391606
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Число е. Второй замечательный предел

Число е. Второй замечательный предел

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Число е. Второй замечательный предел


Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ


Рассмотрим последовательность hello_html_m3ba0698a.gif (1)

Доказать: hello_html_403e1578.gif – второй замечательный предел

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел, если последовательность:

  1. монотонная;

  2. ограниченная.

Итак, сначала докажем монотонность последовательности (1).

Монотонность: Нужно сравнить hello_html_m63f8fb7a.gif и hello_html_m24e108f5.gif.

hello_html_m66c426ba.gif; Для этого, рассмотрим последовательность из hello_html_m2d3d5c80.gif чисел:

hello_html_m273e2b52.gif. В силу неравенства Коши имеем:

hello_html_m17cf3f68.gif; Так как, hello_html_7b100648.gif равенство не выполняется.

hello_html_m568d0a5b.gifhello_html_m15489e4b.gif;

Возведем обе части последнего неравенства в hello_html_367f7ff8.gifю степень.

hello_html_dcd7955.gif. Отсюда следует, что последовательность (1) монотонно возрастающая.

Теперь докажем, что (1) ограничена.

ограниченность: докажем,что hello_html_m4a322dcb.gif.

Очевидно, имеем hello_html_4768609e.gif.

hello_html_51975e33.gif;

hello_html_63db3bd0.gif;

hello_html_1c6858b5.gif;

hello_html_m23879bb0.gif;

Итак, получили hello_html_m4a322dcb.gif, значит последовательность (1) ограничена.

Так как, (1) монотонна и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Это число обозначили буквой е. Число hello_html_6a992700.gif.

Следовательно, hello_html_403e1578.gif.


Примеры:

Вычислим пределы:

1.hello_html_3db9223f.gif;

2.hello_html_m745180f9.gif

hello_html_m55a43637.gif

hello_html_4a5c40fc.gif;

hello_html_m7969086f.gif


Задания для самостоятельного выполнения


Вычислите пределы:

1.hello_html_m1fd0a445.gif

8. hello_html_m72dcd0eb.gif

2. hello_html_e842888.gif

9. hello_html_259972a5.gif

3. hello_html_15995484.gif

10. hello_html_m78346e16.gif

4. hello_html_m2e334c94.gif

11. hello_html_mf4e1269.gif

5. hello_html_1d446ea.gif

12. hello_html_m78ca9284.gif

6. hello_html_m51546af3.gif

13. hello_html_m65f6966e.gif

7. hello_html_70fffd9.gif

14. hello_html_47ff8c90.gif






3


Краткое описание документа:

      Описание. 

      Данная работа на тему "Число е. Второй замечательный предел" предназначена для учащихся специализированных школ с углубленным изучением математики и учителям, для использования в качестве раздаточного материала. 

      Приводится доказательство второго замечательного предела на основании теоремы Вейерштрасса с использованием неравенства Коши, оцениванием суммы и формула суммы n первых членов геометрической прогрессии. Приведены примеры решения задач с использованием второго замечательного предела, также предлагается задания для самостоятельного выполнения с ответами. 

Общая информация

Номер материала: 347705

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.