhello_html_3b50f2bc.gif =hello_html_m67dd0f40.gif ;

sin (x + hello_html_3b50f2bc.gif) =hello_html_m67dd0f40.gif ;

x + hello_html_3b50f2bc.gif = (-1)m ∙ arcsinhello_html_m2368fff2.gif + πm, m є Z;

hello_html_5474909b.gif.

Ответ: hello_html_m77b00834.gif; hello_html_5474909b.gif.

Как видим, встречаются уравнения, в которых используются комбинированные методы решения.


3. Метод оценки левой и правой частей уравнения (или метод ограниченности функций, или метод мажорант).

Решение некоторых тригонометрических уравнений основано на неравенствах, обозначающих множество значений функций синуса и косинуса:


-1 ≤ sin x ≤ 1, -1 ≤ cos x ≤ 1.


Примером уравнения, решаемого методом оценки множества значений левой и правой частей, служит следующий пример уравнения.


Пример. Решим уравнение hello_html_m77291c0.gif

Решение:


В левой части уравнения выделим квадрат двучлена, а в правой – преобразуем разность квадратов, получим:

hello_html_m60efb19f.gif

Так как левая часть принимает наименьшее значение, равное 0, а правая – наибольшее значение, также равное 0, то уравнение равносильно системе уравнений hello_html_74f1f079.gif

Решая ее, получим:hello_html_m1fa8772.gif


Ответ: х = - 3,5.


Пример. Решим уравнение hello_html_72882ad2.gif

Решение:


В силу ограниченности синуса и косинуса hello_html_m1df54d43.gif данное уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_65cf7dfc.gif

hello_html_65cf7dfc.gif

Объединим серии корней:

hello_html_58ca3f8d.gif

k будет целым, если (n + 1) будет четным, т.е. n +1 = 2m, n = 2m - 1.

hello_html_33affc96.gif

Ответ: hello_html_m65c72558.gif


Обобщим этот метод.


Если в левой части уравнения функция f(х), а в правой g(х), и Е(f) ∩ Е(g) = а,


то уравнение f(х) = g(х) равносильно системе уравнений hello_html_7f9d42bd.gif


На профильном экзамене ЕГЭ задание 13 состоит из двух частей и формулируется обычно следующим образом:

а) решить уравнение и б) отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Рассмотрим пример из вариантов ЕГЭ.





Пример. (Из реальных КИМ №13)

а) Решите уравнение hello_html_4787d587.gif

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_77f6fee1.gif

Решение:


Воспользуемся методом оценки левой и правой части уравнения:


hello_html_34594ad5.gif

hello_html_3f7e6680.gif

Ответ: hello_html_m188c3b9f.gif

Однако встречаются и такие тригонометрические уравнения, решение которых без дополнительной формулировки требует отбора корней – это тригонометрические уравнения с конечным числом решений.

Рассмотрим такой пример.

Пример. Решим уравнение hello_html_m4dcb0925.gif


Решение:

hello_html_1993d4d0.gif;

Уравнение равносильно системе:


hello_html_73865b1d.gifhello_html_32953389.gif


Отбираем корни, принадлежащие промежутку [-4; 4]:


n = 0, x = 0 ϵ [-4; 4]

n = 1, x = π ϵ [-4; 4]

n = -1, x = - π ϵ [-4; 4]

Ответ: 0; ±π; ±4.

Решите самостоятельно уравнения:

1) hello_html_132b0f61.gif;

2) hello_html_11fe25cc.gif

3) hello_html_m4f9bdbf.gif.

Ответы: 1) 0; 2) корней нет; 3) hello_html_m2e49c0e.gif.

В заключение хочу сказать, что для качественной подготовки к экзамену, надо решать уравнения и решать самостоятельно. Желаю всем успеха!

Список используемых источников:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы:

учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электронном носителе /[А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под. ред. А.Н. Колмогорова. – 20-е изд. - М.: Просвещение, 2011.


2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.


3. Сычева Г.В. «Повторяем тригонометрию». - «Математика для школьников»: научно - практический журнал. М.: «Школьная Пресса», №1, 2009г.


4. Садовничий Ю.А. «Решаем конкурсные задачи»: Лекторий для абитуриента. – «Математика», №7, 2008г.


5. 3000 конкурсных задач по математике. Сост. Куланин Е.Д. и др. – М.: Рольф, 1997.


Интернет-ресурсы


1. http://www.school.mos.ru - сайт в помощь школьнику найти необходимую информацию для подготовки к урокам, материал для рефератов и т.д.;

2. www: решу ЕГЭ - сайт в помощь выпускнику подготовиться к качественной сдаче ЕГЭ.






Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

В работе рассматриваются некоторые методы решения тригонометрических уравнений, такие как метод введения вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка, метод оценки левой и правой частей уравнения.

Приведены примеры объединения серий корней уравнения.

Брошюра-методичка адресована выпускникам, готовящимся успешно сдать ЕГЭ.

Примечание: При просмотре часть формул скрыта, но при скачивании брошюры все формулы открываются.

Автор
Дата добавления 10.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров103
Номер материала ДБ-154078
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх