Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Дидактический материал для подготовки к ГИА
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Дидактический материал для подготовки к ГИА

библиотека
материалов










hello_html_7965f960.gif



Автор: Филиппова Ольга Олеговна

Дидактический материал для подготовки к ГИА


































Точки, прямые, отрезки.

hello_html_m20787ab5.png Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.



Прямая а и точки А и В.

Если две прямые имеют общую

точку, то они пересекаются.

hello_html_16868388.png

Прямая а и b пересекаются в точке О.

Две прямые либо имеют только одну общую точку,

либо не имеют общих точек.


Угол.

hello_html_m775487e6.pngУгол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной

прямой.




Развёрнутый угол = 180º;



hello_html_b5ff4ae.png


Неразвёрнутый угол < 180º .


hello_html_21dd50e.pngЛуч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриса угла.




Смежные и вертикальные углы


Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

hello_html_m7085dc3c.png

АОВ + ‹ВОС = ‹АОС = 1800


Два угла ,называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

hello_html_m6485e401.png

1 и 3, 2 и 4 – вертикальные углы.






Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит из 3 точек, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками.

hello_html_d0751a3.pngРАВС = АВ+ВС+СА.


Теорема: Если 2 стороны и угол между ними 1-го треугольника соответственно равны 2 сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

hello_html_11cf915c.png


Теорема: Из точки, не лежа-

щей на прямой, можно провести

перпендикуляр к этой, и притом

только один.

hello_html_m5fd1221a.png


АН ┴ а


Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

hello_html_92bf0a.png

АМ - медиана




Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

hello_html_m2e5a564e.png

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

hello_html_5122d5d6.png

ВН - высота ∆АВС.





Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным.

hello_html_m6ee7de43.png

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

hello_html_m488928c4.png

‹В = ‹С

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

hello_html_m488928c4.png

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и

биссектрисой.


2. Медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.



Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

hello_html_11cf915c.png

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


hello_html_11cf915c.png

Определение: Окружность называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Параллельные прямые

Определение: Две прямые на плоскости параллельны, если они не пересекаются.

hello_html_5d45aa3d.png

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.

hello_html_m27f65fc7.png

Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.

Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Теорема: Если при пересечении 2 прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.


Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.


Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.


Теорема: Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.


Соотношения между сторонами

и углами треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

hello_html_19ebf45d.png

1.В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

2.Если два угла треугольника равны, то треугольник – равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90º.

hello_html_748c9c6.png

2. Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.

Теорема: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны

Теорема: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.


Многоугольники.

Сумма углов выпуклого n-угольника = (n-2)180º.


Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. hello_html_2c61638b.png

Свойства:

10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

hello_html_m78505657.pnghello_html_m78505657.png

20. Диагонали параллелограмма точ- кой пересечения делятся пополам.

hello_html_m78505657.png


Признаки:

10. . Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – параллелограмм.


20. Если в 4-угольнике противопо- ложные стороны попарно равны, то этот 4-угольник – параллелограмм.


30. Если в 4-угольнике диагональю пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот 4-угольник – параллелограмм.


Трапецией называется 4-угольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие стороны не параллельны.

hello_html_m59e1df3c.png

Трапецией называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

hello_html_m6e9b4a07.pngСвойства равнобедренной трапеции:

  1. А = ‹Д, ‹В = ‹С

  2. АС = ВД

  3. АВМ = ∆ДСМ








Ромбом называется параллело-грамм, у которого все стороны равны.

hello_html_m5f8636eb.png

Свойство:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

hello_html_64083cf0.png

Свойства:

1. Диагонали прямоугольника равны.

2.Если в параллелограмме диагонали равны,то этот пареллелограмм- прямоугольник.


Квадратом называется прямо-

угольник, у которого все стороны равны.

hello_html_2bebaec6.png

Свойства:

1.Все углы квадрата прямые.

2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Площадь.

1.Равные многоугольники имеют равные S.

2.S квадрата равна квадрату его стороны.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его S = сумме площадей этих многоугольников.

Теорема: S прямоугольника равен произведению его смежных сторон.

hello_html_2d558987.png

S = a * b


Теорема: S параллелограмма равен произведению его основания на высоту.

hello_html_m7464c235.png

S = AD *BH

Теорема: S треугольника равен произведению его основание на высоту.

hello_html_283c121a.png

S = ½ АВ*СН


S прямоугольного треугольника = 1/2

произведения его катетов.


Формула Герона:

hello_html_64282872.png,

где р =1/2 (а + b + c)- полупериметр треугольника.

Теорема: S трапеции = про- изведению полу суммы её оснований на высоту.

hello_html_2f87f455.png

Теорема: (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

hello_html_m2b30e2fb.png

c2=a2 + b2

Теорема: Если квадрат 1ой

стороны треугольника = сумме

квадратов 2 других сторон, то

треугольник прямоугольный.





Подобные треугольники.

Определение: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорционально сходственны сторонам другого.

hello_html_m11a610c4.pnghello_html_m11a610c4.png

АВ и А1В1, ВС и В1С1 , СА и С1А1 сходственные стороны

Теорема: Отношение S 2ух подобных треугольников равен квадрату коэффициента подобия.



Признаки подобия треугольников

Первый признак

Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие 3-угольники подобны.

hello_html_66f97d29.pnghello_html_66f97d29.png

Второй признак

Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум

сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.


Третий признак

Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональ-ны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

hello_html_3fb3aef8.pnghello_html_3fb3aef8.png

Теорема: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна ½ этой стороны.

hello_html_m542fd5e1.png

MN = ½ AC

Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которое делится гипотенуза этой высотой.

hello_html_18668a0.png

CD = hello_html_m2c7ccc43.gif


Утверждение: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

hello_html_18668a0.png

AC = hello_html_6ebf3ed8.gif




Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника


sin острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

hello_html_52334c23.png

sin A = hello_html_2977a5d2.gif


cos острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

hello_html_52334c23.png


cos A = hello_html_1f824aec.gif

tg острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

hello_html_52334c23.png

tg A = hello_html_m456d31d2.gif

tg угла = отношению sin к cos

этого угла: tg = sin/ cos.


Основное тригонометрическое тождество:

sin2α + cos2α=1.

hello_html_31357ff7.png

Окружность.

Если расстояние от центра окруж ности до прямой < радиуса, то пря мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является секущей.

hello_html_373bedf3.png

Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является касательной

hello_html_373bedf3.png

Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря мая и окружность не имеют общих точек.

hello_html_373bedf3.png

Теорема: Касательная к окруж- ности перпендикулярна к r, прове-

дённому в точку касания.

hello_html_m46e0012f.png

Свойство: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

hello_html_335474d9.png

АВ = АС, ‹3 = ‹4

Теорема: Если прямая проходит

через конец r, лежащий на окруж-

ности, и перпендикулярна к этому

r, то она является касательной.


Градусная мера дуги окружности

Если дуга АВ окружности с центром

О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.

hello_html_3cbe89e0.pnghello_html_3cbe89e0.png

Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается = 360°–<АОВ.

hello_html_3cbe89e0.png

Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
















Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

hello_html_20891f09.png

Теорема: Вписанный угол измеряя- ется ½ дуги, на которую он опирается.

hello_html_65a55a41.png

hello_html_m6a48e3a0.png

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту же дугу, равны.

hello_html_5fce8bdd.png


Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой.

hello_html_5fce8bdd.png

Теорема: Если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

hello_html_m5f5a67b8.png

АЕ* ВЕ = СЕ* DE

Теорема: Каждая точка бисс-ектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая

от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

hello_html_m6d915885.png

MK = ML

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

hello_html_11cf7049.png

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

hello_html_11cf7049.png

Теорема: Каждая точка се-

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: Каждая точка, равноудалённая от концов отрез- ка, лежит на серединном перпен- дикуляре к нему.

Серединные перпендикуляры к сторо-

нам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема: Высоты треугольника

(или их продолжения) пересекаются в одной точке.

hello_html_m3678b4da.png

Вписанная и описанная окружности

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

hello_html_62ae1945.png

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность.

hello_html_1148b964.png

Замечания:

1. В 3-угольник можно вписать только одну окружность.

2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

hello_html_m6a8c0e29.png

Свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

hello_html_m6a8c0e29.png

АВ + CD=a + b +c + d, DC +AD=a + b +c + d, AB + CD = BC + AD

Теорема: Около любого треугольника можно описать

окружность.

hello_html_3fe549eb.png




Свойства: В любом вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов равна 180°.

hello_html_133e6e18.png

hello_html_709833d3.png

Обратное: Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.



Векторы.

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.

hello_html_15fc7cfb.png


Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеарным любому вектору.

hello_html_41de1f61.png

На рисунке векторы hello_html_m22ae9e73.gif , hello_html_753ca20d.gif , hello_html_m165dbfad.gif, hello_html_m4c4a54a8.gif,hello_html_m783dbdfe.gif (вектор hello_html_m783dbdfe.gif нулевой) колли-

неарны, а векторы hello_html_m165dbfad.gif и hello_html_2c12299a.gif, a также hello_html_m4c4a54a8.gif и hello_html_2c12299a.gif не коллинеарны.


Если 2 вектора направлены одинаково, то эти векторы – сонаправлены.

Обозначается : : hello_html_2fd7c60b.gif ↑↑hello_html_m218a4af0.gif


Если 2 вектора направлены противоположно, то они противоположно направлены.

Обозначается: : hello_html_2fd7c60b.gif ↑↓ hello_html_m218a4af0.gif

Определение: Векторы,

называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.


Обозначается: hello_html_2fd7c60b.gif = hello_html_m218a4af0.gif


От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору hello_html_2fd7c60b.gif , и притом только один.



Теорема: для любых векторов :

hello_html_2fd7c60b.gif , hello_html_m218a4af0.gif, hello_html_51654477.gifсправедливы равенства:

  1. hello_html_2fd7c60b.gif + hello_html_51654477.gif = hello_html_51654477.gif + hello_html_2fd7c60b.gif

(переместительный закон);

  1. (hello_html_2fd7c60b.gif + hello_html_m218a4af0.gif ) + hello_html_51654477.gif = hello_html_2fd7c60b.gif + ( hello_html_51654477.gif + hello_html_m218a4af0.gif) (сочетательный закон).



Теорема: Для любых векторов hello_html_2fd7c60b.gif и hello_html_m218a4af0.gif справедливо равенство

hello_html_2fd7c60b.gifhello_html_m218a4af0.gif= hello_html_2fd7c60b.gif+ (- hello_html_m218a4af0.gif).

hello_html_69914fcd.png

  • Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

  • Для любого числа k и любого вектора hello_html_2fd7c60b.gifвекторы hello_html_2fd7c60b.gif и k hello_html_2fd7c60b.gifколлинеарны.

Для любых чисел k, l и любых векторов hello_html_2fd7c60b.gif , hello_html_m218a4af0.gifсправедливы равенства:

10.(k*l) hello_html_2fd7c60b.gif =k(l* hello_html_2fd7c60b.gif) (сочетательный закон)

20.(k + l) hello_html_2fd7c60b.gif =khello_html_2fd7c60b.gif + lhello_html_2fd7c60b.gif (первый распределительный закон)

30 k(hello_html_2fd7c60b.gif + hello_html_m218a4af0.gif ) = khello_html_2fd7c60b.gif + k hello_html_m218a4af0.gif ) (второй распределительный закон)



Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

hello_html_5d4ec7f5.png

MN = hello_html_m8af33cd.gif

Метод координат.

Лемма: Если векторы hello_html_2fd7c60b.gif , hello_html_m218a4af0.gif коллинеарны и hello_html_2fd7c60b.gif≠ 0, то существует такое число k, что hello_html_m218a4af0.gif =khello_html_2fd7c60b.gif

hello_html_7012fdaa.png

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом .

hello_html_4d5eb6aa.pnghello_html_4d5eb6aa.png

hello_html_1bdfad59.png




Каждая координата суммы двух

векторов равна сумме соответ-ствующих координат этих векторов.

hello_html_26de15ab.png

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.



Каждая координата разности двух векторов равна разности соот-

ветствующих координат этих векторов.

Пример: Если hello_html_m32b4c535.gif1; y1} и hello_html_m5a827f3c.gif{ х2; y2} - данные векторы, то вектор hello_html_m32b4c535.gif- hello_html_m5a827f3c.gif имеет координаты {х1 - х2; у12}.


В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(x0;y0) имеет вид: (xx0)2 + (yy0)2 =r2

hello_html_m6a138b84.png


Соотношения между сторонами и углами 3-угольника.

Скалярное произведение векторов.


tg угла α(α≠90°) называется отношение sinα/cosα, т.е.

tg α= sinα/cosα

Теорема: S треугольника равна половине произведения двух его сторон на sin угла между ними.

hello_html_75cf873e.png

S= ½ a*b*sin C

Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам против-олежащих углов.


hello_html_8da56fc.gif

Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

hello_html_2de9e361.png

а2=b22-2bс cos α

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на cos угла между ними.

hello_html_m31048c60.png

Теорема: Скалярное произведение векторов hello_html_2fd7c60b.gif { х1; у1 } и hello_html_m218a4af0.gif { х2; у2 } выражается формулой:

hello_html_2fd7c60b.gif* hello_html_m218a4af0.gif1 х2 1 у2.


Следствие 1. Нулевые векторы

hello_html_2fd7c60b.gif{ х1; у1} и hello_html_m218a4af0.gif { х2; у2 } перпендикулярны тогда и только тогда, когда х1 х2 + у1 у2 = 0

Следствие 2. cos угла а между нулевыми векторами hello_html_2fd7c60b.gif { х1; у1} и hello_html_m218a4af0.gif { х1; у1 } выражается формулой:

hello_html_49fa6f8.png

.

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов hello_html_2fd7c60b.gif , hello_html_m218a4af0.gif , hello_html_51654477.gif и любого числа k справедливы соотношения:

  1. hello_html_m59cff5e1.gif0, причем hello_html_m59cff5e1.gif > 0 при hello_html_m59cff5e1.gif hello_html_7d6abce6.gif

  2. hello_html_2eae2296.gif* hello_html_m3b583044.gif = hello_html_m3b583044.gif * hello_html_7d4f35bf.gif (переместительный закон).

  3. ( hello_html_2eae2296.gif + hello_html_m3b583044.gif ) *hello_html_m5b77ab7f.gif = hello_html_2eae2296.gif *hello_html_m5b77ab7f.gif + hello_html_m3b583044.gif *hello_html_m5b77ab7f.gif (распределительный закон).

  4. ( k * hello_html_2eae2296.gif ) * hello_html_m3b583044.gif = k* (hello_html_2eae2296.gif * hello_html_m1b15aeb6.gif) (сочетательный закон)









Автор
Дата добавления 13.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров113
Номер материала ДБ-078864
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх