Числовые выражения .
1.
Запишите
в виде выражения:
а) сумму чисел 37,6 и 12,1
б) разность чисел 43 и 26,8
в) произведение числа 7 и суммы чисел
11,4 и 12,6
г) частное от деления разности чисел
47 и 12 на 5.
2. Составьте выражение по
условию задачи и найдите его значение:
а) Миша нашёл 12 грибов,
а Боря на 6 грибов больше. Сколько грибов собрали оба мальчика?
б) В одной корзине 112
яблок, что вдвое больше, чем в другой. Сколько яблок в двух корзинах?
в) Туристы проехали 60
км на автобусе, а затем 3 часа шли пешком со скоростью 4,5 км/ч. Какой путь
проделали туристы?
4. Впишите пропущенный член
последовательности:
а) 3; - 3; 4; - 4; 5, -
5; 6; ….., 7; - 7.
б) 3; 7; 11; 15; …..; 23.
5. Заполните пропуски и
составьте выражение по условию задачи:
В однокомнатной квартире
площадь комнаты равна …… м², а площадь кухни на …… м² меньше. Какова общая
площадь квартиры?
6. В альбоме 100 страниц. На
первые 60 страниц Юра наклеивал по 15 марок, а на остальные по 16 марок.
Сколько всего марок в альбоме?
Решая эту задачу, ученики
составили выражения:
а) 15 · 60 + 16; б) 15 ·
60 + 16 · 100; в) 15 · 60 + 16 · 40. Какой ответ верный?
7. Составьте какое – либо
числовое выражение, содержащее одно действие, значение которого равно 20.
8. Не выполняя вычислений,
определите, является ли положительным или отрицательным значение выражения:
а) ( 34 + 14) : ( - 4);
б) 5,1 · 4 – 43.
Выражения с переменными.
1. Закончите
запись:
а) если х = - 2, то 3х – 5 = 3 · (- 2) – 5 =…….
б) если у = 4, то 11 – 5у = 11 – 5 · 4 = …….
2. Заполните
таблицу:
|
х
|
- 3
|
- 2
|
0
|
2
|
3
|
|
х
|
- 3
|
- 1
|
0
|
15
|
2
|
|
2х
|
|
|
|
|
|
х + 3
|
|
|
|
|
|
3. Найдите значение выражения:
а) 2а – 1 при а = 1,5; б) – а +
2в при а = -3, в = 2.
4. Запишите в виде выражения:
а) сумму чисел а и в;
б) разность чисел х и у;
в) сумму числа 5 и произведения чисел
х и у;
г) произведение числа 3 и разности
чисел а и в.
5. Составьте выражение по условию
задачи:
а) Турист идёт со скоростью 5 км/ч.
Какое расстояние он пройдёт за х часов?
б) В одной пачке х тетрадей, а в
другой на 3 тетради больше. Сколько тетрадей во второй пачке? В двух пачках
вместе?
в) Блокнот стоит х р., а ручка у р.
Купили 3 блокнота и 4 ручки. Сколько денег уплатили за всю покупку?
6. На складе находилось 215 изделий.
Принесли ещё Х ящиков, в каждом из которых было по 15 изделий. Сколько изделий
стало на складе?
Выберите верный ответ: а) 15х; б)
215 + 15х; в) (215 + 15) · х.
7. Деревня, посёлок и город находятся
на одном шоссе, причём деревня расположена между посёлком и городом. Расстояние
от деревни до посёлка равно х км, а от деревни до города равно у км. Найдите
расстояние от посёлка до города.
8. Из прямоугольного листа жести со
сторонами Х м У м вырезали круг площадью 0,15 м². Найдите площадь оставшейся
части.
Преобразование выражений.
1. Подчеркните подобные
слагаемые: а) 12а + 3в – а – 5в; б)
– 8а + 6в – 7а +4в; в) 6х – 11у – 12у + 7х. 2.
Продолжите запись:
а) 5а + 11а – 17а = (5 + 11 – 17) · а = …..
б) 12х – 15х – 6х = (12 – 15 – 6) · х = ….
3. Подчеркните подобные слагаемые и выполните приведение подобных слагаемых:
а) 5х – 3у – х + 9у; б) 8а – 1 – 11а – 21; в) а – в – 3а – 11в.
4. Впишите в квадраты пропущенные знаки: а)
12а – (4а – 1) = 12а 4а 1 1;
б) 6х + (14у – 2х + 4) = 6х 14у 2х 4;
5. Раскройте скобки, перед которыми стоит знак «+»:
а) 3х + (12у – 6а); б) 3х – 1 + (11а – в – с).
6. Раскройте скобки, перед которыми стоит знак «-»:
а) 12а – (- х + 7у – 1); б) 3а – в – (7х – 12у + 6).
7. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 6х + (х – 3у); б) 6х – (х – 3у); в)12 – (х – 61); г)
(12х – 1) + (6х – 4); д) (5а – 2) – (4 – 3а); е) (5а – 7в + 1) – (3а – в +
1). 8. Упростите выражение и найдите его
значение: а)
(11х – 1) + (1 – 7х) при х = 4; б) (6а + 3) – (2а – 1) при а = - 1;
в) 3а – (12 – в) при в = 3; г) (2 – в) – (3 + 6в) при в = - 2.
9. Преобразуйте выражение, используя распределительное свойство умножения:
а) 5 · (2а + 3); б) – 3 · (а – 4а); в) 15 · (6х – 1); г)
-2 · (3 – х); д) 8
· (3а – в + с); е) – 5 · ( - 4у – 6 х); ж) - 4 · ( - а – в + 6).
10. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а)
6 · (3х – 1) – 12х; б) - 2 · (1 – х) + 6; в) 5х – 2 + 2 · (3 – х); г) 4х
– 5 · (3х – 1). 11. Докажите, что при любом «а» значение
выражения 5 · (2а + 1) – 10а равно 5. 12. Упростите выражение и найдите его
значение: а) 5 ·
(а – 1) – 2а – 3 при а = 7;
б) 2 · (а + 7) + (3а – 7) при а = - 1;
в) – ( 3х – 1) – 3 · (х + 2) при х = 2;
г) – 4 · (х + 2) – (5 – х) при х = 1.
Решение уравнений .
1.
Чтобы решить уравнение 5х = - 40, надо – 40 разделить на 5. Чему равен корень
этого уравнения?
2. Подчеркните коэффициент при х и решите уравнения: а)
7х = 49; б) – 3х = 111; в) 12х = 1.
3. Решая уравнения 12х = - 744, Коля нашёл, что х = - 62, проверьте, правильно
ли найден корень уравнения.
4. Решите уравнения: а)
6х = 24; б) 7х = 63; в) 13х = - 39; г) – 4х = 12; д) – 6х = - 36; е) 5х =
7,5; ж) 6х = - 0,36; и) 9х = - 3.
5. При каком значении х: а)
значение выражения 8х равно – 64;
б) значение выражения 7х равно 1;
в) значение выражения – х равно 11?
6. Перенесите слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а остальные в
правую, изменив при этом их знаки на противоположные:
а) 2х – 3 = 5х + 8; в) -2х – 5 = 6х – 8;
б) 4х – 12 = -3х + 3; г) – 4х – 2 = - 13х + 21.
7. Доведите решение уравнения до конца:
а) 2х – 4 = -8х + 12 ; б) 3х – 2 = 7х – 14;
2х + 8х = 12 + 4 3х – 7х = - 14 + 2
8. Решите уравнение: а)
3х + 8 = х – 12; в) х + 4 – 3 = 2х;
б) 5у = 2у + 15; г) – 2х + 9 – 8 = - х – 1.
9. Решите уравнение:
а) 1,2х = - 4,8; г) 3х – 4 = 11; ж) 2х – 1 = 3х + 6;
б) – 6х = 7,2; д) 5 – 2х = 0; з) х – 8 = - 4х – 9;
в) – х = - 0,6; е) -12 – х = 3; и) 5 – 6х = 0,3 – 5х.
10. При каком значении «а»
а) значение выражения 3 + 2а равно 43;
б) значение выражения 12 – а равно 100;
в) значение выражения 13а + 17 и 2а + 7 являются противоположными числами?
Решение задач с помощью уравнений . 1.
Составьте выражение по условию задачи:
а) В одной бригаде х человек, а в другой на 5 человек больше. Сколько человек
во второй бригаде?
б) В одной корзине находится а яблок, а в другой в три раза яблок
больше. Сколько яблок во второй корзине?
в) Путь от деревни до города мотоциклист проезжает в
два раза быстрее велосипедиста. Велосипедист затратил х часов. Сколько времени
понадобилось мотоциклисту? г)
Петя выше Вани на 5 см и ниже Коли на 2 см. Рост Пети равен х см. Чему равны
рост Вани и рост Коли?
д) В ящик сначала добавили 12 карандашей, а затем
вынули 7 карандашей. Сколько карандашей стало в корзине, если первоначально в
ней было х карандашей?
2.
Составьте равенство, используя условие:
а) Одна деталь весит х кг, а другая 3х кг. Вместе обе
детали весят 44 кг. б)
Туристы прошли пешком х км и проехали на автомобиле 3х км. Весь путь туристов
составил 124 км.
в) Длина прямоугольника равна 2х см,
ширина х см, а периметр равен 138 см.
г) В корзине находится 5х кг яблок, а в ящике х кг яблок. В корзине на 12 кг
яблок больше, чем в ящике.
3. Составьте уравнение и закончите решение задачи, записав
его в тетради: Задача. На верхней полке было втрое больше
книг, чем на нижней. После того, как на нижнюю полку переставили с верхней 15
книг, на полках оказалось книг поровну. Сколько книг было на каждой полке
первоначально? Решение. Пусть на нижней полке
было х книг. Тогда на верхней полке было 3х книг. После того как с верхней
полки переставили на нижнюю 15 книг, на верхней полке стало 3х – 15 книг, а на
нижней х + 15 книг. По условию задачи книг на полках стало поровну. Значит,
…….
4. Решите задачу:
а) За два дня мастер изготовил 172 детали, причём во второй день он изготовил в
три раза больше деталей, чем в первый. Сколько деталей он изготовил в первый
день? б)
Одна из комнат меньше другой на 8 м². Чему равна площадь каждой комнаты, если
известно, что площадь двух комнат равна 32 м²?
5. Составьте задачу, решение которой приводит к уравнению 3х + х = 44.
Линейная функция и её график .
1. Линейная функция задана формулой у
= 5х – 4. Закончите решение: а) если х =
2, то у = 5 · 2 – 4 = …
б) если х = - 3, то у = 5 · (- 3) – 4 = …
в) если х = 4, то у = …
2. Линейная функция задана формулой у = х + 7. Заполните
таблицу
3. Линейная функция задана формулой у = - 3х + 2.
Найдём значение х, при котором у = 11. Подставив вместо у число 11. Получим:
11 = - 3х + 2. Откуда: 3х =2 – 11; 3х = - 9; х = ….
Закончите решение. 4.
Линейная функция задана формулой у = 2х – 7. Найдите значение х, при котором у
= - 1; 0; 3; 7.
5. Постройте график функции у = - 3х + 2. Для
этого: а)
заполните таблицу
б) отметьте в координатной плоскости точки, координаты
которых заданы в таблице;
в) проведите через отмеченные точки прямую.
6. Постройте график функции: а) у = х – 5; б) у = 2х + 3; в) у = - 3х + 4.
7. Постройте график функции у = 2х – 4. По графику найдите:
а) значение функции при х = 3; 0; - 1.
б) при каком значении аргумента (х) значение функции (у) равно 4.
Прямая пропорциональность .
1)Автомобиль
движется со скоростью 60 км/ч. Задайте формулой зависимость пройденного пути S
( в километрах) от времени движения t (в часах). Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
2. Прямая пропорциональность задана формулой у = - 2х. Найдите:
а) значение у при х = 3; 0; - 1; - 4.
б) значение х. при котором у = - 4; 0; 5; 10.
3. Зная, что зависимость у от х является прямой пропорциональностью, заполните
таблицу:
4.
Постройте график функции у = 1,5х, заполнив сначала таблицу:
5.
Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой: а)
у = 2х; б) у = - х; в) у = 2,5х; г) у = - 3х.
6. Постройте график функции у = - 2х. Найдите по графику
а) значение у при х = - 1; 3.
б) значение х, при котором у = 4; 0; - 2.
7. Изобразите схематически график функции: а) у = 101х; б) у = - 70х.
Степень с натуральным показателем .
1.Назовите основание и показатель
степени: а) 
; б) 
; в) 
; г) 5⁶.
2. Представьте в виде произведения
степень: 12⁶; а⁵; ( 
)⁴; ( - 5)³.
3. Представьте в виде степени
произведение: а) 7· 7·7·7·7; б) х· х ·х ·х ·х ·х ·х ·х ·х ·х;
в) ( - 4)· (- 4) ·(- 4);
4. Найдите значение степени: а) 2⁵;
б) 3⁴; в) (- 4)³; г) ( - 5)⁴; д) ( - 0,2)³; е) (
)⁶; ж) 5⁰; з) ( - 1)⁵; и) ( - 1)⁶.
5. Укажите порядок действий при
вычислении значения выражения:
а) 12² + 6³; б) (15 + 12)⁴; в) 3 ·
4⁷; г) (11· 5)².
6. Вычислите: а) 5² - 3²; б) 3·
6²; в) 2⁴ - 3²; г) 6² : (- 4); д) (- 10 + 7)³; е) (- 2)³· (-1)⁶.
7. Найдите значение выражения: а)
3х² при х = - 3; 0; 4; б) (5а)³ при а = -1; 0; 2.
8. Вычислите: а) - 2· 3²; б) (- 2·
3)²; в) 2· (- 3)²; г) 2² · (- 3)².
9. Найдите значение выражения 4ху⁵
при х = 5, у = - 2.
Действия со степенями с натуральными
показателями .
1.Представьте произведение в
виде степени: а)
х⁵ · х⁴; б) у⁷ · у⁴; в) а⁶ · а; г) 2⁷ · 2⁰.
2. Выполняя умножение степеней, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте:
а) а⁴· = ; б) а³· а⁶ = ; в) а⁵ · а = а⁵; г) а · = .
3. Выполните деление степеней:
а) 5⁷ : 5⁴; б) в³ : в; в) у⁶ : у⁵; г) : .
4. Найдите значение выражения:
а) ( - 2)⁶ : (- 2)³; б) : ; в) ( - 3)⁶ : (- 3).
5. Закончите запись: а)
у⁷ = у² · … ;
б) х⁶ = : ….; в) а⁴ = а · …..
6. Возведите произведение в степень:
а) (ху)⁶; б) (3а)⁴; в) (- 4ав)²; г) ( - 4ху)³.
7. Представьте в виде степени произведение:
а) х²· у²; б) а³в³с³; в) 2⁴· а⁴ · в⁴;
8. Выполните возведение в степень:
а) (а³)²; б) (2ху³)⁴; в) (у³)⁶; г) (-2а²в³)².
9. Упростите выражение:
а) (а²)³ · а⁴; б) (х⁴)⁴ : х⁷; в) (а²)³ · (а³)²; г) (х² · х³)⁴.
10. Представьте выражение каким – либо способом в
виде: а) произведения степеней;
б) деления степеней; в) степени степени. 11.
Перемножьте одночлены:
а) 3ху и 2х³у⁴; б) 4а² и 0,5а³в; в) 3ху⁴ и х²у³; г) 2,5а²в и
2а²в⁶. 12. Закончите запись:
а) 8а⁵ = 2а³ · ….; б) 25х²у⁶ = 5ху³ · ….;
Сложение и вычитание
многочленов .
1.Приведите подобные члены многочлена:
а) 5х + 6у – 3х – 12у; б) 3ав + 4в +12в – ав; в) 4а – 3х + 2в – 6а – 8в
– 5х. 2.Закончите выполнение сложения и вычитания: а)
(3а – 14в) + (2а – 10в) = 3а – 14в + 2а – 10в =…….
б) (5х² - 12у² - 1) – (х² - у² - 4) = 5х² - 12у² - 1 - х² + у² +4 = …..
3. Раскройте скобки, используя соответствующее правило:
а) 6а + (8 – х); б) 5у – (2х – а + в); в) 6а – 3в – ( - 2а – 2в – 5).
4. Раскройте скобки и приведите подобные члены:
а) 6х + (8 – х); б)12а – (2 – 5а); в) 7р – (15р + 100); г) (2а – 1) + (3 +
6а); д) (7х – 4) – (1 – 2х); е) (20у – 1) – (25у +
2).
5. Упростите выражение:
а) (3а + в) + (5а – 4в) – (3а + в);
б) х – (2х – у) + (3х – 2у);
6. Упростите выражение и найдите его значение при а = 47270;
(5а – 1) – (а – 8) – (7 + 3а).
7. В выражении ( 13а – 4) + (8 – 6а) – (7а – 1) Вова подставил вместо а сначала
число 93, затем число 157 и наконец, число 2184. Выполнив вычисления, он каждый
раз получал в ответе число 5. Может ли так быть?
8. Пусть А = 3х – 11у, В = 4х – у. Составьте разность А – В и упростите её.
9. Составьте сумму трёх последовательных натуральных чисел, первое из которых
равно п, и упростите её.
10. Закончите запись, учитывая знак, поставленный перед скобками: а)
7х + 8у – 16 = 7х + (……)
б) 5а – 4в – 1 = 5а – (……).
Умножение одночлена на многочлен .
1.Выполните умножение одночленов:
а) 2а · 3в; б) 2ав · а²; в) 6 · х² · (- 2х); г) 3с · (- 5х); д) – 3х ·
ху²; е) – 4а²в · ( - 3ав²). 2. Выполните умножение одночлена на
многочлен: а)
3а · (х – 8); б) 2х · (х – а + 4в).
3. Закончите выполнение умножения:
а) 5а · (3х – у) = 15ах……
б) х² · (х³ - 4х + 2) = х⁵…….
4. Выполните умножение: а)
4а · (х – у);
б) – 3в · (а + в);
в) (6х + у) · х²;
г) - а² · (4а – 1);
д) 10в · (а + в – 2);
е) – 16у · (2х – 3у + 1).
Найдите ответ, среди приведённых ниже многочленов: - 32ху + 48у² -
16у; - 4а³ + а²; 6х³ + х²у; - 3ав – 3в²; 10ав + 10в² -
20в; 4ах – 4ау. 5. Ученик умножил
одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стёртым. Восстановите его:
а) ….(х – у) = 3ах – 3ау;
б) ….(2а + в) = 2а² + ав;
в) ….(х - у² + 1) = ху² - у⁴ + у².
6. Умножьте многочлен а² - 2ав на а)
5; б) – 6; в) 2х; г) а; д) – а.
7. Упростите выражение:
а) 3а · (а – 1) - а²;
б) 5х – 12 · (х + 4);
в) а² - 2а – 4 · (а – 6) ;
г) 2а² - 3в – 3а + 3в.
8. Упростите выражение и найдите его значение при а = - 5:
3 · (2а – 1) – 2 · (а – 3).
9. Упростите выражение: а)
5х · (х + 1) – 3х · (2 – х);
б) 4а² · (а + 1) – а · (а² + 2).
Решение уравнений .
1.Решите уравнение: а) 6х = 54; б)
5х = - 17; в) – 4х = 64; г) – х = 11. 2. Решите
уравнение: 2 · (х – 1) – 3х = 5 · (2 – х) ; Для
этого:
а) раскройте скобки;
б) перенесите слагаемые, содержащие х,
в левую часть, а свободные члены – в правую;
в) приведите подобные члены;
г) решите получившееся линейное
уравнение.
3. Закончите решение уравнения:
6 · (3х-1)- 2 · (x+4) = 9х ………………
4. Решите уравнение:
а) 5 · (2 – х) + 10х = 52 – х;
б) 15 + 3х + 6 · (1 – х) = 2х + 11;
в) 8 · (3 – х) – (5х + 1) + 3 = 13х;
г) 12 – 4 · (3 – 2х) = 3 · (5 + х).
5. Решите уравнение: а) = 9; б) = 1; в) = - 7; г) = - 2.
Указание: умножьте обе части уравнения а) на 4; б) на 3; в) на 7; г) на 10.
6. Закончите решение уравнения: а)
- = 2;
б) + = 1;
5 · (х – 1) - 2· 3х = 2 · 10; 6 · (х – 2) +
4х = 1 · 24; 5х – 5 – 6х = 20;
6х – 12 + 4х = 24; ……………
……………..
7. Решите уравнение: а)
+ = 2;
в) + х = 4;
б) - =
3; г) 2х – = 1. 8.
Решите уравнение и выполните проверку: - = 3.
Решение задач.
1.Составьте
уравнение по условию задачи: «В одном мешке имеется х кг картофеля. Сколько
картофеля в другом мешке, если известно, что в нём по сравнению с первым
мешком:
а) на 5 кг больше; в) в 3 раза
больше; б) на 17 кг
меньше; г) вдвое больше?
2. На верхней полке в 3 раза больше книг, чем на нижней. После того, как с
верхней полки сняли 16 книг и поставили их на нижнюю, на полках стало книг
поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
Указание: 1) обозначьте через х число книг, находившихся первоначально на
нижней полке; 2) выразите через х, сколько книг находилось первоначально на
верхней полке; 3) запишите, сколько книг стало на верхней полке после того, как
с неё сняли 16 книг; 4) запишите, сколько книг стало на нижней полке после
того, как на неё поставили 16 книг; 5) составьте уравнение.
3. В трёх бригадах работает 96 рабочих. Во второй бригаде вдвое больше рабочих,
чем в первой, а в третьей – на 16 больше, чем в первой. Сколько рабочих в
первой бригаде?
4. Придумайте задачу, решение которой приводит к уравнению х + 4х = 40.
5. На пришкольном участке посадили 63 куста смородины, крыжовника и малины,
причём крыжовника в 3 раза больше, чем смородины, а малины на 7 кустов больше,
чем крыжовника. Сколько кустов смородины посадили на участке?
Указание: 1) обозначьте через х число кустов смородины; 2) выразите число
кустов крыжовника; 3) выразите число кустов малины, учитывая, что в условии
задачи оно сравнивается с крыжовником; 4) составьте уравнение.
6. В школу привезли одинаковое количество учебников по алгебре и по физике.
Учебники по алгебре связали в пачки по 15 штук, а учебники по физике – по 10
штук. Всего получилось 15 пачек. Сколько учебников по алгебре привезли в школу?
Заполните пропуски и решите задачу.
Пусть в школу завезли х учебников по алгебре и …… учебников по физике. Когда
учебники по алгебре связали по 15 штук, получилось пачек. Когда связали
учебники по физике по 10 штук, получилось …….. пачек. Всего получилось 15 пачек
значит ….. . Составьте уравнение и решите задачу.
7. В квартире имеются три комнаты, общая площадь которых равна 51 м². Площадь
первой комнаты вдвое меньше площади второй и на 3 м² меньше площади третьей
комнаты. Чему равна площадь каждой комнаты?
Вынесение множителя за скобки .
1.Представьте
тремя различными способами одночлен 6ху² в виде произведения двух множителей.
2. Данный одночлен представьте в виде произведения двух множителей, одним из
которых является 3х: 6ху; 18ах; 9х; 3х²; 12х²у.
3. Проверьте с помощью умножения, правильно ли выполнено разложение на
множители: 12а²в + 9ав² = 3ав · (4а + 3в).
4. Закончите разложение многочлена на множители: а)
5ах – 30ау = 5а · (………); б) х⁴ - 5х³ - х² = х² · (………).
5. Разложите на множители:
а) 5х + 5у; г) ав + в; ж) 7ав + 14ас;
б) 20а – 4в; д) вх – х; з) 5ав – 5;
в) ах – ау; е) 2а – 10 ау; и) 2ав – в.
6. Разложите на множители многочлен –
5ав + 15а²в, вынося за скобки множитель: а) 5а; б) – 5а.
7. Вычислите:
а) 296 · 12 + 704 · 12; б) 18 · 0,36 – 0,26 · 18.
8. Разложите на множители: а)
3х² - 6х; в) х⁴ + х²; д) 12а²в – 24ав;
б) а²в - ав²; г) 5а² + 15а²; е) 18х³у – 12ху³.
Указание: можно вынести за скобки множитель: а) 3х; б) ав; в) х²; г) 5а²; д)
12ав; е) 6ху.
Умножение многочленов .
1.Закончите запись:
а) (а + 4) · (в – 8) = ав – 8а………
б) (х – 4) · (х + 8) = х²……
2. Выполните умножение многочленов:
а) (2а + 4)(а – 8); д) (3а –
1)(а + 8); б) (х + 2)(х +
11); е) (2х + 5)(х – 1);
в) (3 + а)(2 – а); ж)
(3а – 1)(4в + 4); г) (в – 6)(в +
4); з) (2 – 6у)(у + 11).
3. Сколько членов, до приведения подобных слагаемых, получится при умножении
многочленов:
а) 2а + в и в – 4; б) а² - а +6 и 3а – 67;
4. Закончите выполнение умножения:
а) (а + 3)(а² - 3а + 9) = а³ - 3а² + 9а……
б) (3х² - у²)(х² + 2у²) = 3х⁴ + 6х²у²……….
5. Выполните умножение:
а) (4а² - 1)(а² + 1);
б) (2а² - в)(а² + в);
в) (ав + а)(а – ав);
г) (х + ху)(- ху – х);
6. Упростите выражение:
а) (3а + 1)(а – 1) – 3а²;
б) (2в + 4)(3в – 1) – 10в.
7. Упростите выражение и найдите его значение при а = 15:
(2а + 1)(а – 1) – (а – 6)(2а – 1).
Способ группировки .
1.Подчеркните общий множитель и
вынесите его за скобки. а) х(а + в)
+ у(а + в);
б) а(х + у) – 2(х + у);
в) х(а + в) + (а + в);
г) 15 (х + у) – а(х + у).
2. Закончите разложение на множители способом группировки:
а) 3а – 3в + ас – вс = (3а – 3в) = (ас – вс) =…………
б) а² - ав – ах + вх = (а² - ав) – (ах – вх) = ……….
3. Разложите на множители многочлен 12х - 12у + ах – ау и выполните проверку с
помощью умножения многочленов.
4. Разложите на множители: а)
х(а +3) – у(а +3);
б) 12в(с + х) + 12(х +с);
в) 5в(а + в) +( а + в);
г) 3(х – у) –( х – у);
д) 4а – 4в +ах –вх;
е) ав +ас + 12а +12с;
ж) а³ - а² + а – 1;
з) х² - ху – 5х +5у;
5. Найдите значение многочлена, разложив его предварительно на множители:
х² - ху – 3х + 3у при х = 3,2; у = 2,2.
6. Разложите на множители:
а) 20ах – 10ах + 2ау – ву;
б) 12ву – вх – 24ау + 2ах = (12ву – 24ау) – (вх – 2ах)………
7. Вычислите значение выражения:
7 · 127 + 4 · 229 + 3 · 127 + 6 · 229.
Квадрат суммы и квадрат разности.
1.Запишите в виде выражения.
а) сумму чисел а и 3;
б) квадрат суммы чисел х и а;
в) сумму квадратов чисел х и у;
г) разность чисел 5 и а;
д) произведение суммы чисел а и х на их разность;
е) квадрат разности чисел в и с;
ж) разность квадратов чисел 7 и с;
з) удвоенное произведение чисел х и у.
2. Даны выражения 2а и 3в. Составьте:
а) их сумму; б) их разность; в) их произведение; г) удвоенное произведение;
д) квадрат суммы; е) квадрат разности.
3. Каждое из следующих выражений: а² + в²; (в + с)²; (7 – в)²; 3² - х²; (5а)² -
в²; (5х + 8у)²; (3а – 2в)²; (2а)² + х²; 64 – (5в)² запишите в
соответствующий столбец таблицы:
|
Сумма квадратов выражений.
|
Квадрат суммы выражений.
|
Разность квадратов выражений.
|
Квадрат разности выражений.
|
|
(6а)² + в²
|
(9а + 3в)²
|
(7х)² - 3²
|
(5х – у)²
|
4.
Преобразуйте в многочлен, используя формулы (а + в)² = а² + 2ав + в²
и (а – в)² = а² - 2ав + в²;
а) (х + у)²; г) (3 + х)²; ж) (х + 2у)²;
б) (с – х)²; д)(4 – у)²; з) (5х – у)²;
в) (а – 8)²; е) (в – 9)²; и) (2а + 3в)².
5. Вычислите, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:
а) 101² = (100 + 1)² =……. ; в) 10,2² = (10 + 0,2)²
= ………..; б) 97² = (100 – 3)² = ……… ;
г) 9,9² = (10 – 0,1)² = ………. 6.
Замените * одночленом так, чтобы полученное равенство было тождеством:
а) (* + 2в)² = с² + 4вс + 4в²; б) (* - х)² = х² - 2ах + а².
7. Упростите выражение:
а) 9а² - (3а – 1)²; в) 5(2а – 1)² - 20а²;
б) 12ху – (2х + 3у)²; г) -2(3а + 2в)² + 24ав.
Разложение на множители с помощью
формул квадрата суммы и квадрата разности.
1.Используя
формулы а² + 2ав + в² = (а + в)² и а² - 2ав +в² = (а – в)², представьте трёхчлен
в виде квадрата суммы или квадрата разности:
а) х² + 2ху + у²; г) 9х² - 6ху + у²;
б) а² - 2ас + с²; д) 1 – 4а +4а²;
в) 4х² + 4х +1; е) 4х² +12ху +9у².
2. Из данных выражений выберите те, которые можно представить в виде квадрата
суммы или квадрата разности:
4х² - 4х + 1; 9а² + 6а + 4; 25в² + 10в + 1; 1 – 2х + 4х²; а² - 12а + 36;
в² - 18в +81; а² - 4а – 4.
3. Замените * одночленом так, чтобы полученное выражение можно было представить
в виде квадрата суммы или квадрата разности:
а) х² + 2ху + *; б) а² + * + 4в².
4. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена и найдите его значение:
а) х² - 4х + 4 при х = 12; б) а² - 6а + 9 при а = 23.
5. Известно, что а – в = 3. Чему равно при тех же а и в значение выражения:
а) а² - 2ав + в²; б) в² - 2ав + а²; в) 3а² - 6ав + 3в².
6. Используя формулы: (а – в)² = а² - 2ав + в²; (а + в)² = а² + 2ав + в²,
представьте в виде многочлена выражение:
а) ( 6 + х)²;
б) (2а – 3)²;
в) (а – 4в)²;
г) (у – 5х)²;
д) ( 8 + 4п);
е) (5р + 8)²;
ж) (1 – 7у)².
Умножение разности двух выражений на
их сумму.
1.Даны
выражения 5х и 6у. Составьте их:
а) сумму;
б) сумму квадратов;
в) квадрат суммы;
г) разность;
д) разность квадратов;
е) квадрат разности.
2. Выполните умножение, используя формулу (а – в)(а + в) = а² - в²;
а) (х – у)(х + у);
б) (а – 8)(а + 8);
в) (в – 5)(в + 5);
г) (с – 4)(с +4);
д) (3х – у)(3х + у);
е) (а + 4в)(а – 4в);
ж) (2а – 3с)(2а + 3с);
з) (4в + 10с)(4в – 10с).
3. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:
а) (2а + *)(2а - *) = 4а² - в²;
б) (* - 3х)(* + 3х) = 16у² - 9х²;
в) (* - в⁴)(* + в⁴);
г) х⁴ - 225с⁶ = (х² - 15с³)(…….).
4. Вычислите произведение, пользуясь формулой (а – в)(а + в) = а² - в²;
а) 19 · 21 = (20 – 1)(20 + 1) = 20² - 1² = 400 – 1 = 399;
б) 48 · 52 = (50 – 2)(50 + 2) =……….
в) 41 · 39 = …….
г) 99 · 101 = ……….
д) 37 · 43 = …….
5. Умножьте сумму выражений 5а и 2в на их разность.
6. Сторона квадрата равна а см. Длина прямоугольника на 2 см больше стороны
квадрата, а ширина на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь
прямоугольника и сравните её с площадью квадрата.
Разложение разности квадратов на
множители.
1.Выполните
разложение на множители, используя формулу а² - в² = (а – в)(а + в): а) х² -
у²;
б) р² - 4;
в) с² - в²;
г) 9 - а²;
д) 16 - а²;
е) х² - 25.
2. Продолжите разложение на множители разности квадратов
а) 25а² - 9в² = (5а)² - (3в)² = …….;
б) 81х² - 49у² = ……….;
3. Разложите на множители:
а) 25 – 9у²; б) 1 – 16х²; в) 36х² - у²; г) 64 – 9в²; д) 25х² - 100в²;
е) 121 – 4в². 4. Составьте какое – либо выражение, представляющее собой
разность квадратов, и разложите его на множители.
5. Вычислите:
а) 71² - 61² = (71 – 61)(71 + 61) = …….;
б) 106² - 6² = (106 – 6)(106 + 6) = …….;
в) 27² - 7² = ……..;
г) 127² - 107² = ……..;
6. Разложите на множители:
а) 0,16 – 0,09у²; б) 0,81а² - 25в²; в) 0,0036х² - 64; г) 169р² -
0,64у². 7. Разложите на множители:
а) х⁴ - а⁶ = (х²)² - (а³)² = ……..;
б) 9а⁶ - 1 = ……..;
в) а⁴ - в⁴;
г) 0,01х⁴ - у⁶;
д) 225 – 1,21р²;
е) 1,69п² - 100у².
Преобразование целых выражений.
1.Какие
из выражений являются целыми:
а) 2х² + 1;
б) 5 + ;
в) ;
г) 4х + ;
д) ;
2. Упростите выражение:
а) 3(х – 2)² + 12х;
б) (а + 5)² - (а² + 25);
в) х² + 2х – (х + 1)²;
г) 6а – 1 – (а + 3)²;
Для самоконтроля: после раскрытия скобок получается выражение:
а) 3х² - 12х +12 + 12х;
б) а² + 10а +25 - а² - 25;
в) х² + 2х - х² - 2х – 1;
г) 6а – 1 -а² - 6а – 9;
3. Преобразуйте в многочлен:
а) х(х – 5) – (х + 4)²;
б) 9х(х + 6) – (1 + 3х)².
4. Найдите значение выражения: а)
а² + в² - (а – в)² при а = - 5, в = 2.
б) (2а + в)² - (4а² + в²) при а = 1, в = 3.
5. Докажите, что значение выражения не зависит от а:
(а + 2)а – (а + 1)².
6. Решите уравнение:
а) х²(х² - 4) – х(х² - 8) = 16;
б) 2у(4у – 1) – 2(3 – 2у)² = 48.
Применение разных способов разложения
на множители.
1.Закончите
разложение на множители:
а) 7а² - 28 = 7(а² - 4) = ….;
б) – 2а² + 18 = - 2(а² - 9) = ….;
2. Разложите на множители:
а) 3а² - 3;
б) 20 – 5х²;
в) 7х² - 7у²;
г) 13р² - 13с²;
д) 6х² - 6у²;
е) ах² - ау².
3. Закончите разложение на множители:
а) 3а² + 6а + 3 = 3(а² + 2а + 1) = …..;
б) - х² + 4х – 4 = - (х² - 4х + 4) = …….;
4. Представьте в виде произведения:
а) 6х² - 12х + 6;
б) 2х² + 4ху + 2у²;
в) – 5х² + 10х – 5;
г) 3а² + 6ав + 3в².
5. Закончите разложение на множители:
а) а² - в² +6а +6в = (а² - в²) + (6а + 6в) = (а – в)(а + в) + 6(а + в) = ……;
б) х² - у² - 3х – 3у = (х² - у²) – (3х + 3у) = ……..;
6. Если а + в = 4, то чему равно 2а² + 4ав + 2в²?
7. Вычислите по
образцу:
1005 · 995 = (1000 + 5)(1000 – 5) = 1000² - 5² = 100000 – 25 = 999975.
а) 108 · 92;
б) 47 · 53;
в) 28 · 32;
г) 56 · 64;
д) 62 · 78.
Решение систем уравнений способом
подстановки.
1.Выразите
у через х:
а) х + у = 2;
б) у – 6х = 1;
в) х – у = 4;
г) 2у – х = 3.
2. Выразите х через у:
а) х + у = 6; б) х – 2у = 4; в) 2у – х = 1; г) 3х – у = 2.
3. Выразите одну какую – либо переменную через другую: а)
х – 2у = 3; б) 3х + у = 5; в) 2у – х = 10.
4. Закончите решение системы:
у = 13 – 3х
5х + 4(13 – 3х) = 31
……………………………..
5. Решите систему уравнений
Для этого: 1)
выразите из первого уравнения переменную х через у;
2) подставьте получившееся выражение во второе уравнение вместо х;
3) найдите значение у из получившегося уравнения;
4) вычислите соответствующее значение х.
6. Решите систему уравнений:
а) б)
в)
г)
д)
е)
Решение систем уравнений способом
сложения.
1.Умножьте
одно из уравнений системы или каждое из них на какое – либо число так, чтобы с
помощью сложения можно было исключить одну из переменных: а) б) в) 2.
Закончите решение системы: а)
2х = 1
3. Решите систему уравнений:
Для этого:
1) умножьте все члены первого уравнения на 5, а второго - на (- 3);
2) сложите почленно левые и правые части уравнений;
3) найдите значение х из получившегося уравнения;
4) вычислите значение у, подставив найденное значение х в одно из уравнений
данной системы.
4. Решите систему уравнений: а)
б) в) г)
д) е) .
5.
Решите систему уравнений способом подстановки или способом сложения: а)
б) в)
Решение задач с помощью систем
уравнений.
1.На
верхней полке х книг, а на нижней у книг. Составьте систему уравнений с двумя
переменными по следующему условию:
а) всего на полках 56 книг;
б) на верхней полке на 18 книг больше, чем на нижней;
в) на верхней полке на 27 книг меньше, чем на нижней;
г) после того как с верхней полки сняли 6 книг, а на нижнюю поставили 8 книг,
на полках стало книг поровну;
д) после того как с верхней полки переставили на нижнюю 10 книг, на полках
стало книг поровну.
2. Ученик купил 33 тетради в клетку и линейку, уплатив за покупку 810 рублей.
Тетрадь в клетку стоит 20 р, а в линейку – 30 р. Сколько тетрадей в клетку и
сколько в линейку купил ученик?
Указание: а) обозначьте число тетрадей в клетку через х, а в линейку – через у;
б) составьте первое уравнение, учитывая, что всего было куплено 33 тетради; в)
выразите стоимость всех тетрадей в линейку; г) выразите стоимость всех
тетрадей в клетку; д) составьте второе уравнение, используя условие, что за
всю покупку заплатили 810 р.; е) решите систему уравнений. 3.
Альбом дороже ручки на 40 р. За 2 альбома и 3 ручки заплатили 280 р. Сколько
стоит альбом и сколько стоит ручка?
Указание: а) обозначьте буквами стоимость одного альбома и стоимость одной
ручки; б) составьте первое уравнение, учитывая соотношение между стоимостью
альбома и стоимостью ручки; в) выразите стоимость 2 альбомов; г) выразите
стоимость 3 ручек; д) составьте второе уравнение, учитывая стоимость всей
покупки; е) решите систему уравнений.
4. Заполните пропуски, переписав решение в тетрадь и закончите решение задачи:
«Из двух пунктов расстояние между которыми равно 54 км, выехали одновременно
навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч. Определите
скорость каждого велосипедиста, если известно, что один из них проезжает за 4
ч, такое же расстояние, которое другой проезжает за 5 ч.»
Решение. Пусть скорость первого велосипедиста х км/ч, а второго у км/ч. За 2 ч.
Первый велосипедист проехал …… км, а второй - …….. км. Всего оба велосипедиста
проехали 54 км. Значит, ……. Первый велосипедист за 4ч проезжает
…….км, а второй за 5ч проезжает …… км. По условию задачи эти расстояния равны.
Значит, …… . Имеем систему уравнений …..
5. Длина прямоугольника на 6 см больше ширины, а его периметр равен 20 см.
Найдите стороны прямоугольника.
