479129
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспекты"Декартова система координат на плоскости", "Координатные углы"

"Декартова система координат на плоскости", "Координатные углы"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_m2a7690f7.gif
hello_html_m2a7690f7.gif
Декартова система координат на плоскости.

1) Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат – ось hello_html_m76fcc87c.gif и ось hello_html_1c7c52da.gif – с точкой пересечения hello_html_3b0534db.gif, являющейся начальной точкой каждой из этих осей.

Говорят, что этим на плоскости определена система координат hello_html_m15749ca1.gif. Ее называют еще прямоугольной или декартовой системой координат hello_html_m15749ca1.gif по имени французского математика и философа Декарта, который ввел в математику это важное понятие.

Оси hello_html_m76fcc87c.gif и hello_html_1c7c52da.gif могут иметь разные единичные отрезки (мы будем рассматривать оси с равными единичными отрезками, если не оговорено противное).

Ось hello_html_m76fcc87c.gif называется еще осью абсцисс, а ось hello_html_1c7c52da.gif – осью ординат. Точку hello_html_3b0534db.gif пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана, декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс изображают на бумаге в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат – в виде вертикальной прямой, направленной вверх.

C

A1

А

D

1

1

O

y

х

Так мы и согласимся делать, если какие-либо соображения не заставят нас отклониться от этого соглашения. Буквы hello_html_m76fcc87c.gif и hello_html_1c7c52da.gif мы тоже иногда будем считать удобным заменять другими буквами hello_html_m5d851b93.gif

2) Проекцией точки на какую-либо прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую.

На рисунке изображена прямая hello_html_m4cf93aa4.gif, точка hello_html_m4f3a74e6.gif и точка hello_html_58ef8dfd.gif, являющаяся проекцией hello_html_m4f3a74e6.gif на hello_html_m4cf93aa4.gif.

D

-4

B

y

F

4

O

х

5

Рис. 5

1

C

y

A(4,3)

4

O

х

3

Рис. 4

y

A(x,y)

x

1

1

O

х

y

Рис. 3

Пусть в плоскости задана прямоугольная система координат hello_html_m15749ca1.gif.




Зададим в этой плоскости точку hello_html_m4f3a74e6.gif (рис. 3).

Абсциссой точки называется координата hello_html_m76fcc87c.gif ее проекции на ось абсцисс (ось hello_html_m76fcc87c.gif).

Ординатой точки называется координата hello_html_1c7c52da.gif ее проекции на ось ординат (ось hello_html_1c7c52da.gif).

Абсцисса hello_html_m76fcc87c.gif и ордината hello_html_1c7c52da.gif точки hello_html_m4f3a74e6.gif называются координатами точки.

Координаты точки обычно записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: hello_html_15619c09.gif, причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором – ордината. Например, точка hello_html_m4f3a74e6.gif, изображенная на рис. 4, имеет абсциссу hello_html_mc0a5848.gif и ординату hello_html_m2942ac69.gif, поэтому пишут hello_html_264df723.gif.

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке hello_html_m4f3a74e6.gif плоскости приводится в соответствие пара чисел hello_html_2ce39bd.gif координаты точки, и в то же время произвольную пару чисел hello_html_2ce39bd.gif можно рассматривать как координаты некоторой точки hello_html_m4f3a74e6.gif плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, переменив эти числа местами, мы получим другую пару чисел, определяющую другую точку на плоскости.

Поэтому часто координаты hello_html_2ce39bd.gif точки hello_html_m4f3a74e6.gif называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу hello_html_m76fcc87c.gif точки hello_html_m4f3a74e6.gif называют еще первой координатой, так как записывают на первом месте, а ординату hello_html_1c7c52da.gif второй координатой точки hello_html_m4f3a74e6.gif.

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат hello_html_m15749ca1.gif, то

  1. каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

  2. разным точкам на плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

  3. каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной) точке плоскости (см. пункт 2).

Эти три утверждения можно заменить следующими словами:

Между точками плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие.


Упражнение.

Отметить на координатной плоскости точки:

hello_html_m4b0e2f5d.gif

Координатные углы. Координаты симметричных точек

Прямоугольная система координат hello_html_m15749ca1.gif разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами, или координатными четвертями, или квадрантами.

Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 6).

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что:

точки угла I имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_m4b506aca.gif, hello_html_2722a623.gif;

точки угла II имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_159e077c.gif, hello_html_2722a623.gif;

точки угла III имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_159e077c.gif, hello_html_m694c1b5c.gif;

точки угла IV имеют координаты hello_html_2ce39bd.gif такие, что hello_html_m4b506aca.gif, hello_html_m694c1b5c.gif.

Например, точка В( 1, 1) на рис. 7 принадлежит углу II; точка D(4, 4) принадлежит углу IV.

Легко видеть, что:

абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси hello_html_1c7c52da.gif;

Е

B

-2

-1

1

2

-1

-2

-4

D

y

F

1

O

х

Рис. 7

C

А

ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси hello_html_m76fcc87c.gif.


y

I

II

III

IV

Рис. 6

1

O

х

1

Например, на рис. 5 точка F лежит на оси hello_html_1c7c52da.gif и имеет абсциссу hello_html_6683fada.gif, точка Е лежит на оси hello_html_m76fcc87c.gif и имеет ординату hello_html_maf13631.gif.

Отметим еще, что начало координат точка О и только она имеет обе координаты, равные нулю.

Две точки hello_html_4c872098.gifи hello_html_5048eebb.gif называются:

симметричными относительно оси ординат (оси hello_html_1c7c52da.gif), если их координаты удовлетворяют равенствам

hello_html_7c63a7e6.gif

симметричными относительно оси абсцисс (оси hello_html_m76fcc87c.gif), если их координаты удовлетворяют равенствам

hello_html_m2192283d.gif

симметричными относительно начала координат (точки О), если их координаты удовлетворяют равенствам

hello_html_2bd4e6ec.gif


Например, на рис. 7 точки А и В симметричны относительно оси ординат, точки С и D симметричны относительно оси абсцисс, точки E и F симметричны относительно начала координат.








Вопросы.

  1. Для каких точек абсцисса равна нулю?

  2. Для каких точек ордината равна нулю?

  3. Для каких точек абсцисса положительна?

  4. Для каких точек ордината положительна?

  5. Какие точки симметричны относительно оси абсцисс?

  6. Какие точки симметричны относительно оси ординат?

  7. Какие точки симметричны относительно начала координат?


Упражнение.

Для точки А найти точки, симметричные ей относительно оси hello_html_m76fcc87c.gif, относительно оси hello_html_1c7c52da.gif и относительно начала координат, если:

а) А (1, 2); б) А (1, 3); в) А (2, 3); г) А ( 4, 3),и отметить эти точки на координатной плоскости.


Общая информация

Номер материала: ДВ-311142

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Онлайн-конференция Идет регистрация