Числовые выражения .                                                       

1.     Запишите в виде выражения:

а) сумму чисел 37,6 и 12,1

б) разность чисел 43 и 26,8

в) произведение числа 7 и суммы чисел 11,4 и 12,6

г) частное от деления разности чисел 47 и 12 на 5.

2. Составьте выражение по условию задачи и найдите его значение:

     а) Миша нашёл 12 грибов, а Боря на 6 грибов больше. Сколько грибов собрали оба мальчика?

     б) В одной корзине 112 яблок, что вдвое больше, чем в другой. Сколько яблок в двух корзинах?

     в) Туристы проехали 60 км на автобусе, а затем 3 часа шли пешком со скоростью 4,5 км/ч. Какой путь проделали туристы?

4. Впишите пропущенный член последовательности:

    а) 3; - 3; 4; - 4; 5, - 5; 6; ….., 7; - 7.

    б) 3; 7; 11; 15; …..; 23.

5. Заполните пропуски и составьте выражение по условию задачи:

    В однокомнатной квартире площадь комнаты равна …… м², а площадь кухни на …… м² меньше. Какова общая площадь квартиры?

6. В альбоме 100 страниц. На первые 60 страниц Юра наклеивал по 15 марок, а на остальные по 16 марок. Сколько всего марок в альбоме?

    Решая эту задачу, ученики составили выражения:

    а) 15 · 60 + 16;  б) 15 · 60  + 16 · 100;  в) 15 · 60 + 16 · 40. Какой ответ верный?

7. Составьте какое – либо числовое выражение, содержащее одно действие, значение которого равно 20.

8. Не выполняя вычислений, определите, является ли положительным или отрицательным значение выражения:

    а) ( 34 + 14) : ( - 4);   б) 5,1 · 4 – 43.  

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения с переменными.                                                                                                                                                       

1. Закончите запись:

а) если х = - 2, то 3х – 5 = 3 · (- 2) – 5 =…….

б) если у = 4, то 11 – 5у = 11 – 5 · 4 = …….

2. Заполните таблицу:                                           

 

х	- 3	- 2	0	2	3		х	- 3	- 1	0	15	2
2х							х + 3

  

3. Найдите значение выражения:

 а) 2а – 1 при а = 1,5;      б) – а + 2в при а = -3, в = 2.

4. Запишите в виде выражения:

а) сумму чисел а и в;

б) разность чисел х и у;

в) сумму числа 5 и произведения чисел х и у;

г) произведение числа 3 и разности чисел а и в.

5. Составьте выражение по условию задачи:

а) Турист идёт со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за х часов?

б) В одной пачке х тетрадей, а в другой на 3 тетради больше. Сколько тетрадей во второй пачке? В двух пачках вместе?

в) Блокнот стоит х р., а ручка у р. Купили 3 блокнота и 4 ручки. Сколько денег уплатили за всю покупку?

6. На складе находилось 215 изделий. Принесли ещё Х ящиков, в каждом из которых было по 15 изделий. Сколько изделий стало на складе?

Выберите верный ответ:  а) 15х;  б) 215 + 15х;  в) (215 + 15) · х.

7. Деревня, посёлок и город находятся на одном шоссе, причём деревня расположена между посёлком и городом. Расстояние от деревни до посёлка равно х км, а от деревни до города равно у км. Найдите расстояние от посёлка до города.

8. Из прямоугольного листа жести со сторонами Х м У м вырезали круг площадью 0,15 м². Найдите площадь оставшейся части.                   

 

 

 

 

 

 

 

Преобразование выражений.               

1. Подчеркните подобные слагаемые: а) 12а + 3в – а – 5в;                                                                    б) – 8а + 6в – 7а +4в;        в) 6х – 11у – 12у + 7х.                                                                        2. Продолжите запись:                                                                                                                             а) 5а + 11а – 17а = (5 + 11 – 17) · а = …..                                                                                        б) 12х – 15х – 6х = (12 – 15 – 6) · х = ….                                                                                              3. Подчеркните подобные слагаемые и выполните приведение подобных слагаемых:                                                                                                                                                        а) 5х – 3у – х + 9у;  б) 8а – 1 – 11а – 21;  в) а – в – 3а – 11в.                                                          4. Впишите в квадраты пропущенные знаки:                                                                                 а) 12а – (4а – 1) = 12а        4а   1  1;                                                                                                   б) 6х + (14у – 2х + 4) = 6х       14у         2х        4;                                                                          5. Раскройте скобки, перед которыми стоит знак «+»:                                                       а) 3х + (12у – 6а);    б) 3х – 1 + (11а – в – с).                                                                                            6. Раскройте скобки, перед которыми стоит знак «-»:                                                                    а) 12а – (- х + 7у – 1);       б) 3а – в – (7х – 12у + 6).                                                                      7. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:                                                  а) 6х + (х – 3у);      б) 6х – (х – 3у);    в)12 – (х – 61);                                                                    г) (12х – 1) + (6х – 4);   д) (5а – 2) – (4 – 3а);   е) (5а – 7в + 1) – (3а – в + 1).                                 8. Упростите выражение и найдите его значение:                                                               а) (11х – 1) + (1 – 7х) при х = 4;    б) (6а + 3) – (2а – 1) при а = - 1;                                         в) 3а – (12 – в) при в = 3;               г) (2 – в) – (3 + 6в) при в = - 2.                                      9. Преобразуйте выражение, используя распределительное свойство умножения:           а) 5 · (2а + 3);          б) – 3 · (а – 4а);         в) 15 · (6х – 1);     г) -2 · (3 – х);                                                              д) 8 · (3а – в + с);   е) – 5 · ( - 4у – 6 х);    ж)   - 4 · ( - а – в + 6).                                                  10. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:                                                   а) 6 · (3х – 1) – 12х;    б)  - 2 · (1 – х) + 6;   в) 5х – 2 + 2 · (3 – х);  г) 4х – 5 · (3х – 1).                    11. Докажите, что при любом  «а» значение выражения 5 · (2а + 1) – 10а равно 5.  12. Упростите выражение и найдите его значение:                                                                а) 5 · (а – 1) – 2а – 3 при а = 7;                                                                                                           б) 2 · (а + 7) + (3а – 7) при а = - 1;                                                                                                     в) – ( 3х – 1) – 3 · (х + 2) при х = 2;                                                                                                    г) – 4 · (х + 2) – (5 – х) при х = 1.                    

           

                           

Решение уравнений .

1. Чтобы решить уравнение 5х = - 40, надо – 40 разделить на 5. Чему равен корень этого уравнения?                                                                                                                                  2. Подчеркните коэффициент при х и решите уравнения:                                                          а) 7х = 49;   б) – 3х = 111;   в) 12х = 1.                                                                                                         3. Решая уравнения 12х = - 744, Коля нашёл, что х = - 62, проверьте, правильно ли найден корень уравнения.                                                                                                                    4. Решите уравнения:                                                                                                                        а) 6х = 24;   б) 7х = 63;  в) 13х = - 39;  г) – 4х = 12;  д) – 6х = - 36;  е) 5х = 7,5;                   ж) 6х = - 0,36;  и) 9х = - 3.                                                                                                                  5. При каком значении х:                                                                                                                   а) значение выражения 8х равно – 64;                                                                                        б) значение выражения 7х равно 1;                                                                                                          в) значение выражения – х равно 11?                                                                                          6. Перенесите слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а остальные в правую, изменив при этом их знаки на противоположные:                                                        а) 2х – 3 = 5х + 8;             в) -2х – 5 = 6х – 8;                                                                                    б) 4х – 12 = -3х + 3;          г) – 4х – 2 = - 13х + 21.                                                                          7. Доведите решение уравнения до конца:                                                                               а) 2х – 4 = -8х + 12           ;                      б) 3х – 2 = 7х – 14;                                                                        2х + 8х = 12 + 4                                 3х – 7х = - 14 + 2                                                                      8. Решите уравнение:                                                                                                                           а) 3х + 8 = х – 12;             в) х + 4 – 3 = 2х;                                                                                        б) 5у = 2у + 15;                 г) – 2х + 9 – 8 = - х – 1.                                                                            9. Решите уравнение:                                                                                                                         а) 1,2х = - 4,8;       г) 3х – 4 = 11;     ж) 2х – 1 = 3х + 6;                                                                   б) – 6х = 7,2;         д) 5 – 2х = 0;       з) х – 8 = - 4х – 9;                                                                в) – х = - 0,6;         е) -12 – х = 3;      и) 5 – 6х = 0,3 – 5х.                                                                     10. При каком значении «а»                                                                                                                 а) значение выражения 3 + 2а равно 43;                                                                                          б) значение выражения 12 – а равно 100;                                                                                        в) значение выражения 13а + 17 и 2а + 7 являются противоположными числами?                                                                                                                                         

 

 

                 Решение задач с помощью уравнений .                                         1. Составьте выражение по условию задачи:                                                                                                а) В одной бригаде х человек, а в другой на 5 человек больше. Сколько человек во второй бригаде?                                                                                                                                                 б) В одной корзине находится а яблок, а в другой в три раза яблок больше. Сколько яблок во второй корзине?                                                                                                                                           в) Путь от  деревни до города мотоциклист проезжает в два раза быстрее велосипедиста. Велосипедист затратил х часов. Сколько времени понадобилось мотоциклисту?                                                                                                                                           г) Петя выше Вани на 5 см и ниже Коли на 2 см. Рост Пети равен х см. Чему равны рост Вани и рост Коли?                                                                                                                                                           д) В ящик сначала добавили 12 карандашей, а затем вынули 7 карандашей. Сколько карандашей стало в корзине, если первоначально в ней было х карандашей?                                                                                                                                                2. Составьте равенство, используя условие:                                                                                                      а) Одна деталь весит х кг, а другая 3х кг. Вместе обе детали весят 44 кг.                                                      б) Туристы прошли пешком х км и проехали на автомобиле 3х км. Весь путь туристов составил 124 км.                                                                                                                                                      в) Длина прямоугольника равна 2х см, ширина х см, а периметр равен 138 см.                                                    г) В корзине находится 5х кг яблок, а в ящике х кг яблок. В корзине на 12 кг яблок больше, чем в ящике.                                                                                                                                                                       3. Составьте уравнение и закончите решение задачи, записав его в тетради:                    Задача. На верхней полке было втрое больше книг, чем на нижней. После того, как на нижнюю полку переставили с верхней 15 книг, на полках оказалось книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?                                Решение. Пусть на нижней полке было х книг. Тогда на верхней полке было 3х книг. После того как с верхней полки переставили на нижнюю 15 книг, на верхней полке стало 3х – 15 книг, а на нижней х + 15 книг. По условию задачи книг на полках стало поровну. Значит,   …….                                                                                                                      4. Решите задачу:                                                                                                                                  а) За два дня мастер изготовил 172 детали, причём во второй день он изготовил в три раза больше деталей, чем в первый. Сколько деталей он изготовил в первый день?                                                                                                                                                           б) Одна из комнат меньше другой на 8 м². Чему равна площадь каждой комнаты, если известно, что площадь двух комнат равна 32 м²?                                                         5. Составьте задачу, решение которой приводит к уравнению 3х + х = 44.            

 

Линейная функция и её график .

1. Линейная функция задана формулой у = 5х – 4. Закончите решение:                                     а) если х = 2, то у = 5 · 2 – 4 = …                                                                                                        б) если х = - 3, то у = 5 · (- 3) – 4 = …                                                                                                             в) если х = 4, то у = …                                                                                                                                     2. Линейная функция задана формулой у = х + 7. Заполните таблицу    

Х	0	1	2	3	4	5	6
у

3. Линейная функция задана формулой у = - 3х + 2. Найдём значение х, при  котором у = 11.  Подставив вместо у число 11. Получим: 11 = - 3х + 2.                        Откуда: 3х =2 – 11;  3х = - 9; х = …. Закончите решение.                                                  4. Линейная функция задана формулой у = 2х – 7. Найдите значение х, при котором у = - 1; 0; 3; 7.                                                                                                                                                              5. Постройте график функции у = - 3х + 2.  Для этого:                                                                   а) заполните таблицу  

х	0	2
у

б) отметьте в координатной плоскости точки, координаты которых заданы в таблице;                                                                                                                                                               в) проведите через отмеченные точки прямую.                                                                           6. Постройте график функции: а) у = х – 5;  б) у = 2х + 3;   в) у = - 3х + 4.                                7. Постройте график функции у = 2х – 4. По графику найдите:                                     а) значение функции при х = 3; 0; - 1.                                                                                     б) при каком значении аргумента (х) значение функции (у) равно 4.        

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямая пропорциональность .

1)Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Задайте формулой зависимость пройденного пути S ( в километрах) от времени движения t (в часах). Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?                                                                     2. Прямая пропорциональность задана формулой у = - 2х. Найдите:                                   а) значение у при х = 3; 0; - 1; - 4.                                                                                                         б) значение х. при котором у = - 4; 0; 5; 10.                                                                          3.  Зная, что зависимость у от х является прямой пропорциональностью, заполните таблицу: 

Х	- 4	- 2	0	2	4	6	8
у				6

 4. Постройте график функции у = 1,5х, заполнив сначала таблицу:

Х	0	2
у

 5. Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой:                    а) у = 2х;     б) у = - х;   в) у = 2,5х;   г) у = - 3х.                                                                                6. Постройте график функции у = - 2х. Найдите по графику                                                      а) значение у при х = - 1; 3.                                                                                                                     б) значение х, при котором у = 4; 0; - 2.                                                                                             7. Изобразите схематически график функции: а) у = 101х;   б) у = - 70х.                                                                   

Степень с натуральным показателем .

 1.Назовите основание и показатель степени: а) ;  б) ;  в) ;  г) 5⁶.   

 2. Представьте в виде произведения степень: 12⁶; а⁵; (  )⁴;  ( - 5)³.

 3. Представьте в виде степени произведение: а) 7· 7·7·7·7;  б) х· х ·х ·х ·х ·х ·х ·х ·х ·х; 

в) ( - 4)· (- 4) ·(- 4);

 4. Найдите значение степени: а) 2⁵;  б) 3⁴;  в) (- 4)³;  г) ( - 5)⁴;  д) ( - 0,2)³;  е) ()⁶;         ж) 5⁰;  з) ( - 1)⁵;  и) ( - 1)⁶.

 5. Укажите порядок действий при вычислении значения выражения:

а) 12² + 6³;   б) (15 + 12)⁴;  в) 3 · 4⁷;  г) (11· 5)².

 6. Вычислите: а) 5² - 3²;  б) 3· 6²;  в) 2⁴ - 3²;  г) 6² : (- 4);  д) (- 10 + 7)³;  е) (- 2)³· (-1)⁶.

 7. Найдите значение выражения: а) 3х² при х = - 3; 0; 4;  б) (5а)³ при а = -1; 0; 2.

 8. Вычислите: а) - 2· 3²; б) (- 2· 3)²;  в) 2· (- 3)²;  г) 2² · (- 3)².

 9. Найдите значение выражения  4ху⁵ при х = 5, у = - 2.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Действия со степенями с натуральными показателями .

 1.Представьте произведение в виде степени:                                                                           а) х⁵ · х⁴;  б) у⁷ · у⁴;  в) а⁶ · а;  г) 2⁷ · 2⁰.                                                                                             2. Выполняя умножение степеней, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте:                                                                                                                                                         а) а⁴· = ;  б) а³· а⁶ = ;  в) а⁵ · а = а⁵;  г) а · = .                                                      3. Выполните деление степеней:                                                                                                   а) 5⁷ : 5⁴;  б) в³ : в;  в) у⁶ : у⁵; г) : .                                                                                         4. Найдите значение выражения:                                                                                                  а) ( - 2)⁶ : (- 2)³;  б) : ;  в) ( - 3)⁶ : (- 3).                                                                             5. Закончите запись:                                                                                                                             а) у⁷ = у² · …            ;   б) х⁶ = : ….;   в) а⁴ = а · …..                                                                                              6. Возведите произведение в степень:                                                                                        а) (ху)⁶;  б) (3а)⁴;  в) (- 4ав)²;  г) ( - 4ху)³.                                                                                        7. Представьте в виде степени произведение:                                                                         а) х²· у²;   б) а³в³с³;  в) 2⁴· а⁴ · в⁴;                                                                                                       8. Выполните возведение в степень:                                                                                            а) (а³)²;  б) (2ху³)⁴;  в) (у³)⁶;  г) (-2а²в³)².                                                                                          9. Упростите выражение:                                                                                                                  а) (а²)³ · а⁴;  б) (х⁴)⁴ : х⁷;  в) (а²)³ · (а³)²;  г) (х² · х³)⁴.                                                                      10. Представьте выражение каким – либо способом в виде:                                             а) произведения степеней;  б) деления степеней;  в) степени степени.                               11. Перемножьте одночлены:                                                                                                     а) 3ху и 2х³у⁴;  б) 4а² и 0,5а³в;  в) 3ху⁴ и  х²у³;        г) 2,5а²в  и  2а²в⁶.                                     12. Закончите запись:                                                                                                                                 а) 8а⁵ = 2а³ · ….;    б) 25х²у⁶ = 5ху³ · ….;                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение и вычитание многочленов .

 1.Приведите подобные члены многочлена:                                                                              а) 5х + 6у – 3х – 12у;     б) 3ав + 4в +12в – ав;    в) 4а – 3х + 2в – 6а – 8в – 5х.                  2.Закончите выполнение сложения и вычитания:                                                                     а) (3а – 14в) + (2а – 10в) = 3а – 14в + 2а – 10в =…….                                                                   б) (5х² - 12у² - 1) – (х² - у² - 4) = 5х² - 12у² - 1 - х² + у² +4 = …..                                                       3. Раскройте скобки, используя соответствующее правило:                                                     а) 6а + (8 – х);  б) 5у – (2х – а + в);  в) 6а – 3в – ( - 2а – 2в – 5).                                                          4. Раскройте скобки и приведите подобные члены:                                                                    а) 6х + (8 – х);  б)12а – (2 – 5а);  в) 7р – (15р + 100);  г) (2а – 1) + (3 + 6а);                          д) (7х – 4) – (1 – 2х);  е) (20у – 1) – (25у + 2).                                                                                 5. Упростите выражение:                                                                                                                     а) (3а + в) + (5а – 4в) – (3а + в);                                                                                                        б) х – (2х – у) + (3х – 2у);                                                                                                                          6. Упростите выражение и найдите его значение при а = 47270;                                           (5а – 1) – (а – 8) – (7 + 3а).                                                                                                               7. В выражении ( 13а – 4) + (8 – 6а) – (7а – 1) Вова подставил вместо а сначала число 93, затем число 157 и наконец, число 2184. Выполнив вычисления, он каждый раз получал в ответе число 5. Может ли так быть?                                                                              8. Пусть А = 3х – 11у, В = 4х – у. Составьте разность А – В и упростите её.                      9. Составьте сумму трёх последовательных натуральных чисел, первое из которых равно п, и упростите её.                                                                                                           10. Закончите запись, учитывая знак, поставленный перед скобками:                                а) 7х + 8у – 16 = 7х + (……)                                                                                                                   б) 5а – 4в – 1 = 5а – (……).

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение одночлена на многочлен .

 1.Выполните умножение одночленов:                                                                                        а) 2а · 3в;  б) 2ав · а²;  в) 6 · х² · (- 2х);  г) 3с · (- 5х);  д) – 3х · ху²;  е) – 4а²в · ( - 3ав²).     2. Выполните умножение одночлена на многочлен:                                                                  а) 3а · (х – 8);    б) 2х · (х – а + 4в).                                                                                                    3. Закончите выполнение умножения:                                                                                              а) 5а · (3х – у) = 15ах……                                                                                                                                 б) х² · (х³ - 4х + 2) = х⁵…….                                                                                                                   4. Выполните умножение:                                                                                                                       а) 4а · (х – у);                                                                                                                                           б) – 3в · (а + в);                                                                                                                                     в) (6х + у) · х²;                                                                                                                                          г) - а² · (4а – 1);                                                                                                                                       д) 10в · (а + в – 2);                                                                                                                                             е) – 16у · (2х – 3у + 1).                                                                                                                         Найдите ответ, среди приведённых ниже многочленов: - 32ху + 48у² - 16у;                    - 4а³ + а²;  6х³ + х²у;  - 3ав – 3в²;  10ав + 10в² - 20в;   4ах – 4ау.                                      5. Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стёртым. Восстановите его:                                                                                                            а) ….(х – у) = 3ах – 3ау;                                                                                                                        б) ….(2а + в) = 2а² + ав;                                                                                                                        в) ….(х - у² + 1) = ху² - у⁴ + у².                                                                                                              6. Умножьте многочлен а² - 2ав на                                                                                                 а) 5;    б) – 6;  в) 2х;  г) а;  д) – а.                                                                                                        7. Упростите выражение:                                                                                                                  а) 3а · (а – 1) - а²;                                                                                                                                    б) 5х – 12 · (х + 4);                                                                                                                                             в) а² - 2а – 4 · (а – 6) ;                                                                                                                          г) 2а² - 3в – 3а + 3в.                                                                                                                               8. Упростите выражение и найдите его значение при а = - 5:                                    3 · (2а – 1) – 2 · (а – 3).                                                                                                                         9. Упростите выражение:                                                                                                                   а) 5х · (х + 1) – 3х · (2 – х);                                                                                                                    б) 4а² · (а + 1) – а · (а² + 2).      

 

 

 

Решение уравнений .

 1.Решите уравнение: а) 6х = 54;  б) 5х = - 17; в) – 4х = 64; г) – х = 11.                                2. Решите уравнение: 2 · (х – 1) – 3х = 5 · (2 – х) ;                                                                 Для этого:                                                                                                                                               а) раскройте скобки;

б) перенесите слагаемые, содержащие х,  в левую часть,  а свободные члены – в правую;

в) приведите подобные члены;

г) решите получившееся линейное уравнение.

3. Закончите решение уравнения:

   6 · (3х-1)- 2 · (x+4) = 9х                                                                                                                                   ………………                                                                                                                                      4. Решите уравнение:                                                                                                                               а) 5 · (2 – х) + 10х = 52 – х;                                                                                                                  б) 15 + 3х + 6 · (1 – х) = 2х + 11;                                                                                                        в) 8 · (3 – х) – (5х + 1) + 3 = 13х;                                                                                                       г) 12 – 4 · (3 – 2х) = 3 · (5 + х).                                                                                                                    5. Решите уравнение:  а)  = 9;  б)          = 1;  в)  = - 7;  г)  = - 2.                                         Указание: умножьте обе части уравнения  а) на 4;  б) на 3;  в) на 7;  г) на 10.                     6. Закончите решение уравнения:                                                                                                            а) - = 2;                                                       б) + = 1;                                                        5 · (х – 1) - 2· 3х = 2 · 10;                                   6 · (х – 2) + 4х = 1 · 24;                                        5х – 5 – 6х = 20;                                                   6х – 12 + 4х = 24;                                                             ……………                                                           ……………..                                                    7. Решите уравнение:                                                                                                                          а) + = 2;                                                       в) + х = 4;                                                       б)             - = 3;                                                       г) 2х –    = 1.                                                         8. Решите уравнение и выполните проверку:                                                                              -  = 3.       

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                         

 

Решение задач. 

 1.Составьте уравнение по условию задачи: «В одном мешке имеется х кг картофеля. Сколько картофеля в другом мешке, если известно, что в нём по сравнению с первым мешком:                                                                                                    а) на 5 кг больше;                                               в) в 3 раза больше;                                                         б) на 17 кг меньше;                               г) вдвое больше?                                                            2. На верхней полке в 3 раза больше книг, чем на нижней. После того, как с верхней полки сняли 16 книг и поставили их на нижнюю, на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?                                      Указание: 1) обозначьте через х число книг, находившихся первоначально на нижней полке; 2) выразите через х, сколько книг находилось первоначально на верхней полке; 3) запишите, сколько книг стало на верхней полке после того, как с неё сняли 16 книг; 4) запишите, сколько книг стало на нижней полке после того, как на неё поставили 16  книг; 5) составьте уравнение.                                                               3. В трёх бригадах работает 96 рабочих. Во второй бригаде вдвое больше рабочих, чем в первой, а в третьей – на 16 больше, чем в первой. Сколько рабочих в первой бригаде?                                                                                                                                                  4. Придумайте задачу, решение которой приводит к уравнению х + 4х = 40.              5. На пришкольном участке посадили 63 куста смородины, крыжовника и малины, причём крыжовника в 3 раза больше, чем смородины, а малины на 7 кустов больше, чем крыжовника. Сколько кустов смородины посадили на участке?             Указание: 1) обозначьте через х число кустов смородины; 2) выразите число кустов крыжовника; 3) выразите число кустов малины, учитывая, что в условии задачи оно сравнивается с крыжовником; 4) составьте уравнение.                                                        6. В школу привезли одинаковое количество учебников по алгебре и по физике. Учебники по алгебре связали в пачки по 15 штук, а учебники по физике – по 10 штук. Всего получилось 15 пачек. Сколько учебников по алгебре привезли в школу? Заполните пропуски и решите задачу.                                                                                        Пусть в школу завезли х учебников по алгебре и …… учебников по физике. Когда учебники по алгебре связали по 15 штук, получилось пачек. Когда связали учебники по физике по 10 штук, получилось …….. пачек. Всего получилось 15 пачек значит ….. . Составьте уравнение и решите задачу.                                                                7. В квартире имеются три комнаты, общая площадь которых равна 51 м². Площадь первой комнаты вдвое меньше площади второй и на 3 м² меньше площади третьей комнаты. Чему равна площадь каждой комнаты?

 

Вынесение множителя за скобки .

 1.Представьте тремя различными способами одночлен 6ху² в виде произведения двух множителей.                                                                                                                               2. Данный одночлен  представьте в виде произведения двух множителей, одним из которых является 3х: 6ху; 18ах; 9х; 3х²; 12х²у.                                                                      3. Проверьте с помощью умножения, правильно ли выполнено разложение на множители: 12а²в + 9ав² = 3ав · (4а + 3в).                                                                                         4. Закончите разложение многочлена на множители:                                                   а) 5ах – 30ау = 5а · (………);          б) х⁴ - 5х³ - х² = х² · (………).                                                       5. Разложите на множители:                                                                                                                     а) 5х + 5у;               г) ав + в;                 ж) 7ав + 14ас;                                                                    б) 20а – 4в;            д) вх – х;                  з) 5ав – 5;                                                                           в) ах – ау;               е) 2а – 10 ау;         и) 2ав – в.                                                                         6. Разложите на множители многочлен – 5ав + 15а²в, вынося за скобки множитель: а) 5а;   б) – 5а.                                                                                                                                     7. Вычислите:                                                                                                                                         а) 296 · 12 + 704 · 12;       б) 18 · 0,36 – 0,26 · 18.                                                                         8. Разложите на множители:                                                                                                            а) 3х² - 6х;           в) х⁴ + х²;        д) 12а²в – 24ав;                                                                            б) а²в - ав²;         г) 5а² + 15а²;  е) 18х³у – 12ху³.                                                                           Указание: можно вынести за скобки множитель: а) 3х;  б) ав;  в) х²;  г) 5а²; д) 12ав;  е) 6ху.        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                             Умножение многочленов .

  1.Закончите запись:                                                                                                                           а) (а + 4) · (в – 8) = ав – 8а………                                                                                                        б) (х – 4) · (х + 8) = х²……                                                                                                                                2. Выполните умножение многочленов:                                                                                          а) (2а + 4)(а – 8);                                                  д) (3а – 1)(а + 8);                                                  б) (х + 2)(х + 11);                                               е) (2х + 5)(х – 1);                                                   в) (3 + а)(2 – а);                                                               ж) (3а – 1)(4в + 4);                                               г) (в – 6)(в + 4);                                                      з) (2 – 6у)(у + 11).                                                3. Сколько членов, до приведения подобных слагаемых, получится при умножении многочленов:                                                                                                                                    а) 2а + в и в – 4;       б) а² - а +6 и 3а – 67;                                                                                     4.  Закончите выполнение умножения:                                                                                       а) (а + 3)(а² - 3а + 9) = а³ - 3а² + 9а……                                                                                             б) (3х² - у²)(х² + 2у²) = 3х⁴ + 6х²у²……….                                                                                           5. Выполните умножение:                                                                                                                а) (4а² - 1)(а² + 1);                                                                                                                                   б) (2а² - в)(а² + в);                                                                                                                                  в) (ав + а)(а – ав);                                                                                                                                   г) (х + ху)(- ху – х);                                                                                                                                              6. Упростите выражение:                                                                                                                  а) (3а + 1)(а – 1) – 3а²;                                                                                                                           б) (2в + 4)(3в – 1) – 10в.                                                                                                                            7. Упростите выражение и найдите его значение при а = 15:                                         (2а + 1)(а – 1) – (а – 6)(2а – 1).           

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ группировки .

 1.Подчеркните общий множитель и вынесите его за скобки.                                            а) х(а + в) + у(а + в);                                                                                                                               б) а(х + у) – 2(х + у);                                                                                                                              в) х(а + в) + (а + в);                                                                                                                             г) 15 (х + у) – а(х + у).                                                                                                                            2. Закончите разложение на множители способом группировки:                                              а) 3а – 3в + ас – вс = (3а – 3в) = (ас – вс) =…………                                                                       б) а² - ав – ах + вх = (а² - ав) – (ах – вх) = ……….                                                                          3. Разложите на множители многочлен 12х -  12у + ах – ау и выполните проверку с помощью умножения многочленов.                                                                                          4. Разложите на множители:                                                                                                            а) х(а +3) – у(а +3);                                                                                                                                б) 12в(с + х) + 12(х +с);                                                                                                                         в) 5в(а + в) +( а + в);                                                                                                                              г) 3(х – у) –( х – у);                                                                                                                                             д) 4а – 4в +ах –вх;                                                                                                                                             е) ав +ас + 12а +12с;                                                                                                                             ж) а³ - а² + а – 1;                                                                                                                                     з) х² - ху – 5х +5у;                                                                                                                                    5. Найдите значение многочлена, разложив его предварительно на множители:          х² - ху – 3х + 3у при х = 3,2;  у = 2,2.                                                                                                        6. Разложите на множители:                                                                                                                 а) 20ах – 10ах + 2ау – ву;                                                                                                              б) 12ву – вх – 24ау + 2ах = (12ву – 24ау) – (вх – 2ах)………                                                   7. Вычислите значение выражения:                                                                                                  7 · 127 + 4 · 229 + 3 · 127 + 6 · 229.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Квадрат суммы и квадрат разности.

  1.Запишите в виде выражения.                                                                                                     а) сумму чисел а и 3;                                                                                                                                   б) квадрат суммы чисел х и а;                                                                                                                в) сумму квадратов чисел х и у;                                                                                                г) разность чисел 5 и а;                                                                                                                       д) произведение суммы чисел а и х на их разность;                                                               е) квадрат разности чисел в и с;                                                                                               ж) разность квадратов чисел 7 и с;                                                                                                з) удвоенное произведение чисел х и у.                                                                                    2. Даны выражения 2а и 3в. Составьте:                                                                                       а) их сумму; б) их разность; в) их произведение; г) удвоенное произведение;                   д) квадрат суммы; е) квадрат разности.                                                                                       3. Каждое из следующих выражений: а² + в²; (в + с)²; (7 – в)²; 3² - х²; (5а)² - в²;           (5х + 8у)²; (3а – 2в)²; (2а)² + х²; 64 – (5в)² запишите в соответствующий столбец таблицы:

Сумма квадратов выражений.	Квадрат суммы выражений.	Разность квадратов выражений.	Квадрат разности выражений.
(6а)² + в²	(9а + 3в)²	(7х)² - 3²	(5х – у)²

 4. Преобразуйте в многочлен, используя формулы (а + в)² = а² + 2ав + в² и                  (а – в)² = а² - 2ав + в²;                                                                                                                        а) (х + у)²;                г) (3 + х)²;            ж) (х + 2у)²;                                                                           б) (с – х)²;                      д)(4 – у)²;              з) (5х – у)²;                                                                           в) (а – 8)²;               е) (в – 9)²;             и) (2а + 3в)².                                                                        5. Вычислите, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:                     а) 101² = (100 + 1)² =…….  ;                             в) 10,2² = (10 + 0,2)² = ………..;                                   б) 97² = (100 – 3)² = ……… ;                            г)   9,9² = (10 – 0,1)² = ……….                                6. Замените * одночленом так, чтобы полученное равенство было тождеством:           а) (* + 2в)² = с² + 4вс + 4в²;              б) (* - х)² = х² - 2ах + а².                                                    7. Упростите выражение:                                                                                                                     а) 9а² - (3а – 1)²;                                  в) 5(2а – 1)² - 20а²;                                                               б) 12ху – (2х + 3у)²;                            г) -2(3а + 2в)² + 24ав.                                             

 

 

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

 1.Используя формулы а² + 2ав + в² = (а + в)² и а² - 2ав +в² = (а – в)², представьте трёхчлен в виде квадрата суммы или квадрата разности:                                               а) х² + 2ху + у²;                                  г) 9х² - 6ху + у²;                                                                         б) а² - 2ас + с²;                                  д) 1 – 4а +4а²;                                                                           в) 4х² + 4х +1;                                    е) 4х² +12ху +9у².                                                            2. Из данных выражений выберите те, которые можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности:                                                                                    4х² - 4х + 1;  9а² + 6а + 4;  25в² + 10в + 1;  1 – 2х + 4х²;  а² - 12а + 36;  в² - 18в +81;    а² - 4а – 4.                                                                                                                                                 3. Замените * одночленом так, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата суммы или квадрата разности:                                              а) х² + 2ху + *;                                   б) а² + * + 4в².                                                                          4. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена и найдите его значение:                    а) х² - 4х + 4 при х = 12;                  б) а² - 6а + 9 при а = 23.                                                     5. Известно, что а – в = 3. Чему равно при тех же а и в значение выражения:                   а) а² - 2ав + в²;         б) в² - 2ав + а²;     в) 3а² - 6ав + 3в².                                                                      6. Используя формулы: (а – в)² = а² - 2ав + в²;   (а + в)² = а² + 2ав + в², представьте в виде многочлена выражение:                                                                                                         а) ( 6 + х)²;                                                                                                                                                  б) (2а – 3)²;                                                                                                                                                         в) (а – 4в)²;                                                                                                                                               г) (у – 5х)²;                                                                                                                                                д) ( 8 + 4п);                                                                                                                                               е) (5р + 8)²;                                                                                                                                               ж) (1 – 7у)².

 

 

 

 

 

 

Умножение разности двух выражений на их сумму.

 1.Даны выражения 5х и 6у. Составьте их:                                                                                   а) сумму;                                                                                                                                                       б) сумму квадратов;                                                                                                                      в) квадрат суммы;                                                                                                                              г) разность;                                                                                                                                                        д) разность квадратов;                                                                                                                        е) квадрат разности.                                                                                                                          2. Выполните умножение, используя формулу (а – в)(а + в) = а² - в²;                        а) (х – у)(х + у);                                                                                                                                       б) (а – 8)(а + 8);                                                                                                                                      в) (в – 5)(в + 5);                                                                                                                                       г) (с – 4)(с +4);                                                                                                                                         д) (3х – у)(3х + у);                                                                                                                                   е) (а + 4в)(а – 4в);                                                                                                                                  ж) (2а – 3с)(2а + 3с);                                                                                                                            з) (4в + 10с)(4в – 10с).                                                                                                                         3. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:             а) (2а + *)(2а - *) = 4а² - в²;                                                                                                                 б) (* - 3х)(* + 3х) = 16у² - 9х²;                                                                                                             в) (* - в⁴)(* + в⁴);                                                                                                                                    г) х⁴ - 225с⁶ = (х² - 15с³)(…….).                                                                                                            4. Вычислите произведение, пользуясь формулой (а – в)(а + в) = а² - в²;                             а) 19 · 21 = (20 – 1)(20 + 1) = 20² - 1² = 400 – 1 = 399;                                                                б) 48 · 52 = (50 – 2)(50 + 2) =……….                                                                                                     в) 41 · 39 = …….                                                                                                                                       г) 99 · 101 = ……….                                                                                                                                             д) 37 · 43 = …….                                                                                                                                      5. Умножьте сумму выражений 5а и 2в на их разность.                                                 6. Сторона квадрата равна а см. Длина прямоугольника на 2 см больше стороны квадрата, а ширина на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь прямоугольника и сравните её с площадью квадрата.  

 

 

 

Разложение разности квадратов на множители.

 1.Выполните разложение на множители, используя формулу а² - в² = (а – в)(а + в): а) х² - у²;                                                                                                                                                  б) р² - 4;                                                                                                                                                    в) с² - в²;                                                                                                                                                    г) 9 - а²;                                                                                                                                                     д) 16 - а²;                                                                                                                                                  е) х² - 25.                                                                                                                                                   2. Продолжите разложение на множители разности квадратов                                           а) 25а² - 9в² = (5а)² - (3в)² = …….;                                                                                                       б) 81х² - 49у² = ……….;                                                                                                                           3. Разложите на множители:                                                                                                            а) 25 – 9у²;   б) 1 – 16х²;    в) 36х² - у²;  г) 64 – 9в²;   д) 25х² - 100в²;   е) 121 – 4в².        4. Составьте какое – либо выражение, представляющее собой разность квадратов, и разложите его на множители.                                                                                               5. Вычислите:                                                                                                                                         а) 71² - 61² = (71 – 61)(71 + 61) = …….;                                                                                            б) 106² - 6² = (106 – 6)(106 + 6) = …….;                                                                                            в) 27² - 7² = ……..;                                                                                                                                    г) 127² - 107² = ……..;                                                                                                                      6. Разложите на множители:                                                                                                                 а) 0,16 – 0,09у²;    б) 0,81а² - 25в²;    в) 0,0036х² - 64;   г) 169р² - 0,64у².                                  7. Разложите на множители:                                                                                                                 а) х⁴ - а⁶ = (х²)² - (а³)² = ……..;                                                                                                            б) 9а⁶ - 1 = ……..;                                                                                                                                   в) а⁴ - в⁴;                                                                                                                                                   г) 0,01х⁴ - у⁶;                                                                                                                                           д) 225 – 1,21р²;                                                                                                                                     е) 1,69п² - 100у².                                                                                                                                                          

 

 

 

 

Преобразование целых выражений.

 1.Какие из выражений являются целыми:                                                                                 а) 2х² + 1;                                                                                                                                                   б) 5 + ;                                                                                                                                                     в) ;                                                                                                                                                      г) 4х + ;                                                                                                                                                    д)            ;                                                                                                                                                        2. Упростите выражение:                                                                                                                  а) 3(х – 2)² + 12х;                                                                                                                                    б) (а + 5)² - (а² + 25);                                                                                                                             в) х² + 2х – (х + 1)²;                                                                                                                                г) 6а – 1 – (а + 3)²;                                                                                                                                              Для самоконтроля: после раскрытия скобок получается выражение:                                   а) 3х² - 12х +12 + 12х;                                                                                                                           б) а² + 10а +25 - а² - 25;                                                                                                                       в) х² + 2х - х² - 2х – 1;                                                                                                                            г) 6а – 1 -а² - 6а – 9;                                                                                                                               3. Преобразуйте в многочлен:                                                                                                        а) х(х – 5) – (х + 4)²;                                                                                                                               б) 9х(х + 6) – (1 + 3х)².                                                                                                                          4. Найдите значение выражения:                                                                                                    а) а² + в² - (а – в)² при а = - 5, в = 2.                                                                                                б) (2а + в)² - (4а² + в²) при а = 1, в = 3.                                                                                           5. Докажите, что значение выражения не зависит от а:                                                         (а + 2)а – (а + 1)².                                                                                                                                  6. Решите уравнение:                                                                                                                         а) х²(х² - 4) – х(х² - 8) = 16;                                                                                                                   б) 2у(4у – 1) – 2(3 – 2у)² = 48.

 

 

 

 

 

Применение разных способов разложения на множители.

 1.Закончите разложение на множители:                                                                                    а) 7а² - 28 = 7(а² - 4) = ….;                                                                                                              б) – 2а² + 18 = - 2(а² - 9) = ….;                                                                                                                     2. Разложите на множители:                                                                                                                 а) 3а² - 3;                                                                                                                                                        б) 20 – 5х²;                                                                                                                                               в) 7х² - 7у²;                                                                                                                                               г) 13р² - 13с²;                                                                                                                                          д) 6х² - 6у²;                                                                                                                                              е) ах² - ау².                                                                                                                                               3. Закончите разложение на множители:                                                                                              а) 3а² + 6а + 3 = 3(а² + 2а + 1) = …..;                                                                                                б) - х² + 4х – 4 = - (х² - 4х + 4) = …….;                                                                                                 4. Представьте в виде произведения:                                                                                          а) 6х² - 12х + 6;                                                                                                                                       б) 2х² + 4ху + 2у²;                                                                                                                                   в) – 5х² + 10х – 5;                                                                                                                                   г) 3а² + 6ав + 3в².                                                                                                                                   5. Закончите разложение на множители:                                                                                   а) а² - в² +6а +6в = (а² - в²) + (6а + 6в) = (а – в)(а + в) + 6(а + в) = ……;                                               б) х² - у² - 3х – 3у = (х² - у²) – (3х + 3у) = ……..;                                                                               6. Если а + в = 4, то чему равно 2а² + 4ав + 2в²?                                                                        7. Вычислите по образцу:                                                                                                                     1005 · 995 = (1000 + 5)(1000 – 5) = 1000² - 5² = 100000 – 25 = 999975.                                а) 108 · 92;                                                                                                                                                     б) 47 · 53;                                                                                                                                                 в) 28 · 32;                                                                                                                                                  г) 56 · 64;                                                                                                                                                  д) 62 · 78.              

 

 

 

 

Решение систем уравнений способом подстановки.

 1.Выразите у через х:                                                                                                                          а) х + у = 2;                                                                                                                                               б) у – 6х = 1;                                                                                                                                          в) х – у = 4;                                                                                                                                               г) 2у – х = 3.                                                                                                                                                         2. Выразите х через у:                                                                                                                         а) х + у = 6; б) х – 2у = 4;  в) 2у – х = 1;  г) 3х – у = 2.                                                                    3. Выразите одну какую – либо переменную через другую:                                         а) х – 2у = 3;  б) 3х + у = 5;   в) 2у – х = 10.                                                                                     4. Закончите решение системы:                                                                                                                                                                                                                                            у = 13 – 3х                                                                                                                                                5х + 4(13 – 3х) = 31                                                                                                                                ……………………………..                                                                                                                              5. Решите систему уравнений                                                                                                                                                                                                                                                                Для этого:                                                                                                                                                 1) выразите из первого уравнения переменную х через у;                                                   2) подставьте получившееся выражение во второе уравнение вместо х;                3) найдите значение у из получившегося уравнения;                                                           4) вычислите соответствующее значение х.                                                                       6. Решите систему уравнений:                                                                                               а)                                                                                                                                             б)                                                                                                                               в)                                                                                                                                              г)                                                                                                                                           д)                                                                                                                                 е)     

 

Решение систем уравнений способом сложения.

 1.Умножьте одно из уравнений системы или каждое из них на какое – либо число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных:      а)              б)      в)                                                            2. Закончите решение системы:                                                                                                             а)                     

                                                               2х = 1                                                                                           3. Решите систему уравнений:                                                                                                                                                                                                                                          Для этого:                                                                                                                                              1) умножьте все члены первого уравнения на 5, а второго  - на (- 3);                        2) сложите почленно левые и правые части уравнений;                                                      3) найдите значение х из получившегося уравнения;                                                           4) вычислите значение у, подставив найденное значение х в одно из уравнений данной системы.                                                                                                                                            4. Решите систему уравнений:                                                                                                            а)               б)                  в)                                г)             д)                е) . 

 5. Решите систему уравнений способом подстановки или способом сложения:        а)                                                                                                                          б)                                                                                                                                   в)

 

 

 

 

 

Решение задач с помощью систем уравнений.   

 1.На верхней полке х книг, а на нижней у книг. Составьте систему уравнений с двумя переменными по следующему условию:                                                                        а) всего на полках 56 книг;                                                                                                               б) на верхней полке на 18 книг больше, чем на нижней;                                                           в) на верхней полке на 27 книг меньше, чем на нижней;                                                          г) после того как с верхней полки сняли 6 книг, а на нижнюю поставили 8 книг, на полках стало книг поровну;                                                                                                                д) после того как с верхней полки переставили на нижнюю 10 книг, на полках стало книг поровну.                                                                                                                                         2. Ученик купил 33 тетради в клетку и линейку, уплатив за покупку 810 рублей. Тетрадь в клетку стоит 20 р, а в линейку – 30 р. Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку купил ученик?                                                                                                                     Указание: а) обозначьте число тетрадей в клетку через х, а в линейку – через у;      б) составьте первое уравнение, учитывая, что всего было куплено 33 тетради;        в) выразите стоимость всех тетрадей в линейку;  г) выразите стоимость всех тетрадей в клетку;  д) составьте второе уравнение, используя условие, что за всю покупку заплатили 810 р.; е) решите систему уравнений.                                                  3. Альбом дороже ручки на 40 р. За 2 альбома и 3 ручки заплатили 280 р. Сколько стоит альбом и сколько стоит ручка?                                                                                      Указание: а) обозначьте буквами стоимость одного альбома и стоимость одной ручки;  б) составьте первое уравнение, учитывая соотношение между стоимостью альбома и стоимостью ручки;  в) выразите стоимость 2 альбомов;  г) выразите стоимость 3 ручек;  д) составьте второе уравнение, учитывая стоимость всей покупки; е) решите систему уравнений.                                                                                    4. Заполните пропуски, переписав решение в тетрадь и закончите решение задачи: «Из двух пунктов расстояние между которыми равно 54 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч.            Определите скорость каждого велосипедиста, если известно, что один из них проезжает за 4 ч, такое же расстояние, которое другой проезжает за 5 ч.»                      Решение. Пусть скорость первого велосипедиста х км/ч, а второго у км/ч. За 2 ч. Первый велосипедист проехал …… км, а второй - …….. км. Всего оба велосипедиста проехали 54 км. Значит, …….           Первый велосипедист за 4ч проезжает …….км, а второй за 5ч проезжает …… км. По условию задачи эти расстояния равны. Значит, …… . Имеем систему уравнений …..                                                                                                     5. Длина прямоугольника на 6 см больше ширины, а его периметр равен 20 см. Найдите стороны прямоугольника.