Инфоурок Математика Научные работыДеление углов и диофантовы уравнения

Деление углов и диофантовы уравнения

Скачать материал

Муниципальный координатор по работе с детьми с повышенной учебной мотивацией в области математики.

МБОУ «Лицей №6 имени М.А. Булатова»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дистанционная лекция 

 

 

Деление углов и диофантовы уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитель 

МБОУ «Средняя школа №5 им И.П. Волка» г. Курска 

                                                                      Тихомирова Л.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курск – 2018

         В школьном курсе геометрии вы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые; откладывали отрезки, равные данным; строили углы, равные данному углу;  через данную точку проводили прямую, перпендикулярную данной прямой;  делили угол пополам и т.д. Какие углы всегда можно построить с помощью циркуля и линейки? Конечно: 60° – угол в равностороннем треугольнике, 30° – биссектриса угла в равностороннем треугольнике, 45° – биссектриса прямого угла, 15° – биссектриса угла 30° , 90° – перпендикуляр к прямой, 180° – развернутый угол.

Рассмотрим несколько задач.

1.     Имея угол 14° разделить его на 14 равных частей. Т. е. наша задача состоит в том, чтобы с помощью циркуля и линейки построить 14 углов по 1°.

Возьмем этот угол 2 раза и получим угол в 28 °.  Умея строить угол 30°. Получим разность между углами равную 2°, полученный угол можем разделить, пополам пользуясь  знаниями курса школьной геометрии.  Таким образом, мы получаем угол в 1°. С помощью которого можно разделить наш исходный угол в 14° на 14 равных углов.

1°,14°,30°
 

 

 

 


                                                                            

 

2.     Применяя деления углов пополам, можно разделить угол в 16° на 16 равных частей. Так разделив его пополам,  получим угол в 8°, затем проделав те же манипуляции- угол 4°,  2° и наконец в 1°.

 

3.     А что же делать если угол, который необходимо разделить равен 19 °? В таком случае начнем увеличивать наш угол, последовательно прибавляя по 19. Т.е. сначала получим угол в 38°, затем в 57° и так  далее, пока не получим угол 19°×19 = 361°, Перехлест, то есть избыток полных 360° составляет 1°. Что нам и необходимо.

4.     Попробуем применить данный алгоритм построения, имея угол в 17°. Чтобы превзойти полный угол 360° , необходимо взять исходный угол в 17° × 22 раза. То есть 17°×22 = 374°. Перебор составляет  14°. А с этой задачей мы уже сталкивались (см. зд. 1). Но тут удобнее использовать недобор. Угол 357° получен при 17°×21, значит, у нас есть угол 360° - 357° = 3°. Берём этот угол 6 раз и из полученного угла 18° вычитаем данный угол 17°. Получаем угол 1°. (Подумайте, какой ещё способ можно применить в данной задаче имея угол в 45°( который мы умеем строить)).

17°18°               

 

 

 

     Изучив предложенные решения некоторых задач. Можно заметить, что для решения задачи о делении данного в условии угла мы систематически использовали другие углы, которые мы можем построить. Это углы 45°, 30°, 360° и другие. Оказывается, есть общий приём решения подобных задач. И связан он с диофантовыми уравнениями.

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неиз­вестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвест­ные значения величин могут быть только целыми числами.

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

 

 

 

 

 

Имеет место такая теорема:

Пусть а и ввзаимно простые числа, n – целое число.

Тогда уравнение аx + ву= n (1)

имеет бесконечно много решений (х; у) на множестве целых чисел. Для наших задач о делении углов следует считать n = 1.

Вернемся к задаче 1.

5.     С помощью циркуля и линейки разделить угол 14°  на 14 равных частей.

Для решения будем использовать угол в 45 °.  Беря во внимание уравнение вида (1), получим  уравнение:

14x +45y = 1.        (2)

Выразим переменную, при которой стоит меньший коэффициент – x:

14x = 1-45y,

Чтобы при целом значении у, получалось целое значение х, числитель последней дроби должен делиться на 14, то есть должно выполняться равенство:

                                           (3)

где z – некоторое целое число.

Уравнение (3) это тоже уравнение вида (1), только с наименьшими коэффициентами. Поэтому:

               (4)

Чтобы при целом значении z было целым и значение у, требуется делимость числа 1 - 2z на 3. Следовательно:

1-2z = 3a.                                     (5)

               (6)

 

Так как z должно быть целым числом

1-a = 2t, где t – целое число.

a = 1-2t.

Иначе говоря, a - это произвольное нечётное число.

 Теперь надо вернуться к исходным неизвестным. Последовательно получаем:

 

 

То есть общее решение для уравнения 14x +45y = 1 таково:

                                                        .

Проверка: 14(45t - 16) + 45(5 - 14t) = = - 14 х 16 + 45 х 5 = -224 + 225 = 1.

   Для задачи деления угла 14° формулы (7) означают следующее. При t = 0 имеем частное решение х = - 16, у= 5, то есть 14° ×(-16) + 45° × 5 = 1 Если отложить пять раз угол 45° и из результата шестнадцать раз вычесть данный угол 14°, то получится угол 1°. Задача о делении угла решена.

 

 

 

 

   Без пояснений приведём пример решения уравнения

. Оно таково:

 ⇒

Бесконечное множество решений: ⇒  .

Частное решение:     x=2, y=-1

                                         x=-3, y=2

Линейные диофантовы уравнения используются не только для решения задач по геометрии. Их можно использовать для решения различных жизненных проблем. Приведем пример такой задачи:

Для настилки пола шириной в 3 метра имеются доски шириной в 11 см и 13 см. Сколько нужно взять досок того и другого размера?

Если х – число досок шириной в 11 см, а у – число досок шириной в 13 см, то нам надо решить уравнение:

11 х + 13 у = 300    ⇒          

 

Проверка: если  а=1⇒ х=19(необходимо досок шириной 11 см),

                                  у=7(необходимо досок шириной 13 см) .  11×19+13×7=300.

 

 

Задания для самостоятельного решения.

1.Дан угол 23° . разделить его (с помощью циркуля и линейки на 23 равные части).

2. С помощью циркуля и линейки разделить угол 13° на 13 равных частей.

3. У мальчика было 50  коп., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 коп. и по 3 коп, но у продавца марок совсем не было мелочи. Помогите мальчику и продавцу выйти из создавшегося положения.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Деление углов и диофантовы уравнения"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Редактор

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

В школьном курсе геометрии вы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые; откладывали отрезки, равные данным; строили углы, равные данному углу;через данную точку проводили прямую, перпендикулярную данной прямой;делили угол пополам и т.д. Какие углы всегда можно построить с помощью циркуля и линейки? Конечно: 60° – угол в равностороннем треугольнике, 30° – биссектриса угла в равностороннем треугольнике, 45° – биссектриса прямого угла, 15° – биссектриса угла 30° , 90° – перпендикуляр к прямой, 180° – развернутый угол.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 624 589 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Технологическая карта урока "Распределительное свойство сложения(вычитания) и умножения" (5 класс)
  • Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
  • Тема: 4.2. Распределительное свойство
  • 14.10.2021
  • 526
  • 19
«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 14.10.2021 254
    • DOCX 343.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Тихомирова Любовь Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Тихомирова Любовь Алексеевна
    Тихомирова Любовь Алексеевна
    • На сайте: 6 лет и 1 месяц
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 581
    • Всего материалов: 3

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 15 регионов

Курс повышения квалификации

Психолого-педагогические аспекты развития мотивации учебной деятельности на уроках математики у младших школьников в рамках реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Маркетинг в сфере услуг: от управления до рекламы

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 23 человека из 13 регионов

Мини-курс

Стартап: стратегия, развитие, и инвестиции

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Продажи и самопрезентация в социальных сетях

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 67 человек из 27 регионов