Cgjcj,s ljgjkybntkmys[ gjcnhjtybq ghb htitybb utjvtnhbxtcrb[ pflfx

Способ дополнительных построений

при решении геометрических задач

г.Майкоп

2016г.

Введение.

В решении задачи широко используется чертеж. И когда мы знакомились с геометричсекими понятиями, и когда изучали свойства геометрических фигур,и когда доказывали теоремы и решали задачи всегда выполняли различные чертежи.

С одной стороны , чертеж - средство наглядности, с другой- опора в рассуждениях, источник новых способов решения, справедливость которых приходится доказывать логическим путем.

В геометрии я столкнулась с целым классом задач ,решение которых требует преобразования чертежа и этот вопрос меня очень заинтересовал.Особая роль в решении этих задач отводится дополнительным построениям.

При решении задач с помощью дополнительных построений, необходимо преобразовывать чертеж путем проведения новых линий, осуществлять повторный анализ уже новой геометрической фигуры.В некоторых задачах применение дополнительных построений делает решение задач устным.Шар

Прочитав и изучив статьи Шарыгина И.Ф. «Нужна ли школе 21 века Геометрия?»,Генкина Г.З. «Три подхода к решению некоторых задач», « Учимся делать дополнительные построения» в научно-популярном журнале «Квант», я начала подбирать задачи.

Цель работы: Показать как с помощью дополнительных построений можно быстро и четко решать геометрические задачи.

В данную работу включены наиболее заинтересовавшие меня задачи.Есть задачи на вычисление, на доказательство, на построение.

Способ решения задачи на дополнительное построение показался мне интересным для рассмотрения так как зачастую приводит к неожиданному и простому решению.

2

Глава I.

Основные задачи на дополнительные построения.

Метод дополнительных построений заключается в том, что чертёж и задача, на котором трудно заметить связь между данными величинами и величинами, которые требуется найти, дополняется новыми элементами, после чего эти связи становятся очевидными.

·         Если в треугольнике задана медиана, то его можно достроить до параллелограмма, где основание медианы это точка пересечения диагоналей.

·         Если в треугольнике проведен отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной, то через основание отрезка проводим прямую параллельную стороне треугольника.

·         Если в треугольнике задана медиана и отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной, то через основание медианы проводим прямую, параллельную данному отрезку.

Задача 2.

В треугольнике АВС высота АМ равна медиане BN. Найти < NBC.

Дано: Δ АВС , АМ = BN. Найти: < NBC

Решение:

Проведём NK ‖ AM

AN = NC, AM ‖ NK, тогда по теореме Фалеса МК = КС.

NK – средняя линия Δ АМС,

NK= АМ

ΔBNK – прямоугольный

NK= АМ = BN

Катет, лежащий против угла в 30 ⁰ равен половине гипотенузы

< NBC = 30⁰

Ответ: 30⁰

Задача 3.

Доказать, что если диагонали трапеции равны, то она равнобокая.

Дано: АBСD – трапеция , BD = AC . Доказать: АВ = СD

Доказательство:

BD ‖ CM, DC= DM

<BDA= <CMA - соответственные углы при параллельных прямых.

BD = CM, BD = AC, тогда АС = СМ,

Δ АСМ – равнобедренный,

< САМ = < СМА

ΔABD = Δ DCA(II признак равенства треугольников), тогда AB = CD,

ABCD – равнобокая трапеция.

Задача 4.

Дан треугольник АВС. Точка N принадлежит АС, точка М прнинадлежит ВС.Известно, что AN : NC = 1: 5, BM :MC = 1:2. AM пересекает BN в точке Q. Определить BQ : QN.

Решение.

Проведем ВF ǁ AC, и отрезок АМ продолжим до пересечения с новой прямой. Тогда ΔAQN подобен ΔFQB ( по двум углам вертикальные и накрест лежащие).

Получили, что BQ : QN =AN :BF.

Так как ΔАМС подобен ΔFMB (по двум углам ), тоАС : BF = MC :BM .

Получили : 6 : BF = 2 : 1 , BQ :QN = 1: 3

Ответ: 1:3.

Заключение.

Рассмотрев решение задач убедились в том, что в геометрии существуют задачи к которым традиционные методы решения не подходят или дают сложные и громоздкие решения.

При решении задач такого вида помогает введение в чертеж дополнительных линий или проведение дополнительных построений и решение таких задач становится более рациональным.

Решение геометрических задач способом дополнительных построений оказывает положительное влияние не только на развитие умения преобразовывать чертеж, но и на развитие умения читать чертеж , т.е. более уверенно работать с чертежом.

Способ дополнительного построения при решении геометрических задач ,на мой взгляд, надо применять уже при решении простейших задач в 7 классе.

Способ решения задач на дополнительное построение показался мне интересным для рассмотрения, помогает увидеть дополнительные параметры, которых нет в условии, приводящие к наглядному определению недостающих данных, необходимых для получения ответа и зачастую приводит решение планиметрической задачи к наглядному, неожиданному и простому решению, а главное, красивому. Ведь математика - это не просто цифры и формулы, это еще и гармония и красота.