Дидактические материалы на тему: "Арифметический корень n-ой степени".

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ "ВОЛГОГРАДСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА И КОММУНИКАЦИЙ"

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ТЕМА: «Арифметический корень n-ой степени»

для обучающихся очной формы обучения образовательных

организаций среднего профессионального образования

по дисциплине

ОДП. 01 Математика: алгебра и начала математического анализа

специальность 23.02.01

Организация перевозок и управление на транспорте

(по видам)

специальность 43.02.06

Сервис на транспорте (по видам)

специальность 08.01.23

Бригадир-путеец

специальность 23.01.09

Машинист локомотива

базовая подготовка среднего

профессионального образования

государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

"Волгоградский техникум железнодорожного транспорта и коммуникаций"

Т.В.Сугак

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ТЕМА: «Арифметический корень n-ой степени»

для обучающихся очной формы обучения образовательных

организаций среднего профессионального образования

по дисциплине

ОДП. 01 Математика: алгебра и начала математического анализа

специальность 23.02.01

Организация перевозок и управление на транспорте

(по видам)

специальность 43.02.06

Сервис на транспорте (по видам)

специальность 08.01.23

Бригадир-путеец

специальность 23.01.09

Машинист локомотива

2019

ББК 22.1

С 891

Учебно-методическое пособие рассмотрено и одобрено на заседании Учебно-методического совета государственного автономного профессионального образовательного учреждения "Волгоградский техникум железнодорожного транспорта и коммуникаций"

Председатель УМС – А.В.Почепцов Протокол №____ от __________ 201__г.

Автор – Т.В.Сугак, преподаватель государственного автономного профессионального образовательного учреждения "Волгоградский техникум железнодорожного транспорта и коммуникаций"

Рецензент:

ББК 22.1

С 891

© Сугак Т.В., 2019

© ГАПОУ "Волгоградский техникум

железнодорожного транспорта и

коммуникаций", 2019

Содержание

1.5

Преобразование выражений, содержащих радикал

14

1.6

Выполнение заданий

17

1. 1. 6. 1.7

1. 1. 6. Иррациональные уравнения

18

1.8

Выполнение заданий

24

1. 1. 8. 1.9

1. 1. 8. Иррациональные неравенства

25

1.10

Выполнение заданий

31

1.11

Правила при решении неравенств

32

Пояснительная записка

Данное методическое пособие составлено в соответствии с требованиями ФГОС СПО в соответствии с рабочей программой по дисциплине ОДП.01 математика: алгебра и начала математического анализа, раздел понятие арифметического корня n-ой степени для специальностей 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам), 43.02.06 Сервис на транспорте (по видам), 08.01.23 Бригадир-путеец, 23.01.09 машинист локомотива.

.Целью настоящего учебного пособия является:

- оказание теоретической помощи студентам в изучении дисциплины Математика, в частности раздела об арифметическом корне n-ой степени и практической помощи в решении профессиональных задач;

Задачами пособия являются:

- в форме теоретического материала и практического разбора задач организовать обучение азам математики в разделе понятия корня n-ой степени;

- сосредоточить главные усилия студентов на решение прикладных задач с применением знаний об арифметическом корне.

- отработка навыков решения задач на применение арифметического корня..

Методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся в государственном автономном профессиональном образовательном учреждении «ВТЖТиК». Материал пособия состоит из теоретической части, где определяются основные понятия арифметического корня и методических указаний по решению практических задач. После каждого раздела предлагаются задания для самостоятельного решения и закрепления пройденного материала. Задачи части А – это задачи, для успешного решения которых студенты должны применять знания на уровне минимальных программных требований. Задачи части В – это задачи среднего уровня сложности. При решении этих задач необходимо применять знания высокого уровня вычислительных навыков

1. Понятие арифметического корня n-ой степени.

   1. Основные понятия.

Определение: Корнем n-ой степени из числа Х называется такое число С, что выполняется условие: число С в степени n дает число Х. nN; n  2.

При этом рассматривается два случая:

n – четное число n - нечетное при этом X0 при этом XR

Примеры:

1. Вычислить:

Решение:

, т.к. подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

2. Сравнить числа:

;

Решение:

1. =0,5 =0,4 0,50,4 

2. = = Числа - это дроби с разными знаменателями. Приведем их к общему знаменателю 15, для этого умножим и числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй дроби на 5. Получим: . Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больший числитель, следовательно



3. 2=2 

4. Правило: из двух корней с одинаковыми степенями больше тот, у которого больше подкоренное число. Следовательно, т.к. 34  34,01, то и

5. 0,10,11 

6. Чтоб сравнить два разных числа, приведем их к одному в виду. В данном случае представим второе число в виде корня второй степени. 8 = . После чего сравним подкоренные числа. 66  64  .

3. Определить, между какими натуральными соседними числами заключено число. Результат показать на числовой прямой.

1. 2) 3) 4)

Решение:

1. Из неравенств видно, что

3   4.

x

3 4

2. Из неравенства видно, что

4   5

x

4 5

3. Из неравенства видно, что

2 

х

2. 3

3+4   4+5

7   9

x

7. 9

1.2 Выполнение заданий.

Часть А.

1. Вычислить корни:

2. Сравнить числа:

7 и

3. Определить, между какими натуральными соседними числами заключено число. Результат показать на числовой прямой.

;.

Часть В.

1. Вычислить корни:

а) б) в) г) д) е) ж) ; з) и) к) л)

2. Сравнить числа:

а) б)

в) г) д) е)

ж)

3. Определить, между какими натуральными соседними числами заключено число. Результат показать на числовой прямой.

;.

1.3 Свойства корня.

1) , если n - четно, то х  0 и y  0

2) , если n – четно, то x  0 и y  0

3) , если n – четно, то x  0

4) , если m - четно, то х  0

5)

6) = x, если n – четно, то x  0

Примеры:

1. Вычислить:

1. 2)

3) 4)

Решение:

Воспользуемся первым свойством:

1. = = 80,73 = 5,63 = 16,8

2. =

3. =

4. =

2. Вычислить:

1. 2) 3) 4)

Решение:

Применим второе свойство для решения примеров с 1 по 3, а для решения 4-ого примера применим 1 и 2 свойство:

3. Вычислить:

1. 2) 3) 4) 5)

Решение:

Применим 5-ое свойство для решения примеров с 1-ого по 3-ий и 5-ый, а для решения 4-ого примера применим 6 свойство:

4. Вычислить:

1. 2) 3)

Решение:

По 4-ому свойству решаем примеры:

5. Упростить:

1. 2) 3) 4)

Решение:

6. Внести множитель под знак корня:

1. 4 2) 3) 4) -7 5) 2

Решение:

1. 4

4. -7

5. 2

1.4 Выполнение заданий.

Часть А.

1. Вычислить:

а) б) в)

г) д) е) ж) з) и)

2. Вычислить:

а) б) в) г)

д) е) ж)

3. Вычислить:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

4. Вычислить:

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

5. Упростить:

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

6. Внести множитель под знак корня:

а) 2 б) 4 в) 3 г) 0,5

д) е) 7 ж) 4 з) -5

и) -6 к) -2

Часть В.

1. Вычислить:

а) б) в)

г) 2 д) 5 е)

ж) з) и)

к) 3

л) (3

м) н) о) п) р) с)

2. Внести множитель под знак корня:

а) 0,5 б) 0,25 в) 5 г) -10 д) -6 е) 3

3. Заполни таблицу:

1. 5. Преобразование выражений, содержащих радикал.

Рассмотрим некоторые понятия и способы, применяемые для упрощения выражения с радикалом.

Правило 1: Дробь, содержащую радикал в знаменателе можно преобразовать, в равную ей дробь, не содержащую радикал в знаменателе, если мы и числитель и знаменатель дроби умножим на радикал, стоящий в знаменателе. Рассмотрим пример.

Пример:

Избавиться от иррациональности в знаменателе:

2) 3) 4)

Решение:

1. Умножим числитель и знаменатель на , получим:

Ответ:

2. Аналогично решаем второй пример:

Ответ:

3. Для решения третьего примера необходимо числитель и знаменатель умножить на такой корень, чтоб в знаменателе исчез корень. Для этого мы умножим на , поучим:

Ответ:

4. Умножим числитель и знаменатель на , получим:

Ответ:

А теперь разберем понятие сопряженных чисел.

Определение: Числа и называются сопряженными.

Правило 2: если в знаменателе стоит число вида , то числитель и знаменатель необходимо умножить на сопряженное знаменателю число.

Выражения (a + b) и (a - b) являются сопряженными.

Рассмотрим примеры, для этого вспомним одну из формул сокращенного умножения, которая нам пригодится для дальнейших преобразований.

Пример с решением:

Вычислим:

1)

2)

Ответ:

Рассмотрим примеры умножения многочлена на многочлен с радикалами.

Примеры с решениями:

Нам также понадобятся знания еще некоторых формул сокращенного умножения.

Примеры:

Вычислить:

1. 2)

3)

Решение:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Пример: Избавиться от иррациональности в знаменателе.

2) 3)

Решение:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

1. 6. Выполнение заданий.

Часть А.

1. Упростить выражения.

а) б) в)

г) д) е) 2 ж)

2. Выполнить умножение, используя формулы сокращенного умножения.

а) б)

в) г)

3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе.

а) б) в) г) д) е)

ж) з) и)

Часть В.

1. Упростить выражения.

а) б)

в) г)

д) е)

ж)

з)

2. Выполнить умножение, используя формулы сокращенного умножения.

а)

б)

в)

г) При вычислении используем формулу:

3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе.

а) б) в) г) д)

1. 6. Иррациональные уравнения

Определение: Уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня, называются иррациональными.

При решении таких уравнений используют правило:

Чтоб избавиться от корня необходимо обе части уравнения возвести в степень корня. При этом после решения уравнения могут появиться посторонние корни, поэтому необходимо после решения сделать проверку.

Решая иррациональные уравнения, степень корня которых четная, необходимо помнить, что та часть, которая не содержит корень, должна быть не отрицательна и выражение, стоящее под знаком корня тоже должно быть не отрицательным.

Рассмотрим примеры.

Пример 1:

Решить уравнение:

Решение:

Возведем обе части в квадрат, получим: 2х+3=1

Перенесем +3 влево с противоположным знаком: 2х = 1-3

2х = - 2

Разделим на 2: х = - 2:2

х = -1

Делаем проверку, для этого в условие вместо «х» подставим найденное значение

1=1 – получили верное равенство, следовательно, это верный результат.

Ответ: 1

Пример 2:

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем уравнение так, чтоб корень был слева, а справа было выражение, не содержащее корень. Для этого раскроем скобки и «х» перенесем с противоположным знаком влево:

Возведем обе части в квадрат:

Раскладываем правую часть по формуле сокращенного умножения и переносим влево «Х» со знаком минус:

По теореме Виета вычисляем корни:

Делаем проверку: а)

4+2=6

6=6 – получили верное равенство, следовательно, это верный результат.

б)

1+1=0

2=0 – это неверное равенство, следовательно

- посторонний корень.

Ответ: 4

Пример 3:

Решить уравнение:

Решение:

Для облегчения решения, перенесем один из корней вправо с противоположным знаком:

, после чего возведем обе части в квадрат:

, в правой части по формуле сокращенного умножения упрощаем:

, упрощаем:

, переносим «2-х» влево и возводим обе части в квадрат:

, в левой части считаем по формуле сокращенного умножения, а в правой раскрываем скобки:

, переносим все в левую часть и решаем квадратичное уравнение по теореме Виета, после того как сократим на «4»:

Делаем проверку: а)

2-3=1

-1=1 – неверное равенство, следовательно, - посторонний корень

б)

3-2=1

1=1 – верное равенство, следовательно, - верный корень

Ответ: -3

Пример 4:

Решить уравнение:

Решение:

Возведем обе части уравнения в куб:

, по формуле сокращенного умножения упростим правую часть:

, перенесем все в левую часть:

6х²-12х+6=0 , разделив все на «6», найдем корни:

х²-2х+1=0 , видим, что это , следовательно, решением будет х=1

Делаем проверку:

-1= - 1 – равенство верное.

Ответ: 1

Пример 5:

Решить уравнение:

Решение:

Данное уравнение корней не имеет, так как корень четной степени число не отрицательное.

Ответ:ø

Пример 6:

Решить уравнение:

Решение:

Корни четной степени, следовательно, оба неотрицательные. Сумма двух числе равно нулю, если каждое число равно нулю. Первый корень равен нулю при х=2, а второй при х=-6. Вывод: решения нет.

Ответ: ø

Пример 7:

Решить уравнение:

Решение:

Радикалы с отрицательными знаками перенесем в правую часть и обе части возведем в квадрат, получим:

Упростим:

Разделим обе части на 2 и снова возведем в квадрат обе части:

Воспользуемся формулой для возведения в квадрат и перенесем значения правой части в левую часть:

Упростим:

Сократим обе части на 4 и по теореме Виета найдем корни уравнения:

; х₁=2; х₂= - 3;

Проверка:

Х₁=2

Левая часть равна правой части, следовательно, 2-корень уравнения.

Х₂= - 3

Подставив -3 в первый корень, получим, что

– этот корень не имеет смысла, следовательно,

- 3 – посторонний корень.

Ответ: 2

Пример 8:

Решить уравнение:

Решение:

Введем замену: , возведем обе части уравнения в куб, получим: х=7 - у³.

Подставим в исходное уравнение, поучим:

Упростим, под корнем раскроем скобки и «у» перенесем в правую часть, получим:

Возведем обе части в квадрат:

Воспользуемся формулой возведения в квадрат и перенесем значения правой части в левую часть, получим:

Сгруппируем 2у³ с 8, вынося за скобку 2у и у² с 4, получим:

2у(у² – 4)+(у² – 4)=0

(2у+1)(у² - 4)=0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, получим:

2у+1=0 у₁ = - 0,5 и у_2,3=

у² – 4=0

Не забываем, что мы ищем корень под переменной «х», поэтому вернемся к переменной «х».

Решим эти уравнения, возведя обе части в куб, получим:

Проверка:

Х= - 1

Левая часть равна правой части, следовательно,

-1 – корень уравнения.

Х=15

Левая часть равна правой части, следовательно,

15 – корень уравнения.

Х= 7,125

Левая часть равна правой части, следовательно,

7,125 – корень уравнения.

Ответ:

1.8 Выполнение заданий.

Часть А.

1. Решить уравнения:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

и) к)

л) м)

н) о)

п)

Часть В.

1. Решить уравнения:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и)

к)

л) м)

н) о)

п) р)

с) т)

у)

1. 9. Иррациональные неравенства.

Рассмотрим стандартные схемы решения иррациональных неравенств, содержащих корни с четной степенью.

Рассмотрим на каждую схему примеры.

Пример 1:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Покажем решение на числовой прямой.

Х

5

Ответ:

Пример 2:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Из двух чисел больше некоторого числа выбираем больше большего.

Покажем решение на числовой прямой.

Х

-1

Ответ:

Пример 3:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Покажем решение на числовой оси.

Х

8

Ответ:

Пример 4:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Покажем решение на числовой оси.

Х

4

Ответ:

Пример 5:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Покажем решение на числовой прямой.

Х

-7 2

Ответ:

Пример 6:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Последние два неравенства дают решение .

Решим первое неравенство методом интервалов. Но сначала вычислим дискриминант и найдем корни уравнения: х²+3х+1=0.

Д=5;

Х²+3х+1=0 – это парабола, ветви которой направлены вверх. Покажем решение на числовой оси.

+ + Х

__

-2

Определим, где находится число -2. Для этого посчитаем примерное значение числа .

Вывод: -2 находится левее числа . Покажем на числовой оси (смотри предыдущий рисунок). Общее решение можно записать ответом:

Ответ:

Пример 7:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Рассмотрим отдельно решение неравенства х²+х – 2<0.

По теореме Виета корнями будут значения -2 и 1. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Нас интересуют отрицательные значения. Покажем все решения на числовой оси.

+ + Х

-3 -2 __ -1 1

Общим решением будет следующий ответ:

Ответ:

Пример 8:

Решить неравенство:

Решение:

Применим для решения схему:

Так как по условию g(x)= - 4<0, то решением будет:

Покажем решение на числовой прямой.

Х

-8

Ответ:

1.10 Выполнение заданий.

Часть А.

Решить неравенства:

1. 2)

4)

6)

8)

10)

12)

Часть В.

Решить неравенства:

1. 2)

4)

6)

8)

10)

12)

14)

1.11 Правила при решении неравенств.

При решении неравенств используем следующие схемы:

х

а

2. ;

х

а

3. ;

х

а

4. ;

х

а

27