Диагностическая работа по математике 10 класс декабрь

Образовательная организация _________________________________________________

Класс 10   « _____ »

Фамилия, имя (полностью) ____________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Дата _______________________

Профильный уровень

Экзаменационная  работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в  себя  19  заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом.  Часть  2  содержит  4  задания  повышенного  уровня  сложности  с  кратким  ответом  и  7  задания повышенного и  высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.       

На выполнение работы  отводится 3 часа 55  минут (235 минут).   

Желаем успеха!

Вариант №1

Часть 1

1. Летом ки­ло­грамм клуб­ни­ки стоит 80 руб­лей. Мама ку­пи­ла 1 кг 200 г клуб­ни­ки. Сколь­ко руб­лей сдачи она по­лу­чит с 500 руб­лей?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли - ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство осад­ков вы­па­да­ло в пе­ри­од с 13 по 20 ян­ва­ря. Ответ дайте в мил­ли­мет­рах.

                                                                  ^{см. рис.2}

3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.2). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,4. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 2 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся.

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, BC = 8, BH = 4. Най­ди­те .

7. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD =  = 5, AA₁ = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C₁.

8.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Часть 2

9. К ис­точ­ни­ку с ЭДС  В и внут­рен­ним со­про­тив­ле­ни­ем  Ом, хотят под­клю­чить на­груз­ку с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. На­пря­же­ние на этой на­груз­ке, вы­ра­жа­е­мое в воль­тах, дается фор­му­лой . При каком наи­мень­шем зна­че­нии со­про­тив­ле­ния на­груз­ки на­пря­же­ние на ней будет не менее 60 В? Ответ вы­ра­зи­те в Омах.

10. Каж­дый из двух ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции может вы­пол­нить заказ за 8 часов. Через 4 часа после того, как один из них при­сту­пил к вы­пол­не­нию за­ка­за, к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и ра­бо­ту над за­ка­зом они до­ве­ли до конца уже вме­сте. Сколь­ко часов по­тре­бо­ва­лось на вы­пол­не­ние всего за­ка­за?

11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

12. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Для записи решений и ответов на задания 13‐19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ.

Запишите  сначала  номер  выполняемого  задания  (13,  14  и  т.д.),  а  затем  полное  обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 

13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны рёбра:  Точка  при­над­ле­жит ребру  и делит его в от­но­ше­нии  счи­тая от вер­ши­ны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки  и 

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC= 6, AE = 2, CD = 3.

17. Са­ве­лий хочет взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330 тысяч руб­лей?

18.       Най­ди­те все зна­че­ния       при каж­дом из ко­то­рых гра­фик функции  пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс более чем в двух раз­лич­ных точ­ках.

19. Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.

Образовательная организация _________________________________________________

Класс 10   « _____ »

Фамилия, имя (полностью) ____________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Дата _______________________

Профильный уровень

Экзаменационная  работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в  себя  19  заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом.  Часть  2  содержит  4  задания  повышенного  уровня  сложности  с  кратким  ответом  и  7  задания повышенного и  высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.       

На выполнение работы  отводится 3 часа 55  минут (235 минут).   

Желаем успеха!

Вариант 2

Часть 1

1. При­зе­ра­ми го­род­ской олим­пи­а­ды по ма­те­ма­ти­ке стало 33 уче­ни­ка, что со­ста­ви­ло 11% от числа участ­ни­ков. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

2. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­че­но время в ми­ну­тах ,про­шед­шее с мо­мен­та за­пус­ка дви­га­те­ля, на вер­ти­каль­ной оси - тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, до сколь­ких гра­ду­сов Цель­сия дви­га­тель на­грел­ся за пер­вые 3 ми­ну­ты с мо­мен­та за­пус­ка. 

3. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны  и . Най­ди­те угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Люба вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по че­ты­рем ка­на­лам из шест­на­дца­ти по­ка­зы­ва­ют му­зы­каль­ные клипы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Люба по­па­дет на канал, где клипы не идут.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те боль­ший из них.

6. Углы тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 2 : 3 : 4. Най­ди­те мень­ший из них. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD =  = 5, AA₁ = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C₁.

8. Най­ди­те , если  при .

Часть 2

9. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем  см. Рас­сто­я­ние  от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 60 до 80 см, а рас­сто­я­ние  от линзы до экра­на - в пре­де­лах от 150 до 175 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние . Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было четким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

10 Из двух го­ро­дов, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 320 км, нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Через сколь­ко часов ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся, если их ско­ро­сти равны 75 км/ч и 85 км/ч?

11. Най­ди­те , если 

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции 

Для записи решений и ответов на задания 13‐19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ.

Запишите  сначала  номер  выполняемого  задания  (13,  14  и  т.д.),  а  затем  полное  обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 

13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны рёбра:  Точка  при­над­ле­жит ребру  и делит его в от­но­ше­нии  счи­тая от вер­ши­ны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки  и 

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC= 6, AE = 2, CD = 3.

17. Са­ве­лий хочет взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330 тысяч руб­лей?

18. Най­ди­те все зна­че­ния  при каж­дом из ко­то­рых гра­фик функ­ции  пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс более чем в двух раз­лич­ных точ­ках.

19. Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.

Образовательная организация _________________________________________________

Класс 10   « _____ »

Фамилия, имя (полностью) ____________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Дата _______________________

Профильный уровень

Экзаменационная  работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в  себя  19  заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом.  Часть  2  содержит  4  задания  повышенного  уровня  сложности  с  кратким  ответом  и  7  задания повышенного и  высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.       

На выполнение работы  отводится 3 часа 55  минут (235 минут).   

Желаем успеха!

Вариант 3

Часть 1

1. Же­лез­но­до­рож­ный билет для взрос­ло­го стоит 290 руб­лей. Сто­и­мость би­ле­та для школьни­ка со­став­ля­ет 50% от сто­и­мо­сти би­ле­та для взрос­ло­го. Груп­па со­сто­ит из 16 школь­ни­ков и 3 взрос­лых. Сколь­ко руб­лей стоят би­ле­ты на всю груп­пу?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вертикали - ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для нагляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа в Том­ске впер­вые вы­па­ло ровно 1,5 мил­ли­мет­ра осад­ков.

3. Най­ди­те абс­цис­су точки, сим­мет­рич­ной точке A(6; 8) от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

4. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, , . Най­ди­те вы­со­ту CH.

7. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD =  = 5, AA₁ = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C₁.

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Часть 2

9. Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той  Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну  (Гц), где  – ско­рость звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее чем на 10 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

10. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 105 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 1 час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 40 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции 

Для записи решений и ответов на задания 13‐19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ.

Запишите  сначала  номер  выполняемого  задания  (13,  14  и  т.д.),  а  затем  полное  обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 

13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны рёбра:  Точка  при­над­ле­жит ребру  и делит его в от­но­ше­нии  счи­тая от вер­ши­ны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки  и 

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC= 6, AE = 2, CD = 3.

17. Са­ве­лий хочет взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330 тысяч руб­лей?

18. Най­ди­те все зна­че­ния  при каж­дом из ко­то­рых гра­фик функ­ции  пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс более чем в двух раз­лич­ных точ­ках.

19. Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.

Образовательная организация _________________________________________________

Класс 10   « _____ »

Фамилия, имя (полностью) ____________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Дата _______________________

Профильный уровень

Экзаменационная  работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в  себя  19  заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом.  Часть  2  содержит  4  задания  повышенного  уровня  сложности  с  кратким  ответом  и  7  задания повышенного и  высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.       

На выполнение работы  отводится 3 часа 55  минут (235 минут).   

Желаем успеха!

Вариант 4

Часть 1

1. Летом ки­ло­грамм клуб­ни­ки стоит 80 руб­лей. Мама ку­пи­ла 1 кг 200 г клуб­ни­ки. Сколь­ко руб­лей сдачи она по­лу­чит с 500 руб­лей?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли - ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство осад­ков вы­па­да­ло в пе­ри­од с 13 по 20 ян­ва­ря. Ответ дайте в мил­ли­мет­рах.

3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.2). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

^{см. рис.2}

4. Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,4. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 2 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

6. Углы тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 2 : 3 : 4. Най­ди­те мень­ший из них. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD =  = 5, AA₁ = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и C₁.

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Часть 2

9. Перед от­прав­кой теп­ло­воз издал гудок с ча­сто­той  Гц. Чуть позже издал гудок подъ­ез­жа­ю­щий к плат­фор­ме теп­ло­воз. Из-за эф­фек­та До­пле­ра ча­сто­та вто­ро­го гудка боль­ше пер­во­го: она за­ви­сит от ско­ро­сти теп­ло­во­за по за­ко­ну  (Гц), где  – ско­рость звука (в м/с). Че­ло­век, сто­я­щий на плат­фор­ме, раз­ли­ча­ет сиг­на­лы по тону, если они от­ли­ча­ют­ся не менее чем на 10 Гц. Опре­де­ли­те, с какой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью при­бли­жал­ся к плат­фор­ме теп­ло­воз, если че­ло­век смог раз­ли­чить сиг­на­лы, а  м/с. Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

10. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 105 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 1 час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 40 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

11. Най­ди­те , если  при .

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции 

Для записи решений и ответов на задания 13‐19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ.

Запишите  сначала  номер  выполняемого  задания  (13,  14  и  т.д.),  а  затем  полное  обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 

13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

14. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­ны рёбра:  Точка  при­над­ле­жит ребру  и делит его в от­но­ше­нии  счи­тая от вер­ши­ны  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки  и 

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC= 6, AE = 2, CD = 3.

17. Са­ве­лий хочет взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330 тысяч руб­лей?

18. Най­ди­те все зна­че­ния  при каж­дом из ко­то­рых гра­фик функ­ции  пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс более чем в двух раз­лич­ных точ­ках.

19. Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.

Образовательная организация _________________________________________________

Класс 10   « _____ »

Фамилия, имя (полностью) ____________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Дата _______________________

Бланк для заполнения ответов

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Ответы:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	404	3	1	0,5	-4	0,5	39	-2	1,6	6	2	-2	4
2	300	40	16	0,75	5	40	39	1	70	2	2	3	4
3	3190	9	-6	0,08	-2	25,2	39	23	7	24	-136	2	4
4	404	3	1	0,5	1	40	39	23	7	24	0	3	4

14. Се­че­ние плос­ко­стью  пе­ре­се­ка­ет ребро  в точке  От­ре­зок  па­рал­ле­лен от­ре­зок  па­рал­ле­лен  Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние — па­рал­ле­ло­грамм (рис. 1). Далее имеем:

Зна­чит,  — ромб. Най­дем его диа­го­на­ли:

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

Ответ: 

15. Ис­поль­зуя метод ин­тер­ва­лов, по­лу­ча­ем:

 

16. Обо­зна­чим  Тогда по свой­ству бис­сек­три­сы:  и  от­ку­да

По­лу­ча­ем:

Зна­чит,  Тогда 

Ответ: 

17. Ясно, что чем боль­ше го­до­вые вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты со­став­ля­ют 330 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой будем ука­зы­вать долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, а во вто­ром — долг после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять толь­ко два знака после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

Годы	Долг до вы­пла­ты (тыс. руб)	Долг после вы­пла­ты (тыс. руб)
1	1540	1210
2	1331	1001
3	1101,1	771,1
4	848,21	518,21
5	570,03	240,03
6	264,03	0

За­ме­тим, что в по­след­ний год вы­пла­та со­ста­вит менее 330 тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи со­став­ля­ет 6 лет.

18. Рас­смот­рим вспо­мо­га­тель­ную функ­цию  Гра­фик функ­ции  пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в трёх или более точ­ках, если урав­не­ние  имеет более двух раз­лич­ных кор­ней.

Если  или  то  и 

Если  то  и 

Гра­фик функ­ции  со­сто­ит из двух лучей и дуги па­ра­бо­лы. На ри­сун­ке видно, что урав­не­ние  имеет более двух кор­ней толь­ко если  Со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния функ­ции  равны:

Ответ: 

19. Сумма чисел крат­на их наи­боль­ше­му об­ще­му де­ли­те­лю, по­это­му их наи­боль­ший общий де­ли­тель яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 43, от­ку­да сле­ду­ет, что он равен 1. Тогда наи­мень­шее общее крат­ное этих чисел равно их про­из­ве­де­нию. Обо­зна­чив ис­ко­мые числа х и у, по­лу­ча­ем си­сте­му

решая ко­то­рую, по­лу­ча­ем числа 40 и 3.

Ответ: 40 и 3.