Дидактический материал по алгебре для 9 класса

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х² – 6х + 12;

б) 2у² – 4у – 1.

 Вопрос № 2

Почему квадратный трехчлен – 2х² + 4х – 7 не раскладывается на линейные множители?

 Вопрос № 3

Пусть х¹ и х ² – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с.

Найдите а и b, если с = 4, х₁= – 2, х₂  .

 Вопрос № 4

Докажите, что при любом а квадратный трехчлен а² – 4а + 10 принимает положительные значения.

Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х² + 4х + 9;

б) 3b² – 12b + 11.

 Вопрос № 2

Почему квадратный трехчлен – 9х² + 4х – 11 не раскладывается на линейные множители?

 Вопрос № 3

Пусть х¹ и х ² – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с. Найдите а и с, если b = 6, х₁ = 3, х₂ = – 4.

 Вопрос № 4

Докажите, что при любом х квадратный трехчлен – х² + 8х – 18 принимает отрицательные значения.

Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

2

а) – х + 4х + 2;

б) ^y2 – 2у + 6.

 Вопрос № 2

Почему квадратный трехчлен – 3х² + 4х – 21 не раскладывается на линейные множители?

 Вопрос № 3

Пусть х¹ и х ² – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с. Найдите а и с, если b = – 1, х₁ = 3, х₂ = – 4.

 Вопрос № 4

Докажите, что при любом х квадратный трехчлен х² – 6х + 24 принимает положительные значения.

Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) – у² + 6у – 7;

б) ^x2 – х + 3.

 Вопрос № 2

Почему квадратный трехчлен – 5х² + 5х – 4 не раскладывается на линейные множители?

 Вопрос № 3

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с. Найдите b и с, если а = 2, х₁ = 4, х₂ = – 0,5.

 Вопрос № 4

Докажите, что при любом х квадратный трехчлен – х² + 4х – 7 принимает отрицательные значения.

Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х² – 6х + 12;

б) 2у² – 4у – 1.

 Вопрос № 2

При каких в квадратный трехчлен х² – 5х + b можно разложить на линейные множители?

 Вопрос № 3

Пусть х¹ и х ² – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с.

Найдите а и b, если с = 4, х₁= – 2, х₂  .

 Вопрос № 4

Докажите, что при любом а квадратный трехчлен а² – 4а + 10 принимает положительные значения.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Найдите нули функции

а) у = х² + 7х – 18;

б) у = х² + 4х + 8.

 Вопрос № 2

Постройте в одной системе координат графики функций у = – х²; у = – х² + 4; у = – (x + 4)².

 Вопрос № 3

Найдите значение коэффициента с и постройте график функции у = х² – 6х + с, если известно, что наименьшее значение функции равно 5.

 Вопрос № 4

Найдите наименьшее расстояние между линиями у = 9х² и у = – 7.

Найдите нули функции

a) у = х² + 3х – 10;

б) у = х² + 8х + 25.

 Вопрос № 2

Постройте в одной системе координат графики функций у = х²; у = х² – 3; у = (х – 3)².

 Вопрос № 3

Найдите значение коэффициента с и постройте график функции у = х² – 6х + с, если известно, что наименьшее значение функции равно 5.

 Вопрос № 4

Найдите наименьшее расстояние между линиями у = – 5х² и у = 10.

Найдите нули функции

а) у = х² + 6х – 27;

б) у = х² – 7х + 11.

 Вопрос № 2

Постройте в одной системе координат графики функций у = х², у = (х – 1)²; у = (х – 1)² + 3.

 Вопрос № 3

Найдите наименьшее расстояние между линиями у = – 10х² и у = 2.

 Вопрос № 4

При каких значениях k графики функции у = – х² и у = 6х + k а) имеют одну общую точку;

б) не имеют общих точек?

Найдите нули функции

а) y = x² + 6x – 16;

б) y = x² – 3x + 11.

 Вопрос № 2

Постройте в одной системе координат графики функций y = – x²; y = – (x + 2)²; y = – (x + 2)² + 5.

 Вопрос № 3

При каких значениях k графики функций y = x²  и y = 4x + k a) имеют одну общую точку;

б) имеют две общие точки?

 Вопрос № 4

Найдите наименьшее расстояние между линиями y = 2x²  и y = – 5.

Найдите нули функции

а) у = х² + 7х – 18;

б) у = х² + 4х + 8.

 Вопрос № 2

Постройте в одной системе координат графики функций y = – x²; y = – (x + 2)²; y = – (x + 2)² + 5.

 Вопрос № 3

При каких значениях k графики функции у = – х² и у = 2х + k а) имеют одну общую точку;

б) имеют более 2 общих точек?

 Вопрос № 4

Найдите наименьшее расстояние между линиями у = – 5х² и у = 10.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Дана функция f (x) = х² – 6x.

Найдите, при каких значениях х:

а) f (x) > 0;        б) f (x)  0;

в) f (x) < 0;        г) f (x)  0;

д) f (x) > – 9;     е) f (x)  – 9;

ж) f (x) < – 9;    з) f (x)  – 9.

 Вопрос № 2

Решите систему неравенств:

3x² x 2  0,

 2

_x  9.

Дана функция f (x) = – х² + 4x.

Найдите, при каких значениях х:

а) f (x) > 0;    б) f (x)  0;

в) f (x) < 0;    г) f (x)  0;

д) f (x) > 4;    е) f (x)  4;

ж) f (x) < 4    з) f (x)  4.

 Вопрос № 2

Решите систему неравенств:

x²  7x12 0,

 _2x 4  0.

 Вопрос № 3

Найдите область допустимых значений функции

5

Решите неравенство:

а) х² + 4х – 5 < 0; б) х²  81;

в) 5х² < 0; г) 16 – 40x + 25х² > 0.

 Вопрос № 2

Решите систему неравенств:

x² 3x 2  0,



3x1 0.

 Вопрос № 3

Найдите область допустимых значений функции

Дана функция f (x) = х² – 6x.

Найдите, при каких значениях х:

а) f (x) > 0;        б) f (x)  0;

в) f (x) < 0;        г) f (x)  0;

д) f (x) > – 9;     е) f (x)  – 9;

ж) f (x) < – 9;    з) f (x)  – 9.

 Вопрос № 2

Решите систему неравенств:

x² 7x12  0,

 ₂

_x 16  0.

 Вопрос № 3

При каких значениях в определено выражение

 Вопрос № 1

Решите неравенство:

а) х² – 4х + 3  0; б) х²  25;

в) 7х² > 0; г) 49х² – 28x + 4  0.

 Вопрос № 2 Решите систему неравенств:

3x² x 2  0,

 2

_x  9.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Решите неравенство:

а) (х – 5) (4х + 1) (х + 1) > 0;

б) (3 – х) (4х + 1) (3х – 3) > 0;

2x(x3)

в)       > 0; x 4

г)  > 3;

д) х ³ – 16х > 0.

 Вопрос № 2

                                                                                           2                        3

Дана функция у = f (x), где f (x) = x (x – 3)     (x + 2) (x + 6).

Найдите значения переменной, при которых:

а) f (x) > 0;     б) f (x) < 0;

в) f (x)  0;    г) f (x)  0

 Вопрос № 3

При каких значениях х имеет смысл выражение:

Решите неравенство:

2

а) х + ^ 3; x

б) (x – 5) (x² + 2x + 12) (x + 2)² < 0.

 Вопрос № 2

Дана функция у = f (x), где f (x) = x ² (x – 2) (x + 5) (x + 7) ³ .

Найдите значения переменной, при которых:

а) f (x) > 0;     б) f (x) < 0;

в) f (x)  0;    г) f (x)  0

 Вопрос № 3

При каких значениях х имеет смысл выражение:

x² 81

(x5)(x6)

.

Решите неравенство:

8

а) х + ^{ 6} ; x

б) (x – 2)² (x + 1) (x² + x + 1) > 0.

 Вопрос № 2

Дана функция у = f (x), где f (x) = x (x + 2) ³ (x + 7) (x – 2)².

Найдите значения переменной, при которых:

а) f (x) > 0;      б) f (x) < 0;

в) f (x)  0;     г) f (x)  0

 Вопрос № 3

При каких значениях х имеет смысл выражение:

x² 5x14 x² 121 ^?

Решите неравенство:

12

а) х – _x > 4;

б) x ³ (x + 3) (x – 5) ² (x ² + x + 15) > 0.

 Вопрос № 2

Дана функция у = f (x), где f (x) = x (x + 5) (x + 1) ² (x – 6) ³ .

Найдите значения переменной, при которых:

а) f (x) > 0;      б) f (x) < 0;

в) f (x)  0;     г) f (x)  0

 Вопрос № 3

При каких значениях х имеет смысл выражение:

x² 225 x² 2x24 ^?

Решите неравенство:

12

а) х – _x > 4;

б) x ³ (x + 3) (x – 5) ² (x ² + x + 15) > 0.

 Вопрос № 2

Дана функция у = f (x), где f (x) = x (x + 5) (x + 1) ² (x – 6) ³ .

Найдите значения переменной, при которых:

а) f (x) > 0;      б) f (x) < 0;

в) f (x)  0;     г) f (x)  0

 Вопрос № 3

При каких значениях х имеет смысл выражение:

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Решите уравнение (способом разложения левой части на множители) и сравните его

 Вопрос № 2

Решите уравнение методом замены переменной:

(x + 3) ⁴ – 13 (x + 3) ² + 36 = 0.

 Вопрос № 3 Решите уравнение:

(х + 1) ² (x ² + 2x + 5) = 5

 Вопрос № 1

Решите уравнение (способом разложения левой части на множители) и сравните его больший корень с числом 3

x ³ + x ² – 4x – 4 = 0.

 Вопрос № 2

Решите уравнение методом замены переменной:

(2x – 1) ⁴ – 3 (2x – 1) ² – 4 = 0.

 Вопрос № 3 Решите уравнение:

(х ² – 4x + 1) (x ² – 4x + 4) = 4

 Вопрос № 1

Решите уравнение (способом разложения левой части на множители) и сравните его больший корень с числом 2 : x ³ + 2x ² – 81x – 162 = 0.

 Вопрос № 2

Решите уравнение методом замены переменной:

(7x + 1) ⁴ + 3 (7x + 1) ² – 4 = 0.

 Вопрос № 3 Решите уравнение:

(х² – 7x + 13)² – (x – 3) (x – 4) = 1

 Вопрос № 1

Решите уравнение (способом разложения левой части на множители) и сравните его меньший корень с числом ⁵ 5 : x ³ – x ² – 121x + 121 = 0.

 Вопрос № 2

Решите уравнение методом замены переменной:

2 (4x – 1) ⁴ + 3 (4x – 1) ² – 5 = 0.

 Вопрос № 3

Решите уравнение:

(х – 1) х – (x + 1) (x + 2) = 15

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Решите графически систему уравнений:

         2 y ,

         x

^y (x1)².

 Вопрос № 2

Решите систему уравнений методом подстановки:

xy 24,



xy10.

 Вопрос № 3

Решите систему уравнений методом сложения:

x² y² 11,

 2               2

_x y  61.

 Вопрос № 4

Решите систему уравнений методом замены переменных:

xy (xy)  5,



_xy(xy)  6.

 Вопрос № 5

Сумма двух чисел равна 16, а их произведение равно 63. Найдите эти числа.

 Вопрос № 6

Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 784. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 1. Какие числа задуманы?

Решите графически систему уравнений:

y(x1)² ,

 xy 2.

 Вопрос № 2

Решите систему уравнений методом подстановки:

xy1,

 xy6.

 Вопрос № 3

Решите систему уравнений методом сложения:

2x² y²  41,

 2                   2

_2x y 59.

 Вопрос № 4

Решите систему уравнений методом замены переменных:

xy(xy) 12,



_5(xy)  4xy 32.

 Вопрос № 5

Решите систему уравнений:

2x² y²  2xy 4,

 2               2

_x y xy 2

 Вопрос № 6

Задуманы два натуральных числа, разность квадратов которых равна 1000. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 2 и в остатке 5. Какие числа задуманы?

Найдите с помощью графиков число решений системы уравнений:

yx²  6x 4,









 Вопрос № 2

Решите систему уравнений методом подстановки:

1     1    1

   , x y 4

^xy 6.

 Вопрос № 3

Решите систему уравнений методом сложения:

15m3n 3,



_5m 2n1.

 Вопрос № 4

Решите систему уравнений методом замены переменных:

(xy)² 3xy18,



4xy1.

 Вопрос № 5

Решите систему уравнений:

x² y²  2xy 9,



xy1.

 Вопрос № 6

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Если это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 2 и в остатке 10. Найдите это число

Найдите с помощью графиков число решений системы уравнений:

yx²  2,









 Вопрос № 2

Решите систему уравнений методом подстановки:

x² xyy² 11,



x2y1.

 Вопрос № 3

Решите систему уравнений методом сложения:

5m 2n 3,



_4m 7n11.

 Вопрос № 4

Решите систему уравнений методом замены переменных:

3(xy)²  2(x 2y)²  5,



_2(x 2y)xy1.

 Вопрос № 5

Решите систему уравнений:

(xy)x

 y  20,







 Вопрос № 6

Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите эти числа

Решите графически систему уравнений:

y(x1)² ,

 xy 2.

 Вопрос № 2

Решите систему уравнений методом подстановки:

xy 24,



xy10.

 Вопрос № 3

Решите систему уравнений методом сложения:

2x² y²  41,

 2                   2

_2x y 59.

 Вопрос № 4

Решите систему уравнений методом замены переменных:

xy(xy) 12,



_5(xy)  4xy 32.

 Вопрос № 5

Сумма двух чисел равна 37, а сумма их квадратов равна 769. Найдите эти числа.

 Вопрос № 6

Задуманы два натуральных числа, разность квадратов которых равна 1000. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 2 и в остатке 5. Какие числа задуманы?

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Последовательность задана формулой y_n = 13 – 2n.

Найдите: а) у₁₀ ; б) y_k1 .

 Вопрос № 2

В арифметической прогрессии a₁ = –3, d = 4. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите а ₂₇ .

 Вопрос № 3

Найдите номер члена последовательности ( x_n ), равного 192, если эта последовательность задана формулой x_n = 8n + 16.

 Вопрос № 4

Найдите х, при котором числа х + 30, 8х – 3, 5х – 6 составляют арифметическую прогрессию.

 Вопрос № 5

Градусные меры углов прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите тангенс меньшего острого угла

В арифметической прогрессии a₁ = 4, d = –3. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите a₁₆ .

 Вопрос № 2

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (С ⁿ ), если с¹ = 3, d = 4.

 Вопрос № 3

Найдите номер члена последовательности ( y_n ), равного 155, если эта последовательность задана формулой y_n = 5n + 20.

 Вопрос № 4

Найдите х, при котором числа 2х + 40, 10х – 3, 3х + 29 составляют арифметическую прогрессию.

 Вопрос № 5

Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 5

Найдите номер члена последовательности ( y_n ), равного 155, если эта последовательность задана формулой y_n = 5n + 20.

 Вопрос № 2

Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (a _n ), если

a₁ = 4, d = 7.

 Вопрос № 3

Найдите сумму сорока членов арифметической прогрессии (а _n ), если a₁ = 20, d = – 4.

 Вопрос № 4

Найдите х, при котором числа 4х + 51, 13х + 2, 2х + 33 составляют арифметическую прогрессию.

 Вопрос № 5

Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 3

Последовательность задана формулой y_n = 13 – 2n.

Найдите: а) у₁₀ ; б) y_k1 .

 Вопрос № 2

В арифметической прогрессии a₁ = –3, d = 4. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите а ₂₇ .

 Вопрос № 3

Найдите номер члена последовательности ( x_n ), равного 192, если эта последовательность задана формулой x_n = 8n + 16.

 Вопрос № 4

Найдите х, при котором числа х + 30, 8х – 3, 5х – 6 составляют арифметическую прогрессию.

 Вопрос № 5

Градусные меры углов треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите тангенс меньшего угла треугольника, если градусная мера его большего угла составляет 75 градусов

Найдите номер члена последовательности ( y_n ), равного 155, если эта последовательность задана формулой y_n = 5n + 20.

 Вопрос № 2

В арифметической прогрессии a₁ = 6, d = – 2.

Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите a ₂₁ .

 Вопрос № 3

Найдите сумму сорока членов арифметической прогрессии (а _n ), если a₁ = 20, d = – 4.

 Вопрос № 4

Найдите х, при котором числа 4х + 51, 13х + 2, 2х + 33 составляют арифметическую прогрессию.

 Вопрос № 5

Градусные меры углов прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите тангенс меньшего острого угла

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Вычислите три следующих числа последовательности ( y_n ): 1; 5;..., если известно, что она является геометрической прогрессией.

 Вопрос № 2

Найдите шестой член геометрической прогрессии ( b_n ), если b₁   ; q = 2.

 Вопрос № 3

Найдите значение а, при котором числа а + 2; 4а, 16а – 24 составляют геометрическую прогрессию.

 Вопрос № 4

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –341, ее первый член равен

–1, а знаменатель равен 4. Найдите n

Найдите шестой член геометрической прогрессии (а _n ), если a₁ = 5; q = 2.

 Вопрос № 2

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( b_n ), если b ₁ = – 3; q =

3.

 Вопрос № 3

2

Найдите значения x, при котором числа 1 + x; x     + 4; 2x + 9; 9x составляют геометрическую прогрессию.

 Вопрос № 4

В геометрической прогрессии 1; 3; 9… сумма первых n членов равна 364. Найдите n

Вычислите три следующих числа последовательности ( b_n ): 16; 8;..., если известно, что она является геометрической прогрессией.

 Вопрос № 2

Последовательность ( b_n ) задана формулой b_n n(n6) .

Найдите b₁;b₆;b₁₀;b_k;b_k2 .

 Вопрос № 3

Найдите значение, x, при котором числа 2x; 5 – x; 7 + x; 20 – 4x составляют геометрическую прогрессию.

 Вопрос № 4

Найдите значение, b, при котором числа b – 1; 5 b ; 25 b + + 30 составляют геометрическую прогрессию.

Последовательность ( а _n) задана формулой а _n = n (n – 7).

Найдите: а ₁ ;a ₇ ;a₁₀ ;a _k ;a _k1 .

 Вопрос № 2

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( b_n ), если b ₁ = – 3; q =

3.

 Вопрос № 3

В геометрической прогрессии 1; 3; 9… сумма первых n членов равна 364. Найдите n

 Вопрос № 4

Найдите значение, b, при котором числа b – 1; 5 b ; 25 b + + 30 составляют геометрическую прогрессию.

Вычислите три следующих числа последовательности ( y_n ): 1; 5;..., если известно, что она является геометрической прогрессией.

 Вопрос № 2

Найдите шестой член геометрической прогрессии ( a_n ), если а₁ = 6; q = 2.

 Вопрос № 3

Найдите значение а, при котором числа а + 2; 4а, 16а – 24 составляют геометрическую прогрессию.

 Вопрос № 4

В геометрической прогрессии 1; 3; 9… сумма первых n членов равна 364. Найдите n

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1 Вычислите:

а) ⁶ 64  ⁷ 128  25 ;

                  

         5                                 5

               4                     4

2

, 1,6^2, 1,6.

0,8, (0,8)^3 , ^()3 .