Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Цикл уроков по алгебре в 8 классе по теме: «Числовые неравенства»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Цикл уроков по алгебре в 8 классе по теме: «Числовые неравенства»

библиотека
материалов






Цикл уроков по алгебре в 8 классе

по теме: «Числовые неравенства»
















\







2012 г.

У р о к 65
ТЕМА: числовые неравенства

Цели: повторить правила сравнения чисел; ввести определение понятия числового неравенства; формировать умение использовать данное определение для сравнения чисел и доказательства неравенств, развивать логическое мышление, воспитывать аккуратность, культуру математической речи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Объявить результаты контрольной работы, выделить типичные ошибки, допущенные учащимися при её выполнении.

2. Вынести на доску решение заданий, с которыми учащиеся не справились.

III. Актуализация знаний.

1.Вспомним правило сравнения действительных чисел. Определению понятий «больше» и «меньше» (геометрически) соответствует взаимное расположение точек на координатной прямой:

- из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее,

- меньше то, которое расположено левее,

- всякое отрицательное число меньше нуля.

2.Вспомним правило сравнения чисел:

а)всякое отрицательное число меньше любого положительного числа,

б)из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель (следовательно, для сравнения обыкновенных дробей, необходимо сперва привести их к общему знаменателю),

в)из десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть (если целые части совпадают, то сравниваем в разрядах десятых, сотых, тысячных и т. д., пока не «увидим» большую цифру в разряде),

г) чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, приведём обыкновенную дробь к десятичной и сравним две десятичные дроби.

д)из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

IV. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор).

1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:

а) –15 * 0; б) 3hello_html_6cb90a80.gif * 0; в) hello_html_m3133ccb6.gif * 2;

г) hello_html_17126448.gif * hello_html_m37e757a7.gif; д) 1,25 * 1hello_html_me09c0ba.gif; е) 0,6 * hello_html_38dc81d.gif;

ж) hello_html_m2fd24798.gif * hello_html_m19c229db.gif; з) –0,07 * hello_html_m124244fd.gif; и) –5,6786 * –5,679.

2. Сравните с нулём значение выражения:

а) (–6,3)3; б) (–2,1)4; в) 05; г) hello_html_m1fcc0a1d.gif; д) hello_html_m856f3ab.gif.

V. Объяснение нового материала.

1. Мы рассмотрели с вами достаточно много примеров сравнения, как действительных чисел, так и просто чисел. Возникает потребность в таком способе сравнения, который позволил бы охватить все рассмотренные случаи, т.е. использовать универсальный способ сравнения чисел. Удобнее и проще всего проводить сравнение числа с нулём, поэтому вводится следующее

о п р е д е л е н и е: число а больше числа b, если разность аb – положительное число; число а меньше числа b, если разность аb – отрицательное число.

Это определение можно занести в таблицу

Разность чисел

а – б ˃ 0

а – б ˂ 0

а – б = 0

Соотношение между числами

а ˃ б

а ˂ б

а = б


2. Рассматриваем рис. 22 на (с. 145, рис.21-старый учеб.) с. 153 учебника и получаем геометрическую интерпретацию нового определения.

3. Разбираем пример № 1 на с. 153( с.145) учебника. Вывод: при любома разность отрицательна.

VI. Формирование умений и навыков.

  1. Непосредственное применение определения числового неравенства (сравнение чисел);

1. № 724 (№711), № 725 (№ 712) (устно).

2) Доказательство числовых неравенств (определение верности неравенства при любом значении, входящей в его запись буквы).

2. № 726 (№ 713).

Р е ш е н и е

При а = –5

3а(а + 6) = 3 · (–5) (–5 + 6) = –15,

(3а + 6)(а + 4) = (3 ·(–5) + 6)(–5 + 4) = –9;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 0

3а (а + 6) = 3 · 0 (0 + 6) = 0,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 0 + 6) (0 + 4) = 24;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 40

3а (а + 6) = 3 · 40 (40 + 6) = 5520,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 40 + 6) (40 + 4) = 5544;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

Докажем, что 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4) при любом значении а. Составим разность выражений:

3а(а + 6) – (3а + 6)(а + 4) = 3а2 + 18а – 3а2 – 12а – 6а – 24 = –24.

При любом а рассматриваемая разность отрицательна, значит, 3а(а +
+ 6) < (3
а + 6)(а + 4).

3. № 728 (№ 715) (а, б), № 729 (№ 716) (а, г), № 730 (№ 717) (а, в).

Р е ш е н и е

728.

а) 3(а + 1) + а – 4(2 + а) = 3а + 3 + а – 8 – 4а = –5 < 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) (7p – 1)(7p + 1) – 492 = 49p2 – 1 – 49p2 = –1 < 0, значит, неравенство верно при любом значении р.

729.

а) 2b2 – 6b + 1 – 2b(b – 3) = 2b2 – 6b + 1 – 2b2 + 6b = 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении b.

г) 8y(3y – 10) – (5y – 8)2 = 24y2 – 80y – 25y2 + 80y – 64 = –y2 – 64 = –(y2 +
+ 64) < 0, значит, неравенство верно при любом значении
у.

Надо обратить внимание учащихся, что если у2 + 64 > 0 для любого у, то противоположное ему по значению выражение –(у2 + 64) < 0.

730.

а) 4x(x + 0,25) – (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 + x – 4x2 + 9 = x + 9.

Выражение может быть как положительным, так и отрицательным, а также равным нулю в зависимости от х, значит, неравенство не верно при любых х.

в) (3x + 8)2 – 3x(x + 16) = 9x2 + 48x + 64 – 3x2 – 48x = 6x2 + 64 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

4. № 732(№ 719) (а, б).

Р е ш е н и е

а) 10а2 – 5а + 1 – а2а = 9а2 – 6а + 1 = (3а – 1)2 ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) 50а2 – 15а + 1 – а2 + а = 49а2 – 14а + 1 = (7а – 1)2 ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Сформулируйте правила сравнения положительных чисел, отрицательных, разного знака.

Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей, десятичных.

Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел. Приведите геометрическую интерпретацию.

Домашнее задание: 1.Новый учебник: №№ 727, 729, 730 (б, г)2.Старый учебник: № №714, 716, 717(б,г)



У р о к 66
ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Цели: продолжить формирование умения доказывать числовое неравенство по его определению; формировать умение решать задачи на составление и доказательство числового неравенства, развивать психические процессы, воспитывать культуру общения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор).

1. Сравните числа a и b, если ab равно:

а) –3; б) 0,2; в) 0; г) (–3)6; д) b а; е) 2hello_html_517d2fd6.gif – 3.

2. Расположите в порядке возрастания числа:

1,2; 1hello_html_m4042541d.gif; 1hello_html_6ac86ede.gif; 1,4; 1hello_html_m7bfc8752.gif.

3. Сравните числа:

а) hello_html_7e0ed73e.gif и 6hello_html_58795171.gif; в) hello_html_13aacd44.gif и hello_html_m19548029.gif;

б) 3hello_html_517d2fd6.gif и hello_html_m771da065.gif; г) hello_html_m64c8948d.gif и 14hello_html_58795171.gif.

III. Проверочная работа (10 мин).

В а р и а н т 1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) < (x + 3)2 – 2x.

В а р и а н т 2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) > (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)2 + 3x> 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y2 + 12yy – 2 – 6y2 – 3y – 8y – 4 =
= –6 < 0, значит, неравенство верно при любом значении
у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)2 + 2x = 4x + 8 – x2 – 6x – 9 + 2x = –x2 – 1 =
= –(
x2 + 1) < 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

В а р и а н т 2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y2 + y – 2y – 1 – 4y – 6y2 + 2 + 3y =
= 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении
у.

2) (x – 5)2 + 3x – 7(1 – x) = x2 – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x2 + 18 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Разобрать пример 2 со с. 153–154(145-146) учебника.

2. № 731(№ 718) (а, в).

Р е ш е н и е

а) a(a + b) – ab = a2 + abab = a2 ≥ 0 при любом значении а, значит, неравенство верное.

в) 2bcb2c2 = –(b2 – 2bc + c2) = –(bc)2 ≤ 0 при любых значениях b и c, значит, неравенство верное.

3. № 733 (№ нет- вынести условие на доску ).

Р е ш е н и е

hello_html_m754a0afc.gif

hello_html_m73396663.gif0
при
а> 0 (так как (а – 2)2 ≥ 0 и а> 0), значит, неравенство верное при любом положительном а.

4. № 735 (№ 731) (б), № 736 (№ 718) (а), № 737( нет).

Р е ш е н и е

735.

б) hello_html_m102b2869.gif ≤ 0
(так как (
с – 1)2 0, с2 + 1 > 0), значит, неравенство верное при любом значении с.

736.

а) а2 – 6а + 14 = а2 – 2 ∙ 3 ∙ а + 9 + 5 = (а – 3)2 + 5 > 0 при любом значении а.

737. Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать общий ответ.

1) а2 – 2а + 3 = а2 – 2 ∙ 1 ∙ а + 1 + 2 = (а – 1)2 + 2 > 0 при любых значениях а.

2) а2 + 6 – 4а = а2 – 2 ∙ 2 ∙ а + 4 + 2 = (а – 2)2 + 2 > 0 при любых значениях а.

3) 4а – 4 – а2 = –(а2 – 2 ∙ 2 ∙ а + 4) = –(а – 2)2 ≤ 0, значит, не является верным при любом значении а.

4) 8а – 70 – а2 = –(а2 – 2 ∙ 4 ∙ а + 16 + 54) = –((а – 3)2 + 54) < 0 при любых значениях а.

О т в е т: 3.

5. № 738( нет) (а, в), № 739 (№ 723), № 741( № 725).

Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предполагают осознанное применение правила сравнения чисел.

Р е ш е н и е

738.

Пусть a и b – положительные числа и а2>b2.

По определению а2b2> 0. Разложим левую часть неравенства на множители: (аb)(а + b) > 0.

Сомножитель a + b> 0 (так как a> 0 и b > 0), значит, и сомножитель ab> 0, то есть a>b, что и требовалось доказать.

а) Составим разность квадратов чисел:

(hello_html_b032f8d.gif+hello_html_517d2fd6.gif)2 – (hello_html_67657947.gif+hello_html_58795171.gif)2 = 6 + 2hello_html_3529ba2a.gif+ 3 – 7 – 2hello_html_m5c53a2c6.gif– 2 =
= 2(
hello_html_3529ba2a.gifhello_html_m5c53a2c6.gif) > 0.

Значит, по доказанному выше свойству: hello_html_b032f8d.gif+hello_html_517d2fd6.gif>hello_html_67657947.gif+hello_html_58795171.gif.

в) (hello_html_m637255a2.gif– 2)2 – (hello_html_b032f8d.gifhello_html_517d2fd6.gif)2 = 5 – 4hello_html_m637255a2.gif+ 4 – 6 + 2hello_html_3529ba2a.gif– 3 = 2hello_html_3529ba2a.gif
– 2
hello_html_38129098.gif= 2(hello_html_3529ba2a.gifhello_html_38129098.gif) < 0.

Значит, по доказанному выше свойству: hello_html_m637255a2.gif– 2 <hello_html_b032f8d.gifhello_html_517d2fd6.gif.

739. Это упражнение является продолжением предыдущего. Учащиеся могут сначала попытаться составить разность левой и правой части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результатами решения предыдущей задачи, также следует задать учащимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.

Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства

hello_html_736ac375.gif

hello_html_3c5f5835.gif0 при любых a ≥ 0 и b ≥ 0. Значит, неравенство верно hello_html_6476a04e.gif hello_html_m36c52c8a.gif и верно hello_html_m5cefe088.gif hello_html_186e1c02.gif для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

741.

Даны числа 0; 1; 2; 3. Получили числа k; k + 1; k + 2; k + 3. Сравним произведения k · (k + 3) и (k + 1)(k + 2). Составим разность этих выражений:

k(k + 3) – (k + 1)(k + 2) = k2 + 3kk2 – 2kk – 2 = –2 < 0, значит, k · (k +
+ 3) < (
k + 1)(k + 2) при любом значении k.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения в классе или дома задачу повышенной трудности.

742.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Коля

VК = 5 км/ч

tК = hello_html_m27372d77.gif ч

Пhello_html_4b829b8a.png С

½ пути ½ пути

Миша




t = hello_html_m18637844.gif ч

tМ = hello_html_3875302d.gif ч


VМ = 5,5 км/ч

VМ = 4,5 км/ч

Сравним время, затраченное Колей и Мишей на путь от посёлка до станции. Составим разность tКtМ = hello_html_77fd715e.gif< 0. Значит, Коля затратил на путь меньше времени и пришёл на станцию раньше.

О т в е т: Коля.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Дайте определение числового неравенства.

Сформулируйте универсальное правило сравнения двух чисел.

Какие выражения называются средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел? Каким соотношением они связаны?

Домашнее задание: 1. Новый учебник: №№ 735 , № 736, № 745(а)

2. Старый учебник: №№ 721,722,728(а)


У р о к 67
ТЕМА: свойства числовых неравенств

Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умения применять теоремы-свойства при решении задач, развивать логическое мышление, память , внимание, воспитывать усидчивость , аккуратность.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор

(5 мин)).

1. Сравните числа:

а) hello_html_171404a3.gif и hello_html_m1976ceb6.gif; в) hello_html_m4ac2402a.gif и hello_html_m3e11a858.gif;

б) 0,4 и hello_html_6ac86ede.gif; г) hello_html_e1481cd.gif и –0,75.

2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 1547 ∙ hello_html_m79c08e2c.gif и 1547 ∙ hello_html_m64acacf6.gif; в) 289 ∙ 17 и 289 :hello_html_m44872dbf.gif;

б) 2187 :hello_html_52db255a.gif и 2187 ∙ hello_html_52db255a.gif; г) 156,4 : 0,2 и 156,4 · 0,2.

3. Сравните выражения:

а) а2 + 25 и 10а; б) b2 + 5 и 2b + 3.

III. Объяснение нового материала(на каждый рядраздаётся своё задание( 20 мин))

1. «Открытие» свойств числовых неравенств.

Работа в группах по рядам

1-я г р у п п а – арифметический блок.

З а д а н и е 1. Сравните числа:

а) 5,1 и 2,5; 2,5 и 5,1;

б) – 3 и 2; 2 и –3;

в) 1,05 и 1,005; 1,005 и 1,05.

В ы в о д:

Еслиа>b, то bа.

Еслиа<b, то bа.

З а д а н и е 2. Сравните числа:

а) 2,3 и 7,6; 7,6 и 8,7; 2,3 и 8,7;

б) –1,5 и –1,25; –1,25 и –1; – 1,5 и –1;

в) –0,7 и 2; 2 и 2,1; –0,7 и 2,1.

В ы в о д:

Еслиа<b и b<с, то ас.

З а д а н и е 3. Сравните:

а) 2,3 и 3,6; 2,3 + 2 и 3,6 + 2;

б) 1,6 и 2,07; 1,6 – 11 и 2,07 – 11;

в) –4 и –3; –4 + hello_html_m68ccdc59.gif и –3 + hello_html_m68ccdc59.gif.

В ы в о д:

Еслиа<b, то а + сb + с.

З а д а н и е 4. Сравните:

а) 11,1 и 12,1; 11,1 ∙ 3 и 12,1 ∙ 3;

б) 0,7 и 1; 0,7 ∙ 1,1 и 1 ∙ 1,1;

в) 0,01 и 0,001; 0,01 ∙ 10 и 0,001 ∙ 10.

В ы в о д:

Еслиа<b и с> 0, то abbc.

Сравните:

а) 11,1 и 12,1; 11,1 ∙ (–3) и 12,1 ∙ (–3);

б) 0,7 и 1; 0,7 ∙ (–1,1) и 1 ∙ (–1,1);

в) 0,01 и 0,001; 0,01 ∙ (–10) и 0,001 ∙ (–10).

В ы в о д:

Еслиа <b и с< 0, то abbc.

2-я г р у п п а – геометрический блок.

З а д а н и е 1. Еслиа правее b, то bа (а >b, то bа).

hello_html_m4fab3605.png

З а д а н и е 2. Еслиа левее b и b левее с, то ас.

hello_html_m6c607f4e.png

З а д а н и е 3. Еслиа левее b и с – любое число, то а + сb + c.

hello_html_m28ef09.png

З а д а н и е 4. Еслиа левее b и с – положительное число, то асbc.

hello_html_15b1a922.png

Используя рисунок, заполните пропуски так, чтобы получились верные утверждения.

Так как 2 < 3, то 2 · 100 … 3 · 100.

Так как 2 < 3, то 2 · 0,01 … 3 · 0,01.

hello_html_1fb4292a.png

hello_html_1b66e862.png

hello_html_m21fd3a3b.png

3-я г р у п п а – практический блок.

З а д а н и е 1. Еслиа тяжелее b, то bа (а >b, то bа).

hello_html_53bb0c9c.png

З а д а н и е 2. Еслиа легче b и b легче с, то ас.

hello_html_31abb6dd.png

З а д а н и е 3. Еслиа легче b и с – любое число, то а + сb + c.

hello_html_m549dca2a.png

З а д а н и е 4. Еслиа легче b и с – положительное число, то асbc.

hello_html_1917f1a0.png

2. Формулировка и доказательство теорем, выражающих свойства числовых неравенств.

Разобрать доказательство четырёх теорем согласно пункту учебника.

3. Прочитать правило (формулировка теоремы 4) на с. 158(с. 148) учебника. Обратить внимание на важность знания этой теоремы для решения неравенств с одной переменной.

4. Рассмотреть на конкретном примере следствие из теоремы 4 на с. 158(с. 148).

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 746 (№ 729), № 748(№ 731).

Эти упражнения на применение теорем 1 и 2. При решении следует выполнять как построение координатной прямой с точками (геометрическая интерпретация), так и запись соответствующих числовых неравенств.

2. № 749 (№ 732)(а, в), № 750 (№ 733)(б, г), № 751(№ 734) (а, в, е).

Р е ш е н и е

749.

а) a – 3 >b – 3; a – 3 + 3 >b – 3 + 3; a>b (поТ3).

a>b и b> 4, то a> 4 (по Т2). Значит, a и b – положительные числа.

в) 7a> 7b; 7a : 7 > 7b : 7; a>b (поТ4).

a>b и b>hello_html_m68ccdc59.gif, то a>hello_html_m68ccdc59.gif (по Т2). Значит, a и b – положительные числа.

750.

б) 5 > –3; 5 – 2 > –3 – 2; 3 > –5.

5 > –3; 5 – 12 > –3 – 12; –7 > –15.

5 > –3; 5 – (–5) > –3 – (–5); 10 > 2.

г) 15 > –6; 15 : 3 > –6 : 3; 5 > –2.

15 > –6; 15 : (–3) < –6 : (–3); –5 < 2.

15 > –6; 15 : (–1) < –6 : (–1); –15 < 6.

751.

а) a<b; a + 4 <b + 4;

в) a<b; 8a< 8b;

е) a<b; a : (–1) >b : (–1); –a> –b.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

Если к обеим частям верного неравенства прибавить отрицательное число, то получится ли верное неравенство?

Можно ли обе части верного неравенства домножить на отрицательное число, чтобы получилось верное неравенство? Какое ещё условие необходимо соблюсти?

Если a<b и b> 4. Можно ли утверждать, что a> 4?

Домашнее задание: 1 Новый учебник: № №747, 749, 751 .

2. Старый учебник: № №730, 732,734.



У р о к 68
ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Цели: закрепить знание теорем, выражающих основные свойства числовых неравенств; формировать умение применять изученные свойства при оценке значения выражения, развивать логическое мышление, внимание, воспитывать культуру речи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. Для каждой теоремы приведите примеры.

2. На основании какого свойства можно утверждать, что если x<y, то( вынести на доску):

а) x + 20 <y + 20; б) x – 20 <y; в) y>x;

г) hello_html_m68ccdc59.gifx<hello_html_m68ccdc59.gify; д) –3x> –3y; е) hello_html_7755db2e.gif.

3. Каков знак числа а, если:

а) 7a> 2a; б) –5a< –3a; в) 5a< 4a.

III. Проверочная работа (10 мин) – на отдельных листочках.

В а р и а н т 1

1. Зная, что b>a, c<a и d>b, сравните числа a и d; b и c.

2. Сравните с нулём числа a и b, если известно, что:

а) a + 5 >b + 5 и b> 0,5; б) –12a> –12b и b< –1.

В а р и а н т 2

1. Известно, что d>b, c<a и b>a. Расположите числа a,b, c, d в порядке возрастания.

2. Сравните с нулём числа a и b, если известно, что:

а) a + 1,2 >b + 1,2 и b> 3; б) –4a< –4b и b> 1.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 754 (№ 737) устно.

2. № 755 (№ 738).

Р е ш е н и е

a,b, c, d – положительные числа, значит, если:

1) a>b, то hello_html_5b7057ae.gif;

2) d<b, то hello_html_m34677397.gif;

3) c>a, то hello_html_m22ef95ec.gif.

Имеем: hello_html_4395f30d.gif.

О т в е т: hello_html_m25f53f0d.gif.

3. Известно, что a>b. Расположите в порядке возрастания числа:
a + 2; b – 8; a + 11; b; b – 6; a.( вынести на доску)

Р е ш е н и е

a + 2 >a, так как a + 2 – а = 2 > 0;

a + 11 >a + 2, таккакa + 11 – (a + 2) = a + 11 – а – 2 = 9 > 0;

b – 6 <b, так как b – 6 – b = –6 < 0;

b – 8 <b – 6, так как b – 8 – (b – 6) = b – 8 – b + 6 = –2 < 0.

Имеем: a + 11 >a + 2; a + 2 >a; a>b; b>b – 6; b – 6 >b – 8.

О т в е т: b – 8; b – 6; b; а; a + 2; a + 11.

4. Перед выполнением следующих заданий следует напомнить учащимся, что неравенства одного знака a<b и b<c можно записать в виде двойного неравенства a<b<c.

Следует проанализировать, как можно преобразовать двойное числовое неравенство, используя свойства числовых неравенств. Особое внимание уделить видоизменению неравенства при умножении на отрицательное число («переворачиваем» неравенство).

Метод оценивания значения числового выражения следует разобрать на примере со с. 158 (149)учебника.

757(№ 739).

Р е ш е н и е

3 <a< 4.

а) 3 ∙ 5 <a ∙ 5 < 4 ∙ 5; 15 < 5a< 20.

б) 3 ∙ (–1) <a ∙ (–1) < 4 ∙ (–1); –4 < –a< –3.

в) 3 + 2 <a + 2 < 4 + 2; 5 <a + 2 < 6.

г) 5 – а = –1 · а + 5, значит, –4 + 5 < –а + 5 < –3 + 5; 1 < 5 – a< 2.

д) 3 ∙ 0,2 <0,2а< 4 ∙ 0,2; 0,6 + 3 < 0,2а + 3 < 0,8 + 3; 3,6 < 0,2 + 3 < 3,8.

759(№ 741).

Р е ш е н и е

1,4 <hello_html_58795171.gif< 1,5.

а) 1,4 + 1 <hello_html_58795171.gif+ 1 < 1,5 + 1; 2,4 <hello_html_58795171.gif+ 1 < 2,5.

б) 1,4 – 1 <hello_html_58795171.gif– 1 < 1,5 – 1; 0,4 <hello_html_58795171.gif– 1 < 0,5.

в) 2 –hello_html_58795171.gif= (–1) · hello_html_58795171.gif+ 2; 1,4 · (–1) > (–1) · hello_html_58795171.gif> 1,5 · (–1);

1,5 < –hello_html_58795171.gif< –1,4; –1,5 + 2 < –hello_html_58795171.gif+ 2 < –1,4 + 2; 0,5 < 2 –hello_html_58795171.gif< 0,6.

762( № 744).

При выполнении этого упражнения используем следствие теоремы 4. Обращаем особое внимание учащихся, что утверждение справедливо только для положительных чисел.

Р е ш е н и е

а) 5 <y< 8, значит, hello_html_2c946e8f.gif, то есть hello_html_m517baab3.gif.

б) 0,125 <y< 0,25, hello_html_5df2184b.gif<y<hello_html_me09c0ba.gif, значит, 8 >hello_html_1a468af1.gif> 4, то есть 4 <hello_html_1a468af1.gif< 8.

5. № 761( № 743).

В этом упражнении демонстрируется практическое применение свойств числовых неравенств.

Р е ш е н и е

а) Пусть а см – сторона квадрата, тогда Р = 4а см – периметр квадрата.

5,1 ≤ а ≤ 5,2; 5,1 · 4 ≤ 4а ≤ 5,2 · 4; 20,4 ≤ 4а ≤ 20,8.

б) Пусть Р см – периметр квадрата, тогда а = hello_html_5ca0fbbd.gif см – сторона квадрата.

15,6 ≤ Р ≤ 15,8; 15,6 : 4 ≤ hello_html_5ca0fbbd.gif ≤ 15,8 : 4; 3,85 ≤ а ≤ 3,95.

О т в е т: а) 20,4 ≤ 4а ≤ 20,8; б) 3,85 ≤ а ≤ 3,95.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

В каком случае целесообразно записать неравенства в виде одного двойного неравенства?

Каким образом используют основные свойства числовых неравенств при оценке значения выражения?

Домашнее задание.1.Новый учебник: № № 758, 760, 761.

2.Старый учебник:№ № 751, 753,755



Для разработки уроков были использованы следующие материалы:

1.Учебник для общеобразовательных учреждений АЛГЕБРА 8 класс под редакцией С.А. Теляковского, Москва «Просвещение» 2011 г. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.

2. Учебник для общеобразовательных учреждений АЛГЕБРА 8 класс под редакцией С.А. Теляковского, Москва «Просвещение» 2006 г.Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

3Рурукин А.Н.Поурочные разработки по АЛГЕБРЕ к учебникам Ю.Н.Макарычева, Ш.А.Алимова. МОСКВА «ВАКО» 2008 г.

4.Электроннное пособие: Поурочное планирование АЛГЕБРА по учебнику Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой. Издательство «Учитель» 2010 г.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

 

 

 

Цикл уроков по алгебре в 8 классе

по теме: «Числовые неравенства»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

2012 г.

У р о к  65
ТЕМА: числовые неравенства

Цели: повторить правила сравнения чисел; ввести определение понятия числового неравенства; формировать умение использовать данное определение для сравнения чисел и доказательства неравенств, развивать логическое мышление, воспитывать аккуратность, культуру математической речи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Объявить результаты контрольной работы, выделить типичные ошибки, допущенные учащимися при её выполнении.

2. Вынести на доску решение заданий, с которыми учащиеся не справились.

III. Актуализация знаний.

1.Вспомним правило  сравнения действительных чисел. Определению понятий «больше» и «меньше» (геометрически) соответствует взаимное расположение точек на координатной прямой:

 - из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее,

-  меньше то, которое расположено левее,

 -  всякое отрицательное число меньше нуля.

2.Вспомним правило  сравнения чисел:

а)всякое отрицательное число меньше любого положительного числа,

б)из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель (следовательно, для сравнения обыкновенных дробей, необходимо сперва привести их к общему знаменателю),

в)из десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть (если целые части совпадают, то сравниваем в разрядах десятых, сотых, тысячных и т. д., пока не «увидим» большую цифру в разряде),

г) чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, приведём обыкновенную дробь к десятичной и сравним две десятичные дроби.

д)из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

IV. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор).

1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:

а) –15 * 0;                б) 3 * 0;                    в)  * 2;

г)  * ;                 д) 1,25 * 1 ;                е) 0,6 * ;

ж)  * ;           з) –0,07 * ;            и) –5,6786 * –5,679.

2. Сравните с нулём значение выражения:

а) (–6,3)3;         б) (–2,1)4;         в) 05;         г) ;         д) .

V. Объяснение нового материала.

1. Мы рассмотрели с вами достаточно много примеров сравнения, как действительных чисел, так и просто чисел. Возникает потребность в таком способе сравнения, который позволил бы охватить все рассмотренные случаи, т.е. использовать универсальный способ сравнения чисел. Удобнее и проще всего проводить сравнение числа с нулём, поэтому вводится следующее 

о п р е д е л е н и е:  число а больше числа b, если разность а – b – положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b – отрицательное число.

Это определение можно занести в таблицу

Разность чисел

а – б ˃ 0

а – б ˂ 0

а – б = 0

Соотношение между числами

а ˃ б

а ˂ б

а = б

 

2. Рассматриваем рис. 22 на (с. 145, рис.21-старый учеб.) с. 153 учебника и получаем геометрическую интерпретацию нового определения.

3. Разбираем пример № 1 на с. 153( с.145) учебника. Вывод: при любома разность отрицательна.

VI. Формирование умений и навыков.

1)                    Непосредственное применение определения числового неравенства (сравнение чисел);

1. № 724 (№711), № 725 (№ 712) (устно).

2) Доказательство числовых неравенств (определение верности неравенства при любом значении, входящей в его запись буквы).

2. № 726 (№ 713).

Р е ш е н и е

При а = –5

3а(а + 6) = 3 · (–5) (–5 + 6) = –15,

(3а + 6)(а + 4) = (3 ·(–5) + 6)(–5 + 4) = –9;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 0

3а (а + 6) = 3 · 0 (0 + 6) = 0,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 0 + 6) (0 + 4) = 24;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 40

3а (а + 6) = 3 · 40 (40 + 6) = 5520,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 40 + 6) (40 + 4) = 5544;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

Докажем, что 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4) при любом значении а. Составим разность выражений:

3а(а + 6) – (3а + 6)(а + 4) = 3а2 + 18а – 3а2 – 12а – 6а – 24 = –24.

При  любом а рассматриваемая  разность  отрицательна,  значит, 3а(а +
+ 6) < (3а + 6)(а + 4).

3. № 728 (№ 715) (а, б), № 729 (№ 716) (а, г), № 730 (№ 717) (а, в).

Р е ш е н и е

№ 728.

а) 3(а + 1) + а – 4(2 + а) = 3а + 3 + а – 8 – 4а = –5 < 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) (7p – 1)(7p + 1) – 492 = 49p2 – 1 – 49p2 = –1 < 0, значит, неравенство верно при любом значении р.

№ 729.

а) 2b2 – 6b + 1 – 2b(b – 3) = 2b2 – 6b + 1 – 2b2 + 6b = 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении b.

г) 8y(3y – 10) – (5y – 8)2 = 24y2 – 80y – 25y2 + 80y – 64 = –y2 – 64 = –(y2 +
+ 64) < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

Надо обратить внимание учащихся, что если у2 + 64 > 0 для любого у, то противоположное ему по значению выражение –(у2 + 64) < 0.

№ 730.

а) 4x(x + 0,25) – (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 + x – 4x2 + 9 = x + 9.

Выражение  может  быть  как  положительным,  так  и  отрицательным, а также  равным  нулю  в  зависимости  от  х,  значит,  неравенство  не  верно  при любых х.

в) (3x + 8)2 – 3x(x + 16) = 9x2 + 48x + 64 – 3x2 – 48x = 6x2 + 64 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

4. № 732(№ 719) (а, б).

Р е ш е н и е

а) 10а2 – 5а + 1 – а2 – а = 9а2 – 6а + 1 = (3а – 1)2 ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) 50а2 – 15а + 1 – а2 + а = 49а2 – 14а + 1 = (7а – 1)2 ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила сравнения положительных чисел, отрицательных, разного знака.

– Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей, десятичных.

– Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел. Приведите геометрическую интерпретацию.

Домашнее  задание:  1.Новый учебник: №№ 727, 729, 730 (б, г)2.Старый учебник: № №714, 716, 717(б,г)

 

 

У р о к  66
ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Цели: продолжить формирование умения доказывать числовое неравенство по его определению; формировать умение решать задачи на составление и доказательство числового неравенства, развивать психические процессы, воспитывать культуру общения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор).

1. Сравните числа a и b, если a – b равно:

а) –3;       б) 0,2;       в) 0;       г) (–3)6;       д) b – а;       е) 2 – 3.

2. Расположите в порядке возрастания числа:

1,2;       1 ;       1 ;       1,4;       1 .

3. Сравните числа:

а)  и 6 ;                  в)  и ;

б) 3 и ;                  г)  и 14 .

III. Проверочная работа (10 мин).

В а р и а н т  1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) < (x + 3)2 – 2x.

В а р и а н т  2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) > (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)2 + 3x> 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т  1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y2 + 12y – y – 2 – 6y2 – 3y – 8y – 4 =
= –6 < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)2 + 2x = 4x + 8 – x2 – 6x – 9 + 2x = –x2 – 1 =
= –(x2 + 1) < 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

В а р и а н т  2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y2 + y – 2y – 1 – 4y – 6y2 + 2 + 3y =
= 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) (x – 5)2 + 3x – 7(1 – x) = x2 – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x2 + 18 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Разобрать пример 2 со с. 153–154(145-146) учебника.

2. № 731(№ 718) (а, в).

Р е ш е н и е

а) a(a + b) – ab = a2 + ab – ab = a2 ≥ 0 при любом значении а, значит, неравенство верное.

в) 2bc – b2 – c2 = –(b2 – 2bc + c2) = –(b – c)2 ≤ 0 при любых значениях b и c, значит, неравенство верное.

3. № 733 (№ нет- вынести условие на доску ).

Р е ш е н и е

 

≥ 0
при а> 0 (так как (а – 2)2 ≥ 0 и а> 0), значит, неравенство верное при любом положительном а.

4. № 735 (№ 731) (б), № 736 (№ 718) (а), № 737( нет).

Р е ш е н и е

№ 735.

б)  ≤ 0
(так как (с – 1)2
³ 0, с2 + 1 > 0), значит, неравенство верное при любом значении с.

№ 736.

а) а2 – 6а + 14 = а2 – 2 ∙  3 ∙  а + 9 + 5 = (а – 3)2 + 5 > 0 при любом значении а.

№ 737. Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать общий ответ.

1) а2 – 2а + 3  =  а2 – 2 ∙  1 ∙  а + 1 + 2 = (а – 1)2 + 2 > 0  при  любых  значениях а.

2) а2 + 6 – 4а = а2 – 2 ∙  2 ∙  а + 4 + 2 = (а – 2)2 + 2 > 0 при любых значениях а.

3) 4а – 4 – а2 = –(а2 – 2 ∙  2 ∙  а + 4) = –(а – 2)2 ≤ 0, значит, не является верным при любом значении а.

4) 8а – 70 – а2 = –(а2 – 2 ∙  4 ∙  а + 16 + 54) = –((а – 3)2 + 54) < 0 при любых значениях а.

О т в е т: 3.

5. № 738( нет) (а, в), № 739 (№ 723), № 741( № 725).

Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предполагают осознанное применение правила сравнения чисел.

Р е ш е н и е

№ 738.

Пусть a и b – положительные числа и а2>b2.

По определению а2 – b2> 0. Разложим левую часть неравенства на множители: (а – b)(а + b) > 0.

Сомножитель  a + b> 0  (так как a> 0 и b > 0),  значит,  и  сомножитель a – b> 0, то есть a>b, что и требовалось доказать.

а) Составим разность квадратов чисел:

( + )2 – ( + )2 = 6 + 2 + 3 – 7 – 2 – 2 =
= 2( – ) > 0.

Значит, по доказанному выше свойству: + > + .

в) ( – 2)2 – ( – )2 = 5 – 4 + 4 – 6 + 2 – 3 = 2 –
– 2 = 2( – ) < 0.

Значит, по доказанному выше свойству: – 2 < – .

№ 739. Это упражнение является продолжением предыдущего. Учащиеся могут сначала попытаться составить разность левой и правой части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результатами решения предыдущей задачи, также следует задать учащимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.

Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства

 

 ≤ 0 при любых a ≥ 0 и b ≥ 0. Значит, неравенство верно  ≤  и верно  ≤  для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

№ 741.

Даны числа 0; 1; 2; 3.  Получили  числа  k; k + 1; k + 2; k + 3.  Сравним произведения  k · (k + 3)  и  (k + 1)(k + 2).  Составим  разность  этих  выражений:

k(k + 3) – (k + 1)(k + 2) = k2 + 3k – k2 – 2k – k – 2 = –2 < 0, значит, k · (k +
+ 3) < (k + 1)(k + 2) при любом значении k.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения в классе или дома задачу повышенной трудности.

№ 742.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Коля

VК = 5 км/ч

tК =  ч

П  С

½ пути                           ½ пути

Миша

 

 

 

t =  ч

tМ =  ч

 

VМ = 5,5 км/ч

VМ = 4,5 км/ч

Сравним время, затраченное Колей и Мишей на путь от посёлка до станции. Составим разность tК – tМ = < 0. Значит,  Коля  затратил  на  путь  меньше  времени  и  пришёл  на  станцию раньше.

О т в е т: Коля.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Дайте определение числового неравенства.

– Сформулируйте универсальное правило сравнения двух чисел.

– Какие выражения называются средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел? Каким соотношением они связаны?

Домашнее задание: 1. Новый учебник: №№ 735 , № 736, № 745(а)

                                   2. Старый учебник: №№ 721,722,728(а)

 

У р о к  67
ТЕМА: свойства числовых неравенств

Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умения применять теоремы-свойства при решении задач, развивать логическое  мышление, память , внимание, воспитывать усидчивость , аккуратность.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор

(5 мин)).

1. Сравните числа:

а)  и ;                                  в)  и ;

б) 0,4

Автор
Дата добавления 22.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2179
Номер материала 327956
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх