Дидактический материал для подготовки к ГИА

Автор: Филиппова Ольга Олеговна

Дидактический материал для подготовки к ГИА

Точки, прямые, отрезки.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.                                                             Прямая а и точки А и В.	Если две прямые имеют общую точку, то они пересекаются.                                                                                            Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

                                                         Угол.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Угол называется развёрнутым, если обе его стороны  лежат на одной прямой. Развёрнутый угол = 180º;	Неразвёрнутый угол < 180º .
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриса угла.
Смежные и вертикальные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.     ‹АОВ + ‹ВОС = ‹АОС = 1800	Два угла ,называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные углы.

Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит из 3 точек, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками.   РАВС = АВ+ВС+СА.
Теорема: Если 2 стороны и угол    между ними 1-го треугольника соответственно равны 2 сторонам и углу между ними другого  треугольника, то треугольники равны.	Теорема: Из точки, не лежа-  щей на прямой, можно провести  перпендикуляр к этой, и притом                       только один. АН ┴ а
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.     АМ - медиана	Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника  с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей  противоположную сторону, называется высотой треугольника. ВН - высота ∆АВС.

Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным.	Теорема: В равнобедренном треугольнике  углы при основании равны. ‹В = ‹С
Теорема: В равнобедренном       треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.	1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой  и биссектрисой. 2. Медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.	Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение: Окружность называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Параллельные прямые

Определение: Две прямые    на плоскости параллельны, если они не пересекаются.	Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.      Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.                    Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.                        Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема: Если при пересечении 2 прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.	Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма      односторонних углов равна  180º, то прямые параллельны.	Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.	Теорема: Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.

Соотношения между сторонами

и углами треугольника. 

Теорема: Сумма углов треугольника = 180º.	Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
1.В прямоугольном треугольнике гипотенуза  больше катета. 2.Если два угла треугольника равны, то треугольник – равнобедренный.	Теорема: Каждая сторона      треугольника меньше суммы двух других сторон.
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90º.	2. Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий против угла в 30º, равен половине  гипотенузы.  3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
Теорема: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны	Теорема: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Многоугольники.

Сумма углов выпуклого n-угольника  = (n-2)180º.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства: 10.  В параллелограмме противоположные  стороны равны и противоположные углы равны.          20.  Диагонали параллелограмма точ- кой пересечения делятся пополам.	Признаки: 10.  .    Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – параллелограмм. 20.  Если в 4-угольнике противопо- ложные стороны попарно равны,  то этот 4-угольник – параллелограмм. 30.  Если в 4-угольнике диагональю пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам, то этот 4-угольник – параллелограмм.

Трапецией называется 4-угольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие стороны не параллельны.
Трапецией называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.                    Свойства равнобедренной трапеции: 1.     ‹А = ‹Д, ‹В = ‹С 2.     АС = ВД 3.     ∆АВМ = ∆ДСМ	Ромбом называется параллело-грамм,  у которого все стороны равны.                               Свойство: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны  и делят его углы пополам.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.                     Свойства: 1. Диагонали прямоугольника равны.   2.Если в параллелограмме диагонали равны,то этот пареллелограмм- прямоугольник.	Квадратом называется прямо- угольник, у которого все стороны       равны.                           Свойства: 1.Все углы квадрата прямые. 2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Площадь.

1.Равные многоугольники имеют       равные S. 2.S квадрата равна квадрату его стороны. 3. Если многоугольник составлен из     нескольких многоугольников, то       его S = сумме площадей этих многоугольников.	Теорема: S прямоугольника равен произведению его смежных сторон. S = a * b
Теорема: S параллелограмма равен произведению его основания на высоту.                        S = AD *BH	Теорема: S треугольника равен произведению его основание на высоту.                                                   S =  ½ АВ*СН
S прямоугольного треугольника = 1/2  произведения его катетов. Формула Герона:      , где р =1/2 (а + b + c)- полупериметр треугольника.	Теорема: S трапеции = про- изведению полу суммы её оснований на высоту.
Теорема: (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.                                       c2=a2 + b2	Теорема:  Если квадрат 1ой     стороны треугольника = сумме квадратов 2 других сторон, то треугольник прямоугольный.

Подобные треугольники.

Определение: два треугольника  называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны  одного треугольника пропорционально сходственны   сторонам другого.                                                           АВ и А1В1, ВС и В1С1 , СА и С1А1 – сходственные стороны
Теорема: Отношение S 2ух подобных треугольников равен квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников
Первый признак Теорема: Если два  угла одного треугольника соответственно равны двум углам  другого, то такие 3-угольники подобны.	Второй признак Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональ-ны  трём сторонам другого, то такие  треугольники подобны.	Теорема: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна ½ этой стороны.                                     MN = ½ AC
Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которое делится гипотенуза этой высотой.                                CD =	Утверждение: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.                                 AC =
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
sin острого угла прямоугольного      треугольника называется отношение                  противолежащего катета к            гипотенузе.                                 sin A =	cos острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.                                           cos A =
tg острого угла прямоугольного            треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.                                              tg A =	tg угла = отношению sin к cos  этого угла: tg = sin/ cos. Основное тригонометрическое                                                                                       тождество:             sin2α + cos2α=1.

Окружность.

Если расстояние от центра окруж ности до прямой <  радиуса, то пря мая и окружность имеют 2 общие      точки. Прямая является секущей.	Если расстояние от центра окруж-  ности до прямой = радиуса, то пря- мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является касательной
Если расстояние от центра окруж- ности до прямой > радиуса, то пря мая и окружность не имеют общих   точек.	Теорема: Касательная к окруж- ности перпендикулярна к r, прове- дённому в точку касания.
Свойство: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.                                             АВ = АС, ‹3 = ‹4	Теорема: Если прямая проходит через конец r, лежащий на окруж- ности, и перпендикулярна к этому r, то она является касательной.
Градусная мера дуги окружности
Если дуга АВ окружности с центром О  меньше полуокружности или является  полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.	Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается = 360°–<АОВ.
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Теорема: Вписанный угол измеряя-                                   ется ½ дуги, на которую он опирается.	Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту же дугу, равны.                      Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой.
Теорема: Если 2 хорды окружности пересекаются, то            произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.      АЕ* ВЕ = СЕ* DE	Теорема: Каждая точка бисс-ектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. MK = ML
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.	Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема: Каждая точка се-        рединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов     этого отрезка. Обратно: Каждая точка, равноудалённая от концов отрез-    ка, лежит на серединном перпен- дикуляре к нему. Серединные перпендикуляры к сторо- нам треугольника пересекаются в одной точке.	Теорема: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Вписанная и описанная окружности
Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность.	Замечания:     1.  В 3-угольник можно вписать только одну окружность.     2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. АВ + CD=a + b +c + d, DC +AD=a + b +c + d, AB + CD = BC + AD	Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность.

Свойства: В любом вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов равна 180°. Обратное: Если сумма противоположных  углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Векторы.

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом,  называется  направленным отрезком или вектором.	Нулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат  либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.        На рисунке  векторы    ,  , , , (вектор  нулевой) колли- неарны, а векторы   и , a также   и  не коллинеарны.
Если 2 вектора направлены одинаково,  то эти векторы – сонаправлены. Обозначается : :  ↑↑  Если 2 вектора направлены противоположно, то они противоположно направлены. Обозначается: :  ↑↓	Определение: Векторы, называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Обозначается:  =   От любой точки М можно отложить  вектор, равный данному вектору    , и притом только один.

Теорема: для любых векторов :   , ,   справедливы равенства: 1.    +    =   +   (переместительный закон); 2.   ( +   ) +  =  + (  + ) (сочетательный закон).	Теорема: Для любых векторов     и  справедливо равенство  –  =  + (- ).
·       Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. ·    Для любого числа k и любого вектора  векторы    и k   коллинеарны.	Для любых чисел k, l и любых векторов   ,  справедливы равенства: 10.(k*l)  =k(l* ) (сочетательный закон) 20.(k + l)  =k + l (первый распределительный закон) 30 k( +   ) = k + k  ) (второй распределительный закон)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. MN =

Метод координат.

Лемма: Если векторы  ,  коллинеарны и   ≠ 0, то существует такое число k, что  =k	Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом .
Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответ-ствующих координат этих векторов.	Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соот- ветствующих координат этих векторов. Пример: Если  {х1; y1} и { х2; y2} - данные векторы, то вектор -  имеет координаты {х1 - х2; у1-у2}.	В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(x0;y0) имеет вид: (x –x0)2 + (y – y0)2 =r2

Соотношения между сторонами и углами 3-угольника.

Скалярное произведение векторов.

Для любого угла α из промежутка     0° ≤ α ≤180° sin угла α называется ордината у точки М, а cos угла α – абсцисса х угла α.	tg угла α(α≠90°) называется отношение sinα/cosα, т.е. tg α= sinα/cosα
Теорема: S треугольника равна половине произведения двух его сторон на sin угла между ними. S= ½ a*b*sin C	Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам против-олежащих углов.
Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними. а2=b2+с2-2bс cos α	Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на cos угла между ними.
Теорема: Скалярное произведение векторов   { х1; у1 } и      { х2; у2 } выражается формулой:  *  =х1 х2 +у1 у2.	Следствие 1. Нулевые векторы   { х1; у1} и   { х2; у2 } перпендикулярны  тогда и только тогда, когда   х1 х2 + у1 у2 = 0 Следствие 2.  cos угла а между нулевыми векторами    { х1; у1} и  { х1; у1 } выражается формулой:     .
Свойства скалярного произведения векторов
Для любых векторов  ,   ,      и любого числа k справедливы соотношения: 1.      ≥ 0, причем  > 0 при  ≠  2.      *  =    *   (переместительный закон). 3.     (  +   ) * =    *  +   *  (распределительный закон). 4.     ( k *  ) *  = k* ( * ) (сочетательный закон)