Муниципальный
координатор по работе с детьми с повышенной учебной мотивацией в области
математики.
МБОУ
«Лицей №6 имени М.А. Булатова»
Дистанционная
лекция
Деление
углов и диофантовы уравнения
Учитель
МБОУ
«Средняя школа №5 им И.П. Волка» г. Курска
Тихомирова
Л.А.
Курск – 2018
В школьном курсе геометрии вы уже
имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые; откладывали
отрезки, равные данным; строили углы, равные данному углу; через данную точку
проводили прямую, перпендикулярную данной прямой; делили угол пополам и т.д. Какие
углы всегда можно построить с помощью циркуля и линейки? Конечно: 60° – угол в равностороннем
треугольнике, 30° – биссектриса угла в равностороннем треугольнике, 45° –
биссектриса прямого угла, 15° – биссектриса угла 30° , 90° – перпендикуляр к прямой,
180° – развернутый угол.
Рассмотрим несколько задач.
1. Имея
угол 14° разделить его на 14 равных частей. Т. е. наша задача состоит в том,
чтобы с помощью циркуля и линейки построить 14 углов по 1°.
Возьмем этот угол 2 раза
и получим угол в 28 °. Умея строить угол 30°. Получим разность между углами
равную 2°, полученный угол можем разделить, пополам пользуясь знаниями курса
школьной геометрии. Таким образом, мы получаем угол в 1°. С помощью которого
можно разделить наш исходный угол в 14° на 14 равных углов.
2. Применяя
деления углов пополам, можно разделить угол в 16° на 16 равных частей. Так
разделив его пополам, получим угол в 8°, затем проделав те же манипуляции-
угол 4°, 2° и наконец в 1°.
3. А
что же делать если угол, который необходимо разделить равен 19 °? В таком
случае начнем увеличивать наш угол, последовательно прибавляя по 19.
Т.е. сначала получим угол в 38°, затем в 57° и так
далее, пока не получим угол 19°×19 = 361°, Перехлест, то есть избыток полных
360° составляет 1°. Что нам и необходимо.
4. Попробуем
применить данный алгоритм построения, имея угол в 17°. Чтобы превзойти полный
угол 360° , необходимо взять исходный угол в 17° × 22 раза. То есть 17°×22 =
374°. Перебор составляет 14°. А с этой задачей мы уже сталкивались (см. зд.
1). Но тут удобнее использовать недобор. Угол 357° получен при 17°×21, значит,
у нас есть угол 360° - 357° = 3°. Берём этот угол 6 раз и из полученного угла
18° вычитаем данный угол 17°. Получаем угол 1°. (Подумайте, какой ещё способ
можно применить в данной задаче имея угол в 45°( который мы умеем строить)).
Изучив предложенные решения некоторых
задач. Можно заметить, что для решения задачи о делении данного в условии угла
мы систематически использовали другие углы, которые мы можем построить. Это
углы 45°, 30°, 360° и другие. Оказывается, есть общий приём решения подобных
задач. И связан он с диофантовыми уравнениями.
Диофантовыми
уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических
уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или
рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не
менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения
имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными
уравнениями.
К
диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения
величин могут быть только целыми числами.
Кто такой
Диофант?
Еще древние
египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее
неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства,
поэтому и записывать уравнения они не умели.
Первым, кто
придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант
Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным
центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на
Средиземноморском побережье Египта.
Жил Диофант,
по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До
нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось
шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало
большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.
Имеет место такая теорема:
Пусть а и в – взаимно
простые числа, n – целое число.
Тогда уравнение аx + ву= n (1)
имеет бесконечно много решений (х; у) на
множестве целых чисел. Для наших задач о делении
углов следует считать n = 1.
Вернемся к задаче 1.
5. С
помощью циркуля и линейки разделить угол 14° на 14 равных
частей.
Для решения будем
использовать угол в 45 °. Беря во внимание уравнение вида (1),
получим уравнение:
14x
+45y = 1.
(2)
Выразим
переменную, при которой стоит меньший коэффициент – x:
14x = 1-45y,
Чтобы при целом
значении у, получалось целое значение х, числитель последней
дроби должен делиться на 14, то есть должно выполняться равенство:
(3)
где z
– некоторое целое число.
Уравнение (3) это
тоже уравнение вида (1), только с наименьшими коэффициентами. Поэтому:
(4)
Чтобы при целом
значении z было целым и значение у, требуется делимость числа 1 - 2z на 3.
Следовательно:
1-2z
= 3a.
(5)
(6)
Так как z должно быть целым числом ⇒
1-a
= 2t,
где t
– целое число.⇒
a
= 1-2t.
Иначе говоря, a -
это произвольное нечётное число.
Теперь надо вернуться к исходным
неизвестным. Последовательно получаем:
То есть общее
решение для уравнения 14x
+45y = 1
таково:
.
Проверка: 14(45t - 16) + 45(5 - 14t) =
= - 14 х 16 + 45 х 5 = -224 + 225 = 1.
Для задачи деления угла 14° формулы (7)
означают следующее. При t = 0 имеем частное решение х = - 16, у= 5, то есть 14°
×(-16) + 45° × 5 = 1 ⇒ Если отложить
пять раз угол 45° и из результата шестнадцать раз вычесть данный угол 14°, то
получится угол 1°. Задача о делении угла решена.
Без пояснений приведём пример решения
уравнения
. Оно таково:
⇒
Бесконечное множество решений:
⇒ .
Частное решение: x=2,
y=-1
x=-3,
y=2
Линейные диофантовы уравнения
используются не только для решения задач по геометрии. Их можно использовать
для решения различных жизненных проблем. Приведем пример такой задачи:
Для настилки пола шириной в 3 метра имеются доски шириной в 11 см
и 13 см. Сколько нужно взять досок того и другого размера?
Если х – число досок шириной в 11 см, а у –
число досок шириной в 13 см, то нам надо решить уравнение:
11 х + 13 у = 300 ⇒
Проверка: если а=1⇒
х=19(необходимо досок шириной 11 см),
у=7(необходимо
досок шириной 13 см) . 11×19+13×7=300.
Задания для самостоятельного решения.
1.Дан угол 23° . разделить его (с помощью циркуля и линейки на 23
равные части).
2. С помощью циркуля и линейки разделить угол 13° на 13 равных
частей.
3. У мальчика
было 50 коп., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись
марки по 4 коп. и по 3 коп, но у продавца марок совсем не было мелочи. Помогите
мальчику и продавцу выйти из создавшегося положения.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.