Число е. Второй замечательный предел
Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ
Рассмотрим последовательность 
(1)
Доказать: 
– второй замечательный
предел
Доказательство:
По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел, если последовательность:
1. монотонная;
2. ограниченная.
Итак, сначала докажем монотонность последовательности (1).
Монотонность: Нужно сравнить 
и 
.
; Для этого, рассмотрим
последовательность из 
чисел:
. В силу неравенства Коши
имеем:
; Так как, 
равенство
не выполняется.
⇔
;
Возведем обе части последнего неравенства в 
ю степень.
. Отсюда следует, что
последовательность (1) монотонно возрастающая.
Теперь докажем, что (1) ограничена.
ограниченность: докажем,что 
.
Очевидно, имеем 
.
;
;
;
;
Итак, получили , значит последовательность (1)
ограничена.
Так как, (1) монотонна и ограничена, то по
теореме Вейерштрасса она имеет предел. Это число обозначили буквой е. Число
.
Следовательно, .
Примеры:
Вычислим пределы:
1.
;
2.
;
Задания для самостоятельного выполнения
|
Вычислите пределы: |
|
|
1. |
8. |
|
2. |
9. |
|
3. |
10. |
|
4. |
11. |
|
5. |
12. |
|
6. |
13. |
|
7. |
14. |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Описание.
Данная работа на тему "Число е. Второй замечательный предел" предназначена для учащихся специализированных школ с углубленным изучением математики и учителям, для использования в качестве раздаточного материала.
Приводится доказательство второго замечательного предела на основании теоремы Вейерштрасса с использованием неравенства Коши, оцениванием суммы и формула суммы n первых членов геометрической прогрессии. Приведены примеры решения задач с использованием второго замечательного предела, также предлагается задания для самостоятельного выполнения с ответами.
6 661 833 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Шинасилова Сауле Сыздыковна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.