Буквы алфавита в графиках

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Арабосинская основная общеобразовательная школа»

Урмарского района Чувашской Республики

Конкурс «Чувашская Республика в математических задачах»

Номинация:

«Столица Чувашской Республики –

город Чебоксары в математических задачах»

Выполнили:

Иванов Никита и Кузьмин Дмитрий,  ученики 9 класса                    МБОУ «Арабосинская ООШ»

Урмарского района ЧР

Руководитель:

Кузьмина Юлия Николаевна, учитель математики МБОУ «Арабосинская ООШ» Урмарского района ЧР

Арабоси 2016

Содержание

I.                    Введение

II.                 Основная часть.

2.1  Обзор литературы

2.2   Преобразование графиков функций

2.3    Способы задания функций и уравнений

III.              Рисование  букв русского алфавита с помощью графиков функций  и уравнений на координатной плоскости.

3.1  Рисунок букв, процесс рисования

3.2  Этапы рисования

IV.              Выводы и заключение

V.                Список использованной литературы

Приложения

I.  Введение

  Обоснование выбора:

Школьная математика – это не наука, а предмет, основная цель которого – изучение реальных ситуаций с помощью математических моделей. Математика изучает реальные ситуации, а первичная математическая модель – функция, поэтому функции, их свойства и графики, как в явной, так и в неявной форме составляют стержень школьного курса математики. 

Мы рисуем карандашами, красками, пальцами; с помощью мазков и  линий. Эти линии можно задавать и функциями. Хотелось бы получить что-то более интересное и содержательное, например –буквы Ч и Ш, заглавные буквы столицы нашей республики города  Чебоксары, на русском и на чувашском языках.

И мы задумались:

      «А нельзя ли с помощью графиков нарисовать буквы русского алфавита на координатной плоскости?»

Задача.Нарисовать графиками функций  и уравнений на координатной плоскости буквы Ч и Ш, заглавные буквы столицы нашей республики города  Чебоксары, на русском и на чувашском языках. Рассмотреть всевозможные  случаи.

Цель нашей работы: На координатной плоскости написать буквы Ч и Ш, заглавные буквы столицы нашей республики, графиками функций и уравнений, используя разные графики.

II. Основная часть

В своей работе мы провели большую работу с литературой, проводили опрос среди школьников. Беседовали с учителем технологии. Рассматривали  разновидности шрифтов (приложения 1,2, 3), прежде чем выбрать шрифт для работы. Посматривали интернет – сайты.

Мы строили  довольно много графиков функций и уравнений. Но часто возникал вопрос, как составить формулы функций и уравнения, если они заданы графически?

Решение задачи состояла из двух частей и строилась следующим образом.

Первоначально нами были опрошены учащиеся 8-9 классов нашей школы.

Вопросы:

1. Можно ли на координатной плоскости нарисовать буквы русского алфавита с помощью графиков?

2. Графики каких функций  и уравнений необходимы для рисования букв русского алфавита?

3. Сколькими способами можно нарисовать одну и ту же букву с помощью графиков?

Поэтому мы решили разобраться, с помощью графиков каких функций и уравнений можно нарисовать буквыШ и Ч?

2.1 Обзор литературы

Выполняя данную работу мы, в основном, пользовались учебниками и интернет – ресурсами.  Основную часть материала для своей работы мы брали из учебников «Алгебра» для 7, 8, 9 классов под редакциейТеляковского. Простейшие функции и их графики мы начали изучать ещё в7 классе. Тогда же подробно изучили линейную  функцию и её график  и познакомились с параболой вида у = х².

        В 8 классебыли построены графики и изучены свойства следующих функций:  y = ,  y = |x|, y = . Способы преобразований графиков функций так же я взяла из учебника  алгебры  для 8 класса.

  В 9 классе мы обобщаем понятие «Функции», вводим понятие «Числовой функции» и построили графики функций: y = xⁿ, y = x^-n, y =.

        Итак, с помощью учебника мы составили обобщающие таблицы: «Таблица простейших функций и их графиков» и  «Таблица основных преобразований графиков функций».

Для изучения исторического материала мы использовали Интернет – ресурсы. С их помощью мы смогли проследить этапы формирования развития понятия «Функция».

Таблица простейших функций и их графиков. (приложение )

https://yandex.ru/images/search?img_url=http%3A%2F%2Fuch.znate.ru

 Уравнение окружности.

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но мы  использовали эту кривую в своей работе. Уравнение окружности радиуса  R с центром в точке А( х₀ ,  у ₀ ) имеет вид:   ( х – х₀ ) ²  + ( у – у ₀ ) ² = R ² . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координатО(0;0) имеет вид  х²  + у² = R ².

2.2Преобразование графиков функций

Если задан график  функции у= f(x), то графики функций у=f(x + n), у= f(x ) + m и  у= f(x + n) + m можно построить преобразованием этого графика.Это мы проходили в 9 классе.

В чистом виде основные элементарные функции встречаются не  часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных при помощи различных преобразований. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).

Таблица основных преобразований графиков функций[3]

У=f(x + n)	n> 0	n< 0
	Сдвиг влево вдоль оси ОХ на n единиц	Сдвиг вправо вдоль оси ОХ на n единиц
У=f(x ) + m	m > 0	m < 0
	Сдвиг вверх вдоль оси ОУ на m единиц	Сдвиг вниз вдоль оси ОУ на m единиц
У=f(x + n) + m	n>0, m> 0	n<0, m< 0
	Сдвиг влево вдоль оси ОХ на nединиц, затем сдвиг вверх вдоль оси ОУ на m единиц	Сдвиг вправо вдоль оси ОХ на n единиц, затем сдвиг вниз вдоль оси ОУ на m единиц
	n>0, m< 0	n<0, m> 0
	Сдвиг влево вдоль оси ОХ на nединиц, затем сдвиг вниз вдоль оси ОУ на m единиц	Сдвиг вправо вдоль оси ОХ на nединиц, затем сдвиг вверх вдоль оси ОУ на m единиц.

Например:

-

2.3 Способы задания функций и уравнений.

Существует несколько способов задания функций:

v  аналитический,

v  словесный,

v  графический,

v  табличный,

v  с  помощью графов.

При решении данной задачи   мы пользовались графическим способом.

Графический способ.

        Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость.   

III. Рисование  букв с помощью графиков функций  и уравнений на координатной плоскости.

3.1 Рисунок букв, процесс рисования.

Исходными буквами при рисовании алфавита служат буквы Н и О. На основе этих буквенных символов можно реконструировать весь шрифтовой стиль.Модульная сетка облегчает построение рисунка каждой буквы, например нахождение ее ширины и взаимосвязь отдельных элементов. Ширина прописных букв Ж, М, Щ, Ш, Ю обычно составляет полуторную ширину узких букв.

http://painter-pro.ru/index.php/ru/shrifti/shriftiruss4.html

Рассмотрели принципы образования графем русского алфавита. Все буквенные символы алфавита можно разделить на пять наиболее характерных групп:

·         группа 1: буквы, состоящие из вертикальных и горизонтальных линий (Н, Г, Е, П, Т, Ц, Щ, Ш);

·         группа 2: буквы, состоящие из вертикальных и наклонных линий (Л, Д, М, И);

·         группа 3: буквы, состоящие из наклонных линий (А, У, X);

·                группа 4: буквы, состоящие из округлых линий (О, С, Э, 3);

·                группа 5: буквы, состоящие из вертикальных, горизонтальных линий в сочетании с округлыми элементами (Ж, Б, В, К, Р, Ф, Ч, Ы, Ь, Ъ, Ю, Я).

 3.2  Этапы рисования.

1. Выберем размер букв 4*5, т.е. на оси ОХ – 4 единицы, на оси ОУ – 5 единиц.

2. На координатной плоскости создаём изображения букв Ч и Ш, состоящих из линий.

3.  Каждому отрезку поставим в соответствие линейную функцию, округлой линии – уравнение окружности, параболы, гиперболы, кубической параболы и область задания в зависимости от расположения линий на координатной плоскости.

Построение буквы Ш.

Так как для написания буквы Ш используются      3 вертикальных отрезка и один горизонтальный отрезок, то эту букву можно написать на координатной плоскости только одним способом.

 

Х = 0,

Х = 4,  у Є [0; 5];

Х = 2,  у Є [0; 4];

У = 0,  х Є [0; 4].

Построение буквы Ч.

Для написания буквы Ч используются два вертикальных отрезка и округлая линия. Для рисования округлой линии можно использовать часть окружности,  или часть параболы, или часть кубической параболы,  или часть гиперболы. Или часть графика функции у = √х.

1 способ. С помощью графика линейной функции на отрезке и графика уравнения окружности на отрезке.

х = 0,  у Є [3; 5]; 

(х - 1)²+(у - 3)²= 1,  у Є [2; 3],   х Є [0; 1]; 

у = 2,  х Є [1; 4]; 

х = 4, у Є [0; 5]. 

2 способ. С помощью графика линейной функции и графика квадратичной функции.

х = 0,  у Є [3; 5]; 

у = (х – 1)²+2,  х Є [0; 1] ;

у = 2,  х Є [1; 4]; 

х = 4, у Є [0; 5]. 

3 способ. С помощью графика линейной функции и графика функции у= х³.

х = 0,  у Є [3; 5]; 

у = - (х-1)³+2,  х Є [0; 1] ;

у = 2,  х Є [1; 4]; 

х = 4, у Є [0; 5]. 

4 способ. С помощью графика линейной функции и графика обратной пропорциональности.

х = 0,  у Є [3; 5]; 

у =2/(х+1) +1,  х Є [0; 1] ;

у = 2,  х Є [1; 4]; 

х = 4, у Є [0; 5]. 

5 способ. С помощью графика линейной функции и графика функции у = √х 

х = 0,  у Є [3; 5]; 

у = -√х  +3 ,  х Є [0; 1] ;

у = 2,  х Є [1; 4]; 

х = 4, у Є [0; 5]. 

IV. Вывод и заключение.

Вывод

Мы хотели показать, что буквы Ш и Ч, заглавные буквы нашей столицы можно нарисовать на координатной плоскости графиками функций и уравнений. Если букву Ш можно нарисовать только одним способом, то букву Ч – несколькими способами. Более точный способ – это применение графика линейной функции и графика уравнения окружности.

Заключение.

Работу, которую мы вам представили можно использовать и на уроках, при построении графиков  функций, как в 7 классе, так и в других классах, во внеклассной работе. Считаем, что  наша работа будет полезна  ученикам, сдающим и ГИА и ЕГЭ, а так же желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

Мы продолжим работу по рисованию букв чувашского алфавита графиками функций и уравнений Приложение7.

Подводя итог, можно с уверенностью сказать, что если к любому делу относиться творчески, с интересом, то даже такая сложная наука, как математика становиться более понятной, доступной и интересной, что очень важно.

И не прав тот, кто считает математику скучной и сухой наукой.

V. Список использованной литературы.

1.  Алгебра: Учебники  для 7, 8, 9 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2014.

2. Волович М.Б.  «Справочник школьника 5-11 класс»

3.Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.

4. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Задачи по элементарной математике. 1996.

http://painter-pro.ru/index.php/ru/shrifti/shriftiruss4.html

http://rcio.pnzgu.ru/personal/99/1/2/feedback.htm

http://festival.1september.ru/articles/211300/

http://www.claw.ru/a-exact/21581.htm

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4Таблица элементарных функций

Приложение 6

Приложение 5

Приложение 7