Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Цикл уроков по математике на тему: "Правильные многоугольники" (9класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Цикл уроков по математике на тему: "Правильные многоугольники" (9класс)

Выбранный для просмотра документ В мире правильных многоугольников.pptx

библиотека
материалов
Вопросы по теме: Радианная мера Правильный многоугольник: Квадрат, треугольни...
2. Объединиться в 3 группы: «Квадрат» Правильный треугольник Правильный шести...
Многоугольники Неправильные Правильные Мир многоугольников разнообразен. Но и...
Календарь событий Участие в состязании, защита мини-проектов Участие в практи...
Ведро в колодце поднимают спомощью вала, радиус которого 16 см. На сколько по...
Правильные многоугольники Правильным называется многоугольник, у которого все...
Центр и центральный угол правильного многоугольника Центральным углом правиль...
Формулы www.themegallery.com
Какие величины можно определить по этим формулам? www.themegallery.com
Правильные многоугольники в жизни В архитектуре, в быту, в технике… www.theme...
Правильные многоугольники вокруг нас Симметричность правильных многоугольнико...
Спасибо за внимание! Желаю удачи ! L/O/G/O www.themegallery.com
14 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Вопросы по теме: Радианная мера Правильный многоугольник: Квадрат, треугольни
Описание слайда:

Вопросы по теме: Радианная мера Правильный многоугольник: Квадрат, треугольник, шестиугольник Построения - Чему равен внутренний угол ? - Чему равен внешний угол? - Чему равен центральный угол? - Какое число называют числом π, как его получили? - Что называют 1радианом? - Радианная мера окружности? - Частные формулы радиусов вписанной окружности. - Частные формулы радиусов описанной окружности. Какие правильные многоугольники можно построить спомощью циркуля и линейки? Как? - Формула радиуса вписанной окружности. - Формула радиуса описанной окружности. - Формулы длины окружности - Формулы длины дуги. - Формулы перехода от радианной меры к градусной и наоборот -Свойства фигур www.themegallery.com

№ слайда 2 2. Объединиться в 3 группы: «Квадрат» Правильный треугольник Правильный шести
Описание слайда:

2. Объединиться в 3 группы: «Квадрат» Правильный треугольник Правильный шестиугольник 5. Участвовать в защите мини-проекта и состязании между группами. 4. Участвовать в исследовательской, практической работе группы на уроках и вне уроков. 3. Каждой группе усиленно изучить свойства соответствующей фигуры и создать презентацию 1. Ознакомиться на уроках, с помощью учительской презентации и других источников с теорией по теме Этапы и задачи учеников при работе над мини-проектом Этап 2 Этап 3 Этап 4 Этап 5 Этап 1 www.themegallery.com

№ слайда 3 Многоугольники Неправильные Правильные Мир многоугольников разнообразен. Но и
Описание слайда:

Многоугольники Неправильные Правильные Мир многоугольников разнообразен. Но их четко можно разделить на правильные и неправильные. Многоугольники www.themegallery.com

№ слайда 4 Календарь событий Участие в состязании, защита мини-проектов Участие в практи
Описание слайда:

Календарь событий Участие в состязании, защита мини-проектов Участие в практикумах Изучение формул, решение практических задач. Подготовка к состязанию. Подбор информации, создание презентации Изучение теории На изучение темы и участие в проекте отводится 3 недели. 21день Третья неделя Третья неделя Вторая и третья неделя Первая неделя www.themegallery.com

№ слайда 5 Ведро в колодце поднимают спомощью вала, радиус которого 16 см. На сколько по
Описание слайда:

Ведро в колодце поднимают спомощью вала, радиус которого 16 см. На сколько поднимется ведро за 6 полных оборотов вала? Сторона правильного многоугольника равна 6, а радиус описанной окружности 5. Найти радиус вписанной окружности. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 4√3 см. Найти сторону шестиугольника. Подборка задач Подборка содержит задачи 2-х уровней Сторона правильного треугольника равна 6 см. Найти радиусы его вписанной и описанной окружностей Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 8 см.Найти радиус окружности, описанной около него. Длина окружности радиусом 12 см равна длине дуги другой окружности, содержа- щей 135°.Найти радиус этой окружности. Сторона квадрата 6 см. Найти радиусы его вписанной и описанной окружностей Радиус окружности увеличили в 4 раза. Как при этом изменилась длина окружности? Диаметр круга равен √5 см. Можно ли из этого круга вырезать правильный шестиугольник со стороной 3 см? Радиус окружности равен 1. Найти длину дуги окружности, соответствующей углу в 6 радиан. Постройте правильный 12-угольник, вписанный в окружность. Диаметр колеса автомобиля равен 0,9 м. Найти его скорость,если колесо за одну минуту делает 250 оборотов. Задача 12 Задача11 Задача 10 Задача 9 Задача 8 Задача 7 Задача 6 Задача 5 Задача 4 Задача 3 Задача 2 Задача 1 www.themegallery.com

№ слайда 6 Правильные многоугольники Правильным называется многоугольник, у которого все
Описание слайда:

Правильные многоугольники Правильным называется многоугольник, у которого все углы и стороны равны 8 7 6 10 3 4 5 www.themegallery.com

№ слайда 7 Центр и центральный угол правильного многоугольника Центральным углом правиль
Описание слайда:

Центр и центральный угол правильного многоугольника Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра. Свойства правильного многоугольника. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Сторона an правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой an=2Rsinn180=2Rsinn. Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают www.themegallery.com

№ слайда 8 Формулы www.themegallery.com
Описание слайда:

Формулы www.themegallery.com

№ слайда 9 Какие величины можно определить по этим формулам? www.themegallery.com
Описание слайда:

Какие величины можно определить по этим формулам? www.themegallery.com

№ слайда 10 Правильные многоугольники в жизни В архитектуре, в быту, в технике… www.theme
Описание слайда:

Правильные многоугольники в жизни В архитектуре, в быту, в технике… www.themegallery.com

№ слайда 11 Правильные многоугольники вокруг нас Симметричность правильных многоугольнико
Описание слайда:

Правильные многоугольники вокруг нас Симметричность правильных многоугольников – причина вездесущности этих фигур в жизни. Назад www.themegallery.com

№ слайда 12 Спасибо за внимание! Желаю удачи ! L/O/G/O www.themegallery.com
Описание слайда:

Спасибо за внимание! Желаю удачи ! L/O/G/O www.themegallery.com

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ Иллюстрации к урокам.pptx

библиотека
материалов
 А D B C ? ?
 A B C D E F
 О А a r
 А В С О
 А В С D 12 10 17 ?
 О биссектриса А В М
 А В С m n O
 Многоугольники Выпуклые Невыпуклые
 ?
 m n О
 М N О
 К D
 К D
 К D
 О
 а D
 а-? О R r
 О R r
 О R r H
 с а b 25 20 15
 h S-? С В А a =12 7
31 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  А D B C ? ?
Описание слайда:

А D B C ? ?

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3  A B C D E F
Описание слайда:

A B C D E F

№ слайда 4  О А a r
Описание слайда:

О А a r

№ слайда 5  А В С О
Описание слайда:

А В С О

№ слайда 6  А В С D 12 10 17 ?
Описание слайда:

А В С D 12 10 17 ?

№ слайда 7  О биссектриса А В М
Описание слайда:

О биссектриса А В М

№ слайда 8  А В С m n O
Описание слайда:

А В С m n O

№ слайда 9  Многоугольники Выпуклые Невыпуклые
Описание слайда:

Многоугольники Выпуклые Невыпуклые

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15  ?
Описание слайда:

?

№ слайда 16  m n О
Описание слайда:

m n О

№ слайда 17  М N О
Описание слайда:

М N О

№ слайда 18
Описание слайда:

№ слайда 19  К D
Описание слайда:

К D

№ слайда 20  К D
Описание слайда:

К D

№ слайда 21  К D
Описание слайда:

К D

№ слайда 22  О
Описание слайда:

О

№ слайда 23  а D
Описание слайда:

а D

№ слайда 24  а-? О R r
Описание слайда:

а-? О R r

№ слайда 25  О R r
Описание слайда:

О R r

№ слайда 26
Описание слайда:

№ слайда 27  О R r H
Описание слайда:

О R r H

№ слайда 28
Описание слайда:

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30  с а b 25 20 15
Описание слайда:

с а b 25 20 15

№ слайда 31  h S-? С В А a =12 7
Описание слайда:

h S-? С В А a =12 7

Выбранный для просмотра документ Урок 1. Правильный многоугольник.docx

библиотека
материалов

8


Урок 1. Тема: Правильные многоугольники

Цели урока:

Образовательные:

  • повторить ранее изученный материал о выпуклых многоугольниках, сумме углов выпуклого многоугольника, сумме его внешних углов.

  • познакомить учащихся с понятием и видами правильных многоугольников, с некоторыми их свойствами;

  • научить пользоваться формулой для вычисления угла правильного многоугольника.

Развивающиея: 

  • формировать умение выстраивать логику рассуждений, развивать пространственное воображение, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные:

  • прививать интерес к предмету,

  • формировать умение работать в коллективе,

  • совершенствовать культуру общения.

Ход урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний.

  3. Пояснение нового материала. Показ презентации.

  4. Закрепление.

  5. Получение домашнего задания.

  6. Рефлексия.

  7. Итог урока.

  1. Огранизационный момент.

Пояснить учащимся сроки, цели, задачи и ожидаемые результаты изучения темы «Правильные многоугольники»:

  1. Должны познакомиться с основными понятиями по теме: правильный многоугольник; окружность, описанная около многоугольника; окружность, вписанная в многоугольник; что такое число hello_html_6b2fd1c.gif; что такое круговой сектор, круговой сегмент.

  2. Познакомиться с теоремами об окружностях, описанных около многоугольника и вписанных в многоугольник.

  3. Понять, выучить, уметь выводить и уметь применять формулы.

  4. Научиться решать типовые задачи по теме.

  5. Научиться строить правильные многоугольники.

  6. Разбиться на 3 группы для выполнения практических заданий, создания и защиты проекта.

  7. Защитить мини-проект.

  8. Написать контрольную работу.

  1. Актуализация опорных знаний:

  1. Чем отличаются выпуклые и невыпуклые многоугольники на рисунке.

http://ege-study.ru/wp-content/uploads/2012/08/4ang_00_0.png

  1. Верно ли записана формула суммы углов выпуклого многоугольника?

(n-1)·180° (верно (n-2)·180°).

  1. Чему равна сумма всех внутренних углов выпуклого 6-угольника?

  2. Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника? (360°).



  1. Пояснение нового материала.

  1. Просмотр презентации: «Правильные многоугольники вокруг нас».

  2. Дать определение правильного многоугольника как выпуклого многоугольника, у которого все углы равны и все стороны равны.

  3. Обсудить: Правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. В тетради - рисунки фигур.

  4. Докажите, что любой правильный четырехугольник является квадратом (№1080)

  5. Вывести формулу для вычисления угла правильного n-угольника: hello_html_mf0388a3.gif·180°.

Вывод формулы:

Обозначим сумму всех углов n-угольника hello_html_m2c62843c.gif.

= (n-2)·180°.

С другой стороны ∑=hello_html_695bfd0f.gif·n.

Приравняем правые части формул:

(n-2)•180°= α•n. hello_html_m42027f0e.gif·180°.

  1. Закрепление.

  1. Решаем вместе: № 1081(а, б, д), № 1082 а, г) (устное обсуждение).hello_html_25d07df6.png


1083(в)



Дано:

n-угольник.

hello_html_695bfd0f.gif=135°.

hello_html_77574f7c.gif.

Решение.

Воспользуемся формулой для вычисления угла правильного n-угольника: hello_html_mf0388a3.gif·180°.

Выразим n:

180°(n -2) = α•n;

180°n -360° = α•n;

180°n- α•n = 360°;

n(180°-hello_html_695bfd0f.gif) = 360°;

n = hello_html_52c4a317.gif;

n =hello_html_4243aa15.gif;

n = 8

Ответ: 8.

  1. Объединить учащихся в три группы: «Правильный треугольник», «Правильный шестиугольник», «Квадрат».

  2. Самостоятельная работа в группах.

Задание: Определить, чему равен внутренний угол правильного:

Группа «Треугольник»

  1. Треугольника

  2. 12-угольника

Группа «Квадрат»

  1. Квадрата

  2. 10-угольника

Группа «Шестиугольник»

  1. Шестиугольника

  2. 15-угольника



  1. Задание на дом:

  1. П.109, №1081(в), №1083(а, г).

  2. Распределить обязанности между членами групп при создании мини-проекта.

  1. Рефлексия:

  • С какими понятиями познакомились сегодня на уроке, какую формулу узнали.

  • Верно ли утверждение, что любой правильный многоугольник является выпуклым?

  • Верно ли утверждение что любой выпуклый многоугольник является правильным?

Заполните табличку:

Фамилия, имя__________________ Класс___________

Вопрос

Ответ (да/нет)

1.

Усвоил ли ты, что такое правильный многоугольник?


2.

Понятен ли был вывод формулы для вычисления угла правильного многоугольника?


3.

Понятно ли было решение задач?


4.

Сможешь ли ты справиться с аналогичным домашним заданием?


Таблички сдать учителю.

  1. Итог урока.

Выбранный для просмотра документ Урок 2. Окружность, описанная около правильного многоугольника.Документ Microsoft Word.docx

библиотека
материалов

7


Урок №2. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Цели: Образовательные:

  • повторить ранее изученный материал об описанных выпуклых многоугольниках, центре окружности, описанной около треугольника, многоугольника, условиях при которых окружность можно описать.

  • выполнить педагогическое сопровождение создания гипотезы и доказательства теоремы об окружности, описанной окло правильного многоугольника;

  • формировать навык решения типовых задач.

Развивающиея: 

  • формировать умение выстраивать логику рассуждений, развивать пространственное воображение, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные:

  • прививать интерес к предмету,

  • формировать умение работать в коллективе,

  • совершенствовать культуру общения.



Ход урока:

  1. Проверка домашнего задания и разминка.

  • Какой многоугольник называется правильным?

  • Какие из следующих утверждений верны:

  1. Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны.

  2. Треугольник является правильным, если все его углы равны.

  3. Любой равносторонний треугольник является правильным.

  4. Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным. Ответ обоснуйте.

Проверить, как учащиеся объединились в три группы для дальнейшей работы над мини-проектом. Выполнить взаимопроверку домашнего задания в группах.

  1. Актуализация опорных знаний:

Вопросы учащимся:

  • Какая окружность называется описанной около треугольника?

  • Вспомнить свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Задачи-проблемы:hello_html_7a69e8e.png

  1. Дано:

hello_html_m113b6dc9.gif,

m– серединный перпендикуляр отрезка АВ,

n– серединный перпендикуляр отрезка BC.

Постройте:

Окружность, описанную около hello_html_m113b6dc9.gif.

После решения задачи учащиеся должны ответить на вопросы, сделав выводы:

  • Как построить центр окружности, описанной около треугольника?

  • Сколько окружностей можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой?hello_html_m52762399.png

  1. Дано:

Четырехугольник АВСD,

А=75°,

D=56°.

Найти: В, С.

Ответ: В=124°, С=105°.

После решения задачи учащиеся должны ответить на вопросы, сделав выводы:

  • Какая окружность называется описанной около многоугольника?

  • При каком условии около четырехугольника можно описать окружность?

  1. Пояснение нового материала.

Вопросы-проблемы:

  • Возможно ли около правильного многоугольника описатьт окружность?

  • Как найти центр описанной окружности?

  • Сколько окружностей можно описать?

Ответы должны быть основаны на интуиции. Предполагается получить гипотезы:

  • Окружность построить можно.

  • Центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам правильного многоугольника.

  • Окружность единственная.

Учащиеся выполняют доказательство полученных гипотез при сопровождении учителя.

Дорожная карта доказательства:

  1. Гипотеза: Окружность построить можно и ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам правильного многоугольника.

  2. Построим правильный n-угольник hello_html_m4a8efb22.gif и проведем серединные перпендикуляры его сторон. hello_html_1234e245.png

Согласно гипотезы, точка О – центр окружности, описанной около правильного многоугольника. Докажем это.

  1. Докажем, что hello_html_m78ba0dff.gif и hello_html_m114dfb04.gif равнобедренные и равные (используются факты, что m и n содержат медианы и высоты этих треугольников, стороны hello_html_4c5b5e31.gif = hello_html_4bf9250d.gif и hello_html_m4a51d8ef.gif- общая).

Выводы:

  • hello_html_594cba3d.gif=hello_html_1591fa61.gif =hello_html_39ff6405.gif. Значит точка О- равноудалена от вершин многоугольника , следовательно, является центром описанной окружности.

  • hello_html_m24024753.gif одну окружность, то описанная окружность – единственная.

По результатам доказанной гипотезы можно сформулировать теорему:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.



  1. Применение полученных знаний.

Решаем вместе. №1084 а).

Условие: Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна 60°.

Решение.

Сумма всех центральных углов правильного n-угольника 360°. hello_html_5201ed16.jpg

Если один центральный угол hello_html_695bfd0f.gif, то hello_html_695bfd0f.gif·n = 360°.

Тогда hello_html_443248c0.gif= hello_html_5d0c750d.gif. Вычислим при hello_html_695bfd0f.gif=60°.

n=hello_html_55ee47ef.gif

Ответ: многоугольник имеет 6 сторон.



Задание в группах. Исследовать по рисунку, какими особенностями обладают центры описанных окружностей для правильных треугольника, четырехугольника, шестиугольника.

Рекомендации:

  • Сделайте схематический рисунок фигуры.

  • Подумайте, как быстро найти центр описанной окружности именно в для этой фигуры. Сделайте вывод письменно.

  1. Мониторинг.

Фамилия, имя__________________ Класс___________

Вопрос

Ответ

1.

Оценка за домашнее задание.


2.

Понятен ли был ход рассуждений при доказательстве теоремы?


3.

Понятно ли было решение задач?


4.

Комфортна ли тебе работа в группе?


Таблички сдать учителю.

  1. Задание на дом.

П.110, №1084(б-е), 1085.

7. Итог урока. Собрать карточки мониторинга. Выставить оценки отвечающим.

Выбранный для просмотра документ Урок 3. Окружность,вписанная в правильный многоугольник.docx

библиотека
материалов

6


hello_html_5a339916.gifУрок 3. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Цели:

Образовательные:

  • повторить ранее изученный материал о вписанных выпуклых многоугольниках, центре окружности, вписанной в треугольник, многоугольник, условиях при которых окружность можно вписать в четырехугольник.

  • Сформулировать и выполнить педагогическое сопровождение доказательства теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольника;

  • формировать навык решения типовых задач.

Развивающиея: 

  • формировать умение выстраивать логику рассуждений, развивать пространственное воображение, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные:

  • прививать интерес к предмету,

  • формировать умение работать в коллективе,

  • совершенствовать культуру общения.


Структура:


  1. Повторение материала,изученного на предыдущих уроках. Математический диктант.

  2. Проверка домашнего задания и разминка.

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Мотивация.

  5. Знакомство с новым материалом.

  6. Закрепление.

  7. Рефлексия.

  8. Задание на дом.

  9. Мониторинг.

  10. Итог урока.


Ход урока:

1. Повторение материала, изученного на предыдущих уроках. Математический диктант.

Вопросы:

1 вариант

  1. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, это точка пересечения…

  2. Многоугольник является правильным, если у него равны…

  3. Четырехугольник можно вписать в окружность, если у него…

  4. Угол правильного n-угольника вычисляется по формуле…

  5. Центральный угол 12-угольника равен…

2 вариант

  1. Многоугольник является правильным, если у него равны…

  2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, это точка пересечения…

  3. Центральный угол правильного n-угольника вычисляется по формуле…

  4. Четырехугольник можно вписать в окружность, если у него…

  5. Угол 10-угольника равен…

Выполнить взаимопроверку диктанта при сопровождении учителя.

2. Проверка домашнего задания и разминка.

Два ученика у доски выполняют номера домашнего задания. В это время остальные ученики решают задачи по готовым картинкам.hello_html_m1ea9e833.png

  1. Сколько осей симметрии имеет правильный 8-угольник?

Ответ: 8 осей симметрии.

  1. На рисунке изображен правильный шестиугольник ABCDEF.hello_html_m23d4a498.png

  1. Чему равен уголhello_html_695bfd0f.gif?

  2. Докажите, что АС  CD.

Ответ: hello_html_695bfd0f.gif=60°.

3. Актуализация опорных знаний.hello_html_md3b4060.png

Вопросы:

  1. Что такое касательная к окружности?

  2. Как построить касательную к окружности в точке?

  3. Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник.hello_html_m1d3f1596.png

  4. Где находится центр вписанной окружности? (точка пересечения биссектрис углов многоугольника)

  5. Всегда ли можно четырехугольник вписать в окружность?hello_html_m61ff9a34.png

  6. Найдите незвестную сторону четырехугольника. Ответ: 5.hello_html_1a8d6f68.png

  7. Что такое расстояние от точки до прямой?

  8. Докажите, что биссектриса угла - это ГМТ, равноудаленных от сторон угла.

4. Мотивация. Пояснение целей изучения нового материала. Показ презентации о вписанных многоугольниках вокруг нас.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

5. Знакомство с новым материалом.

Формулировка теоремы


Доказательство:

Пусть hello_html_m4a8efb22.gif – правильный многоугольник.hello_html_6cffff7b.png

О - центр описанной окружности.

Докажем, что это также центр окружности вписанной в данный многоугольник.

  1. Докажем, что hello_html_m78ba0dff.gif и hello_html_m114dfb04.gif равнобедренные и равные (по трем сторонам) Поэтому высоты этих треугольников, проведенные из вершины О также будут равны. Nhello_html_34be49cd.gif = Mhello_html_34be49cd.gif.

Значит O –точка, равноудаленная от сторон многоугольника hello_html_m664cd468.gif Существует окружность с центром в точке О, которая проходит через точки N и M и касается в них сторон многоугольника. О -центр окружности, вписанной в многоугольник.

Доказывается также единственность вписанной окружности.


Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Устно обсудить с учащимися следующие следствия из теоремы:



Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.



Эта точка является центром правильного многоугольника.



6.Закрепление

Блиц-задача: В правильном многоугольнике радиус описанной окружности равен 10м, а радиус вписанной окружности 8м. Найдите сторону правильного многоугольника.hello_html_m6c533afb.png




Ответ: 6 м.




7.Рефлексия.

Вопросы ученикам:

  1. Где находится центр вписанной окружности правильного многоугольника?

  2. В каких точках касается описанная окружность сторон правильного многоугольника?

  3. Что такое центр правильного многоугольника?

8. Задание на дом. П.111, № 1086, № 1129.

9. Мониторинг.

Фамилия, имя__________________ Класс___________

Вопрос

Ответ в баллах (5-макс.)

1.

Усвоил ли ты, материал урока?


2.

Понятен ли был ход рассуждений при доказательстве теоремы?


3.

Понятно ли было решение задач?


4.

Сколько баллов получил по математическому диктанту?


4.

Сможешь ли ты справиться с аналогичным домашним заданием?


  1. Итог урока.

Выбранный для просмотра документ Урок 4. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны, радиуса вписанной и описанной окружностей..docx

библиотека
материалов

Урок 4. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его периметра, стороны, радиусов вписанной и описанной окружности

Цели:

Образовательные: формировать умение выводить и применять формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников, их площадей, периметров средствами методов проблемного обучения.

Развивающие: активизировать познавательную деятельность учащихся через решение практических задач, формировать умение выбирать правильное решение, выстраивать логику рассуждений, излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные: создать условия для организовать совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Структура урока:

  1. Организационный момент. Мотивация.

  2. Разминка и проверка домашнего задания.

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Работа с новым материалом.

  5. Начальное применение и закрепление нового материала.

  6. Мотивация дальнейшей деятельности и задание на дом.

  7. Рефлексия.

  8. Итог урока.

Ход урока:

  1. Разминка и проверка домашнего задания.

Один ученик готовится к ответу по д/з у доски. № 1129.

Остальные учащиеся разбирают устно доказательство №1086.

Вопросы: Сформулировать теорему о об окружности, вписанной в правильный многоугольник;и следствия из нее.

  1. Организационный момент. Мотивация

Пояснить основные цели урока и его место в изучении темы. Для мотивации можно предложить задачу-проблему, решение которой отложить на конец урока:

Можно ли из куска кожи в форме квадрата со стороной 8см вырезать заплатку в виде правильного шестиугольника, со стороной 4 см?

Эту и подобные задачи мы сможем решить, если сумеем определить такие величины как радиусы вписанной и описанной окружности правильного многоугольника, его периметр, сторону, площадь. Сегодняшний урок посвятим выводу формул для нахождения этих величин. Эти формулы дадут нам возможность решать целый ряд задач, связанных с правильными многоугольниками.

hello_html_m229ed22f.png

  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Вспомнить определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Решить задачу по рисунку.

  2. Вспомнить формулу площади треугольника.hello_html_m58c839e4.pnghello_html_m7f008507.png

  3. Найти площадь треугольника.

  4. Найти центральный угол, если угол правильного много угольника 120°.

  5. Найти периметр многоугольника, если сторона равна 1м.

  1. Работа с новым материалом.

Пусть дан правильный n-угольник hello_html_m4a8efb22.gif со сторонойhello_html_102e40b5.gif

Задание : вывести формулы для нахождения периметра Р, площади S, радиуса описанной окружности R, радиуса вписанной окружности r и стороны hello_html_102e40b5.gif правильного n-угольника.

Вывод формул выполняют учащиеся при сопровождении учителя.

Действия учителя

Действия ученика

Выполните рисунок, необходимый для вывода формул.

Ученики выполняют рисунок

hello_html_m6f3a2edd.png

Рассмотрите hello_html_43a783c0.gif.Определите его вид.

hello_html_m7a141461.gif.

Выясните, чему равен hello_html_720cf993.gif, если известно число сторон n.

hello_html_720cf993.gif = hello_html_6f2413ce.gif = hello_html_28aa0b37.gif.

Выразите sinhello_html_720cf993.gif = sinhello_html_m52ce6d3e.gif = sinhello_html_28aa0b37.gif.

sin hello_html_28aa0b37.gif= hello_html_2e4e2f5b.gif=hello_html_64990571.gif

Какую формулу получили?

sin hello_html_28aa0b37.gif= hello_html_64990571.gif (1)

Выведите из формулы (1) формулу для нахождения стороны hello_html_102e40b5.gif=a

hello_html_m403d9432.gifsin hello_html_28aa0b37.gif (2)

Выведите из формулы (1) формулу для нахождения радиуса R описанной окружности.

R= hello_html_m2a73a0d9.gif (3)

Выразите tghello_html_720cf993.gif = tghello_html_m52ce6d3e.gif=tghello_html_28aa0b37.gif.

tg hello_html_28aa0b37.gif= hello_html_m259b9d9a.gif=hello_html_m31d86bf5.gif

Какую формулу получили?

tg hello_html_28aa0b37.gif= hello_html_m31d86bf5.gif (4)

Выведите из формулы (4) формулу для нахождения радиуса r вписанной окружности.

r = hello_html_142e5ec9.gif (5)

Выразите coshello_html_720cf993.gif = coshello_html_m52ce6d3e.gif = coshello_html_28aa0b37.gif.

cos hello_html_28aa0b37.gif= hello_html_m5317e4af.gif=hello_html_21a97c26.gif

Какую формулу получили?

cos hello_html_28aa0b37.gif =hello_html_21a97c26.gif (6)

Выведите из формулы (6) формулу для нахождения радиуса r вписанной окружности.

r = R· cos hello_html_28aa0b37.gif (7)

Выведем формулу для нахождения периметра P правильного n-угольника.

Р= hello_html_m63f8fb7a.gif (8)

Выведем формулу для нахождения площади S правильного n-угольника. На сколько треугольников, равных hello_html_43a783c0.gif можно разбить наш многоугольник?

n треугольников.

Выразите площадь hello_html_43a783c0.gif

hello_html_m71fde511.gif=hello_html_m447b2d4e.gif

Выведите формулу для нахождения площади правильного n-угольника.

S = nhello_html_1c14d446.gifhello_html_m71fde511.gif=hello_html_7b2c0b15.gif = pr (где р – полупериметр многоугольника)

т.е. S = pr (9)

Итак, получили следующие формулы:

Формула периметра P правильного n-угольника.

Р= hello_html_m63f8fb7a.gif

Формула стороны hello_html_102e40b5.gif

hello_html_m403d9432.gifsin hello_html_28aa0b37.gif

Формула радиуса R описанной окружности.

R= hello_html_m2a73a0d9.gif

Формула радиуса r вписанной окружности.

r = hello_html_142e5ec9.gif или r = R· cos hello_html_28aa0b37.gif

Формула площади правильного n-угольника.

S = pr

  1. Начальное применение и закрепление нового материала.

  1. Задание: Найдите периметр Р, радиус описанной окружности R, радиус вписанной окружности r , площадь S, если стороны правильного 9-угольника равна hello_html_199bd38b.gif = 10 см. ( Справочный материал: sin 20° = 0.342; cos 20°= 0.940; tg20° = = 0.364)

Ответ: P =90 см; R = 16,6 см;r = 13,7 см; S = 616,5 hello_html_m5df9e7d6.gif

  1. Решим задачу-проблему, поставленную в начале урока.

Можно ли из куска кожи в форме квадрата со стороной 8см вырезать заплатку в виде правильного шестиугольника, со стороной 4 см?hello_html_4aff388d.png

Решение:

Построим логическую цепочку рассуждений.

  • Если hello_html_m29e0f949.gifсовпадет с hello_html_m6fb31850.gif, то заплатка поместится на поверхности куска кожи. Проверим это.

  • Вычислим радиус вписанной окружности квадрата:

hello_html_m6fb31850.gif= hello_html_142e5ec9.gif =hello_html_6233fc6c.gif(cм)

hello_html_m29e0f949.gif=hello_html_m2a73a0d9.gif=hello_html_m6611cc01.gif

hello_html_3fe5a42.gif

  1. Мотивация дальнейшей деятельности и задание на дом.

Усложним задачу:

Можно ли из куска кожи в форме квадрата со стороной 5 см вырезать заплатку в виде правильного шестиугольника, чтобы закрыть круглую дыру, диаметром 4 см на брючках малыша?

Мотивация. Чтобы решить эту задачу надо сделать еще больше вычислений. Чтобы облегчить вычисления, используют заготовки-формулы для таких правильных многоугольников как квадрат, правильный треугольник и шестиугольник. Выводом и применением этих формул мы займемся на следующем уроке.

Задание на дом: п.112, формулы*, №1090, №1091

  1. Рефлексия.

Заполните табличку:

Фамилия, имя__________________ Класс___________

Вопрос

Ответ в баллах

1.

Интересным ли был для тебя урок?


2.

Понятен ли был вывод формул?


3.

Понятно ли было решение задач?


4.

Какая часть урока была для тебя наиболее сложной?


5.

Оцени свою работу на уроке.


6.

Считаешь ли ты знания, полученные на уроке, полезными для себя?


Таблички сдать учителю.


  1. Подведение итогов урока. Выяснить, достигнуты ли цели урока и выставить оценки ученикам.


Выбранный для просмотра документ Урок 5. Вычисление площадей, радиусов вписанных и описанных окружностей для правильных многоугольников. Практическая.Документ Microsoft Word.docx

библиотека
материалов

8


Урок 5. Применение формул радиусов вписанной и описанной окружностей, площади и периметра правильного многоугольника

Цели урока:

Образовательные:

  • повторить ранее изученный материал о выпуклых многоугольниках, формулы радиусов вписанной и описанной окружностей, площади и периметра правильного многоугольника;

  • вывести соответствующие формулы для правильных треугольника, квадрата и шестиугольника;

  • формировать навык применения этих формул при решении типовых и практических задач.

Развивающие: 

  • формировать навыки коллективной работы, умения действовать в соответствии с данной инструкцией;

  • формировать умение выстраивать логику рассуждений, развивать пространственное воображение, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные:

  • прививать интерес к предмету,

  • формировать умение работать в коллективе, воспитывать настойчивость в достижении поставленных целей,

  • совершенствовать культуру общения.

Тип урока: тренировочный практикум.

Структура урока:

  1. Проверка домашнего задания.

  2. Мотивация деятельности на уроке.

  3. Работа в группах с новым материалом. Вывод формул.

  4. Практическое применение новых знаний.

  5. Рефлексия и мониторинг.

  6. Задание на дом.

  7. Итоги урока.

  1. Проверка домашнего задания.

1090

Дано:

hello_html_m2fffa1ee.gif

hello_html_m203cd26d.gif

Решение:

D=2R =2hello_html_mb08db4c.gif=2·hello_html_m18fd8735.gif= 2·hello_html_m5491ac9b.gif=2hello_html_5909bbae.gif(cм)

Ответ: D = 2hello_html_5909bbae.gifcм.



Правильные решения предложены на доске. Выполнить взаимопроверку д/з. hello_html_m5a014cd6.png







1091

Дано:

hello_html_m47240c8e.gif

hello_html_m203cd26d.gif

Решение:

D=2r =2hello_html_649fdd57.gif=2·hello_html_m7b3ddcf3.gif= 2·hello_html_56700833.gif=6 (cм)

Ответ: D = 6hello_html_11852162.gifcм.



hello_html_3e7d1ad2.png







  1. Найдите ошибки в формулах.

Формула периметра P правильного n-угольника.

Р= hello_html_m63f8fb7a.gif

Формула стороны hello_html_102e40b5.gif

hello_html_57ddc757.gifsin hello_html_28aa0b37.gif

Формула радиуса R описанной окружности.

R= hello_html_37c04193.gif

Формула радиуса r вписанной окружности.

r = hello_html_d05c0c1.gif или r = R· cos hello_html_28aa0b37.gif

Формула площади правильного n-угольника.

S =Pr

Верно:

Формула периметра P правильного n-угольника.

1

Р= hello_html_m63f8fb7a.gif

Формула стороны hello_html_102e40b5.gif

2

hello_html_m403d9432.gifsin hello_html_28aa0b37.gif

Формула радиуса R описанной окружности.

3

R= hello_html_m2a73a0d9.gif

Формула радиуса r вписанной окружности.

4

r = hello_html_142e5ec9.gif или r = R· cos hello_html_28aa0b37.gif

Формула площади S правильного n-угольника.

5

S = pr

Формулы оставить на доске.

  1. Блиц-опрос: чему равен sin 30°, Cos 45°, Tg 45°, sin 60°, cos 60,cos 30,°sin 45°.

  1. Мотивация деятельности на уроке.

Вспомним задачу, поставленную в конце прошлого урока:

Можно ли из куска кожи в форме квадрата со стороной 5 см вырезать заплатку в виде правильного шестиугольника, чтобы закрыть круглую дыру, диаметром 4 см на брючках малыша?

Мотивация. Чтобы решить эту задачу надо сделать много логических переходов, использовать несколько формул, выполнить больше вычислений. Чтобы облегчить вычисления, используют заготовки-формулы для таких правильных многоугольников как квадрат, правильный треугольник и шестиугольник. Выводом и применением этих формул мы займемся на этом уроке.

  1. Работа в группах с новым материалом. Вывод формул.

Класс объединился в раннее определившиеся группы. Каждая группа работает над материалом, соответствующим названию группы: «Правильный треугольник», «Квадрат», «Правильный шестиугольник».

Задание 1. Каждая группа получает инструкцию-руководство к дальнейшей деятельности на уроке.

Действие

1

Выполните рисунок соответствующей группе фигуры.

2.

Укажите на рисунке центр многоугольника О, радиус вписанной r и радиус описанной R окружностей, угол многоугольникаhello_html_695bfd0f.gif, и центральный угол hello_html_7233e67b.gif.

3.

Выведите формулу периметра Р , используя формулу 1.

4.

Выведите формулу радиуса описанной окружности R, используя формулу 3.

5.

Выведите формулу радиуса вписанной окружности r , используя формулу 4 первую.

6.

Выведите формулу радиуса вписанной окружности r , используя формулу 4 вторую.

7.

Выведите формулу площади S, используя формулу 5 и полученные результаты для P и r.

8.

Полученные результаты занесите в соответствующую таблицу.

Число сторон n

Периметр Р

Радиус описанной окружности R

Радиус вписанной окружности r через hello_html_m63f8fb7a.gif

Радиус вписанной окружности r через R

Площадь S

n =







Таблица для заполнения после выполнения задания 1:

Число сторон n

Периметр Р

Радиус описанной окружности R

Радиус вписанной окружности r через hello_html_m63f8fb7a.gif

Радиус вписанной окружности r через R

Площадь S

n =3






n =4






n =6






Представитель от каждой группы заполняет соответствующую строчку.

Верные результаты:

Число сторон n

Периметр Р

Радиус описанной окружности R

Радиус вписанной окружности r через hello_html_m63f8fb7a.gif

Радиус вписанной окружности r через R

Площадь S

n =3

P=3a

R=hello_html_1fe6f14b.gif

r=hello_html_3404118e.gif

r=hello_html_2a6da9e1.gif

S =hello_html_7dcd47fd.gif

n =4

P=4a

R=hello_html_m7c37bb86.gif

r=hello_html_m5eae66ed.gif

r =hello_html_3926d996.gif

S=hello_html_m20f62a32.gif

n =6

P=6a

R=a

r=hello_html_7a9c909f.gif

r=hello_html_m78f6462.gif

S=hello_html_m73c437b3.gif


Задание 2

Заполните табличку, получив результаты для своей фигуры:

Сторона hello_html_m63f8fb7a.gif



Периметр Р

Радиус описанной окружности R

Радиус вписанной окружности r

Площадь S

1

6





2


24




3




12


  1. Практическое применение новых знаний

Вернемся к задаче, предложенной для решения в начале урока:

Можно ли из куска кожи в форме квадрата со стороной 5 см вырезать заплатку в виде правильного шестиугольника, чтобы закрыть круглую дыру, диаметром 4 см на брючках малыша?

Решение:

Выполним математическое моделирование и представим ситуацию в виде рисунка.

Попробуем выстроить логическую цепочку вычисления необходимых величин для решения задачи. Надо получить:hello_html_544d61bb.png

Знаем hello_html_m14e61174.gifhello_html_m6fb31850.gif=hello_html_m29e0f949.gifhello_html_m50ce5968.gif. Вычислимhello_html_3b2e1671.gif,

Если hello_html_21b0d990.gif, то заплатку сделать можно.

Вычислим hello_html_m6fb31850.gif=hello_html_m3d7c1ae8.gif=hello_html_m11fa625d.gif=2,5см.

hello_html_381a47aa.gif=2,5 см.hello_html_m50ce5968.gif=hello_html_md5fb821.gif =hello_html_m576e8f00.gif2,12см

hello_html_3b2e1671.gif =hello_html_m7bc80b4c.gif.

hello_html_m64a55f83.gif

hello_html_m3422fd5c.gif заплатку сделать можно.

  1. Рефлексия и мониторинг.

Сложным ли был урок сегодня?

Довольны ли вы результатами своей работы на уроке?

Листок мониторинга заполняется группой.

Фамилия, имя__________________ Класс___________

Группа_______________________________________

Вопрос

Ответ в баллах

1.

Оценка за выведение формул


2.

Оценка за решение задачи


3.

Оценка за оформление записей в своей тетради


4.

Оценка за помощь другим


5.

Оценка за активность на уроке


6.

Итоговая оценка



Листок мониторинга сдается учителю.

  1. Задание на дом.

№1089, №1094.

Приготовить чертежные инструменты.

Готовить соответствующие слайд ы для презентации мини-проекта.

  1. Подведение итогов урока.

Автор
Дата добавления 05.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров944
Номер материала ДВ-031280
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Комментарии:

3 месяца назад

Огромное спасибо. Здоровья, мира, благополучия, удачи в работе

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх