Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Число е. Второй замечательный предел
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Число е. Второй замечательный предел

библиотека
материалов

Число е. Второй замечательный предел


Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ


Рассмотрим последовательность hello_html_m3ba0698a.gif (1)

Доказать: hello_html_403e1578.gif – второй замечательный предел

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел, если последовательность:

  1. монотонная;

  2. ограниченная.

Итак, сначала докажем монотонность последовательности (1).

Монотонность: Нужно сравнить hello_html_m63f8fb7a.gif и hello_html_m24e108f5.gif.

hello_html_m66c426ba.gif; Для этого, рассмотрим последовательность из hello_html_m2d3d5c80.gif чисел:

hello_html_m273e2b52.gif. В силу неравенства Коши имеем:

hello_html_m17cf3f68.gif; Так как, hello_html_7b100648.gif равенство не выполняется.

hello_html_m568d0a5b.gifhello_html_m15489e4b.gif;

Возведем обе части последнего неравенства в hello_html_367f7ff8.gifю степень.

hello_html_dcd7955.gif. Отсюда следует, что последовательность (1) монотонно возрастающая.

Теперь докажем, что (1) ограничена.

ограниченность: докажем,что hello_html_m4a322dcb.gif.

Очевидно, имеем hello_html_4768609e.gif.

hello_html_51975e33.gif;

hello_html_63db3bd0.gif;

hello_html_1c6858b5.gif;

hello_html_m23879bb0.gif;

Итак, получили hello_html_m4a322dcb.gif, значит последовательность (1) ограничена.

Так как, (1) монотонна и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Это число обозначили буквой е. Число hello_html_6a992700.gif.

Следовательно, hello_html_403e1578.gif.


Примеры:

Вычислим пределы:

1.hello_html_3db9223f.gif;

2.hello_html_m745180f9.gif

hello_html_m55a43637.gif

hello_html_4a5c40fc.gif;

hello_html_m7969086f.gif


Задания для самостоятельного выполнения


Вычислите пределы:

1.hello_html_m1fd0a445.gif

8. hello_html_m72dcd0eb.gif

2. hello_html_e842888.gif

9. hello_html_259972a5.gif

3. hello_html_15995484.gif

10. hello_html_m78346e16.gif

4. hello_html_m2e334c94.gif

11. hello_html_mf4e1269.gif

5. hello_html_1d446ea.gif

12. hello_html_m78ca9284.gif

6. hello_html_m51546af3.gif

13. hello_html_m65f6966e.gif

7. hello_html_70fffd9.gif

14. hello_html_47ff8c90.gif






3


Краткое описание документа:

      Описание. 

      Данная работа на тему "Число е. Второй замечательный предел" предназначена для учащихся специализированных школ с углубленным изучением математики и учителям, для использования в качестве раздаточного материала. 

      Приводится доказательство второго замечательного предела на основании теоремы Вейерштрасса с использованием неравенства Коши, оцениванием суммы и формула суммы n первых членов геометрической прогрессии. Приведены примеры решения задач с использованием второго замечательного предела, также предлагается задания для самостоятельного выполнения с ответами. 

Автор
Дата добавления 29.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров525
Номер материала 347705
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх