Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Декартово произведение. Разбиение множеств на классы

Декартово произведение. Разбиение множеств на классы



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

КАРТА – СХЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ



продолжительность - 90 минут

Тема занятия: Декартово произведение и разбиение множеств на классы

Цели занятия:

  • расширить знания студентов с темы действия с множествами, рассмотреть Декартово произведение, разбиение множеств на классы;

  • способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

  • создать условия для применения полученных знаний при выполнении расчетных заданий.


Необходимое аппаратное и программное обеспечение:

  • компьютер;

  • экран;

  • проектор.


Дидактическое обеспечение:

  1. Карточки с заданиями самостоятельной работы

  2. Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. - 4-е изд., стер. - М. : Издательский центр "Академия", 2014.

  3. Информационные источники:

Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. - 4-е изд., стер. - М. : Издательский центр "Академия", 2014.

Тип и вид учебного занятия:

  • лекция.




ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА



Этапы урока

Содержание и виды деятельности преподавателя

Примечания

1. Организационный этап

Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.


2. Актуализация ЗУН

Устный опрос.

- Что такое множество? Что означает задать множество?

- Способы задания множеств

- Что такое подмножество?

-какие действия выполняем над множествами?

- Что такое пересечение? Объединение?

- Какие свойства пересечения, объединения?

Самостоятельная работа (с взаимопроверкой)

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

   Найдите: а) А∩В;  б) А∩С;  в) С∩В.


2. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

   Найдите: а) АUВ;  б) АUС;  в) СUВ.


3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

    Найдите а)(А∩В)∩С; б) )(Аhello_html_48d46fa3.gifВ)hello_html_48d46fa3.gifС; в) (Аhello_html_48d46fa3.gif В)∩С


3. Изучение нового материала


Теоретические сведения.

- Декартово произведение.

- разбиение множеств на классы



4. Первичное закрепление

Практическое выполнение заданий


5. Информация о домашнем задании

Самостоятельная работа

Методические рекомендации для самостоятельной работы

6. Подведение итогов урока

Подведение итогов работы группы, отдельных студентов.

Корректирование пробелов знаний.

Рефлексия














Декартово произведение

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:   

                                    11   12   13

                                    21   22   23

                                    31   32   33

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2  образованы числа 12 и  21.


В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент bвторой.


Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А={1, 2, 3} и образовывали всевозможные пары.


Рассмотрим другой пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifА, bОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifВ. Получим некоторое новое множество  {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.


Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ. Таким образом  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ = {(x;y) | xОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifA, yОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifB}.


Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.


Рассмотрим следующий пример. Известно, что АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ={(2, 3), (2, 5),    (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству  А, а вторая – множеству  В, то данные множества имеют следующий вид:  А={2, 3}, B={3, 5, 6}.


Перечислим элементы, принадлежащие множеству АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ, если
А={a, b, c, d},   B=A. Декартово произведение АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.


Количество пар в декартовом прoизведении АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В:   n(АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ)=n(A)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifn(B).


В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.


Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif, АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif,…, AОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif, вторая – АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif, …, n-ая – множеству А: АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifAОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif.


Пусть даны множества АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif={2, 3}; АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif={3, 4, 5}; AОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage095.gif={7, 8}. Декартово произведение АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage095.gif={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.


Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы ХОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif, ХОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif,…, ХОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif, если:

1)     подмножества    ХОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif, ХОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif,…, ХОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif попарно не пересекаются;

2)     объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х;  b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством  N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество  III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage093.gif

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

       Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников Aразбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством A.

2. Множество четырехугольников Bразбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат – частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества Bне получено.

3. Дано множество прямых Cв пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством C.

4. Дано множество N, которое можно разделить на два класса: N_1и N_2, где N_1– множество натуральных четных чисел, а N_2– множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество Xразбито на три класса: X_1, X_2 и X_3. X_1множество чисел, которые делятся на 2, X_2– множество чисел, которые делятся на  3, X_3 множество чисел, которые делятся на 5. Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на 2, 3 и 5. Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Практические задания

Пример 1. Даны множества: А1= {2, 3}, А2= {3, 4, 5}, А3 = {6, 7}. Найти А1´ А2 ´А3.

Решение. Элементами множества А1´ А2 ´А3 будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, третья – множеству А3.

А1´ А2 ´А3 ={(2, 3, 6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)}.

Пример 2. Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение XX. Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».

Решение.

Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:

X  Х= {(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7)}.

Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:

W={(3;5),(3;7),(5;7)}.

В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX. Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения W XX.

2) Декартово произведение двух множеств X  Y.

Пример 3.

Пусть заданы два множества: X= {2, 6, 1}, Y= {7, 4, 8}.

Записать декартово произведение X  Y .

Решение.

Декартово произведение двух множеств равно:

X  Y={(2, 7), (2, 4), (2, 8), (6, 7), (6, 4), (6, 8), (1, 7), (1, 4), (1, 8)}.

Аналогично можно найти декартово произведение трёх множеств: X  YZ.




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 14.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1319
Номер материала ДВ-258906
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх