Брошюра-методичка "Методы решения тригонометрических уравнений". В помощь выпускнику

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №90»

р.п. Чунский

В помощь выпускнику

«Методы решения тригонометрических уравнений»

Составитель:

 учащаяся 10б класса

Приведа Елена

Руководитель:

Грибовская В.А.

2016г.

Введение

                                  Дорогие ребята!

В 10 классе мы знакомимся с тригонометрическими уравнениями, изучаем основные способы их решения.

На ЕГЭ тригонометрические уравнения представлены во второй части, то есть в заданиях с развернутым ответом.

В 2010 – 2014 годах тригонометрические уравнения или их системы составляли задание С1, с 2015 года это -  задание №13 профильного уровня. Значит для успешной сдачи экзамена, необходимо владеть способами решения тригонометрических уравнений.

В этой работе можно познакомиться с методами решения тригонометрических уравнений, которые не представлены в нашем школьном учебнике, такие как метод введения вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка, метод оценки левой и правой частей уравнения.

Кроме этого, приведены примеры объединения серий корней и решения уравнений из реальных КИМов с отбором корней.

Моя методичка адресована, прежде всего, выпускникам, готовящимся успешно сдать экзамен, но она будет полезна всем, кто  изучает математику.

С уважением, автор-составитель.

Основная часть

I. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Уравнения вида sin x = a и cos x = a, где |а| ≤ 1, а также

 tg x = a и ctg x = a, где аϵR называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Формулы, с помощью которых находят решение этих тригонометрических уравнений:

sin x = a, x = (-1)^k ∙arcsin a + πk =

cos x = a, x = ± arccos a + 2πn, n є Z

tg x = a, x = arctg a + πn, n є Z

ctg x = a, x = arcctg a + πn, n є Z.

Частные случаи.

Частные случаи полезно запомнить, так как они дают более простые формулы, и это удобно в отборе корней уравнения.

В частных случаях при а = 0, а = ± 1, получаем формулы:

         sin x = 0, x = πn, n є Z

         sin x = 1,

         sin x = -1,

         cos x = 0,

         cos x = 1, x = 2πn, n є Z

         cos x = -1, x = π + 2πn, n є Z.

Формулы корней уравнений sin² x = a², cos² x = a²,  где 0 ≤ а ≤ 1, можно объединить в серии x = ± arcsin a + πn, n є Z  и

x = ± arccos a + πn, n є Z соответственно.     

 II. Методы решения тригонометрических уравнений. 

Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

1. Метод введения вспомогательного угла (вспомогательного аргумента)

Иногда при решении тригонометрических уравнений бывает полезным заменить выражение  на , где

Тогда уравнение принимает вид: где φ называют вспомогательным аргументом.

Пример. (МПГУ) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения    

Решение:

Если n = 0, то х = π/12 > 0.

Если n = - 1, то х = π/12 – 2/3 π = -7/12 π < 0.

Ответ:

2. Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка)

 Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка) заключается в выражении

sin x, cos x, tg х через

                   (*)

! Надо помнить, что при использовании такой подстановки в отдельной проверке нуждаются значения 

х = π +2πn, n є Z.

Это обусловлено тем фактом, что функция у = tg x не существует для аргумента х = π/2 + πn, n ϵ Z.

Пример. Решим уравнение

Способ I.

Решение:

Перейдем к sin x и cos x, заменив

Вывод формулы, если не помним:

При этом необходимо проверить х = π +2πn, n є Z.

0 – 1 – 1 = 0∙(-2), - 2 = 0 - ложно, поэтому потери корней не произойдет.

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решим первое уравнение системы:

Получаем решение системы, а значит исходного уравнения:

        

Ответ: .

Способ II.

Пример. Решим уравнение

Решение:

Теперь решим это же уравнение, используя рациональную подстановку (*).

Убеждаемся, что не являются решением данного уравнения:

0 + (-1) – 1 = 0 ∙ (-1 – 1);  -2 = 0 – ложно.

Ответ: .

Подстановка (*)  называется рациональной потому, что она приводит тригонометрическое уравнение к рациональному уравнению, тем самым упрощая решение.

Рассмотрим еще один вид подстановки.

Подстановка t = sin x + cos x  (t = sin x - cos x) позволяет решить уравнения вида

f (sin x + cos x; sin x ∙ cos x) = 0.

 Если t = sin x + cos x, то sin 2x = t² – 1 или sin x ∙ cos x =  

Пример. (МФТИ) Решим уравнение sin x + cos x - sin 2x = 0.

Решение:

Заметим, что (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x, поэтому

если sin x + cos x = t, то sin 2x = t² - 1,

и данное уравнение запишется в виде

 t -(t² - 1) = 0, или t² – t –  = 0, откуда

t₁ =, t₂ =

Исходное уравнение сводится к двум уравнениям:

1) sin x + cos x =.

Поделим обе части уравнения на  и воспользуемся методом введения вспомогательного угла:

sin x +cos x = 1;

   sin x cos + cos x sin = 1;

   sin (x + ) = 1 – частный случай;

   x = +2πn, n є Z.                                                                                

2) sin x + cos x =

 Аналогично: sin x +cos x = ;

   sin x cos + cos x sin = ;

   sin (x + ) = ;

   x +  = (-1)^m ∙ arcsin + πm, m є Z;

 . 

Ответ: ; .

Как видим, встречаются уравнения, в которых используются комбинированные методы решения.

         3. Метод оценки левой и правой частей уравнения (или метод ограниченности функций, или метод мажорант).

Решение некоторых тригонометрических уравнений основано на неравенствах, обозначающих множество значений функций синуса и косинуса:

-1 ≤ sin x ≤ 1, -1 ≤ cos x ≤ 1.

Примером уравнения, решаемого методом оценки множества значений левой и правой частей, служит следующий пример уравнения.

Пример. Решим уравнение

Решение:

В левой части уравнения выделим квадрат двучлена, а в правой – преобразуем разность квадратов, получим:

Так как левая часть принимает наименьшее значение, равное 0, а правая – наибольшее значение, также равное 0, то уравнение равносильно системе уравнений 

Решая ее, получим:

Ответ: х = - 3,5.

Пример. Решим уравнение  

Решение:

В силу ограниченности синуса и косинуса  данное уравнение равносильно системе уравнений:

Объединим серии корней:

 

k будет целым, если (n + 1) будет четным, т.е. n +1 = 2m, n = 2m - 1.

Ответ:

Обобщим этот метод.

Если в левой части уравнения функция f(х), а в правой g(х), и Е(f) ∩ Е(g) = а,

то уравнение f(х) = g(х) равносильно системе уравнений

На профильном экзамене ЕГЭ задание 13 состоит из двух частей и формулируется обычно следующим образом:

а) решить уравнение и б) отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Рассмотрим пример из вариантов ЕГЭ.

Пример. (Из реальных КИМ №13) 

а) Решите уравнение     

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  

Решение:

Воспользуемся методом оценки левой и правой части уравнения:

Ответ:

Однако встречаются и такие тригонометрические уравнения, решение которых без дополнительной формулировки требует отбора корней – это тригонометрические уравнения с конечным числом решений.

Рассмотрим такой пример.

Пример. Решим уравнение

Решение:

;

Уравнение равносильно системе:

    

Отбираем корни, принадлежащие промежутку [-4; 4]:

n = 0,   x = 0 ϵ [-4; 4]

n = 1,   x = π ϵ [-4; 4]

n = -1,  x = - π ϵ [-4; 4]        

Ответ: 0;  ±π;  ±4.

Решите самостоятельно уравнения:

1) ;            

2)

3) .

Ответы: 1) 0;    2) корней нет;  3) .

В заключение хочу сказать, что для качественной подготовки к экзамену, надо решать уравнения и решать самостоятельно. Желаю всем успеха!

Список используемых источников:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы:

учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электронном носителе /[А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под. ред. А.Н. Колмогорова. – 20-е изд. - М.: Просвещение, 2011.

2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

3. Сычева Г.В. «Повторяем тригонометрию». - «Математика для школьников»: научно - практический журнал. М.: «Школьная Пресса», №1, 2009г.

4. Садовничий Ю.А. «Решаем конкурсные задачи»: Лекторий для абитуриента. – «Математика», №7, 2008г.

5. 3000 конкурсных задач по математике. Сост. Куланин Е.Д. и др. – М.: Рольф, 1997.

Интернет-ресурсы

1. http://www.school.mos.ru - сайт в помощь школьнику найти необходимую информацию для подготовки к урокам, материал для рефератов и т.д.;

2. www: решу ЕГЭ - сайт в помощь выпускнику подготовиться к качественной сдаче ЕГЭ.

Краткое описание документа:

В работе рассматриваются некоторые методы решения тригонометрических уравнений, такие как метод введения вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка, метод оценки левой и правой частей уравнения.

Приведены примеры объединения серий корней уравнения.

Брошюра-методичка адресована выпускникам, готовящимся успешно сдать ЕГЭ.

Примечание: При просмотре часть формул скрыта, но при скачивании брошюры все формулы открываются.