Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / "Декартова система координат на плоскости", "Координатные углы"

"Декартова система координат на плоскости", "Координатные углы"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gif
hello_html_m2a7690f7.gif
Декартова система координат на плоскости.

1) Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат – ось hello_html_m76fcc87c.gif и ось hello_html_1c7c52da.gif – с точкой пересечения hello_html_3b0534db.gif, являющейся начальной точкой каждой из этих осей.

Говорят, что этим на плоскости определена система координат hello_html_m15749ca1.gif. Ее называют еще прямоугольной или декартовой системой координат hello_html_m15749ca1.gif по имени французского математика и философа Декарта, который ввел в математику это важное понятие.

Оси hello_html_m76fcc87c.gif и hello_html_1c7c52da.gif могут иметь разные единичные отрезки (мы будем рассматривать оси с равными единичными отрезками, если не оговорено противное).

Ось hello_html_m76fcc87c.gif называется еще осью абсцисс, а ось hello_html_1c7c52da.gif – осью ординат. Точку hello_html_3b0534db.gif пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана, декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс изображают на бумаге в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат – в виде вертикальной прямой, направленной вверх.

C

A1

А

D

1

1

O

y

х

Так мы и согласимся делать, если какие-либо соображения не заставят нас отклониться от этого соглашения. Буквы hello_html_m76fcc87c.gif и hello_html_1c7c52da.gif мы тоже иногда будем считать удобным заменять другими буквами hello_html_m5d851b93.gif

2) Проекцией точки на какую-либо прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую.

На рисунке изображена прямая hello_html_m4cf93aa4.gif, точка hello_html_m4f3a74e6.gif и точка hello_html_58ef8dfd.gif, являющаяся проекцией hello_html_m4f3a74e6.gif на hello_html_m4cf93aa4.gif.

D

-4

B

y

F

4

O

х

5

Рис. 5

1

C

y

A(4,3)

4

O

х

3

Рис. 4

y

A(x,y)

x

1

1

O

х

y

Рис. 3

Пусть в плоскости задана прямоугольная система координат hello_html_m15749ca1.gif.




Зададим в этой плоскости точку hello_html_m4f3a74e6.gif (рис. 3).

Абсциссой точки называется координата hello_html_m76fcc87c.gif ее проекции на ось абсцисс (ось hello_html_m76fcc87c.gif).

Ординатой точки называется координата hello_html_1c7c52da.gif ее проекции на ось ординат (ось hello_html_1c7c52da.gif).

Абсцисса hello_html_m76fcc87c.gif и ордината hello_html_1c7c52da.gif точки hello_html_m4f3a74e6.gif называются координатами точки.

Координаты точки обычно записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: hello_html_15619c09.gif, причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором – ордината. Например, точка hello_html_m4f3a74e6.gif, изображенная на рис. 4, имеет абсциссу hello_html_mc0a5848.gif и ординату hello_html_m2942ac69.gif, поэтому пишут hello_html_264df723.gif.

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке hello_html_m4f3a74e6.gif плоскости приводится в соответствие пара чисел hello_html_2ce39bd.gif координаты точки, и в то же время произвольную пару чисел hello_html_2ce39bd.gif можно рассматривать как координаты некоторой точки hello_html_m4f3a74e6.gif плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, переменив эти числа местами, мы получим другую пару чисел, определяющую другую точку на плоскости.

Поэтому часто координаты hello_html_2ce39bd.gif точки hello_html_m4f3a74e6.gif называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу hello_html_m76fcc87c.gif точки hello_html_m4f3a74e6.gif называют еще первой координатой, так как записывают на первом месте, а ординату hello_html_1c7c52da.gif второй координатой точки hello_html_m4f3a74e6.gif.

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат hello_html_m15749ca1.gif, то

  1. каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

  2. разным точкам на плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

  3. каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной) точке плоскости (см. пункт 2).

Эти три утверждения можно заменить следующими словами:

Между точками плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие.


Упражнение.

Отметить на координатной плоскости точки:

hello_html_m4b0e2f5d.gif

Координатные углы. Координаты симметричных точек

Прямоугольная система координат hello_html_m15749ca1.gif разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами, или координатными четвертями, или квадрантами.

Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 6).

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что:

точки угла I имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_m4b506aca.gif, hello_html_2722a623.gif;

точки угла II имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_159e077c.gif, hello_html_2722a623.gif;

точки угла III имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_159e077c.gif, hello_html_m694c1b5c.gif;

точки угла IV имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_m4b506aca.gif, hello_html_m694c1b5c.gif.

Например, точка В( 1, 1) на рис. 7 принадлежит углу II; точка D(4, 4) принадлежит углу IV.

Легко видеть, что:

абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси hello_html_1c7c52da.gif;

Е

B

-2

-1

1

2

-1

-2

-4

D

y

F

1

O

х

Рис. 7

C

А

ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси hello_html_m76fcc87c.gif.


y

I

II

III

IV

Рис. 6

1

O

х

1

Например, на рис. 5 точка F лежит на оси hello_html_1c7c52da.gif и имеет абсциссу hello_html_6683fada.gif, точка Е лежит на оси hello_html_m76fcc87c.gif и имеет ординату hello_html_maf13631.gif.

Отметим еще, что начало координат точка О и только она имеет обе координаты, равные нулю.

Две точки hello_html_4c872098.gifи hello_html_5048eebb.gif называются:

симметричными относительно оси ординат (оси hello_html_1c7c52da.gif), если их координаты удовлетворяют равенствам

hello_html_7c63a7e6.gif

симметричными относительно оси абсцисс (оси hello_html_m76fcc87c.gif), если их координаты удовлетворяют равенствам

hello_html_m2192283d.gif

симметричными относительно начала координат (точки О), если их координаты удовлетворяют равенствам

hello_html_2bd4e6ec.gif


Например, на рис. 7 точки А и В симметричны относительно оси ординат, точки С и D симметричны относительно оси абсцисс, точки E и F симметричны относительно начала координат.








Вопросы.

  1. Для каких точек абсцисса равна нулю?

  2. Для каких точек ордината равна нулю?

  3. Для каких точек абсцисса положительна?

  4. Для каких точек ордината положительна?

  5. Какие точки симметричны относительно оси абсцисс?

  6. Какие точки симметричны относительно оси ординат?

  7. Какие точки симметричны относительно начала координат?


Упражнение.

Для точки А найти точки, симметричные ей относительно оси hello_html_m76fcc87c.gif, относительно оси hello_html_1c7c52da.gif и относительно начала координат, если:

а) А (1, 2); б) А (1, 3); в) А (2, 3); г) А ( 4, 3),и отметить эти точки на координатной плоскости.


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 06.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров265
Номер материала ДВ-311142
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх