Выпускной экзамен по
математике в инженерном классе является одновременно и вступительным
экзаменом в Ярославский государственный технический университет. В вариантах
вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты. Задачи на проценты
часто вызывают затруднения у учащихся. Причина, на мой взгляд, в том, что
тема "Проценты" изучается в младших классах, причем
непродолжительно, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. Тем
не менее, учеников нужно надо подготовить к решению задач на проценты.
Поэтому работая в инженерном классе, я рассмотрела наиболее часто
встречающиеся виды задач. Все задачи по их видам записываются у учеников в
тетради-справочнике. Я подготовила несколько рассчетных работ по теме
"Проценты". Кроме того, использую творческие домашние задания,
когда ученикам предлагается придумать свои задачи на проценты. Некоторые
пробуют даже писать стихи о процентах. Предложенные задачи можно найти в
вариантах вступительного экзамена по математике в технический университет за
прошлые годы, а также из сборника задач по математике для поступающих во
ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.
Различные виды задач
на проценты
Определение
процента от числа
Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Определение
числа по известной его части, выраженной в процентах
Найти число, если 15%
его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:
х - данное число;
0,15.х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.
После
рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:
1. На сколько процентов
10 больше 6?
2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%
Что
произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить
на 25%?
Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Свежие
грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих
грибов из 22 кг свежих?
Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
Ответ: 2,5 кг.
При решении задач на
проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное
содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому
предлагаю задачи на эти понятия.
Процентное
содержание. Процентный раствор.
Задача:
Сколько кг соли в 10 кг
соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание
вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например,
15%-й раствор соли.
Задача:
Сплав содержит 10 кг олова
и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание
вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от
веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества
в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого
вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример.
Концентрация серебра в
сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261
г.
300 . 0,87 =
261 (г).
В этом примере концентрация
вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистой
компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией
этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих
смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина.
Если известно процентное
содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
к - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в процентах).
Дополнительные
задачи.
1. Имеется 2 сплава, в
одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго
сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить
сплав, содержащий 32% серебра?
Решение:
Пусть к 20 кг первого
сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового
сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг)
серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг
нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим
уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.
Ответ:
13 1/3 кг второго сплава
нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.
2. К 15 л 10%-ного раствора
соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество
литров 5%-ного раствора добавили?
Решение.
Пусть добавили х л 5%-ного
раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержиться
0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 .
0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.
Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ:
добавили 10 л 5%-ного
раствора.
Расчетные
задачи по теме "Проценты".
1. Найти 14% от 84.
2. Найти число, если 12% его составляют 9,03.
3. Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал
стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена?
4. При продаже товара за 1548 руб. получено 20%
прибыли. Определить себестоимость товара.
5. Свежие фрукты содержали 72%, а сухие - 20%.
Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?
6. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит
45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве
было 40% меди?
7. имеется лом стали двух сортов с содержанием
никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить
140 т стали с содержанием никеля в 30%?
8. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г
16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
9. Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%.
Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?
10. Площадь прямоугольника равна 100 см2. Одна
сторона прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти
площадь нового прямоугольника.
Задачи
для самостоятельного решения.
1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится
40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг
первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32%
серебра?
2. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится
20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов,
чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего
27% олова?
3. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится
10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов,
чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего
14% меди?
4. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится
30%, а в другом 50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг
первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42%
серебра?
5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую
массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг
нового сплава, содержащего 50% золота?
6. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45%
железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый
сплав содержал 30% железа.
7. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую
массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг
нового сплава, содержащего 10% олова?
Ответы
Расчетные
задания.
- 11,76
- 76,25
- 10,94%
- 1290
- 7
- 1,5
- 40; 100
- 441
- 661500
- 104,5.
Самостоятельное
решение.
- 13 1/3.
- 3; 7.
- 9; 6.
- 15.
- 50; 30.
- 15.
- 10; 30.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.