Оглавление

Введение……………………………………………………………………………….…3 стр

1.      Основная часть…………………….………………………………………………..4 стр

1.1.   Знакомство с поверхностью второго порядка………………………………...4 стр

1.2.   Знакомство с уравнением и свойствами гиперболического параболоида….5 стр

1.3.   Применение гиперболического параболоида в различных сферах жизни…6 стр

2.      Практическая часть.………………………………………………………………..9 стр

2.1.   Создание бумажной модели ……………………………………………………9 стр

2.2.   Создание модели в технике оригами……………………………………… …10 стр

2.3.   Печать модели на 3D принтере………………………………………………..11 стр

2.4.   Использование программы Geogebra 3D……………………………………..12 стр

2.5.   Построение в программе Excel………………………………………………  13 стр.

3.      Поверхности «высших порядков» моей малой родины………………………….14 стр

Заключение……………………………………………………………………………  15 стр

Источники информации……………………………………………………………….17 стр

Введение

Оглянитесь вокруг - нас повсюду окружают различные геометрические объекты. Современная жизнь сложна и многообразна, нам часто приходиться при решении насущных проблем обращаться к математике, совершенствовать свою математическую культуру и повышать математическую грамотность. 

В своей школе я провела опрос среди 140 учащихся и 15 учителей. Вопросов было всего два.  Нетрудно заметить, что интерес к предмету  пока низкий

Как заинтересовать ребят? Как показать практической применение знаний, полученных на уроках математики?

Цель работы: 

Развитие познавательного интереса у учащихся к математике через знакомство с поверхностью второго порядка гиперболическим параболоидом 

Задачи: 

•      Познакомиться с теоретическим материалом по теме гиперболический параболоид;

•      Ознакомиться с возможностями применения гиперболического параболоида в различных сферах жизни;

•      Выполнить построение поверхности в программе Geogebra 3d ;

•      Выполнить построение поверхности в программе excel;

•      Напечатать модель на 3d принтере

•      Создать различные бумажные модели гиперболического параболоида;

Практическая значимость проекта:

Проект позволит познакомиться с гиперболическим параболоидом, построить его различные модели. Выступление с материалами проекта перед учащимися младшего возраста даст возможность приобрести опыт выступления перед аудиторией, позволит  повысить познавательный интерес к математике через знакомство с линейчатыми поверхностями, сформирует отношение к математике как к части общечеловеческой культуры. 

Знакомство с поверхностью второго порядка

Упакованные в цилиндрические тубусы чипсы, чтобы они меньше крошились, запекают на жарочных листах, придающих плоским заготовкам форму ⁠гиперболического параболоида — поверхности второго порядка. (Рис. 3)

Гиперболический параболоид — поверхность, напоминающая седло. Она образуется при таком движении параболы с ветвями вниз, что её вершина скользит по другой, неподвижной параболе с ветвями вверх. Плоскости парабол в каждый момент времени перпендикулярны, оси параллельны. Через каждую точку гиперболического параболоида, так же как и ⁠однополостного гиперболоида, проходят две прямые. (Рис. 4)

                                  Рис. 3                                                                     Рис. 4                                                                     ^{Рис. 5} 

Свойство линейчатости и было  наглядно продемонстрировано в  опыте с  использованием 

чипсов, упакованных в тубусы. (Рис 5)                                                 

Знакомство с уравнением и свойствами гиперболического параболоида

Название параболоид происходит от того факта, что переменная z зависит от квадратов переменных х и у. А прилагательное гиперболический связано с тем, что при фиксированных значениях z мы имеем уравнение гиперболы.

Свойства гиперболического параболоида

1.      Четыре точки в трехмерном пространстве определяют один и только один гиперболический параболоид

2.      Гиперболический параболоид – это двояковыпуклая поверхность. Это означает, что, несмотря на искривленную поверхность, две разные линии проходят через каждую точку  и полностью принадлежат гиперболическому параболоиду. Другая поверхность, которая не является плоскостью и имеет двойную линейку, - это гиперболоид вращения.

Именно второе свойство гиперболического параболоида позволило широко использовать его в архитектуре, поскольку поверхность может быть образована балками или прямыми веревками.

Оказывается, гиперболический параболоид — линейчатая поверхность, она также может быть образована движением прямой линии! 

При пересечении гиперболического параболоида с любой горизонтальной плоскостью получается гипербола. (Рис 6) Если плоскость проходит через центр седла, то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых. (Рис 7)

                                    Рис. 6                                                                                         Рис.7

Применение гиперболического параболоида в различных сферах жизни

Значимым лицом в использовании гиперболического параболоида (Гипара) в архитектуре является Владимир Григорьевич Шухов (Рис. 8), великий русский инженер и архитектор. Ему принадлежит идея  использования линейчатых поверхностей. 

Еще в годы Первой мировой войны Шухов разработал противолодочные мины и платформы для крупнокалиберных осадных орудий, соорудил нефтяные вышки и железнодорожные конструкции гостиницы Метрополь. По его проектам в дореволюционные и советские времена было выстроено около 500 мостов, в том числе через широкие и полноводные реки Волгу и Енисей. (Рис. 9)

 Рис.8

                                        Рис. 9                                                                                                     Рис. 10

Владимир Григорьевич создал телебашню на Шаболовке. (Рис. 10) Она интересна своим строением, эксперты относят её к типу сетчатых гиперболоидных конструкций. При высоте 150 метров на её изготовление требуется намного меньше материалов, в отличие от других архитектурных объектов, всё это благодаря своей необычной конструкции. 

Гиперболический параболоид (гипар) - из-за своей фигуры и выразительности служит прекрасной формой для архитекторов всего мира. Наибольшую известность гипару принёс архитектор Феликс Кандела, (Рис. 11) когда использовал формулу парабалоида в строительстве вечернего зала в Акапулько. (Рис. 12)

Рис. 11

Рис.12

Он сумел раскрыть архитектурный и строительный потенциал гиперболического параболоида: седловидная геометрия придает конструкциям, в том числе из бетона, структурную прочность и устойчивость к растяжению и сжатию. «Изогнутые поверхности, – объясняет Кандела, – всегда прочнее. Именно поэтому скручиваются раковины улитки, и это же является причиной сборки автомобилей из гнутых листов стали».

 После этого архитекторы с блеском продемонстрировали выразительные черты гипара в различных сооружениях, начиная с ресторанов, заканчивая памятниками. Объединяло их интересный вид и различные математические свойства.

Простой пример архитектуры современного города, в которой используются несколько гиперболических параболоидов. Несмотря на простоту дизайна, выглядит великолепно.(Рис. 13)

              Рис. 13                                                                           Рис. 14                                                                        ^{Рис. 15}

Во всём мире в последнее время набирает популярность тентовая архитектура – каркаснотентовые (мембранные) конструкции. (Рис.14) Всё больше и больше торговых центров, спортивно-развлекательных комплексов, ресторанов, кафе, туристических объектов приобретают облик, сходный с Гиперболическим параболоидом. (Рис. 15)

В образовании гиперболического параболоида участвует прямая линия, поэтому на практике при проектировании и затем строительстве оболочек и объемно-пространственных композиций удобно создавать линейчатые каркасы, что упрощает опалубку и армирование железобетоном. Нашли применение деревянные, металлические и пластмассовые конструкции, а также комбинации из этих материалов. (Рис.16,17) Кроме большой жесткости и несущей способности, хорошим экономическим и эксплуатационным качествам, гиперболический параболоид обладает хорошей эстетичностью.  

                                          Рис. 16                                                                                                             Рис. 17

Где еще в жизни мы встречаемся с поверхностями второго порядка? Они окружают нас повсюду: в природе, в архитектуре, и даже в музыке. 

Геометрические закономерности в природе  проявляются в виде повторяющихся форм и их сочетаний. Они проявляются в различных природных объектах и явлениях, и иногда могут быть описаны при помощи математических моделей.

Посмотрите       на        раковину лестничного          эпитониума.   (Рис.18) Хорошо заметны высокие выпуклые обороты раковины, сложенные в        

Рис. 18

спираль.

Природные формы, образованные песчаными ветрами в дюнах пустыни Намиб. Барханы и рябь, возникающие на поверхности пустыни, повторяются на всём её протяжении. (Рис. 19)

Янис Ксенакис, музыкант и архитектор, сравнил гиперболический параболоид (Гипар) с глиссандо, назвав их аналогами друг друга. Как и гипар, глиссандо заключается в постепенном переходе, перетеканием одной ноты в другую. (Рис. 20)

Рис. 19

Рис. 20

 Американский мастер и теоретик оригами Эрик Демейн (Erik    Demaine)        придает листам            бумаги геометрическую форму "гиперболического параболоида" - попросту говоря, картофельного чипса с ребрышками. (Рис. 21) С научной точки зрения это практически невозможно - этого не может объяснить и сам Демейн, который, межу прочим, имеет научную степень по

математике.                                                                                                                 _{Рис. 21}

Практическая часть

Создание бумажной модели

Используемые материалы: цветная бумага, ножницы, карандаш и линейка.

Ход работы:

•      Ищем пример шаблона в интернете  (Рис. 22);

•      Переносим на бумагу формата А4;

•      Вырезаем шаблон;

•      Собираем поверхность (Рис.23,24)

                          Рис. 22                                                                  Рис. 23                                                              Рис. 24

Создание модели в технике оригами

Создадим ещё одну бумажную модель гиперболического параболоида

Материалы: лист бумаги формата А4, ножницы Ход работы:

•      Ищем пример модели в интернете;

•      Изучаем её построение;

•      Из бумаги А4 вырезаем квадрат;

•      Делаем сгибы как на примере из интернета  (Рис. 25);

•      Собираем получившуюся фигуру  и выгибаем для получения изогнутой поверхности (Рис. 26)

                                     Рис. 25                                                                                                       Рис. 26

Пошаговые инструкции для создания бумажной модели можно взять в интернете на сайте

Страна мастеров.

Печать модели на 3D принтере

Материал: ресурсы интернета, программа для создания и обработки 3D моделей (Tinkercad), пластик, 3D принтер.

Ход работы:

•      Ищем подходящую модель в интернете;

•      Загружаем в программу и изменяем для работы с нашим принтером;

•      Отправляем модель в принтер;

•      Ждём, пока модель напечатается

Создать модель для печати можно в любой программе, для создания 3D моделей, например Tinkercad, или, в моём случае со сложной формой, можно использовать готовую модель, скачивая ее из интернета в формате . Загружаем модель в принтер, ждем результатов. В моем случае модель печаталась 1 час 6 минут.(Рис. 27, 28)

                                                                                                                          Рис. 28

Рис. 27

Использование программы Geogebra 3D

Ипользование информационных технологий в школьном математическом образовании  значительно упрощает создание моделей гиперболического параболоида и других поверхностей. В Geogebra 3-d необходимо только ввести формулу, и перед вами во всей своей красоте поверхность второго порядка.

 В этой программе модель не только легко построить, но и исследовать, задавая разные значения параметров.

Загружаем программу на компьютер или пользуемся on-line версией продукта.

Вводим формулу, построение поверхности  выполняется автоматически.

Построение в программе Excel

Немного больше усилий и времени требуется при построении поверхности в электронных таблицах. Там уже нужны знания об относительных и абсолютных ссылках, о способах заполнения таблиц и построения трехмерных графиков.

Трехмерный график функции — это график в трех измерениях. Соответственно каждая точка графика будет иметь три координаты (x, y. z).

Построим график функции, называемый гиперболический параболоид, в Excel.

 Уравнение гиперболического параболоида (общий вид):   

где x, y, z — переменные; a, b — константы.

            Рассмотрим, например, конкретный случай:              

Как и для построения графика функции на плоскости нам потребуется таблица, на основании которой график и будет построен. По горизонтали — значения х, по вертикали — значения у.

Значения z вычисляются по формуле (см. выше).

Запишем формулу для вычисления z, где x=10, y = 10, a=2, b=3

Для         того,    чтобы эта       формула         правильно копировалась с помощью маркера автозаполнения необходимо верно поставить знаки $ в формулу.

=(C$2^2/4)-($B3^2/9) , для ячейки со значением x фиксируем номер строки, для ячейки со значением y фиксируем букву столбца.

Используя маркер автозаполнения, копируем формулу для всех значений x и y.

Получим таблицу, в которой каждой паре (x, y) соответствует координата z.

Выделяем диапазон ячеек со значениями z, выбираем ВСТАВКА — ДРУГИЕ ДИАГРАММЫ — ПОВЕРХНОСТЬ. Диаграмму можно разместить как на листе с таблицей, (Рис. 29) так и на отдельном листе.

                                                                                                   Рис. 29

З

Поверхности «высших порядков» моей малой родины

Рассмотрим внимательно фотографии изделий нашего родного предприятия ОА КПХИ.

По изделиям можно изучать все поверхности «высших порядков». Тут и музыка, и архитектура, и математика, и огромный труд людей и просто красота.

 На центральной площади села величественное здание храма, построенного к середине 19 века, внутри которого своды тоже являются «поверхностью высшего порядка».

Хочется верить, что когда-нибудь на центральной площади села появится еще одно красивое современное архитектурное сооружение, которое заменит здание сельского ДК, и, может быть, гипар будет там присутствовать. 

Заключение 

Целью работы над проектом было развитие познавательного интереса у учащихся к математике через знакомство с поверхностью второго порядка гиперболическим параболоидом.

За время работы над проектом я ознакомилась с возможностями применения гиперболического параболоида в различных сферах жизни, выполнила построение поверхности в программе Geogebra 3d, в программе excel, напечатала модель на 3д принтере, создала различные бумажные модели гиперболического параболоида, а также провела мастер-класс для учащихся пятого класса.

Проект позволил познакомиться с гиперболическим параболоидом, построить его различные модели. Процесс работы получился интересным, познавательным и развивающим. Я получила опыт выступления перед аудиторией, пополнила багаж теоретических и практических знаний. 

Материалы проекта будут полезны на уроках математики, информатики и технологии. Их можно применять не только на уроках, но и во внеурочное время для работы с учащимися 5-11 классов.

Я считаю, что поставленная цель достигнута.

Источники информации

•      Чипсы // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 9

•      Чипсы: гиперболический параболоид / Модели // Математические этюды)  https://etudes.ru/models/conic-sections-sadle-hyperbolic-paraboloid/?ref=calso

•      ШУХОВ Владимир Григорьевич — Биография (bstu.ru)

•      Гиперболический параболоид Феликса Канделы - PRAGMATIKA.MEDIA - Україна,

Київ

•      3D Calculator - GeoGebra

•      Tinkercad | Create 3D digital designs with online CAD | Tinkercad

•      https://cults3d.com/fr/créations/dernières

•      АО КПХИ / О компании (xn--h1adpy.xn--p1ai)