Дидактические материалы по ключевым теоремам геометрии

МБОУ «Оленекская СОШ имени Х. М. Николаева»

Разработка дидактического материала по геометрии

«Ключевые теоремы»

Составитель: Прокопьева Туяна Николаевна

Учитель математики

МБОУ «Оленекская СОШ им. Х. М. Николаева»

1.       Теорема Пифагора

                                  Катет = ,   гипотенуза =   

 

2.       Тройки Пифагора

3	4	5
6	8	10
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	12	15
12	16	20
9	40	41
10	24	26

3.       Удвоенная и половинчатая связь между величинами

Величина	Делит (ся) пополам	Вид
Биссектриса	Угол делит пополам
Медиана треугольника	Сторону делит пополам
300 в прямоугольном треугольнике	Противолежащий 300 катет половине гипотенузы	г к                                                     к = г :2 или    г = к•2
Средняя линия треугольника	Основание (О) находят умножением на 2 с/л, а среднюю линию делением основания на 2	с/л= О:2   О=с/л•2
Средняя линия треугольника	Стороны подобных треугольников	Стороны меньшего треугольника в 2 раза меньше, у большего в 2 раза больше
Средняя линия треугольника	Периметры подобных треугольников	Периметр  меньшего треугольника в 2 раза меньше, у большего в 2 раза больше
Средняя линия трапеции	Сумма оснований делится на 2	а                        в       с/л =
Вписанный угол	Центральный угол в два раза больше вписанного (если они опираются на одну и ту же дугу)	В/у= Ц/у:2 Ц/у=В/у•2
Вписанный угол	Дуга, на которую опирается вписанный угол, в 2 раза больше, а вписанный угол, наоборот в 2 раза меньше.	В/у= Дуга : 2 Дуга = В/у •2
Радиус	Диаметр в 2 раза больше радиуса, а радиус, наоборот, в 2 раза меньше	Радиус=Диаметр : 2 Диаметр=радиус •2
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника	В середине гипотенузы	В                              R= ВС : 2        А             С
Диагонали квадрата	В точке пересечения делятся пополам	В                    С     А                    Д
Диагонали ромба	В точке пересечения делятся пополам	В О – точка  А              С    пересечения              Д        диагоналей АО=ОС, ВО=ОД
Диагонали параллелограмма	В точке пересечения делятся пополам	В                           С         А                            Д
Диагонали прямоугольника	В точке пересечения делятся пополам	В                                      С     А                                      Д
Угол между касательной и хордой	Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги	А       С                  В ∠АВС =  АВ:2
Угол с вершиной внутри круга	Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними	А                С             Д                 В О – точка пересечения диагоналей. ∠АОС=  +
Угол с вершиной вне круга	Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности дуг, заключенных между ними	В                  С  А                    К               Д ∠ВАД=( ВД – СК):2
Угол между касательной и секущей	Угол между касательной и секущей, проведенной из одной точки, равен полуразности дуг, заключенных внутри него	К М               В           А ∠КМВ = (АК – ВК) : 2

4.       Теоремы, в которых встречается 180⁰

Понятие	Вид
Сумма углов треугольника равна 1800	В А                                    С ∠А+∠В+∠С=1800
Сумма  смежных углов равна 1800	А   В      С                      Д ∠ВСА + ∠АСД = 1800
Сумма односторонних углов равна 1800	А                                        С               В                                Д ∠АСВ +∠АВД =1800
Вписанный  четырехугольник Сумма углов вписанного четырехугольника равна  1800	В              С                А              В ∠А+∠С=∠В+∠Д=1800
Длина дуги (дуга измеряется в двух величинах: в градусах и мерами длины)	L=
Развернутый угол равен 1800	•
Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен 1800 минус величина заключенной внутри него дуги, меньшей полуокружности	К       М                                   А                      ∠КМА = 1800 - АК

5.       Теоремы, в которых встречается 360⁰

Понятие	Вид
Сумма углов четырехугольника	В                                        С       А                                        Д А+∠В+∠С+∠Д=3600
Полный круговой оборот равен 3600
Площадь сектора	S =

6.       Теоремы, в которых встречается 90⁰

Понятие	Вид
Прямоугольный треугольник
Высота треугольника
Сумма острых углов прямоугольного треугольника	А        В                               С ∠А + ∠С= 900
Высота параллелограмма
Высота ромба
Высота трапеции
Прямоугольная трапеция
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной	R |  касательной

7.       Теоремы, в которых есть равенство

Понятие	Вид
Вертикальные углы равны
Накрест-лежащие углы равны
Соответственные углы равны
Боковые стороны равнобедренного треугольника и углы при его основании равны	В                  А                               С
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон	В                     Д   А                      С АД2+ВС2= АВ2+ВД2+ДС2+АС2
Боковые стороны равнобедренной трапеции равны	В                Д                    А                          С АВ=ДС
Стороны и углы равностороннего треугольника равны	В              А                      С ∠А=∠В=∠С=60˚
Центральный угол и дуга, на которую он опирается	А                   В
Разделенные биссектрисой углы
сторона, на которую пришелся конец медианы
Диагонали квадрата	А                     В АС=ДВ   Д                     С
Диагонали прямоугольника	А                                  В         АС=ДВ   Д                                     С
Произведение отрезков двух пересекающихся хорд	А                     Д                                        АО ∙ ОВ = СО ∙ ДО        С                   В
	В           А                 С              Д             АВ+СД=СА+ВД

8.       Площади и периметр

Фигура	Периметр	Площадь	Вид
Треугольник	а+в+с
Треугольник с углом (угол обычно из таблицы,т.е.30,45	а+в+с	•а•в•sinα
Треугольник прямоугольный	К+к+г
Равносторонний треугольник	3•а
Треугольник описанный
Треугольник вписанный
Треугольник, у которого известны стороны (формула Герона)	а+в+с	, где р =	а                    с                 в
Треугольник, у которого есть R и углы		2R2•sinA•sinB•sinC
Квадрат (через сторону)	4•а	а2	а
Квадрат (через диагональ)	2d
Прямоугольник	2•(а+в)	а•в	в   а
Ромб (через диагонали)	4•а
Ромб (как параллелограмм)	4•а	горизонталь•вертикаль
Параллелограмм	2•(а+в)	горизонталь•вертикаль
Трапеция	Осн1+Осн2+б/с+б/с	• Высота

9.       Синус, косинус, тангенс, котангенс

В                                                                     ∠А противолежащий катет – ВС, рядом катет – АС.

                                                                        АВ - гипотенуза

С                                                      А

Название функции	Определение	Связь
Sin	=	sinA=cosB
Cos	=	cosA=sinB
tg		tgA=ctgB
Ctg		ctgA=tgB

10.   Среднее пропорциональное

                               а                          в                            = • ,   = • c,  = •c

11.   Теорема синусов

 

                                         а                             в                          =  =  = 2R

 

                                                         c

12.   Теорема косинусов     

 =  + с² - 2•в•с•cos

 =  + с² - 2•a•с•cos

 =  + a² - 2•в•a•cos

         13.Свойство биссектрисы треугольника 1.

                                               В                                                     

                                                               К                         = 

                        А                                                    С

         14. Свойство биссектрисы треугольника 2.

АВ=с,   ВС=а,  АС=в,  АК – биссектриса

       В                     КВ=                 КС =

                                                                            К

                        А                                                                 С