Дидактический материал по геометрии для 9 класса

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Точки K и M лежат соответственно на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD; AK =

Один из углов прямоугольной трапеции равны 120⁰, большая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции.

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Точки P и O лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; BP =

Основание и средняя линия прямоугольной трапеции равны соответственно 15 см и 12 см,  а меньшая боковая сторона равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону трапеции.

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Точки H и T лежат соответственно на сторонах AD и CD параллелограмма ABCD; CT =

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а большая боковая сторона равна 24 см. Один из углов, прилежащих к боковой стороне, в два раза больше другого. Найдите основание трапеции.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Начертите окружность, заданную уравнением x1² y² 4 .

 Вопрос № 2

Напишите уравнение окружности с центром в точке A0; 6 и проходящей через точку B3; 2 .

 Вопрос № 3

Точка В – середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых верно равенство: AM² 2BM² 3CM ² 4 .

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Начертите окружность, заданную уравнением (x + 5)² + (y – 3)² = 25.

 Вопрос № 2

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку B01; 3 .

 Вопрос № 3

Точка D – середина отрезка NK, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек Р, для которых верно равенство: NP² DP² KP² 50 .

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60. Найдите площадь оставшейся части круга.

 Вопрос № 2

Напишите уравнение окружности с центром в точке A0; 6 и проходящей через точку B3; 2 .

 Вопрос № 3

Точка В – середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых верно равенство: AM² 2BM² 3CM ² 4 .

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

В треугольнике АВС угол В в 2 раза больше угла А, а длина стороны ВС равна 200. Найдите биссектрису ВD этого треугольника, если DС = 125.

 Вопрос № 2

В равнобедренную трапецию,  один из углов которой равен 30, а площадь равна 72, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

 Вопрос № 3

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен 3 6 . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AOD, если ABD = 45, а ACD = 75.

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

 Вопрос № 2

В равнобедренную трапецию,  один из углов которой равен 30, а площадь равна 72, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

 Вопрос № 3

В окружности проведена хорда MN длины 11 3 и диаметр МР. В точке N проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра МР за точку Р в точке Q под углом 30. Найдите длину отрезка PQ.

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Площадь правильного шестиугольника равна 6 3 . Найдите его периметр.

 Вопрос № 2

В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 12 и 16. Расстояние между ними равно 14. Найдите радиус окружности.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

 Вопрос № 2

Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от Земли, а радиус Земли равен 6370 км.

 Вопрос № 3

Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

 Вопрос № 2

Метр составляет приближенно  часть земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара.

 Вопрос № 3

Найдите длину маятника степных часов, если угол его колебания составляет 45, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 30 см.

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

 Вопрос № 2

Вокруг круглой клумбы радиусом 4 м проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы засыпать дорожку, если на 1 м² требуется 0,8 дм³ песка?

 Вопрос № 3

Какой толщины слой надо снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм², чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18 мм?

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

 Вопрос № 2

Найдите тангенс острого угла, если его синус равен ^.

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

                                                                                                                                        1 

                                                                                                                                     ; .

Точка А единичной полуокружности имеет координаты          2          2 _ Найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ.

 Вопрос № 3

Постройте  , если: а) ^cos ; б) ^sin .

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

 Вопрос № 2

Найдите синус острого угла, если его косинус равен ^.

 Вопрос № 3

Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

 Вопрос № 2

                                   r             r                                                    r      r r

Даны векторы с (–1; 9) и n (3; –2). Найдите координаты вектора р 3сп .

 Вопрос № 3

                                                                                                         r     r          r              r

Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m(4;3) и n(2; 5) .

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

 Вопрос № 2

                                   r            r                                                     r r      r

Даны векторы а (5; 6) и в (–2; 3). Найдите координаты вектора са2в .

 Вопрос № 3

                                                                                                         r     r           r       r

Вычислите скалярное произведение векторов а и в , если | а | 5; | в | 6, а угол между ними равен 150⁰.

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

 Вопрос № 2

                                                                                                         r     r           r        r

Вычислите скалярное произведение векторов а и в , если | a | 2, | в | 3 , а угол между ними равен 120⁰.

 Вопрос № 3

                                                                                                  r     r          r             r

Вычислите косинус угла между векторами а и в , если а (–12; 5), в (3; 4).

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Даны треугольник МNК и точка О. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник MNК при центральной симметрии с центром О.

 Вопрос № 2

Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата

.

 Вопрос № 3

Докажите, что при повороте правильного треугольника АВС вокруг вершины А на 60⁰ либо вершина В переходит в вершину С, либо вершина С переходит в вершину В.

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Даны прямая l и четырехугольник РМЕС. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью l.

 Вопрос № 2

В трапеции АВСД боковые стороны АВ и СД равны.

1)              Постройте отрезок СА₁, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор ВС .

2)              Найдите площадь треугольника А₁СД, если АД = 10 см, ВС = = 4 см, АВ = 6 см.

 Вопрос № 3

Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60⁰ вокруг своего центра отображается на себя.

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

Даны окружность с центром О и прямая l. Постройте фигуру F, на которую отображается данная окружность при осевой симметрии с осью l.

 Вопрос № 2

Точка М – середина стороны АС треугольника АВС.

1)                       Постройте отрезок МВ₁, на который отображается сторона АВ при параллельном

переносе на вектор ^АМ .

2)                       Найдите периметр треугольника МДС, где Д – точка пересечения отрезков ВС и МВ₁, если периметр треугольника АВС равен 12 м.

 Вопрос № 3

Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

Карточка № 1                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

В треугольниках АВС и ДЕК АВ = ДЕ, АС = ДК, ВР = ЕМ, где Р и М – середины сторон АС и ДК.

1)  Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику ДЕК.

2)  Найдите S_ΔАВС, если ЕМ = 3 см, ДК = 4 2 см, ЕМК = ¹³⁵⁰.

 Вопрос № 2

В параллелограмме АВСД биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е; АВ = а; АД = в. Найдите: 1) отрезки ВЕ и ЕС; 2) отрезки ВК и КД и S_АВЕ, если К – точка пересечения АЕ и ВД, а угол А равен 60⁰.

 Вопрос № 3

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равен 3 см, КВ = 4 см, где К – точка касания окружности с боковой стороной.

Найдите: 1) сторону АС; 2) угол ВАС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Карточка № 2                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁  АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, ВД = = В₁Д₁, где ВД и В₁Д₁ – высоты треугольников, причем точки Д и Д₁ лежат на отрезках АС и А₁С₁.

1)    Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁.

2)    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника В₁Д₁С₁, если известно, что ВД = 6 см, ДС = 8 см.

3)    Найдите угол А₁С₁В₁, если ВД = 6 см, ДС = 8 см.

 Вопрос № 2

На рисунке АЕFС – прямоугольник; АС = 10 см, АЕ = 3 см, ВМ = АМ. 1) Докажите, что МN – средняя линия треугольника АВС. 2) Найдите S_АМNС.  3) Найдите S_ΔАВС.

Треугольник АВС с углом В, равным 135⁰, вписан в окружность с центром О и радиусом R = 10 2 см.

Найдите: 1) сторону АВ; 2) сторону АВ и S_ΔАВС, если известно, что угол АСВ равен 30⁰.

Карточка № 3                                                                                                                            стр.

1

 Вопрос № 1

В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СД к гипотенузе АВ, СД = а, АД

= в.

Найдите: 1) ВС; 2) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) отношение площадей треугольников АДС и АСВ.

 Вопрос № 2

На рисунке АВСД – параллелограмм, угол 1 равен углу 2.

1) Докажите, что четырехугольник ВFДК – параллелограмм, и найдите его площадь и периметр, если КF = 10 см, ВД = 6 см, КОД = 150⁰. 2) Каким условиям должны удовлетворять отрезки КF и ВД, чтобы параллелограмм ВFДК был прямоугольником ( ромбом, квадратом)?

Точки М, Д и К лежат на окружности, угол ДМК равен 45⁰, хорда ДК = 12 см.

Найдите: 1) радиус данной окружности; 2) угол МКД, если известно, что ДМ = 6 6