Цикл уроков "Квадратные корни. 8 класс"

 

Урок № 1           § 13

 

Тема:  Функция  

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: рассмотреть функцию  и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции  .  Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности, аккуратности . 

Оборудование: мел, доска, учебник, линейка.

 

Х о д   у р о к а

1. Объяснение нового материала

 Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х². Область её опреде­ления - множество всех чисел.

 Составим таблицу значений функции для некоторых зна­чений аргумента х:

 

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	0	1	1,5	2	2,5	3
у	9	6,25	4	2,25	1	0	1	2,25	4	6,25	9

 

 Нанесём точки, координаты которых приведены в этой таблице.

            

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                     

                -3 -2 -1  0   1  2       4                                        -3 -2 -1  0   1  2       4                                         

 

 

 

  Если на координатной плоскости нане­сти больше точек с координатами  х и у, удовлетворяющих формулу  у = х², то они разместились бы так, как показано на  втором рисунке. Если для каждого действительного значе­ния  х  по формуле     у = х² вычислить соответствующее значе­ние  у  и обозначить точки с такими координатами на коорди­натной плоскости, то получим непрерывную кривую линию, которую называют параболой. Парабола имеет две бесконечных ветви, плавно сходящиеся в одной точке — вершине параболы.

  Для функции  у = х² вершиной параболы является точ­ка (0; 0). То есть график функции  у = х²  проходит через начало координат. Поскольку противоположным значениям ар­гумента соответствуют равные значения функции, то её гра­фик симметричен относительно оси у. Построенный график даёт возможность наглядно выра­зить свойства функции   у = х².

  Рассматривая график мы можем сказать, что функция у = х² обладает такими свойствами:

Область определения – любое  число.

Область значения - все неотрицательные числа (у  ≥  0)

Промежутки убывания – когда  х < 0

Промежутки возрастания – когда  х > 0

  Для чего надо знать, каков график функции? Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. А сейчас обратите внимание на то, что с помощью графиков функций можно решать уравнения, которые иными способами решить слож­но либо невозможно.

  Сколько решений имеет уравнение х² = 9? Прямая (её урав­нение у = 9) пересекает график функции у = х² в двух точках (рис. 3).

 

 

                                                                              х² = 9      

                                                                    х  = 3  или  х  = - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Их абсциссы х = 3 и х = - 3 — решения уравнения.

  Так же можно решить более сложное уравнение  х² – 3х – 4 = 0.

  Сначала представим это уравнение в виде  х² =  3х + 4.

        

Графики функций

у = х²   и  у = 3х + 4.

пересекаются в точках с

абсциссами  х = -1 и х = 4,

которые в свою очередь являются

решениями  данного уравнения. 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Закрепление изученного материала.

    Опираясь на график функции у = х² , весь класс отвечает на вопросы задания № 586.

  Вопрос классу. Как можно определить проходит ли график функции через ту или иную точку? Задание №584

  После выполнения задания  №587 рассматриваем свойства функции у = - х²

3. Проблемная ситуация:

  Сколько решений имеет уравнение х² =5, и как их найти? Попробуем ответить на этот вопрос самостоятельно, учащиеся приходят к мысли, что корни они могут найти приближенно.

 

4. Итоги урока.

         Что мы узнали нового?

         Как называется график функции у = х² ?

         Какими свойствами она обладает?

 

5. Домашнее задание  § 13,  № 580, 583, 585, 610(а).

 

 

Урок № 2           § 13

 

Тема: Функция

Тип урока: закрепление умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства функции у = х², уметь строить ее график, находить значение и аргумент функции.  Применять знания при решении более сложных уравнений. Развивать вычислительные  и графические навыки.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

Оборудование: мел, доска с координатной плоскостью, учебник, линейка.

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

    а) опрос учащихся по теме «Функции у = х²»

У доски два ученика готовят задания №580 и №610(а).

Следующие два ученика выходят для проведения «Темринга» (математического боя). Каждому дается карточки зеленого и красного цвета, на которых записаны следующие вопросы:

Зеленные карточки

 - Как называют линию, которая является графиком функции у = х²?

 - При каком значении х функция у = х²  положительна?

 - На каком промежутке функция у = х²  убывает?

 - Какова область определения функции у = х^-1?

 - При каком значении  аргумента значение у = х² равно 25; 0,81?

 - Найти значение функции у = х^-1, если значение аргумента равно 2?

Красная карточка

 - Как называют линию, которая является графиком функции у = х^-1?

 - При каком значении х функция у = х²  отрицательна?

 - На каком промежутке функция у = х²  возрастает?

 - Какова область определения функции у = х^-1?

 - При каком значении  аргумента значение у = х² равно 49; 0,16?

 - Найти значение функции у = х^-1, если значение аргумента равно 5?

  В обсуждении ответов участников принимают участие все учащиеся класса, исправляя или дополняя их.

  После «Темринга» рассматриваем объяснения первых двух учеников. Они же отвечают на вопросы учащихся класса. Оцениваются как ответы, так и вопросы.

2. Закрепление изученного материала.

 №590. В скольких точках пересекаются графики функций? Учащиеся  отвечают, основываясь на свойства функций.

 А для подтверждения начертим графики пункта б) у = х² и у = 3х.

Самостоятельная работа класса над №591 (кто быстрей найдет значения аргумента при котором значения функций у = х² и у = -2х+4 равны?).

После этого четыре ученика у доски выполняют задание №601(б, в, г, е) – решить уравнение графическим способом.

3. Проблемная ситуация:

    Чем графики функций у = х² и у = |х| подобны и в чем их отличие? Постройте эти графики в одной системе координат и решите уравнение х² = |х| . Сколько решений имеет это уравнение?(0,1,-1)

4. Итоги урока.

    Оценивание учащихся.

    Что нового узнали о функциях?

5. Домашнее задание  § 13,  № 592, 595, 600.

 

 

 

Урок № 3        § 14

 

Тема:  Квадратные корни

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: ввести понятие квадратного корня. Дать учащимся свойства арифметического квадратного корня. Умение находить квадратные корни из чисел. Развитие устного счета при возведении в квадрат и при извлечении квадратного корня.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и коллективизма. 

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

         Анализ домашних заданий (устный опрос):

 № 592. Как найти координаты точек пересечения? Ответ (2,4).

 №595. Значение функции у = х² меньше 9 при -3 < x < 3.

№ 600. В пунктах а) и б) графики не пересекаются, следовательно, уравнения не имеют решения. В пункте в) одно решение.

 

2.  Мотивация. Рациональные числа, с которыми мы ознакомились в предыдущих классах - это лишь малая часть множества чисел. На числовой прямой кроме рациональных ещё больше не рациональных чисел. Без знания этих чисел, без умения выполнять действия с ними невозможно в дальнейшем изучать математику и другие науки.

  Рассказ учителя об исторической предпосылке возникновения понятия арифметического квадратного корня. Возникновение понятия «квадратного числа».

  Вывешиваем плакат №1.

 

Древнегреческие математики представляли целые числа и любые величины, соизмеримые и несоизмеримые, геометрически, с помощью отрезков, прямоугольников и других фигур. Отсюда у них появились такие названия, как:

1) «плоские числа» для чисел вроде 6 = 2 • 3, 14 = 7 • 2, являющихся произведениями двух сомножителей и выражающих площадь прямоугольника, построенного на соответствующей паре отрезков;

2) «квадратные числа»: 4(= 2 • 2), 81 (= 9 • 9) и т. д. Это название употребляется и поныне;

3) «телесные числа»: 24( = 2 • 3 • 4), 210( = 5 • 6 • 7) и т. д., являющиеся произведениями трех чисел и изображаемые с помощью параллелепипедов;

4) «кубические числа»: 8(=2 • 2 -2), 125(=5 • 5 • 5) и т.п.

 

 

Задание классу:

         Представьте в виде квадрата числа

            

Это же задание формулируем по другому: «Какие числа удовлетворяют уравнениям  х² = 25;  х² = 1;  х² = 144?»

«Темринг» (к доске выходят три ученика, с каждого ряда по одному)

         Задание: Найдите значение выражения, и записать на доске.

 

8² =                      10² =                    6² =

(-8)² =                   (-10)² =                 (-6)² =

-8² =                     -10² =                   -6² =

 

Вопрос «как называются числа 8²  и  -8²?» ( противоположными)

Эстафета 1

 Ученики заполняют карточки, передавая друг другу (каждый заполняет только одну клетку).

 

 

 

а	2	5		0,8	1,3	-5
а²

 

а	3	7		0,9	1,2	-7
а²

 

а	4	9		0,7	1,1	-9
а²

 

3. Подача нового материала.

  Ещё в древности у египтян, из практической деятельности, возникла задача «Как, зная площадь поля квадратной формы, определить сторону?»

  Пусть сторона квадрата  х. Тогда   х² = S. Решим эту задачу с точки зрения математики. Зададим себе вопрос, например для уравнения   х² = 25, а каковы корни уравнения?

х₁ = 5    т.к.   5² = 25, но и

х₂ = -5   т.к.   (-5)² = 25.

5 и -5 называются квадратными корнями из числа 25;

7 и -7 называются квадратными корнями из числа 49;

0,3 и -0,3 называются квадратными корнями из числа 0,09 и т.п.

Даем определение квадратного корня из числа a. Плакат 2.

     Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а

 

       Например:

Квадратным корнем из числа 81 есть числа 9 и -9,

так как    9² = 81  и    (-9)² = 81.

 

 

Эстафета 2

 Каждому ряду раздаем следующие карточки

 

Уравнение	х²=16	х²=0,25		х²=1,44	х²=100	х²= -9
Корни уравнения	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=

Уравнение	х²=64	х²=0,16		х²=1,21	х²=225	х²= -16
Корни уравнения	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=

 

 

 

 

 

Уравнение	х²=81	х²=0,36		х²=1,96	х²=169	х²= -4
Корни уравнения	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=	х1= х2=

 

 

 

 

Неотрицательные корни этих уравнений принято называть арифметическим квадратным корнем из числа a.

Плакат 3.

     Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а

Например:

  

 - знак арифметического квадратного корня.

 Выражение  читают так: «квадратный корень из  числа а ».

 

 Знак арифметического квадратного корня впервые ввел в 1525 году немецкий математик Х.Рудольф.

 Вводим знак радикала    

  И так  = 10,  т.к. 10 > 0 и 10² = 100.

             = 4;     = 12;    =46;    = 81.

 Наименьшее число, которое может быть под корнем – это 0.

 = 0

Арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует 

 - не определено

Практическая работа – как с помощью таблицы квадратов находить квадратные корни из чисел.

Например:

 = 81                                       = 810  

 = 8,1                                     = 8100

 = 0,81                                 = ?

 = 0,081                           = ?

 

  Последние два значения можно найти приближенно с помощью калькулятора.

 

 Эстафета 3. Работа по нахождению арифметического квадратного корня из чисел.

 

 

а	4	81		0,64	625	10,24

 

a	9	64		0,49	441	12,25

 

а	16	25		0,36	400	10,89

 

4. Закрепление материала.

  Весь класс работает, в устной форме, с заданиями № 614, 615, 617.

Потом, всем классом, повторяем свойства арифметического квадратного корня.  Плакат 4

 

 

Из свойства арифметического квадратного корня имеем:

    1) равенство  = в  имеет место, если

        а)  a  0          б) в² = a;

    2) если a < 0, то    не имеет смысла.

 

 

5. Итоги урока.

    Оценивание результатов работы: устной, практической и с  карточками.   

6. Домашнее задание  § 14,  № 618, 619, 621, 622, 626.

 

 

 

Урок № 4           § 14

 

Тема: Квадратные корни

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить понятие, свойства квадратного корня и арифметического квадратного корня. Умение находить значения квадратного корня из чисел устно, пользуясь таблицей квадратов и с помощью калькулятора. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

         Опрос учащихся по теме:

 -  Что такое квадратный корень из числа а?

 -  Сколько существует разных квадратных корней из   

     положительного числа а? А из числа 0?

 -  Что такое арифметическое значение квадратного корня из числа а?

 -  Сколько существует арифметических значений квадратных корней

     из положительного числа а? А из числа 0?

 -  Как читается выражение: , ,  ?

  Устно со всеми учениками блиц-опрос домашнего задания  №622 и № 626

2. Закрепление изученного материала.

 Для закрепления знаний и умений работы с квадратными корнями в классе рассмотреть такие задания: №623, 624, 627, 629, 630 – выполняя излечение квадратного корня устно.

 А в заданиях -№ 632, 634, 635, 637 пользоваться таблицей квадратов.

 В задании №642 вычислить с помощью калькулятора.

3. Проблемная ситуация:

    Уметь отвечать на вопросы задания №642, 645.

4. Итоги урока.

     Подведение итогов и оценивание учащихся.

5.Домашнее задание  § 14,  № 628, 633, 636, 641, 643.

 

 

 

Урок № 5         § 14

 

Тема: Квадратные корни   

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями используя его свойства. Развивать творческие способности

и логическое мышление.  

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

         Анализ домашней работы у доски

  I ученик № 628(в,е);

  II ученик  №636;

  III ученик №643;

  IV  ученик №  633(а,б), 641(а,б).

 Пока учащиеся у доски готовят ответы, весь класс работает над повторением теоретического материала  § 14:

 - Что называем квадратным корнем из числа а?

 - Что называем арифметическим квадратным корнем из числа а?

 - Сколько квадратных корней имеет число 36? А число 7?

 - Сколько арифметических квадратных корней имеет число 64? А числа: 81; 13; - 25?

 Выслушиваем решения домашней работы, корректируя, задавая им вопросы и исправляя ошибки совместно с учащимися всего класса.

2. Закрепление изученного материала.

 К доске вызываются четыре ученика. Задания №648, 650, 651, 655 пункты а, б, в, г соответственно.

 Проблемная ситуация. Вычислить . Попробуем вычислить её сразу. Все ответы (обычно они неверные) проверяем тщательно, возведя в квадрат по определению  арифметического  квадратного корня.

 Правильное вычисление:    =  =   т.к. ² = .

Вывод – извлекать квадратные корни из смешанных дробей, необходимо после представления их в виде неправильных дробей.

 Решим теперь задание №647.

 Найти значение выражения , если х = 3,5.

 Решить уравнения № 659 и 661(а,в).

Каждому ученику раздать листы - карточки для самостоятельной работы.

 

Самостоятельная работа

________________________________________

^{ф.и.учащегося}

   1. Начертить график  функции  у = х² , построив сперва точки.

 

                       

  2. Вычислите

 а)  =          б) =        в)  =          = 

  3. Решите уравнения

            а) х² = 0,36;                     б)   = 16.

 

 

3. Итоги урока.

        Подведение итогов и оценивание учащихся.

5. Домашнее задание  § 14,  № 646, 649, 652, 660.

 

 

Урок № 6         § 15

 

Тема: Действительные числа

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся определение рациональных и иррациональных чисел, ввести понятие действительных чисел. Развивать вычислительные навыки и умение работать с приближенными значениями.

Воспитательная цель: воспитание любознательности.

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

  Итоги самостоятельной работы (раздать карточки).

  Анализ домашней работы:

  Три ученика у доски готовят №652(а), №652(в) и №660(б,в).

  В это время № 646 – просмотреть у всех учащихся.

2.Объяснение нового материала

  Актуализация материала. Известные нам числа - целые и дроб­ные, положительные и отрицательные - представляют собой множество рацио­нальных чисел. Рациональными их на­зывают потому, что каждое можно записать в виде частного, отношения двух целых чисел, а слово «отношение» на латинском языке - ratio.

 Из курса предыдущих классов вы знаете, что любое число можно представить в виде обыкновенной дроби, а те в свою очередь в виде бесконечной периодической дроби т.е.

 

                  .

 Таким образом, можно сказать, что

каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби;

и

любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число.

 А существуют ли числа, отличные от рациональных?  Да  существуют. Можно доказать, например, что  и т.д. не возможно представить в виде обыкновенных дробей т.е. в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Вычисляя значения   получаем бесконечные непериодические десятичные дроби. Так

   = 1,4142135...,     = 1,7320508…,     = 4,472135…,

  = 3,1622776...,       = 3,1415926…

 где  - отношение длины произвольной окружности к ее радиусу.

  Эти числа не рациональные и мы их назовем иррациональными.

(латинское  ir  соответствует отрицательной частице  не).

Доказательство иррациональности числа  вы можете прочитать на стр. 146 нашего учебника в рубрике «Хотите знать ещё больше?».

 

Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел.

 

  Множества натуральных, целых, рациональных и дей­ствительных чисел обозначают соответственно буквами

N, Z, Q, R. Каждое из этих множеств  явля-
ется подмножеством (частью) следую-
щего множества.  Любое нату-
ральное число является одновременно и
целым, и рациональным, и действитель-
ным. Любое целое число — также рацио-
нальное и действительное.

  Действительные числа, записанные в виде

бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тому же правилу, что и десятичные дроби. Например, число 3,131313...  меньше, чем  число 4,0111...,  и меньше чисел  3,25 и , но больше, чем числа 3,1222..., -2 и 0.

  Действительные числа можно складывать, вычитать, умно­жать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения этих чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы. Все правила действий над выражениями с переменными, доказанные ранее для рациональных значений переменных, справедливы и для произвольных действительных значений этих переменных. В частности, для любых действительных чисел верны известные вам свойства пропорций, дробей, сте­пеней.

2. Закрепление изученного материала.

    Разминка – устные упражнения №668, №673, №676, №677 –  работает весь класс.

  Три ученика у доски выполняют  №678, 680, 682, 683 по одному пункту а,б,в – повторив преобразование дробей и закрепив сравнение действительных чисел.

 Следующий ученик сравнивает числа из №689

 И под конец урока закрепить вычисление действительных чисел - №694.   

4. Итоги урока.

    Подведение итогов и оценивание учащихся.

    С какими новыми числами и понятиями ознакомились?

5.Домашнее задание  § 15,  № 674, 681, 684, 690.

 

 

 

 

Урок № 7         § 16

 

Тема:  Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся свойства иррациональных чисел. Умение применять теоремы о корне из произведения, дроби и степени. Развитие вычислительных умений и навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности, аккуратности и творческого подхода к поставленной задаче. 

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

   Анализ работ №681и №690

   Закрепление теоретического материала § 15.

  1. Какие числа называют действительными?

  2. Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?    

  3. Приведите примеры иррациональных чисел.

  4. Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

  5. Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

  6. Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?  

      А с действительными числами?

  7. Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух 

      иррациональных чисел — число иррациональное?

2.Объяснение нового материала

   Задание классу (из предыдущего материала) – решите уравнение

   х² = 25,

корни уравнения   х₁ = 5    т.к.   5² = 25,  

                      но и  х₂ = -5    т.к.   (-5)² = 25.

Если учесть, что  5 = ,    а    - 5 = -  ,  то получается, что

                (5)² = ()²   и   (-5)² = (- )²  

                  т.е.   25 = ()²   и   25 = (- )²  следовательно

                                                   а = ()²              

   Примеры.

    ()² = 6;            ()² = 18;                   ()² = 3; 

    ()² = 3,2;               =  ;                ² = 0.

  Верны также тождества:

плакат 1

1.        =  ∙  , если a ≥ 0 и b ≥ 0;

2.        =  ,            если a ≥ 0 и b > 0;

3.        =  ,     если a ≥ 0 и k  N.

4.       ()² = ,   при допустимых a

 

 

  Приведем доказательство первого равенства

()² =

( ∙ )² =()² ∙ ()² =   ч.т.д.

Эти три теоремы кратко можно сформулировать так.

 

Плакат 2

1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).

2. Корень из дроби, числитель которой неотрицатель­ный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).

3. Корень из степени  , в котором числа  а — неотри­цательное и k — натуральное, равен  (теорема о кор­не из степени)

 

 

Приводим для каждого свойства примеры:

 =  ∙  = 2 ∙ 3 = 6.

 =  =  .

 =  =  =  = 8

  Если эти тождества записать наоборот, то получим правила умножения, деления и представления любого выражения в виде квадрата.

Плакат 3

 

 

             1.  ∙  = , если a ≥ 0 и b ≥ 0;

               2.  = ,            если a ≥ 0 и b > 0;

               3.  =  = ()²,  если a ≥ 0 и k  N.

 

Приведем примеры:

         ∙  =  =  = 4;

         =  =  = 5;

          =       или   = ()² ;

        13 = ()² – умение представлять любое выражение и число в виде квадрата.

  Из теоремы о корне из степени следует, что  = а, если а ≥ 0. Если  же а < 0, то равенство   = а  неверное, поскольку число      неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу  а.  Это равенство запишем в  таком виде

                                   = |а|

верное при каждом значении а, поскольку число |а|— нео­трицательное и его квадрат равен а .

 Например:

                = |8|         = |-7| = 7        = 3.

 Запомним следующее

 

 = |а|

()² = а

 

 

Проблемная ситуация: если вдруг окажутся следующие типы заданий:  ,  ,  , то необходимо воспользоваться определением арифметического значения квадратного  корня, т.е.

 =  = 6.

 =  = .

 =  = 5  или    =  = 5.

 4. Закрепление изученного материала.

    Для закрепления знаний свойств квадратных корней в классе    решить задания пунктов а и г во всех перечисленных номерах:

    №716 и №723 – два ученика

    №718 , №725 и №719  - следующие два ученика

    №721 и №722 и №727  - и еще два ученика

Учитель регулирует и направляет ход решения каждого задания, а класс активно участвует во время обсуждения решений этих заданий.

                                                

4. Итоги урока.

    Подведение итогов и оценивание  знаний учащихся.

    С какими новыми свойствами  мы ознакомились?

5. Домашнее задание  § 16,  № 715, 717, 720, 724, 726 (во всех 

    номерах пункты а, б, д, е).

 

 

Урок № 8           § 16

 

Тема: Квадратный корень из произведения, дроби и степени

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить знания свойств действий над квадратными корнями, умение применять знания в практической деятельности  и при решении заданий. Развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

 

Х о д   у р о к а

1.     Проверка Д.З.

Устный блиц – опрос домашнего задания.

Проведем «Темринг»

 

  Вопросы первого участника:

- Какие числа называют действительными?

- Сколько квадратных корней имеет число 36? А число 7?

-  Что такое квадратный корень из числа а?

- Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

- Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух 

      иррациональных чисел — число иррациональное?

- Сформулируйте теорему о корне из произведения.

 

Вопросы второго участника:

- Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?    

- Сколько арифметических квадратных корней имеет число 64?

   А число -25?

- Сформулируйте теорему о корне из дроби.

-  Что такое арифметическое значение квадратного корня из числа а?

- Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

 -  Как читается выражение: , ,  ?

 

Вопросы третьего участника:

- Приведите примеры иррациональных чисел.

- Сколько существует разных квадратных корней из   

   положительного числа а? А из числа 0?

- Сформулируйте теорему о корне из степени.

- Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?  

      А с действительными числами?

- Почему арифметическим значением квадратного корня из     

  числа 49 является число 7?

2. Закрепление изученного материала.

    Проводим турнир эрудитов – находим значение выражений  в №709-712. Выполняя эти задания устно.

   Для закрепления знаний свойств квадратных корней, и работы с ними, в классе  проводим эстафету.  Класс делится на две команды. Одна команда выполняет пункты б), а другая – в) в номерах №716, №718,  №719,  №721, №722,  №723,  №725,  №727, №728.  По очереди каждый член команды выходит к доске и записывает свое решение. Но перед этим командам дается минута для распределения заданий по уровню способностей каждого члена команды.

3. Проблемная ситуация:

    № 730(а) – найти значение частного  (некоторые предложат вычислить с помощью калькулятора). Нам же надо воспользоваться свойством деления корней, т.е.

 =  = (воспользуемся основным свойством дроби) =  =

 =  =  .

№731(д)    = 5  12 = 60;

№731(ё)    = - 0,4  |(-10)³| = -0,4  |-1000| = - 0,4  1000= =  - 400.

4. Итоги урока.

    Подведение итогов темринга, блиц турнира, эстафеты и на этом основании оценивание учебной деятельности учащихся.

5.Домашнее задание  § 16,  № 720, 724, 726 (остальные пункты) №729 и 732.

 

 

 

Урок № 9         § 16

 

Тема:  Квадратный корень из произведения, дроби и степени  

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков работы с квадратными корнями, применение основных свойств действий над квадратными корнями при упрощении выражений, развивать вычислительные навыки и творческие способности.  

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

   Анализ домашней работы ,  № 720, 724, 726, 729 и 732

   Разбор неясных вопросов.

2. Закрепление изученного материала.

Далее работаем над заданиями:

    №730(б),727(б) и №731( б,е) – два ученика

    №733(б)  и   №734  - следующие два ученика

Как рационально выполнить задания №735? Предложения учащихся.

    а) = ?                          е) = ?

Окончательный вердикт – надо в начале воспользоваться разностью квадратов, а потом извлекать квадратный корень.

  Выполняем задания №735 (б,д) у доски два ученика.

 Проблемная ситуация: Вопрос классу «А как быть с заданиями №737?»  ведь под корнем не разность квадратов. Если нет выхода, то необходимо возводить в квадрат числа и вычислить подкоренное выражение, а после извлечь. Но не в нашем случае. Тут можно применить способ разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Т.е.

  =  = = = =  =  = 220 ∙ 5 = 1100.

  Самостоятельная работа учащихся №737(б) и №739(б,в)) (вспомнить признаки делимости на 2, 3, 9, 10).

   А теперь поработаем с буквенными выражениями.

 №752(г) – вместе с учителем, остальное самостоятельно.

  г)  =  ∙  ∙∙  = - 0,9 ∙  ∙  ∙ z.

 Проведем анализ заданий №742, 743 и 747 – учащиеся должны четко понимать, что требуется делать и как выполнить это задание. Подвести учащихся к мысли о том, что при работе с квадратными корнями нужно всегда анализировать каково подкоренное выражение и входящие  в него переменные.

 

4. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов.

5. Домашнее задание  § 16,  № 736, 740, 744, 745, 751.

    Для сильных учащихся (дополнительно) №754,755.

 

 

Урок № 10         § 17

 

Тема: Преобразование выражений с корнями  

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: дать учащимся  различные способы преобразования выражений с корнями, развитие вычислительных навыков и умственных способностей.

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и активной жизненной позиции.

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

    Анализ д/з № 736, 740, 744 – устный обзор

   №745(а) и №751(а) два ученика показывают решение у доски.

   Особо обращаем внимание на условие задания №745

   Т.к. a < 0, то  = 3 ∙ |a| = 3 ∙ (- a) = - 3a. Дать учащимся ещё раз понять, что выражение - 3a положителен при a < 0 и значение арифметического квадратного корня тоже всегда неотрицателен.

    Просмотреть работы сильных учащихся №754,755 во время подготовки домашнего задания у доски.

1.Объяснение нового материала

  Как вы знаете, алгебра в основном занимается преобразованием выражений. Выражения с квадратными корнями можно  также складывать, вычитать, умно­жать, возводить в степень и делить (на де­литель, отличный от нуля).

  Так, например:

   +  - 13 = -4   - это сложение иррациональных выражений мы называем приведением подобных слагаемых;( это подобно тому, как выполнить сложение 3х + 6х – 13х).

   ∙  = 30    - умножение иррациональных выражений;(при этом можно сказать, что воспользовавшись сочетательным свойством умножения, необходимо умножить рациональные числа с рациональными числами, а иррациональные числа с иррациональными числами, т.е.  ∙  = 5 ∙ 6  ∙  = 30).

  24 : 8 =  = 3   - деление или с другой стороны это

                                                                  сокращение дроби;

    = 16 ∙ 11 = 176    - возведение в степень произведения

                                               рационального и иррационального числа.

     Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

   =  =  ∙  = 5;

   =  = 10;

   =  = 9∙3 = 27 .

  Подобное преобразование называют вынесением множи­теля за знак корня.

  В первом примере за знак корня вы­несен множитель 5.

  Во втором примере за знак корня вы­несен множитель 10.

  В последнем примере за знак корня вы­несены множители 9 и 3.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня.

  Например.

   =  ∙  =      или    =  ∙  =

  В этом примере под знак корня вносим множитель 3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основа­нии теоремы о корне из произведения.

  Если знак корня находится в знаменателе дроби, то та­кую дробь можно заменить тождественной, знаменатель ко­торой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение, применяя основное свойство дроби.

  Например.

   =  =  =  ;

   =  =  =  =  .

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Подобно вышесказанным, такие преобразования можно выполнять также с выраже­ниями, содержащими переменные.

   Например.

   +  -  = 8 ;

   ∙  = ab;

   =  =   

 Примечание. При вынесении переменной за знак кор­ня необходимо помнить, что это преобразование будет верным только при неотрицательных значениях переменной.

         Если a ≥ 0, то  = a.

При внесении переменной под знак корня также следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

         Если a ≥ 0, то a =  .

 Следует сказать, что при преобразовании выражений с корнями можно применять все раннее изученные правила алгебры. В частности умножение одночлена на многочлен, умножение многочленов и формулы сокращенного умножения.

3. Закрепление изученного материала.

     Для закрепления выполним устные задания №760 - 765 и при необходимости некоторые задания записывать на доске.

  Далее №766(а,е) - вынесите множитель за знак корня;

  №768(а) – умение представлять числа в виде произведения двух чисел, одно из которых должен быть квадратом некоторого числа.       

  Так 2,5 = 25 ∙ 0,1  или    =  , или   .

  №769(а,г), №771(а), №773(а), №778(а), 780(а)(г),     

4. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов.   

5.Домашнее задание  § 17,  № 767, 770, 772, 779, 781.

 

 

Урок №11            § 17

 

Тема: Преобразование выражений с корнями  

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

 Опрос класса по теме.

 1. Какие действия можно выполнять с выражениями, содержащими корни?

 2.  Можно ли преобразовывать выражения с корнями по формулам     сокращённого умножения?

 3. Приведите примеры вынесения множителя за знак корня.

 4. Покажите на примерах, как можно вносить множитель под знак корня.

 5. Как можно освободиться от иррациональности в зна­менателе дроби?

  Анализ д\з № 767, 770, 772, 779, 781. 

2. Закрепление изученного материала.

         Самостоятельная работа учащихся у доски:

  № 766, 768, 769, 771, 773, 775, 777, 778, 780, 782 – во всех номерах выполнить пункты – б.

 № 785(б)    =    = 2a .

             в)   =  =  .

  № 787(г) – внести под знак корня множители.

  №788 а) и в) – освободиться от иррациональности в знаменателе.

   Проблемная ситуация: №796(а):

    -   +  = ?

  Что надо сделать для выполнения действий? Попробуем представить в виде подобных слагаемых, для этого разложим каждое подкоренное число на множители так, чтобы можно было выносить множители за знак корня.

       -   +  =   -   +  = -  .

  № 808 а)    +   -  =  .

4. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов.   

5.Домашнее задание  § 17,  № 783, 784, 786, 789, 809.

 

 

Урок № 12         § 17

 

Тема: Преобразование выражений с корнями      

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.  

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

  Для анализа домашней работы к доске, по желанию, выходят пять учеников  и по очереди рассказывают решения заданий  № 783(в), 784(б), 786(г), 789(г), 809(б).

  Остальные внимательно слушают и корректируют ответы товарищей.

2. Закрепление материала.

 Этим же учащимся даем работы для самостоятельной работы, соответственно: №775(в),  №780(б,в),  №791(а,б),  №810(а),  №816(а). После завершения работы  проводим самопроверку учащихся друг друга «по цепочке», т.е. первый проверяет решение второго, второй проверяет решение третьего, четвертый – пятого, а пятый – первого.

 Для закрепления вопросов этих заданий решаем такие номера:

  № 777(а),  793(а),  794(а) - сравнение выражений

   № 782(в)  - формулы сокращенного умножения

  № 823(а,б),  824(а) - освобождение от иррациональности в знаменателе

  № 811(а),  814(а) - умножение многочлена на многочлен

  № 820(а) – сокращение дробей

Проблемная ситуация: Разложите на множители. №817(а,в). 

  а)   -  =  -  =  =  ;

  в)   =  = .

А как разложить на множители такие выражения:

a – 3 = ?                                  x – y = ?                          = ?

Над этим предложением подумайте дома.

4. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов.     

5.Домашнее задание  § 17,  № 790, 792, 797, 812, 821(а).

Урок № 13         § 17

 

Тема:  Преобразование выражений с корнями  

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепить свойства действий над корнями, умение преобразовывать выражения с корнями, развивать вычислительные навыки и логическое мышление.  

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

 Для анализа домашней работы к доске вызываем пять учеников. Каждому показать решения заданий  № 790(в), 792(б), 797(г), 812(а), 821(а).

  Вопрос классу. А как же разложил на множители выражения:

  a – 3 = ?                                x – y = ?                          = ?

   a – 3 =  = ( - ) ( + );

   x – y =  = ( - ) ( + );

    =  =   =

    =  .

2. Закрепление материала.

 Учащиеся самостоятельно выполняют №819 – три ученика.

Класс разбиваем на две, три, четыре группы, в зависимости от количества учащихся. В каждой группе по три или четыре ученика.

 Задание стр.183 «Типовые задания» (кроме пункта №4(б)) - кто решит быстрее и правильно.

 В группах работу организовать рационально. Учесть, что каждый участник должен сдать хотя бы одну роботу – это обязательно!

 

Самостоятельная работа

Вариант I

 1. Внесите множитель под знак корня:

      а) 4 ;                б) 2x .

 2. Вынесите множитель из под знака корня:

      а)  ;              б) .

 3.  Выполните действия:

      а) );          б))).

 4. Освободите от иррациональности знаменатель дроби

        а) ;                   б)  .

 

 

 

 

 

 

Вариант II

1. Внесите множитель под знак корня:

      а) 3 ;                б) 5x .  

 2. Вынесите множитель из под знака корня:

      а)  ;              б) .

 3.  Выполните действия:

      а) );          б))).

 4. Освободите от иррациональности знаменатель дроби

        а) ;                 б)  .

 

 

 

К доске вызываем двух учеников – задание №800.

 Пока они решают, учитель проверяет самостоятельные работы.

4. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов и самостоятельной работы.       

5.Домашнее задание  § 17,  № 818, 821(б) 798, 806, 804.

 

 

 

 

Урок № 14         § 18

 

Тема: Функция  

Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

Цель урока: Рассмотреть функцию  и ее свойства, уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции  .  Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание прилежности и аккуратности

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

    в) анализ домашней работы № 818,  821(б), 798,  806, 804. Для показа решений этих заданий к доске приглашаются пять учеников.

   Решение задания № 798 можно осуществить разными способами. В частности можно сперва выносить множители за знак корня. А потом выполнить умножение.

  В № 818 отрабатываем умение представлять переменные в виде квадратов, как например    a =

2.Объяснение нового материала

 Актуализация. В практической деятельности  часто приходится решать такие задачи, как:

 - нахождение стороны квадрата, если известна площадь;

 - нахождение радиуса круга, если известна площадь круга;

 - нахождение  времени падения тела, если известна высота, с которого она падает.

 Все решения этих задач сводится к функции вида  . 

 Рассмотрим свойства функции . Область её определения — множество неотрицательных дей­ствительных чисел, поскольку только из неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень. Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента х для этого вооружимся калькуляторами:

 

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	16	25	36	49
y	0	1	1.41	1.73	2	2.24	2.45	2.65	2.83	3	4	5	6	7

 

Дробные значения здесь приближённые. Построим на координатной плоскости точки с коорди­натами, указанными в этой таблице.

        

             

 

На координатной плоскости отметятся точки с координатами х и у такие, что переменные х и у принима­ют все неотрицательные действительные значения. Этот график — одна ветвь параболы. Она выходит из начала координат и распо­лагается в первом координатном углу. График стремится вверх, следовательно, функция  воз­растает на всей области определения. Она симметрична графику функции у = х² , относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

 

                      

 

Ведь равенства  и у² = х при положительном х выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у. Если во втором из этих равенств поме­нять х на у, а  у — на х, то это равнозначно замене оси х осью у и наоборот. Такие функции как   и  у = х², называются обратны­ми. Построив их графики в одной системе координат мы убедимся, что они симметричны относительно прямой у = х.

  Используя график функции    ответить на вопрос задания №843. А как бы точнее ответить на этот вопрос.

  Потом решаем уравнения №848.

  Задание классу (три ученика у доски), постройте в одной и той же системе координат графики функций

    ;     ;    2х² .

В современной математике графики функций использу­ют довольно часто. Остановимся на графическом решении уравнений.

Пусть надо решить уравнение    =  .

Построим в одной системе координат графики функций

   и у =  .

 

                         

 

 

Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х = 4.

  При таком значении х выражения   и   принимают равные значения, то есть число 4 — корень (возможно, приближённый) уравнения   =  . Подставляем х = 4 в данное уравнение убеждаемся,  что 4 — точный корень.

  Построенные графики других общих точек не имеют, следо­вательно, данное уравнение имеет только один корень: х = 4.

3. Закрепление изученного материала.

 Отвечаем на вопросы стр. 174, закрепляя свойства функции  = .   

4.Домашнее задание  § 18,  № 841, 845, 846, 847.

 

 

Урок № 15           § 18

 

Тема: Функция

Тип урока: закрепление знаний и умений

Цель урока: закрепить свойства функции ,  уметь строить график функции, решать уравнения с использованием графика функции  .  Развитие вычислительных и графических навыков.

Воспитательная цель: воспитание активной жизненной позиции.

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

    Анализ д\з №  845 – Какая точка принадлежит графику?

   №847 – как вы нашли корни уравнения?

2. Закрепление изученного материала.

   Пользуясь графиком функции  построенного дома в №841, ответить на вопросы задания №842. Работает весь класс.

  Два ученика у доски строят графики из №849(а,г)

  Третий ученик, после этого, у доски с помощью графиков сравнивает числа из №852

  Следующим двум ученикам задаем задание, построить графики функции,  №854(в,г)    

3. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов.

4. Домашнее задание  § 18,  №853, 857, 826, 813(б)

 

 

 

Урок № 16         § 13 - 18

 

Тема: Решение упражнений по теме «Квадратные корни»   

Тип урока: урок закрепления умений и навыков

Цель урока: закрепление умений и навыков  работы с квадратными корнями, умение применять свойства при решении уравнений и задач,  систематизация знаний полученных в § 13 – 18,  развивать творческие способности и умении работать самостоятельно

Воспитательная цель: воспитание трудолюбия и упорства в достижении цели

 

Х о д   у р о к а

1. Проверка Д.З.

    Анализ домашней работы :

   №853 – в порядке возрастания будут а) ; 0,32; 0,32² .

                                                                   б)       ; 1,74; 1,74².

 Это можно проследить по графикам, представленные на рис.53

    № 857 – устный опрос учащихся.

    № 826 – доказывает тождество у доски сильный ученик.

2. Закрепление  и систематизация изученного материала.

  Каждому ученику раздаем карточки для работы с тестовым заданием  №3 стр. 182.

 

Ф.и. ученика _____________________________

 

 

 

 

 

Ключ к тестам

 

 

 После сдачи тестовых работ учащиеся получают задание, на двойном листке выполнить самостоятельную работу на стр.179 варианты I – IV.

  Пока они выполняют самостоятельную работу, учитель проверяет тестовые работы.

 3. Итоги урока.

   Подведение итогов урока  и оценивание достигнутых результатов, учитель сообщает результаты тестовой работы.

5.Домашнее задание  § 17,  Типовые задания №3 на стр.183

 

 

Урок № 17         § 13 - 18

 

Тема: Квадратные корни и действительные числа   

Тип урока: урок контроля

Цель урока: проверить уровень усвоения знаний, умений и навыки работы с выражениями содержащие квадратные корни.

Контрольная работа:

 

Вариант І

1.     Вычислите:

а)    б)   в)   г)    д)

2.     Найдите значение выражения:

а);            б) ;        в)² ; 

г) ;       д) ;    е).

3.     Вычислите:

а) ;          б);         в)² .

4.     Упростите выражения:

а);    б) ;         в);

г) ;            д).

 

5.     Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;                    б);

 6.   Решите графически уравнение:

      а) х² = 11;                      б) .

        

 

Вариант ІІ

1.     Вычислите:

а)    б)   в)   г)    д)

 

2.     Найдите значение выражения:

а);            б) ;        в)² ; 

г) ;        д) ;      е).

 

3.     Вычислите:

а) ;        б);         в)² .

 

4.     Упростите выражения:

а);    б) ;     в);

г) ;            д).

5.     Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;                    б);

6.   Решите графически уравнение:

      а) х² = 7;                        б) .

 

 

 

 

Литература

 

1. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз «Алгебра 8» : учебник для 8 кл. общеобразоват. 

    учеб. заведений/. – К.: Зодіак-ЕКО, 2008. – 256с.:ил.

2. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин.-

    М.: Педагогика, 1985.-352с., ил.

3. Учите року – 2004. Відкриті уроки з математики./Упорядн. Н.С.Прокопенко,      

    Н.П.Щекань – Х.: Вид. група «Основа»,2006.–160с.