Делится или не делится.

                                               Делится или не делится.

Автор:  , ученица 6а класса.

Руководитель: Янсыбина Лариса Андреевна, учитель математики, высш. катег.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя                              общеобразовательная школа № 10 муниципального района Бирский район Республики Башкортостан

Для проверки того, является данное число составным или нет, требуется выполнить достаточно большое количество делений его на меньшие числа. Для некоторых делителей существуют признаки, позволяющие проверять делимость на них без выполнения самого деления значительно проще. Такие признаки называются признаками деления. В школе на уроках математики мы знакомимся с некоторыми из них, не задумываясь о том,  по какому принципу они работают.

Раскроем завесу тайны. Будем считать, что число А записано в десятичной системе, т. е. А=….а₄∙10000+а₃∙1000+а₂∙100+а₁∙10+а₀

Всем знакомы признаки делимости на 10, 5, 2.

Признак делимости на 10. Число делится на  10, если оно оканчивается на 0, т. е. а₀=0.

Признак делимости на 5. Число делится на 5,  если оно оканчивается на 0 или 5, т. е. а₀=0 или а₀=5.

Признак делимости на 2. Число делится на 2,  если оно оканчивается на цифру делящуюся на 2, т. е. а₀ делится на 2.

Каждый из этих признаков следует из того, что разность А-а₀ делится на 10, 5, и 2 а, значит числа А и а₀ одновременно делятся или не делятся на 10, 5 и 2.

Признак делимости на 4.Чисо А делится на 4 только в том случае, если на 4 делится 2а₁+а₀, т. е. сумма его последней и удвоенной предпоследней цифр. Для обоснования этого признака заметим, что разность

А-(2а₁+а₀)=(А-(10а₁+а₀))+((10а₁+а₀)-(2а₁+а₀)) делится на 4 ( число(А-10а₁+а₀) делится даже на 100 , а оставшееся слагаемое равно 8а₁). Поэтому числа А и 2а₁+а₀ одновременно делятся или не делятся на 4.

Перейдем теперь к признакам делимости на 3 и 9. Справедливо следующее свойство делимости на 9:

Разность между натуральным числом и суммой его цифр всегда делится на 9.

Проверим это, например,  для числа 1234:

1234-(1+2+3+4)=1224=9∙136

Для того чтобы понять смысл этого свойства, представим это действие по-другому:

1234-(1+2+3+4)=(1000-1)+(200-2)+(30-3)=(1000-1)+2(100-1)+3(10-1)=999+2∙99+3∙9=9(111+2∙11+3).

Как видно числа 10-1, 100-1, 1000-1 делятся на 9. Эта делимость справедлива для любого числа вида 10…0-1, т. к. 10…0-1=9…9=9∙1…1. Значит все разности в скобках делятся на 9. Поэтому делится на 9 и разность между числом и суммой его цифр. Иначе мы говорим : если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Далее можно  сформулировать признак делимости на 3 аналогичным образом: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Решение многих интересных задач основано на использовании признаков делимости. Приведу старинный способ проверки арифметических действий.

Перемножим какие-нибудь два числа, например 257 и 362. Имеем 257∙362=93034. Найдем остатки при делении на 9 обоих множителей и произведения. Это можно сделать таким образом: сосчитайте сумму цифр числа, затем сумму цифр получившегося числа и так далее до тех пор, пока в результате получится однозначное число. Число 257 будет иметь остаток 5, число 362 остаток 2, а остаток произведения равен 1. В средние века был принят такой способ записи.

            1

     5          2

Перемножим числа, стоящие слева и справа от креста, и запишем под крестом остаток от деления этого произведения на 9. В нашем случае это 1.

            1

     5           2

            1

Совпадение чисел над и под крестом не случайно. Такой результат будет получаться всегда, если произведение исходных чисел найдено верно. Также можно действовать и при проверке правильности сложения чисел. Нужно только под крестом записывать остаток от деления на 9 суммы чисел, стоящих слева и справа от креста. Например, проверку равенства 763+1142=1905 дает рисунок.

             6

      7            8

             6

Объясню это правило на примерах. Числа 763-7, 1142-8, 1905-6 делятся на 9. Поэтому их разность(1905-6)-(763-7)-(1142-6)=-6+7+8 делится на 9, т. е. остаток от деления на 9 суммы чисел, записанных слева и справа от креста, должен быть равен числу, записанному выше креста.

Правило приведенное для двух слагаемых или множителей, верно и если складываются или умножаются несколько чисел. Например: найдем сумму чисел 123+456+789+101+112=1581. Теперь найдем сумму остатков после деления на 9: 6+6+6+2+4=24 ее остаток от деления на 9 равен 6, т. е. остатку от деления 1581 на 9 , т. к. 1+5+8+1=15 и 1+5=6.

Предлагаю вам такой фокус: запишите какое-нибудь число. Вычтите из него сумму цифр, стоящих на нечетных местах, затем прибавьте сумму цифр стоящих на четных местах. Результат всегда будет делиться  на 11. На этом основан признак делимости на 11.

 Признак делимости на 11:вычислим сумму цифр данного числа стоящих на нечетных местах, затем сумму остальных цифр. Из большей суммы вычтем меньшую, и если эта разность делится на 11, то и данное число делится на 11.