Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Цикл уроков "Квадратные корни. 8 класс"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Цикл уроков "Квадратные корни. 8 класс"

библиотека
материалов


Урок № 1 § 13


Тема: Функция hello_html_m3b0bf2fd.gif

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: рассмотреть функцию hello_html_m3b0bf2fd.gif и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции hello_html_397c9a69.gif. Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности, аккуратности .

Оборудование: мел, доска, учебник, линейка.


Х о д у р о к а

1. Объяснение нового материала

Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х2. Область её опреде­ления - множество всех чисел.

Составим таблицу значений функции для некоторых зна­чений аргумента х:


х

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

0

1

1,5

2

2,5

3

у

9

6,25

4

2,25

1

0

1

2,25

4

6,25

9


Нанесём точки, координаты которых приведены в этой таблице.

hello_html_me18caca.pnghello_html_667e2664.png









-3 -2 -1 0 1 2 4 -3 -2 -1 0 1 2 4



Если на координатной плоскости нане­сти больше точек с координатами х и у, удовлетворяющих формулу у = х2, то они разместились бы так, как показано на втором рисунке. Если для каждого действительного значе­ния х по формуле у = х2 вычислить соответствующее значе­ние у и обозначить точки с такими координатами на коорди­натной плоскости, то получим непрерывную кривую линию, которую называют параболой. Парабола имеет две бесконечных ветви, плавно сходящиеся в одной точке — вершине параболы.

Для функции у = х2 вершиной параболы является точ­ка (0; 0). То есть график функции у = х2 проходит через начало координат. Поскольку противоположным значениям ар­гумента соответствуют равные значения функции, то её гра­фик симметричен относительно оси у. Построенный график даёт возможность наглядно выра­зить свойства функции у = х2.

Рассматривая график мы можем сказать, что функция у = х2 обладает такими свойствами:

Область определения – любое число.

Область значения - все неотрицательные числа (у ≥ 0)

Промежутки убывания – когда х < 0

Промежутки возрастания – когда х > 0

Для чего надо знать, каков график функции? Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. А сейчас обратите внимание на то, что с помощью графиков функций можно решать уравнения, которые иными способами решить слож­но либо невозможно.

Сколько решений имеет уравнение х2 = 9? Прямая (её урав­нение у = 9) пересекает график функции у = х2 в двух точках (рис. 3).

hello_html_5cfcdede.png



х2 = 9

х = 3 или х = - 3









Их абсциссы х = 3 и х = - 3 — решения уравнения.

Так же можно решить более сложное уравнение х2 – 3х – 4 = 0.

Сначала представим это уравнение в виде х2 = 3х + 4.

hello_html_m2fc760c2.png

Графики функций

у = х2 и у = 3х + 4.

пересекаются в точках с

абсциссами х = -1 и х = 4,

которые в свою очередь являются

решениями данного уравнения.









2. Закрепление изученного материала.

Опираясь на график функции у = х2 , весь класс отвечает на вопросы задания № 586.

Вопрос классу. Как можно определить проходит ли график функции через ту или иную точку? Задание №584

После выполнения задания №587 рассматриваем свойства функции у = - х2

3. Проблемная ситуация:

Сколько решений имеет уравнение х2 =5, и как их найти? Попробуем ответить на этот вопрос самостоятельно, учащиеся приходят к мысли, что корни они могут найти приближенно.

4. Итоги урока.

Что мы узнали нового?

Как называется график функции у = х2 ?

Какими свойствами она обладает?


5. Домашнее задание § 13, № 580, 583, 585, 610(а).



Урок № 2 § 13


Тема: Функция hello_html_m3b0bf2fd.gif

Тип урока: закрепление умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства функции у = х2, уметь строить ее график, находить значение и аргумент функции. Применять знания при решении более сложных уравнений. Развивать вычислительные и графические навыки.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Оборудование: мел, доска с координатной плоскостью, учебник, линейка.

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

а) опрос учащихся по теме «Функции у = х2»

У доски два ученика готовят задания №580 и №610(а).

Следующие два ученика выходят для проведения «Темринга» (математического боя). Каждому дается карточки зеленого и красного цвета, на которых записаны следующие вопросы:

Зеленные карточки

- Как называют линию, которая является графиком функции у = х2?

- При каком значении х функция у = х2 положительна?

- На каком промежутке функция у = х2 убывает?

- Какова область определения функции у = х-1?

- При каком значении аргумента значение у = х2 равно 25; 0,81?

- Найти значение функции у = х-1, если значение аргумента равно 2?

Красная карточка

- Как называют линию, которая является графиком функции у = х-1?

- При каком значении х функция у = х2 отрицательна?

- На каком промежутке функция у = х2 возрастает?

- Какова область определения функции у = х-1?

- При каком значении аргумента значение у = х2 равно 49; 0,16?

- Найти значение функции у = х-1, если значение аргумента равно 5?

В обсуждении ответов участников принимают участие все учащиеся класса, исправляя или дополняя их.

После «Темринга» рассматриваем объяснения первых двух учеников. Они же отвечают на вопросы учащихся класса. Оцениваются как ответы, так и вопросы.

2. Закрепление изученного материала.

590. В скольких точках пересекаются графики функций? Учащиеся отвечают, основываясь на свойства функций.

А для подтверждения начертим графики пункта б) у = х2 и у = 3х.

Самостоятельная работа класса над №591 (кто быстрей найдет значения аргумента при котором значения функций у = х2 и у = -2х+4 равны?).

После этого четыре ученика у доски выполняют задание №601(б, в, г, е) – решить уравнение графическим способом.

3. Проблемная ситуация:

Чем графики функций у = х2 и у = |х| подобны и в чем их отличие? Постройте эти графики в одной системе координат и решите уравнение х2 = |х| . Сколько решений имеет это уравнение?(0,1,-1)

4. Итоги урока.

Оценивание учащихся.

Что нового узнали о функциях?

5. Домашнее задание § 13, № 592, 595, 600.




Урок № 3 § 14


Тема: Квадратные корни

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: ввести понятие квадратного корня. Дать учащимся свойства арифметического квадратного корня. Умение находить квадратные корни из чисел. Развитие устного счета при возведении в квадрат и при извлечении квадратного корня.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и коллективизма.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашних заданий (устный опрос):

592. Как найти координаты точек пересечения? Ответ (2,4).

595. Значение функции у = х2 меньше 9 при -3 < x < 3.

600. В пунктах а) и б) графики не пересекаются, следовательно, уравнения не имеют решения. В пункте в) одно решение.


2. Мотивация. Рациональные числа, с которыми мы ознакомились в предыдущих классах - это лишь малая часть множества чисел. На числовой прямой кроме рациональных ещё больше не рациональных чисел. Без знания этих чисел, без умения выполнять действия с ними невозможно в дальнейшем изучать математику и другие науки.

Рассказ учителя об исторической предпосылке возникновения понятия арифметического квадратного корня. Возникновение понятия «квадратного числа».

Вывешиваем плакат №1.


hello_html_6ee340e5.gif

Древнегреческие математики представляли целые числа и любые величины, соизмеримые и несоизмеримые, геометрически, с помощью отрезков, прямоугольников и других фигур. Отсюда у них появились такие названия, как:

1) «плоские числа» для чисел вроде 6 = 2 • 3, 14 = 7 • 2, являющихся произведениями двух сомножителей и выражающих площадь прямоугольника, построенного на соответствующей паре отрезков;

2) «квадратные числа»: 4(= 2 • 2), 81 (= 9 • 9) и т. д. Это название употребляется и поныне;

3) «телесные числа»: 24( = 2 • 3 • 4), 210( = 5 • 6 • 7) и т. д., являющиеся произведениями трех чисел и изображаемые с помощью параллелепипедов;

4) «кубические числа»: 8(=2 • 2 -2), 125(=5 • 5 • 5) и т.п.



Задание классу:

Представьте в виде квадрата числа

hello_html_29bf1284.gif

Это же задание формулируем по другому: «Какие числа удовлетворяют уравнениям х2 = 25; х2 = 1; х2 = 144?»

«Темринг» (к доске выходят три ученика, с каждого ряда по одному)

Задание: Найдите значение выражения, и записать на доске.


82 = 102 = 62 =

(-8)2 = (-10)2 = (-6)2 =

-82 = -102 = -62 =


Вопрос «как называются числа 82 и -82?» ( противоположными)

Эстафета 1

Ученики заполняют карточки, передавая друг другу (каждый заполняет только одну клетку).



а

2

5

hello_html_meb3dc5f.gif

0,8

1,3

-5


а²








а

3

7

hello_html_1a91e046.gif

0,9

1,2

-7


а²








а

4

9

hello_html_m6c6298ec.gif

0,7

1,1

-9


а²








3. Подача нового материала.

Ещё в древности у египтян, из практической деятельности, возникла задача «Как, зная площадь поля квадратной формы, определить сторону?»

Пусть сторона квадрата х. Тогда х2 = S. Решим эту задачу с точки зрения математики. Зададим себе вопрос, например для уравнения х2 = 25, а каковы корни уравнения?

х1 = 5 т.к. 52 = 25, но и

х2 = -5 т.к. (-5)2 = 25.

5 и -5 называются квадратными корнями из числа 25;

7 и -7 называются квадратными корнями из числа 49;

0,3 и -0,3 называются квадратными корнями из числа 0,09 и т.п.

Даем определение квадратного корня из числа a. Плакат 2.

hello_html_727218a4.gif

Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а


Например:

Квадратным корнем из числа 81 есть числа 9 и -9,

так как 9² = 81 и (-9)² = 81.



Эстафета 2

Каждому ряду раздаем следующие карточки



Уравнение

х²=16

х²=0,25

hello_html_m272cc372.gif

х²=1,44

х²=100

х²= -9


Корни

уравнения

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

















Уравнение

х²=64

х²=0,16

hello_html_m6754434a.gif

х²=1,21

х²=225

х²= -16

Корни

уравнения

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=






Уравнение

х²=81

х²=0,36

hello_html_2470e1c0.gif

х²=1,96

х²=169

х²= -4

Корни

уравнения

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=

х1=

х2=




Неотрицательные корни этих уравнений принято называть арифметическим квадратным корнем из числа a.

Плакат 3.

hello_html_2859101a.gif

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а

hello_html_m53d4ecad.gif

Например:

hello_html_m4f05054.gifhello_html_6e219ba0.gif

hello_html_7ba67ce3.gif- знак арифметического квадратного корня.

Выражение hello_html_2b56dc21.gif читают так: «квадратный корень из числа а ».


Знак арифметического квадратного корня впервые ввел в 1525 году немецкий математик Х.Рудольф.

Вводим знак радикала hello_html_m40685c0b.gif

И так hello_html_m530cd5e1.gif = 10, т.к. 10 > 0 и 102 = 100.

hello_html_m46a1455.gif = 4; hello_html_m77337546.gif = 12; hello_html_6f19e15a.gif =46; hello_html_m2deedc1c.gif = 81.

Наименьшее число, которое может быть под корнем – это 0.

hello_html_m5e27795d.gif = 0

Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует

hello_html_59ed32ad.gif - не определено

Практическая работа – как с помощью таблицы квадратов находить квадратные корни из чисел.

Например:

hello_html_m2deedc1c.gif = 81 hello_html_11ef1a13.gif = 810

hello_html_920a347.gif = 8,1 hello_html_m41095a7d.gif = 8100

hello_html_m27efe13.gif = 0,81 hello_html_m18650c63.gif = ?

hello_html_65d31a7d.gif = 0,081 hello_html_m4744d60f.gif = ?


Последние два значения можно найти приближенно с помощью калькулятора.


Эстафета 3. Работа по нахождению арифметического квадратного корня из чисел.



а

4

81

hello_html_m2fb0757d.gif

0,64

625

10,24

hello_html_2b56dc21.gif








a

9

64

hello_html_27b39119.gif

0,49

441

12,25

hello_html_2b56dc21.gif








а

16

25

hello_html_m7f971547.gif

0,36

400

10,89

hello_html_2b56dc21.gif








4. Закрепление материала.

Весь класс работает, в устной форме, с заданиями № 614, 615, 617.

Потом, всем классом, повторяем свойства арифметического квадратного корня. Плакат 4


hello_html_1235bb13.gif

Из свойства арифметического квадратного корня имеем:

1) равенство hello_html_1808cec0.gif = в имеет место, если

а) a hello_html_5cc04a7a.gif 0 б) в2 = a;

2) если a < 0, то hello_html_1808cec0.gif не имеет смысла.



5. Итоги урока.

Оценивание результатов работы: устной, практической и с карточками.

6. Домашнее задание § 14, № 618, 619, 621, 622, 626.




Урок № 4 § 14


Тема: Квадратные корни

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить понятие, свойства квадратного корня и арифметического квадратного корня. Умение находить значения квадратного корня из чисел устно, пользуясь таблицей квадратов и с помощью калькулятора. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Опрос учащихся по теме:

- Что такое квадратный корень из числа а?

- Сколько существует разных квадратных корней из

положительного числа а? А из числа 0?

- Что такое арифметическое значение квадратного корня из числа а?

- Сколько существует арифметических значений квадратных корней

из положительного числа а? А из числа 0?

- Как читается выражение: hello_html_m530cd5e1.gif, hello_html_56cffd68.gif, hello_html_m1e58dde2.gif ?

Устно со всеми учениками блиц-опрос домашнего задания №622 и № 626

2. Закрепление изученного материала.

Для закрепления знаний и умений работы с квадратными корнями в классе рассмотреть такие задания: №623, 624, 627, 629, 630 – выполняя излечение квадратного корня устно.

А в заданиях -№ 632, 634, 635, 637 пользоваться таблицей квадратов.

В задании №642 вычислить с помощью калькулятора.

3. Проблемная ситуация:

Уметь отвечать на вопросы задания №642, 645.

4. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание учащихся.

5.Домашнее задание § 14, № 628, 633, 636, 641, 643.




Урок № 5 § 14


Тема: Квадратные корни

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями используя его свойства. Развивать творческие способности

и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашней работы у доски

I ученик № 628(в,е);

II ученик №636;

III ученик №643;

IV ученик № 633(а,б), 641(а,б).

Пока учащиеся у доски готовят ответы, весь класс работает над повторением теоретического материала § 14:

- Что называем квадратным корнем из числа а?

- Что называем арифметическим квадратным корнем из числа а?

- Сколько квадратных корней имеет число 36? А число 7?

- Сколько арифметических квадратных корней имеет число 64? А числа: 81; 13; - 25?

Выслушиваем решения домашней работы, корректируя, задавая им вопросы и исправляя ошибки совместно с учащимися всего класса.

2. Закрепление изученного материала.

К доске вызываются четыре ученика. Задания №648, 650, 651, 655 пункты а, б, в, г соответственно.

Проблемная ситуация. Вычислить hello_html_462a5756.gif. Попробуем вычислить её сразу. Все ответы (обычно они неверные) проверяем тщательно, возведя в квадрат по определению арифметического квадратного корня.

Правильное вычисление: hello_html_462a5756.gif = hello_html_4ee648e.gif = hello_html_6fb19a0c.gif т.к. hello_html_m7ba41e1c.gif2 = hello_html_1cf25c82.gif.

Вывод – извлекать квадратные корни из смешанных дробей, необходимо после представления их в виде неправильных дробей.

Решим теперь задание №647.

Найти значение выражения hello_html_7bf03cbd.gif, если х = 3,5.

Решить уравнения № 659 и 661(а,в).

Каждому ученику раздать листы - карточки для самостоятельной работы.


Самостоятельная работа

________________________________________

ф.и.учащегося

1. Начертить график функции у = х2 , построив сперва точки.


hello_html_m4e0df612.png

2. Вычислите

а) hello_html_39a435c6.gif = б)hello_html_38b178e7.gif = в) hello_html_58a3c8bd.gif = hello_html_6efbd8a3.gif =

3. Решите уравнения

а) х2 = 0,36; б) hello_html_m1e58dde2.gif = 16.



3. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание учащихся.

5. Домашнее задание § 14, № 646, 649, 652, 660.



Урок № 6 § 15


Тема: Действительные числа

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся определение рациональных и иррациональных чисел, ввести понятие действительных чисел. Развивать вычислительные навыки и умение работать с приближенными значениями.

Воспитательная цель: воспитание любознательности.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Итоги самостоятельной работы (раздать карточки).

Анализ домашней работы:

Три ученика у доски готовят №652(а), №652(в) и №660(б,в).

В это время № 646 – просмотреть у всех учащихся.

2.Объяснение нового материала

Актуализация материала. Известные нам числа - целые и дроб­ные, положительные и отрицательные - представляют собой множество рацио­нальных чисел. Рациональными их на­зывают потому, что каждое можно записать в виде частного, отношения двух целых чисел, а слово «отношение» на латинском языке - ratio.

Из курса предыдущих классов вы знаете, что любое число можно представить в виде обыкновенной дроби, а те в свою очередь в виде бесконечной периодической дроби т.е.


hello_html_2bf8890d.gif

hello_html_m492f392d.gif

hello_html_m2becd117.gif .

Таким образом, можно сказать, что

каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби;

и

любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число.

А существуют ли числа, отличные от рациональных? Да существуют. Можно доказать, например, что hello_html_m4e5e14cc.gif и т.д. не возможно представить в виде обыкновенных дробей т.е. в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Вычисляя значения hello_html_m4e5e14cc.gif получаем бесконечные непериодические десятичные дроби. Так

hello_html_7b23a5b5.gif = 1,4142135..., hello_html_m65f54e27.gif = 1,7320508…, hello_html_1b902eda.gif = 4,472135…,

hello_html_m6508e6e3.gif = 3,1622776..., hello_html_m6fc7703b.gif= 3,1415926…

где hello_html_m6fc7703b.gif - отношение длины произвольной окружности к ее радиусу.

Эти числа не рациональные и мы их назовем иррациональными.

(латинское ir соответствует отрицательной частице не).

Доказательство иррациональности числа hello_html_7b23a5b5.gif вы можете прочитать на стр. 146 нашего учебника в рубрике «Хотите знать ещё больше?».


Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел.


hello_html_m371ca369.pngМножества натуральных, целых, рациональных и дей­ствительных чисел обозначают соответственно буквами

N, Z, Q, R. Каждое из этих множеств явля-
ется подмножеством (частью) следую-
щего множества. Любое нату-
ральное число является одновременно и
целым, и рациональным, и действитель-
ным. Любое целое число — также рацио-
нальное и действительное.

Действительные числа, записанные в виде

бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тому же правилу, что и десятичные дроби. Например, число 3,131313... меньше, чем число 4,0111..., и меньше чисел 3,25 и hello_html_m6fc7703b.gif, но больше, чем числа 3,1222..., -2 и 0.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умно­жать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения этих чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы. Все правила действий над выражениями с переменными, доказанные ранее для рациональных значений переменных, справедливы и для произвольных действительных значений этих переменных. В частности, для любых действительных чисел верны известные вам свойства пропорций, дробей, сте­пеней.

2. Закрепление изученного материала.

Разминка – устные упражнения №668, №673, №676, №677 – работает весь класс.

Три ученика у доски выполняют №678, 680, 682, 683 по одному пункту а,б,в – повторив преобразование дробей и закрепив сравнение действительных чисел.

Следующий ученик сравнивает числа из №689

И под конец урока закрепить вычисление действительных чисел - №694.

4. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание учащихся.

С какими новыми числами и понятиями ознакомились?

5.Домашнее задание § 15, № 674, 681, 684, 690.





Урок № 7 § 16


Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся свойства иррациональных чисел. Умение применять теоремы о корне из произведения, дроби и степени. Развитие вычислительных умений и навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности, аккуратности и творческого подхода к поставленной задаче.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ работ №681и №690

Закрепление теоретического материала § 15.

1. Какие числа называют действительными?

2. Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?

3. Приведите примеры иррациональных чисел.

4. Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

5. Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

6. Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?

А с действительными числами?

7. Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух

иррациональных чисел — число иррациональное?

2.Объяснение нового материала

Задание классу (из предыдущего материала) – решите уравнение

х2 = 25,

корни уравнения х1 = 5 т.к. 52 = 25,

но и х2 = -5 т.к. (-5)2 = 25.

Если учесть, что 5 = hello_html_m284fcf11.gif, а - 5 = - hello_html_m284fcf11.gif , то получается, что

(5)2 = (hello_html_m284fcf11.gif)2 и (-5)2 = (- hello_html_m284fcf11.gif)2

т.е. 25 = (hello_html_m284fcf11.gif)2 и 25 = (- hello_html_m284fcf11.gif)2 следовательно

а = (hello_html_m342033f9.gif)2

Примеры.

(hello_html_m1fa2c25d.gif)2 = 6; (hello_html_m4585cd40.gif)2 = 18; (hello_html_m3f9f9adc.gif)2 = 3;

(hello_html_m1b1324ce.gif)2 = 3,2; hello_html_325ec074.gif= hello_html_218b8802.gif ; hello_html_629a8dd6.gif2 = 0.

Верны также тождества:

плакат 1

hello_html_m6f335b8e.gif

  1. hello_html_m74dce69c.gif = hello_html_1808cec0.gifhello_html_m55bcdaf1.gif , если a ≥ 0 и b ≥ 0;

  2. hello_html_m5171bf95.gif = hello_html_56194a8d.gif , если a ≥ 0 и b > 0;

  3. hello_html_m1eb6b95.gif = hello_html_4a55fb8f.gif , если a ≥ 0 и k hello_html_76ee893b.gif N.

  4. (hello_html_168460cf.gif)2 = hello_html_4a55fb8f.gif, при допустимых a


Приведем доказательство первого равенства

(hello_html_m74dce69c.gif)2 = hello_html_6f2deb4b.gif

(hello_html_1808cec0.gifhello_html_m55bcdaf1.gif)2 =(hello_html_1808cec0.gif)2 ∙ (hello_html_m55bcdaf1.gif)2 = hello_html_6f2deb4b.gif ч.т.д.

Эти три теоремы кратко можно сформулировать так.


Плакат 2

hello_html_m222596dc.gif

1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).

2. Корень из дроби, числитель которой неотрицатель­ный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).

3. Корень из степени hello_html_34e2cbbf.gif , в котором числа а неотри­цательное и k натуральное, равен hello_html_4a55fb8f.gif (теорема о кор­не из степени)



Приводим для каждого свойства примеры:

hello_html_m7f2a3e2a.gif = hello_html_m446dfc0.gifhello_html_faa0f4b.gif = 2 ∙ 3 = 6.

hello_html_6900e7b.gif = hello_html_4a8debd5.gif = hello_html_4d8dfa99.gif .

hello_html_237f2d33.gif = hello_html_ma77abf5.gif = hello_html_3264cc4d.gif = hello_html_267bba56.gif = 8

Если эти тождества записать наоборот, то получим правила умножения, деления и представления любого выражения в виде квадрата.

Плакат 3


hello_html_m670eb19b.gif

1. hello_html_1808cec0.gifhello_html_m55bcdaf1.gif = hello_html_m74dce69c.gif, если a ≥ 0 и b ≥ 0;

2. hello_html_56194a8d.gif = hello_html_m5171bf95.gif, если a ≥ 0 и b > 0;

3. hello_html_4a55fb8f.gif = hello_html_m1eb6b95.gif = (hello_html_168460cf.gif)2, если a ≥ 0 и k hello_html_76ee893b.gif N.


Приведем примеры:

hello_html_43d3291.gifhello_html_21d37a7e.gif = hello_html_5f07c23e.gif = hello_html_m46a1455.gif = 4;

hello_html_m69a855b5.gif = hello_html_m5bb4afa1.gif = hello_html_m284fcf11.gif = 5;

hello_html_3ca60823.gif = hello_html_17db9338.gif или hello_html_3ca60823.gif = (hello_html_m2824a34d.gif)2 ;

13 = (hello_html_1a5b0a97.gif)2 – умение представлять любое выражение и число в виде квадрата.

Из теоремы о корне из степени следует, что hello_html_m2ddb77b7.gif = а, если а ≥ 0. Если же а < 0, то равенство hello_html_m2ddb77b7.gif = а неверное, поскольку число hello_html_m2ddb77b7.gif неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу а. Это равенство запишем в таком виде

hello_html_m2ddb77b7.gif = |а|

верное при каждом значении а, поскольку число |а|— нео­трицательное и его квадрат равен а .

Например:

hello_html_m42e6375.gif = |8| hello_html_m5b300153.gif = |-7| = 7 hello_html_m1b4f0951.gif = 3.

Запомним следующее

hello_html_m4916fe5b.gif


hello_html_m288343ff.gif = |а|

(hello_html_m342033f9.gif)2 = а



Проблемная ситуация: если вдруг окажутся следующие типы заданий: hello_html_15d7d86a.gif, hello_html_6a38cb3a.gif, hello_html_m69190fd4.gif, то необходимо воспользоваться определением арифметического значения квадратного корня, т.е.

hello_html_15d7d86a.gif = hello_html_3e9729db.gif = 6.

hello_html_6a38cb3a.gif = hello_html_3798201a.gif = hello_html_18080e40.gif.

hello_html_m69190fd4.gif = hello_html_m284fcf11.gif = 5 или hello_html_m69190fd4.gif = hello_html_m4f15c6ff.gif = 5.

4. Закрепление изученного материала.

Для закрепления знаний свойств квадратных корней в классе решить задания пунктов а и г во всех перечисленных номерах:

716 и №723 – два ученика

718 , №725 и №719 - следующие два ученика

721 и №722 и №727 - и еще два ученика

Учитель регулирует и направляет ход решения каждого задания, а класс активно участвует во время обсуждения решений этих заданий.

4. Итоги урока.

Подведение итогов и оценивание знаний учащихся.

С какими новыми свойствами мы ознакомились?

5. Домашнее задание § 16, № 715, 717, 720, 724, 726 (во всех

номерах пункты а, б, д, е).



Урок № 8 § 16


Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить знания свойств действий над квадратными корнями, умение применять знания в практической деятельности и при решении заданий. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.


Х о д у р о к а

  1. Проверка Д.З.

Устный блиц – опрос домашнего задания.

Проведем «Темринг»


Вопросы первого участника:

- Какие числа называют действительными?

- Сколько квадратных корней имеет число 36? А число 7?

- Что такое квадратный корень из числа а?

- Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

- Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух

иррациональных чисел — число иррациональное?

- Сформулируйте теорему о корне из произведения.


Вопросы второго участника:

- Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?

- Сколько арифметических квадратных корней имеет число 64?

А число -25?

- Сформулируйте теорему о корне из дроби.

- Что такое арифметическое значение квадратного корня из числа а?

- Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

- Как читается выражение: hello_html_m530cd5e1.gif, hello_html_56cffd68.gif, hello_html_1eca5bb0.gif ?


Вопросы третьего участника:

- Приведите примеры иррациональных чисел.

- Сколько существует разных квадратных корней из

положительного числа а? А из числа 0?

- Сформулируйте теорему о корне из степени.

- Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?

А с действительными числами?

- Почему арифметическим значением квадратного корня из

числа 49 является число 7?

2. Закрепление изученного материала.

Проводим турнир эрудитов – находим значение выражений в №709-712. Выполняя эти задания устно.

Для закрепления знаний свойств квадратных корней, и работы с ними, в классе проводим эстафету. Класс делится на две команды. Одна команда выполняет пункты б), а другая – в) в номерах №716, №718, №719, №721, №722, №723, №725, №727, №728. По очереди каждый член команды выходит к доске и записывает свое решение. Но перед этим командам дается минута для распределения заданий по уровню способностей каждого члена команды.

3. Проблемная ситуация:

730(а) – найти значение частного hello_html_m50e191f2.gif (некоторые предложат вычислить с помощью калькулятора). Нам же надо воспользоваться свойством деления корней, т.е.

hello_html_m50e191f2.gif =hello_html_74fc4b18.gif = (воспользуемся основным свойством дроби) = hello_html_m1c01f255.gif =

= hello_html_m48af3e7f.gif = hello_html_m78f045ae.gif .

731(д) hello_html_m369e2980.gif = 5 hello_html_m50e7359a.gif 12 = 60;

731(ё) hello_html_4aaed1dd.gif = - 0,4 hello_html_m50e7359a.gif |(-10)3| = -0,4 hello_html_m50e7359a.gif |-1000| = - 0,4 hello_html_m50e7359a.gif 1000= = - 400.

4. Итоги урока.

Подведение итогов темринга, блиц турнира, эстафеты и на этом основании оценивание учебной деятельности учащихся.

5.Домашнее задание § 16, № 720, 724, 726 (остальные пункты) №729 и 732.




Урок № 9 § 16


Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями, применение основных свойств действий над квадратными корнями при упрощении выражений, развивать вычислительные навыки и творческие способности.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашней работы , № 720, 724, 726, 729 и 732

Разбор неясных вопросов.

2. Закрепление изученного материала.

Далее работаем над заданиями:

730(б),727(б) и №731( б,е) – два ученика

733(б) и №734 - следующие два ученика

Как рационально выполнить задания №735? Предложения учащихся.

а)hello_html_4e30acb0.gif = ? е)hello_html_5d8fc33a.gif = ?

Окончательный вердикт – надо в начале воспользоваться разностью квадратов, а потом извлекать квадратный корень.

Выполняем задания №735 (б,д) у доски два ученика.

Проблемная ситуация: Вопрос классу «А как быть с заданиями №737?» ведь под корнем не разность квадратов. Если нет выхода, то необходимо возводить в квадрат числа и вычислить подкоренное выражение, а после извлечь. Но не в нашем случае. Тут можно применить способ разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Т.е.

hello_html_m3af86a1c.gif = hello_html_m5906576.gif =hello_html_15d9c8c9.gif = =hello_html_m5183dac1.gif = hello_html_m3cf3c9ea.gif = hello_html_m59f814d3.gif = 220 ∙ 5 = 1100.

Самостоятельная работа учащихся №737(б) и №739(б,в)) (вспомнить признаки делимости на 2, 3, 9, 10).

А теперь поработаем с буквенными выражениями.

752(г) – вместе с учителем, остальное самостоятельно.

г) hello_html_326fafbe.gif = hello_html_m276d76b.gifhello_html_3d9a5013.gifhello_html_15655f39.gifhello_html_2869511e.gif = - 0,9 ∙ hello_html_140c153f.gifhello_html_m7ad62ad1.gifz.

Проведем анализ заданий №742, 743 и 747 – учащиеся должны четко понимать, что требуется делать и как выполнить это задание. Подвести учащихся к мысли о том, что при работе с квадратными корнями нужно всегда анализировать каково подкоренное выражение и входящие в него переменные.

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5. Домашнее задание § 16, № 736, 740, 744, 745, 751.

Для сильных учащихся (дополнительно) №754,755.



Урок № 10 § 17


Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся различные способы преобразования выражений с корнями, развитие вычислительных навыков и умственных способностей.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и активной жизненной позиции.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ д/з № 736, 740, 744устный обзор

745(а) и №751(а) два ученика показывают решение у доски.

Особо обращаем внимание на условие задания №745

Т.к. a < 0, то hello_html_m6e185a94.gif = 3 ∙ |a| = 3 ∙ (- a) = - 3a. Дать учащимся ещё раз понять, что выражение - 3a положителен при a < 0 и значение арифметического квадратного корня тоже всегда неотрицателен.

Просмотреть работы сильных учащихся №754,755 во время подготовки домашнего задания у доски.

1.Объяснение нового материала

Как вы знаете, алгебра в основном занимается преобразованием выражений. Выражения с квадратными корнями можно также складывать, вычитать, умно­жать, возводить в степень и делить (на де­литель, отличный от нуля).

Так, например:

hello_html_m7ed5643c.gif + hello_html_m3d8c93c9.gif - 13hello_html_21044fd0.gif = -4hello_html_21044fd0.gif - это сложение иррациональных выражений мы называем приведением подобных слагаемых;( это подобно тому, как выполнить сложение 3х + 6х – 13х).

hello_html_d3ba41f.gifhello_html_m3d8c93c9.gif = 30hello_html_m5256cb35.gif - умножение иррациональных выражений;(при этом можно сказать, что воспользовавшись сочетательным свойством умножения, необходимо умножить рациональные числа с рациональными числами, а иррациональные числа с иррациональными числами, т.е. hello_html_d3ba41f.gifhello_html_m3d8c93c9.gif = 5 ∙ 6 hello_html_m6e7077a3.gifhello_html_21044fd0.gif = 30hello_html_m5256cb35.gif).

24hello_html_m6508e6e3.gif : 8hello_html_m6508e6e3.gif = hello_html_448ae0f0.gif = 3 - деление или с другой стороны это

сокращение дроби;

hello_html_57fa020.gif = 16 ∙ 11 = 176 - возведение в степень произведения

рационального и иррационального числа.

Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

hello_html_m6710c801.gif = hello_html_m273138c1.gif = hello_html_m284fcf11.gifhello_html_43d3291.gif = 5hello_html_43d3291.gif;

hello_html_3b5addda.gif = hello_html_m6e8f7b78.gif = 10hello_html_m65f54e27.gif;

hello_html_7811a6f8.gif = hello_html_7926b225.gif = 9∙3hello_html_m1fa2c25d.gif = 27hello_html_m1fa2c25d.gif .

Подобное преобразование называют вынесением множи­теля за знак корня.

В первом примере за знак корня вы­несен множитель 5.

Во втором примере за знак корня вы­несен множитель 10.

В последнем примере за знак корня вы­несены множители 9 и 3.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня.

Например.

hello_html_m4513c80d.gif = hello_html_faa0f4b.gifhello_html_43d3291.gif = hello_html_m4585cd40.gif или hello_html_m4513c80d.gif = hello_html_m1b4f0951.gifhello_html_43d3291.gif = hello_html_m4585cd40.gif

В этом примере под знак корня вносим множитель 3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основа­нии теоремы о корне из произведения.

Если знак корня находится в знаменателе дроби, то та­кую дробь можно заменить тождественной, знаменатель ко­торой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение, применяя основное свойство дроби.

Например.

hello_html_m1c2c0339.gif = hello_html_m4205ec17.gif = hello_html_m6e56394e.gif = hello_html_3e3644f9.gif ;

hello_html_md0d3395.gif = hello_html_m17b19ab6.gif = hello_html_m3ff07e01.gif = hello_html_7e76d308.gif = hello_html_2ca4cb5.gif .

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Подобно вышесказанным, такие преобразования можно выполнять также с выраже­ниями, содержащими переменные.

Например.

hello_html_m6d5156d7.gif + hello_html_m5205274.gif - hello_html_72ac8c2f.gif = 8hello_html_72ac8c2f.gif ;

hello_html_m5e033a4c.gifhello_html_4a8d71d6.gif = abhello_html_m74915838.gif;

hello_html_m6d5156d7.gif = hello_html_50e8270e.gif = hello_html_m221a0cfc.gif

Примечание. При вынесении переменной за знак кор­ня необходимо помнить, что это преобразование будет верным только при неотрицательных значениях переменной.

Если a ≥ 0, то hello_html_m53c71cff.gif = ahello_html_698ef8b5.gif.

При внесении переменной под знак корня также следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

Если a ≥ 0, то ahello_html_72ac8c2f.gif = hello_html_5ed9fa5d.gif .

Следует сказать, что при преобразовании выражений с корнями можно применять все раннее изученные правила алгебры. В частности умножение одночлена на многочлен, умножение многочленов и формулы сокращенного умножения.

3. Закрепление изученного материала.

Для закрепления выполним устные задания №760 - 765 и при необходимости некоторые задания записывать на доске.

Далее №766(а,е) - вынесите множитель за знак корня;

768(а) – умение представлять числа в виде произведения двух чисел, одно из которых должен быть квадратом некоторого числа.

Так 2,5 = 25 ∙ 0,1 или hello_html_mc2086b4.gif = hello_html_18410b4d.gif , или hello_html_m42011dd2.gif .

769(а,г), №771(а), №773(а), №778(а), 780(а)(г),

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5.Домашнее задание § 17, № 767, 770, 772, 779, 781.



Урок №11 § 17


Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Опрос класса по теме.

1. Какие действия можно выполнять с выражениями, содержащими корни?

2. Можно ли преобразовывать выражения с корнями по формулам сокращённого умножения?

3. Приведите примеры вынесения множителя за знак корня.

4. Покажите на примерах, как можно вносить множитель под знак корня.

5. Как можно освободиться от иррациональности в зна­менателе дроби?

Анализ д\з № 767, 770, 772, 779, 781.

2. Закрепление изученного материала.

Самостоятельная работа учащихся у доски:

766, 768, 769, 771, 773, 775, 777, 778, 780, 782 – во всех номерах выполнить пункты – б.

785(б) hello_html_32532bf6.gif = hello_html_m7e0670c0.gif = 2ahello_html_m65f54e27.gif .

в) hello_html_m5631ad08.gif = hello_html_m3229bdbd.gif = hello_html_m33249ae2.gif .

787(г) – внести под знак корня множители.

788 а) и в) – освободиться от иррациональности в знаменателе.

Проблемная ситуация: №796(а):

hello_html_9d2f506.gif - hello_html_3b5addda.gif + hello_html_347a46d8.gif = ?

Что надо сделать для выполнения действий? Попробуем представить в виде подобных слагаемых, для этого разложим каждое подкоренное число на множители так, чтобы можно было выносить множители за знак корня.

hello_html_2e9b3b9e.gif - hello_html_269e0a4.gif + hello_html_m7159e610.gif = hello_html_m55f5accf.gif - hello_html_369a4993.gif + hello_html_20804945.gif = - hello_html_m65f54e27.gif .

808 а) hello_html_2ac24002.gif + hello_html_m4487dd47.gif - hello_html_52ead437.gif = hello_html_1808cec0.gif .

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5.Домашнее задание § 17, № 783, 784, 786, 789, 809.



Урок № 12 § 17


Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Для анализа домашней работы к доске, по желанию, выходят пять учеников и по очереди рассказывают решения заданий № 783(в), 784(б), 786(г), 789(г), 809(б).

Остальные внимательно слушают и корректируют ответы товарищей.

2. Закрепление материала.

Этим же учащимся даем работы для самостоятельной работы, соответственно: №775(в), №780(б,в), №791(а,б), №810(а), №816(а). После завершения работы проводим самопроверку учащихся друг друга «по цепочке», т.е. первый проверяет решение второго, второй проверяет решение третьего, четвертый – пятого, а пятый – первого.

Для закрепления вопросов этих заданий решаем такие номера:

777(а), 793(а), 794(а) - сравнение выражений

782(в) - формулы сокращенного умножения

823(а,б), 824(а) - освобождение от иррациональности в знаменателе

811(а), 814(а) - умножение многочлена на многочлен

820(а) – сокращение дробей

Проблемная ситуация: Разложите на множители. №817(а,в).

а) hello_html_m6c2a3aa8.gif - hello_html_31cedae9.gif = hello_html_23bdf400.gif - hello_html_31cedae9.gif = hello_html_m42670f32.gif = hello_html_d2cee30.gif ;

в) hello_html_144ad30.gif = hello_html_m75cf98ac.gif = hello_html_50b8fe6d.gif.

А как разложить на множители такие выражения:

a – 3 = ? xy = ? hello_html_m2883e146.gif = ?

Над этим предложением подумайте дома.

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

5.Домашнее задание § 17, № 790, 792, 797, 812, 821(а).

Урок № 13 § 17


Тема: Преобразование выражений с корнями

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Для анализа домашней работы к доске вызываем пять учеников. Каждому показать решения заданий № 790(в), 792(б), 797(г), 812(а), 821(а).

Вопрос классу. А как же разложил на множители выражения:

a – 3 = ? xy = ? hello_html_m2883e146.gif = ?

a – 3 = hello_html_m3133c.gif = (hello_html_1808cec0.gif - hello_html_m65f54e27.gif) (hello_html_1808cec0.gif + hello_html_m65f54e27.gif);

xy = hello_html_m507616a4.gif = (hello_html_72ac8c2f.gif - hello_html_785b8e0.gif) (hello_html_72ac8c2f.gif + hello_html_785b8e0.gif);

hello_html_m2883e146.gif = hello_html_m565b2948.gif = hello_html_m63ebee46.gif =

= hello_html_m4b2c75e.gif .

2. Закрепление материала.

Учащиеся самостоятельно выполняют №819 – три ученика.

Класс разбиваем на две, три, четыре группы, в зависимости от количества учащихся. В каждой группе по три или четыре ученика.

Задание стр.183 «Типовые задания» (кроме пункта №4(б)) - кто решит быстрее и правильно.

В группах работу организовать рационально. Учесть, что каждый участник должен сдать хотя бы одну роботу – это обязательно!


Самостоятельная работа

hello_html_3891491f.gif

Вариант I

1. Внесите множитель под знак корня:

а) 4hello_html_m65f54e27.gif ; б) 2xhello_html_m914f313.gif .

2. Вынесите множитель из под знака корня:

а) hello_html_m42f5b086.gif ; б) hello_html_m6d9e271e.gif.

3. Выполните действия:

а) hello_html_1b9968e.gif); б)hello_html_b9fb7a6.gif)hello_html_m482ab03a.gif).

4. Освободите от иррациональности знаменатель дроби

а) hello_html_m30dc86c6.gif; б) hello_html_m38705ab2.gif .







hello_html_22390724.gif

Вариант II

1. Внесите множитель под знак корня:

а) 3hello_html_m1fa2c25d.gif ; б) 5xhello_html_55606b33.gif .

2. Вынесите множитель из под знака корня:

а) hello_html_m4cd98cf.gif ; б) hello_html_766ce686.gif.

3. Выполните действия:

а) hello_html_m6923c56e.gif); б)hello_html_11a9cd92.gif)hello_html_m521cca0e.gif).

4. Освободите от иррациональности знаменатель дроби

а) hello_html_m6036357b.gif; б) hello_html_m6c56fd1b.gif .



К доске вызываем двух учеников – задание №800.

Пока они решают, учитель проверяет самостоятельные работы.

4. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов и самостоятельной работы.

5.Домашнее задание § 17, № 818, 821(б) 798, 806, 804.




Урок № 14 § 18


Тема: Функция hello_html_18c0c8e0.gif

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: Рассмотреть функцию hello_html_m614803c7.gif и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции hello_html_m614803c7.gif. Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности и аккуратности

Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

в) анализ домашней работы № 818,  821(б), 798, 806, 804. Для показа решений этих заданий к доске приглашаются пять учеников.

Решение задания № 798 можно осуществить разными способами. В частности можно сперва выносить множители за знак корня. А потом выполнить умножение.

В № 818 отрабатываем умение представлять переменные в виде квадратов, как например a = hello_html_4281c048.gif

2.Объяснение нового материала

Актуализация. В практической деятельности часто приходится решать такие задачи, как:

- нахождение стороны квадрата, если известна площадь;

- нахождение радиуса круга, если известна площадь круга;

- нахождение времени падения тела, если известна высота, с которого она падает.

Все решения этих задач сводится к функции вида hello_html_m614803c7.gif .

Рассмотрим свойства функции hello_html_m614803c7.gif. Область её определения — множество неотрицательных дей­ствительных чисел, поскольку только из неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень. Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента х для этого вооружимся калькуляторами:


x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

16

25

36

49

y

0

1

1.41

1.73

2

2.24

2.45

2.65

2.83

3

4

5

6

7


Дробные значения здесь приближённые. Построим на координатной плоскости точки с коорди­натами, указанными в этой таблице.

hello_html_m4d20b95c.png


На координатной плоскости отметятся точки с координатами х и у такие, что переменные х и у принима­ют все неотрицательные действительные значения. Этот график — одна ветвь параболы. Она выходит из начала координат и распо­лагается в первом координатном углу. График стремится вверх, следовательно, функция hello_html_m614803c7.gif воз­растает на всей области определения. Она симметрична графику функции у = х2 , относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.


hello_html_29956883.png


Ведь равенства hello_html_m614803c7.gif и у2 = х при положительном х выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у. Если во втором из этих равенств поме­нять х на у, а у — на х, то это равнозначно замене оси х осью у и наоборот. Такие функции как hello_html_m614803c7.gif и у = х2, называются обратны­ми. Построив их графики в одной системе координат мы убедимся, что они симметричны относительно прямой у = х.

Используя график функции hello_html_m614803c7.gif ответить на вопрос задания №843. А как бы точнее ответить на этот вопрос.

Потом решаем уравнения №848.

Задание классу (три ученика у доски), постройте в одной и той же системе координат графики функций

hello_html_54f59c0f.gif; hello_html_5745f5e8.gif ; hello_html_2303832d.gif 2х2 .

В современной математике графики функций использу­ют довольно часто. Остановимся на графическом решении уравнений.

Пусть надо решить уравнение hello_html_2b33d67.gif = hello_html_72ac8c2f.gif .

Построим в одной системе координат графики функций

hello_html_m614803c7.gif и у = hello_html_mccb4204.gif .

hello_html_m7e1cbc7d.jpg



Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х = 4.

При таком значении х выражения hello_html_72ac8c2f.gif и hello_html_mccb4204.gif принимают равные значения, то есть число 4 — корень (возможно, приближённый) уравнения hello_html_2b33d67.gif = hello_html_72ac8c2f.gif . Подставляем х = 4 в данное уравнение убеждаемся, что 4 — точный корень.

Построенные графики других общих точек не имеют, следо­вательно, данное уравнение имеет только один корень: х = 4.

3. Закрепление изученного материала.

Отвечаем на вопросы стр. 174, закрепляя свойства функции hello_html_m285ed0f2.gif = hello_html_72ac8c2f.gif.

4.Домашнее задание § 18, № 841, 845, 846, 847.



Урок № 15 § 18


Тема: Функция hello_html_18c0c8e0.gif

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить свойства функции hello_html_m614803c7.gif, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции hello_html_m614803c7.gif. Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ д\з № 845 – Какая точка принадлежит графику?

847 – как вы нашли корни уравнения?

2. Закрепление изученного материала.

Пользуясь графиком функции hello_html_m614803c7.gif построенного дома в №841, ответить на вопросы задания №842. Работает весь класс.

Два ученика у доски строят графики из №849(а,г)

Третий ученик, после этого, у доски с помощью графиков сравнивает числа из №852

Следующим двум ученикам задаем задание, построить графики функции, №854(в,г)

3. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов.

4. Домашнее задание § 18, №853, 857, 826, 813(б)




Урок № 16 § 13 - 18


Тема: Решение упражнений по теме «Квадратные корни»

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями, умение применять свойства при решении уравнений и задач, систематизация знаний полученных в § 13 – 18, развивать творческие способности и умении работать самостоятельно

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели


Х о д у р о к а

1. Проверка Д.З.

Анализ домашней работы :

853 – в порядке возрастания будут а) hello_html_43a70c92.gif; 0,32; 0,322 .

б) hello_html_2cb5744a.gif ; 1,74; 1,742.

Это можно проследить по графикам, представленные на рис.53

857 – устный опрос учащихся.

826 – доказывает тождество у доски сильный ученик.

2. Закрепление и систематизация изученного материала.

Каждому ученику раздаем карточки для работы с тестовым заданием №3 стр. 182.


hello_html_m64a9ae93.gif

Ф.и. ученика _____________________________


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10














Ключ к тестам


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

б

в

г

б

б

б

в

в

в

в


После сдачи тестовых работ учащиеся получают задание, на двойном листке выполнить самостоятельную работу на стр.179 варианты IIV.

Пока они выполняют самостоятельную работу, учитель проверяет тестовые работы.

3. Итоги урока.

Подведение итогов урока и оценивание достигнутых результатов, учитель сообщает результаты тестовой работы.

5.Домашнее задание § 17, Типовые задания №3 на стр.183



Урок № 17 § 13 - 18


Тема: Квадратные корни и действительные числа

Тип урока: урок контроля

Цель урока: проверить уровень усвоения знаний, умений и навыки работы с выражениями содержащие квадратные корни.

Контрольная работа:


Вариант І

  1. Вычислите:

а) hello_html_m46a1455.gif б)hello_html_6397ec7a.gif в)hello_html_m1f576822.gif г)hello_html_2701045f.gif д)hello_html_1f7d3dd7.gif

  1. Найдите значение выражения:

а)hello_html_525e9e9f.gif; б)hello_html_2811cadd.gif ; в)hello_html_343c8fd3.gif2 ;

г)hello_html_10f43543.gif ; д)hello_html_1456f155.gif ; е)hello_html_f9039cc.gif.

  1. Вычислите:

а)hello_html_m5cafc2e3.gif ; б)hello_html_m67b88d70.gif; в)hello_html_m9fd48df.gif2 .

  1. Упростите выражения:

а)hello_html_1bcc832f.gif; б)hello_html_7e7c2bd.gif ; в)hello_html_m6603733c.gif;

г)hello_html_m63827aa8.gif ; д)hello_html_m18431657.gif.


  1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) hello_html_7fbaa131.gif; б)hello_html_1081f5e1.gif;

6. Решите графически уравнение:

а) х2 = 11; б) hello_html_2f428115.gif.


Вариант ІІ

  1. Вычислите:

а)hello_html_m4960d7f4.gif б)hello_html_m22cd55d1.gif в)hello_html_m223222ac.gif г)hello_html_m5fbafd4e.gif д)hello_html_5d12b283.gif


  1. Найдите значение выражения:

а)hello_html_m183df42b.gif; б)hello_html_525fe764.gif ; в)hello_html_m1a2b1f29.gif2 ;

г)hello_html_m4f6852e3.gif ; д)hello_html_m994b5a9.gif ; е)hello_html_m4d13a72c.gif.


  1. Вычислите:

а)hello_html_m2dfa8ee9.gif ; б)hello_html_m22e32cb5.gif; в)hello_html_40b20dff.gif2 .


  1. Упростите выражения:

а)hello_html_3f6d7955.gif; б)hello_html_m7ccb4641.gif ; в)hello_html_338ef54.gif;

г)hello_html_m1348e9da.gif ; д)hello_html_7eed7c89.gif.

  1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) hello_html_6afec189.gif; б)hello_html_29aafa53.gif;

6. Решите графически уравнение:

а) х2 = 7; б) hello_html_7e3994ef.gif.





Литература


1. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз «Алгебра 8» : учебник для 8 кл. общеобразоват.

учеб. заведений/. – К.: Зодіак-ЕКО, 2008. – 256с.:ил.

2. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин.-

М.: Педагогика, 1985.-352с., ил.

3. Учите року – 2004. Відкриті уроки з математики./Упорядн. Н.С.Прокопенко,

Н.П.Щекань – Х.: Вид. група «Основа»,2006.–160с.



34


Краткое описание документа:

Представляю вашему вниманию цикл уроков по теме "Квадратные корни. Действия с квадратными корнями".

В эту подборку вошли также уроки,посвященные изучению функции обратной пропорциональности и квадратичной функции.

Все материалы разработаны по учебнику "Алгебра. 8 класс" под редакцией Г.П.Бевз и В.Г. Бевз, который используется в средней школе Украины.

Тема изучения квадратных корней и действий над ними- начальная при изучении степенной функции.

Особое внимание уделяется преобразованию выражений с корнями-вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под знак корня.

Автор
Дата добавления 22.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров526
Номер материала 329203
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх